Table Of ContentWalter Ledermann
EinfOhrung
in die Gruppentheorie
fOr Studenten
der Mathematik,
der Naturwissenschaften und
der In genieurwissenschaften
Mit 6 Bildern
Vieweg
W. Ledermann
Introduction to Group Theory
Oliver and Boyd, Edinburgh
Aus dem Englischen libersetzt von
Dr. Detlel Gronau
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Ledermann, WaIter
Einflihrung in die Gruppentheorie: flir Studenten
d. Mathematik, d. Naturwiss. u. d. Ingenieurwiss.
- 1. Aufl - Braunschweig: Vieweg, 1977.
Einheitssacht.: Introduction to group theory <dU
1977
Alle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten
© der deutschen Ausgabe
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1977
Friedr. Vieweg & Sohn, Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1977
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ISBN-13: 978-3-528-03576-1 e-ISBN-13: 978-3-322-85521-3
DOl: 10.1007/978-3-322-85521-3
Inhalt
I. Gruppen
1. Einleitung
2. Die Axiome der Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3. Beispiele von Gruppen ..................................... 6
4. Die Multiplikationstabelle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Zyklische Gruppen ........................................ 13
6. Abbildungen von Mengen ................................... 15
7. Permutationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Obungen................................................. 22
II. Untergruppen
8. Teilmengen ................................ , . . . . . . . . . . . . . 24
9. Untergruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10. Nebenklassen ............................................ 27
11. Untergruppen einer zyklischen Gruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12. Durchschnitt und Erzeugung von Untergruppen .................. 33
13. Das direkte Produkt ....................................... 36
14. Uberblick tiber alle Gruppen bis zur Ordnung 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
15. Der Produktsatz .......................................... 45
16. Doppelte Nebenklassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Obungen ............................ .................... 47
III. Normalteiler
17. Konjugierte Elemente 49
18. Das Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
19. Normalteiler.............................................. 52
20. Quotientengruppen (Faktorgruppen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
21. Homomorphismen......................................... 57
22. Untergruppen von Quotientengruppen ......................... 61
23. Die Kommutatorgruppe .................................... 64
24. Automorphismen ......................................... 66
Ubungen................................................. 69
IV
IV. Endlich erzeugte abelsche Gruppen
25. Vorbereitungen........................................... 70
26. Endlich erzeugte freie abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
27. Endlich erzeugte abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
28. Invarianten und Elementarteiler .............................. 80
29. Praktische Berechnung der Zedegung .......................... 86
tlbungen ................................................ 89
V. Erzeugende und Relationen
30. Endlich erzeugte Gruppen mit endlich vielen Relationen. . . . . . . . . . . . 90
31. Freie Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
32. Relationen............................................ . . . 92
33. Definition einer Gruppe .................................... 93
tlbungen ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
VI. Reihen von Untergruppen
34. Reihen von Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
35. Der Satz von Jordan-Holder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
36. Auflosbare Gruppen ....................................... 102
37. Kommutatorreihen........................................ 104
38. Nilpotente Gruppen ....................................... 105
tlbungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108
VIII. Sylow-Theoreme
46. p-Untergruppen........................................... 135
47. Die Siitze von Sylow ....................................... 138
48. Anwendungen und Beispiele ................................. 140
Losung der Obungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. 143
Literatur ............................................... , ... , 147
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. 148
I. Gruppen
1. Einleitung
Die elementaren Operationen in der Arithmetik bestehen darin, daB man zwei ZaWen
a und b in Ubereinstimmung mit einigen wohldefinierten Regeln verkniipft und so eine
neue eindeutig bestimmte zaW c erMlt. Nehmen wir zum Beispiel als Verkniipfungsregel
die Multiplikation, so schreiben wir c = ab. Wenn a und b gegeben sind, dann kann die
zaW c in jedem Fall gefunden werden.
Es ist bekannt, daB die Multiplikation von zwei oder mehreren Zahlen gewissen for
malen Regeln gehorcht, welche fur aile Produkte gelten, unabhiingig yom spezieilen nume
rischen Wert:
ab = ba; Kommutativgesetz (Ll)
(ab)c = a(bc) Assoziativgesetz (1.2)
la=al=a (1.3)
Die letzte Gleichung hat die Einftihrung eines spezieilen Elementes, des Einselementes,
zur Folge. Das zweite Gesetz lautet ausftihrlicher: wenn wir ab = s und bc = t setzen, dann
gilt immer sc = at.
