Table Of ContentSpringer Studium Mathematik – Bachelor
Thorsten Theobald
Sadik Iliman
Einführung in die
computerorientierte
Mathematik
mit Sage
Springer Studium Mathematik – Bachelor
Herausgegebenvon
M.Aigner,FreieUniversitätBerlin,Berlin,Germany
H.Faßbender,TechnischeUniversitätBraunschweig,Braunschweig,Germany
B.Gentz,UniversitätBielefeld,Bielefeld,Germany
D.Grieser,UniversitätOldenburg,Oldenburg,Germany
P.Gritzmann,TechnischeUniversitätMünchen,Garching,Germany
J.Kramer,Humboldt-UniversitätzuBerlin,Berlin,Germany
V.Mehrmann,TechnischeUniversitätBerlin,Berlin,Germany
G.Wüstholz,ETHZürich,Zürich,Switzerland
Die Reihe „Springer Studium Mathematik“ richtet sich an Studierendealler mathemati-
schenStudiengängeundanStudierende,diesichmitMathematikinVerbindungmiteinem
anderen Studienfach intensiv beschäftigen, wie auch an Personen, die in der Anwen-
dung oder der Vermittlung von Mathematik tätig sind. Sie bietet Studierenden während
desgesamtenStudiumseinenschnellenZugangzudenwichtigstenmathematischenTeil-
gebieten entsprechend den gängigen Modulen. Die Reihevermittelt neben einer soliden
GrundausbildunginMathematikauchfachübergreifendeKompetenzen.Insbesondereim
BachelorstudiummöchtedieReihedieStudierendenfürdiePrinzipienundArbeitsweisen
derMathematikbegeistern.DieLehr-undÜbungsbücherunterstützenbeiderKlausurvor-
bereitung und enthalten neben vielen Beispielen und Übungsaufgabenauch Grundlagen
undHilfen,diebeimÜbergangvonderSchulezurHochschuleamAnfangdesStudiums
benötigtwerden.WeiterbegleitetdieReihedieStudierendenimfortgeschrittenenBache-
lorstudiumundzuBeginndesMasterstudiumsbeiderVertiefungundSpezialisierungin
einzelnen mathematischen Gebieten mit den passenden Lehrbüchern.Für den Master in
MathematikstelltdieReihezurfachlichenExpertiseBändezuweiterführendenThemen
mitforschungsnahenEinblickenindiemoderneMathematikzurVerfügung.DieBücher
könnendemAngebotderHochschulenentsprechendauchinenglischerSpracheabgefasst
sein.
WeitereBändedieserReihefindensieunter
http://www.springer.com/series/13446
(cid:2)
Thorsten Theobald Sadik Iliman
Einführung in die
computerorientierte
Mathematik mit Sage
ThorstenTheobald SadikIliman
Goethe-UniversitätFrankfurt Frankfurt,Deutschland
FrankfurtamMain,Deutschland
ISBN978-3-658-10452-8 ISBN978-3-658-10453-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-10453-5
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diesemWerkzumZeitpunkt derVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch
die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit,Gewähr für den Inhalt des
Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.
Planung:UlrikeSchmickler-Hirzebruch
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
SpringerFachmedienWiesbadenGmbHistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia
(www.springer.com)
Vorwort
InvielenBereichenderMathematikspielencomputerorientierteAspekteeineimmergrö-
ßereRolle, und für die meisten Mathematikerinnen und Mathematiker ist der Computer
mittlerweilezueinemunentbehrlichenHilfsmittelgeworden.DasvorallemanStudienan-
fängerderMathematikgerichteteLehrbuchmöchteeinefrühzeitigeundforschungsorien-
tierteAuseinandersetzungmitcomputerorientiertenMethoden,DenkweisenundArbeits-
technikenimRahmendesStudiumsinitiieren.
Das Buch bietet eine Einführung in grundlegende mathematische Teilgebiete, die –
in verschiedener Weise – eine enge Beziehung zu computerorientierten Aspekten ha-
ben:Graphen,mathematischeAlgorithmen,Rekursionsgleichungen,computerorientierte
lineare Algebra, Zahlen, Polynome und ihre Nullstellen. Anhand des mathematischen
KernstrangswerdenEinblickeindieModellierung,Analyse,algorithmischeAufbereitung
undSimulationfundamentalermathematischerSachverhaltebereitgestellt.Hierzuistdas
BuchmiteinerEinführungindasfreiverfügbareundsichimmerstärkerinForschungund
LehreverbreitendeSoftware-System
SageMathematicalSoftwareSystem
(kurz SageMath, Sage)1 verflochten. Die computerorientierten Aspekte der späteren
KapitelkönnenaufdieseWeiseanhandvonSageillustriertundgeübtwerden.Exempla-
rischwerdeneinigeFensterzuforschungsorientiertenAspektengeöffnet.