In der axiomatischen Behandlung der Arithmetik ist es iiblich, zuerst die Axiome oder
Postulate etwa solche wie (1.1), (1.2) und (1.3) festzulegen, sowie auch gewisse andere Ver
fahrensregeln beziiglich der Addition oder der Multiplikation einzuftihren, und man leitet
davon dann die logischen Folgerungen abo Es ist dabei am Anfang unwesentlich, ob die
Symbole a, b, ... ZaWen, wie wir sie im iiblichen Sinne verstehen darstellen, oder etwa an
dere mathematische Gr6Ben, ja man verzichtet oft auf eine konkrete Interpretation. Es sind
auch zaWreiche axiomatische Systeme im logischen Sinne m6glich, jedoch sind diese nicht
alle in gleicher Weise interessant oder wichtig. Es hat sich jedoch ein Axiomensystem ent
wickelt, das wegen seiner Vielfalt und Bedeutung in der reinen und angewandten Mathe
matik den anderen vorgezogen wurde.
2. Die Axiome der Gruppentheorie
Die abstrakte Gruppentheorie befaBt sich mit einer endlichen oder unendlichen Menge
von Elementen
G: a, b, c, ...
auf der eine Verkniipfungsregel definiert ist. Oblicherweise Gedoch nicht immer) wird bei
der Bezeichnung der Verkniipfung die Schreibweise der Multiplikation verwendet. Daher
wollen wir annehmen, daB je zwei Elemente a, b aus G (es kann dabei auch a = b sein)
ein eindeutig bestimmtes Produkt c besitzen und wir schreiben
ab = c.
2 I. Gruppen
F ormaler ausgedriiekt bedeutet dies, da~ jedem geordneten Paar (a, b) ein eindeutig bestimm
tes Element e zugeordnet wird. Der Ausdruek geordnetes Paar bedeutet dabei, daf, wir
zwischen (a, b) und (b, a) unterseheiden mtissen, falls a =1= b ist. Es ist dabei eine wesent
liehe Eigenschaft einer Gruppe, da~ das Produkt von zwei Elementen wieder ein Element
dieser Gruppe ist. Man sagt die Gruppe ist abgeschlossen beziiglich der Multiplikation. Die
Multiplikation in Gruppen mu~ bestimmte Axiome erfiillen, welche in der folgenden Defi
nition angefuhrt sind.
Defmition 1: Eine Menge G fUr welche eine Verkniipfungsregel ("Multiplikation")
definiert ist, bildet eine Gruppe, wenn die folgenden Bedingungen erfiillt sind:
I Abgeschlossenheit: Jedem geordneten Paar a, b aus G wird ein eindeutig be
stimmtes Element c aus G zugeordnet, welches das Produkt von a und b genannt
wird. Man schreibt:
c=ab.
II Assoziativgesetz: FUr drei beliebige Elemente a, b, c aus G gilt
(ab)c = a(be) ,
so daf, jede Seite mit abc bezeichnet werden kann.
III Einselement: Die Menge G enthiilt ein Element 1, genannt das Einselement
(oder Identitiit oder neutrales Element), so daf, fUr jedes Element a aus G gilt
al = la = a.
IV. Inverses Element: Zu jedem Element a aus G existiert ein Element a-I in G
derart, da~ gilt
aa-I =a-Ia=l.
Man kann sehen, daf, diese Postulate gerade die Regeln sind, die bei der Multiplika
tion der iiblichen Zahlensysteme, zum Beispiel der rationalen Zahlen erflillt sind. Es fehlt
nur das Kommutativgesetz, welches bei allgemeinen Gruppen nicht verlangt wird.
Definition 2: Eine Gruppe mit der zusatzliehen Eigenschaft, daf, fUr je zwei seiner
Elemente a und b gilt
ab =ba,
hei~t abelsche *) oder kommutative Gruppe.
Der Verzieht auf das Kommutativgesetz fur Gruppen Macht es erforderlich, zwischen
ab und ba zu unterscheiden. Wir sagen daher, daf, a von reehts beziehungsweise von
links mit b multipliziert wird. Wahrend das Kommutativgesetz nieht durchwegs in Grup
pen gelten mu~, kann es doch vorkommen, daf, es fUr spezielle Paare gilt.
*} Nach N. H. Abel (1802-1829).
2. Die Axiome der Gruppentheorie 3
Definition 3: Man sagt, da~ zwei Elemente a und b kommutieren (oder vertausch
bar sind), wenn gilt
ab = ba.
Zum Beispiel kommutiert 1 mit jedem Element und a kommutiert immer mit a-I,
wie es ja in IV verlangt wurde.
Wir werden nun einige Folgerungen aus den Axiomen herleiten, welche etwas mehr
Einblick in die Gruppenstruktur gewiihren.
(i) Das Assoziativgesetz wurde nur ftir je drei Elemente gefordert. Man wird jedoch
sehen, da~ ein Produkt von n Faktoren, die in einer bestimmten Anordnung gegeben sind,
einen eindeutig definierten Wert hat, so da~ Klammern eingefligt oder auch weggelassen
werden konnen, solange nur die Reihenfolge nicht verandert wird. Denn, wenn wir Axiom II
als Grundlage flir die Induktion verwenden, konnen wir annehmen, da~ ein Produkt von
weniger als n Faktoren schon definiert ist und d~ gilt
al az··· ar = (al az··· as) (as+ 1··· ar),
< <
mit 1";; s r n. Wir mussen nun zeigen, d~
(al··· ar)(ar+1··· an) = (al··· as)(as+1··· an), (1.4)
was zur Folge hat, da~ zwei Steilungen der Klammern zum selben Ergebnis fOOren. Die
linke Seite von (1.4) konnen wir in der Form
[( al ... as) (as+ 1 ... ar)] (ar+ 1 ... an) = [b 1 b2 ] b3 ,
anschreiben, wobei die Produkte in den run den Klammern mit b 1, b2 und b3 bezeichnet
wurden. Die rechte Seite von (1.4) kann in der Form
(al ... as)[(as+ 1··· ar)(ar+ 1··· an)] = bl [b2 b3] ,
ausgedruckt werden, wobei der zweite Faktor mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung auf
gelost wurde. Aus Axiom II erhalten wir dann
[b1b2]b3 =bl [b2b3],
womit die Behauptung (1.4) bewiesen ist. Wir sind somit berechtigt, alle Klammern weg
zulassen und bezeichnen jede Seite mit
ala2··· ~.
Falls im spezieilen aile Faktoren gleich sind, schreiben wir wie in der gewohnlichen Algebra
aa = a2
(aa) a =a (aa) =a 3
Somit erhalten wir, wenn m und n positive ganze ZaWen sind
(1.5)
und
(1.6)
4 I. Gruppen
Es ist dabei interessant zu beobachten, da~ die vertrauten Gesetze der Exponenten
in (1.5) und (1.6) ausschlie~lich aus dem Assoziativgesetz der Multiplikation folgen.
Falls a und b nicht vertauschbar sind, wird im allgemeinen gelten:
(ab)n -=1= anbn .
Wenn aber a und b kommutieren, haben wir
(ab)n = abab ... ab = anbn (1.7)
und
da wir in diesem Falle die Faktoren in beliebiger Weise anordnen konnen.
(ii) Axiom III fordert die Existenz eines zweiseitigen Einselementes. Wir werden nun
beweisen, da~ es nur ein solches Element geben kann. Denn, angenommen, d~ ein anderes
Element I' die selben Eigenschaften wie 1 besitzt, dann ist II' = 1, weil I' von rechts
als Einselement wirkt. Wir haben aber auch II' = 1', weil 1 von links als Einselement wirkt.
Also ist 1 = 1'.
(iii) Das in Axiom IV geforderte (zweiseitige) Inverse ist eindeutig bestimmt. Thnn
angenommen es gilt aal = 1. Dann kann a -I aal auf zwei Arten aufgelost werden, namlich
a-Iaal =(a-Ia)al =lal =al
und
a-I aal = a-I (aal) = a-II = a-I,
also ist al = a-I. Genauso hat die Gleichung aza = 1 zur Folge, d~ az = a-I ist. Tatsach
lich haben wir sogar gezeigt, da~ jedes Linksinverse und jedes Rechtsinverse von a gleici:
a-I ist.
Die Gleichungen
ax = b, ya = b
besitzen die Losungen
x = a-I b, y = ba-I .
1m allgemeinen ist x -=1= y und wir haben deshalb zwischen linker und rechter "Division"
durch a zu unterscheiden. Die Losungen x und y sind jedoch eindeutig bestimmt. Denn,
wenn
ax = aXI = b
ist, ergibt die Multiplikation mit a-I von links x = XI. Ebenso folgt aus
ya=Yla=b,
da~ y = YI gilt.
Mit dem vorgehenden haben wir gezeigt, d~ in jeder Gruppe die Kiirzungsregel gilt,
das hei~t, wir konnen sowohl von links als auch von rechts ktirzen.