DurchdieVerwendungeinesumfassendenMathematik-SystemswieSagesollenStu-
dierendefrühzeitigdazuermutigtundbefähigtwerden,dieMöglichkeiteneinessolchen
Systems auch im Rahmen weiterführender Veranstaltungen des Studiums zu nutzen, et-
wa beiderVisualisierung, beider Überprüfungtheoretisch erzielter Ergebnisseoder bei
aufwendigenBerechnungen.
DieDarstellungberuhtaufVorlesungenanderGoethe-UniversitätFrankfurtamMain.
Hieristdie„EinführungindiecomputerorientierteMathematik“imerstenSemesterdes
Bachelor-Studiengangsverankert.
1http://www.sagemath.org. Über die freie Verfügbarkeit hinaus ist Sage deshalb besonders at-
traktiv, weil es auch über eine Internet-Schnittstelle genutzt werden kann und zudem zahlreiche
spezialisiertereMathematik-PaketeüberSchnittstellenindieSage-Plattformeingebundensind.
V
VI Vorwort
Dank giltJohann Baumeister,dessen Materialien seiner VorgängervorlesungdieVor-
lesungskonzeptionwesentlich beeinflusste.FürAnregungenundHinweisebedankenwir
uns besonders bei Mareike Dressler, Thomas Gerstner, Thorsten Jörgens, Michael Jos-
wig, Martina Juhnke-Kubitzke, Kai Kellner, Cordian Riener und Timo de Wolff. Frau
Schmickler-Hirzebruch danken wir für die kontinuierliche Unterstützung des Buchpro-
jekts.
FrankfurtamMain,imJuni2015 SadikIlimanundThorstenTheobald
Inhaltsverzeichnis
1 EinleitungundÜberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 EinigeBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 MathematischeSoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 ZurMethodikundVerwendungdesBuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 GrundlegendeBegriffeundTechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 GrundbegriffedermathematischenLogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Beweistechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Relationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 DasSoftware-SystemSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Zugangsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 EinersterEinblickinSage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Aussagen,MengenundRelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 ErsteBerührungmitListen,SchleifenundVerzweigungen . . . . . . . . . 31
3.6 ÜbungsaufgabenzumerstenEinstieginSage . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 DefinitionenundEigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 PlanareGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 FärbbarkeitundderVier-FarbenSatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
5 EinstiegindieMathematikmitSage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1 ElementareAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 ElementarelineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Visualisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 EinigeProgrammierelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Ausgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 AlgorithmenundRekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1 AlgorithmenundihreKomplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 EinspeziellesMaster-TheoremfürRekursionsgleichungen. . . . . . . . . 77
6.5 DieAckermann-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6 Sortieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.8 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 GrundlegendemathematischeAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1 WiemultiplizierteinComputer? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 GrößtegemeinsameTeiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 BestimmungvonQuadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 DasNewton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.5 ApproximationenmittelsFixpunktiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.7 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 RechnenmitkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.1 DefinitionundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 DieMandelbrot-Menge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 DiediskreteFourier-Transformation(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 ComputerorientiertelineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.1 VektorenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5 EuklidischerAlgorithmusundlineareRekursionenvialinearerAlgebra. 133
9.6 DrehungenundSpiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.7 DerPageRank-Algorithmus(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Inhaltsverzeichnis IX
9.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.9 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10 PolynomeundihreNullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1 NullstellenvonPolynomenundexpliziteFormeln . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2 DiekubischeGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.3 DiequartischeGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 NullstellenvonPolynomenundEigenwertevonMatrizen . . . . . . . . . 157
10.5 DieResultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.6 ReelleNullstellen(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.8 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11 ComputerorientierteFallstudiennatürlicherZahlen . . . . . . . . . . . . . . 169
11.1 DasCollatz-Problem(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.2 DarstellbarkeitvonZahlenalsSummezweierQuadrate(*) . . . . . . . . 171
11.3 DiePartitionsfunktion(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.5 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12 AnhangA:Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13 AnhangB:LineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14 AnhangC:Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
VerzeichnisderverwendetenSage-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