2. Die Axiome der Gruppentheorie 5
Klarerweise gilt
1=12 =13 = ... =ln, (1.8)
wobei n eine positive ganze Zahl ist. Da a und a-1 komtnutieren, erhalten wir aus (1.8)
und(1.7)
In = 1 =(aa-1) = an(a-1)n.
Wegen der Eindeutigkeit des Inversen folgt daher, d~ (a-1)n das Inverse von an ist. Db
licherweise schreibt man
(an)-1 = (a-1)n =a-n (1.9)
und setzt
aO = 1 (1.10)
fUr jedes beliebige Element a. Der Leser wird sich ohne Schwierigkeiten davon tiberzeugen
konnen, ~ die Regeln (1.5) und (1.6) auch dann noch gelten, wenn m und n beliebige
ganze Zahlen, positive, negative oder auch null darstellen. Insbesondere konnen wir auch
beobachten, d~ zwei Potenzen ein und desselben Elementes irnmer komtnutieren, selbst
wenn die Exponenten negativ oder null sind, also
akal = alak . (1.11)
FUr zwei Elemente a und b erhalten wir
(ab) (b-1 a-1) = abb-1 a-1 = 1 ,
also wegen der Eindeutigkeit des Inversen
(ab)-1 = b-1 a-1 (1.12)
und noch allgemeiner
( ab ... st )-1 -- t-1 s -1 ... b-1a-1. (1.13)
Zum Abschlu~ bemerken wir noch, da~ 1 das einzige idempotente Element der Gruppe ist.
Das hei~t die einzige Losung der Gleichung
(1.14)
istx=1.
Denn, wenn man (1.14) von links mit x-1 multipliziert, ergibt dies
X-1X2 =x-1x,
und daher
x= 1.
Wenn G aus einer endlichen Anzahl von Elementen besteht, dann nennt man diese Anzahl
die Ordnung von G; anderenfalls he~t G von unendlicher Ordnung. Die Ordnung von G,
egal ob endlich oder unendlich wird mit
IGI
bezeichnet.
6 I. Gruppen
Obwohl fUr die Verkniipfung der Gruppenelemente die Nomenklatur der Multiplika
tion am meisten gebrauchlich ist, ist es manchmal von Vorteil, andere Zeichen fUr das Zu
sammengesetzte von a und b wie etwa
aob
zu verwenden.
Falls die Gruppe abelsch ist (und in diesem Buch nur in diesem Fall), wird Mufig die
additive Schreibweise verwendet. Dann schreiben wir also
a + b (= b + a)
fUr das Zusammengesetzte von a und b. Das Assoziativgesetz hat die Form
(a + b) + c = a + (b + c).
Die Identitat (neutrales Element) wird mit 0 bezeichnet, also
a+O=O+a=a
und das Inverse von a schreibt man als - a. Das Analogon zu einer "Potenz" von a ist nun
a+a+ ... +a=na,
wobei auf der linken Seite n gleiche Terme auftreten. Es sollte dabei beachtet werden, d~
die ganze Zahl n auf der rechten Seite normalerweise kein Element der Gruppe ist; in Wirk
lichkeit ist na nur eine Abkiirzung fUr den Ausdruck auf der linken Seite. Die Gesetze (1.5)
und (1.6) haben nun die Form
(n + m)a = na + rna
n(ma) = (nm)a.
Au~erdem verwenden wir die Bezeichnung
-(na) =(-n)a.
Da die Gruppe abelsch ist, haben wir weiters noch die Beziehung
n(a + b) = na + nb.
3. Beispiele von Gruppen
Gruppen treten in reichlichem M~e in allen Zweigen der Mathematik auf. Wir ftihren
hier nur einige wenige Beispiele von Gruppen an, welche der Leser vielleicht schon hier und
da kennengelernt hat.
(i) Die Menge der positiven rationalen Zahlen bilden eine Gruppe beziiglich der Mul
tiplikation. In der Tat ist das Produkt zweier positiver rationaler Zahlen wieder eine positive
rationale Zahl, das Einselement ist die rationale Zahl 1 und das Inverse einer positiven ra
tionalen Zahl ist ebenfalls solche eine Zahl. Die Assoziativitat ist als eines der Gesetze der
Arithmetik bekannt. Es handelt sich hier urn eine unendliche abelsche Gruppe. Offensicht
lich bilden die negativen rationalen Zahlen keine Gruppe, ebenso wie die positiven ganzen
Zahlen, da hier bei jedem von 1 verschiedenen Element das Inverse fehlt.
