Einführung in die algebraische Zahlentheorie

223 Pages·2009·1.83 MB·German

by  Alexander Schmidt

Springer-Lehrbuch
Alexander Schmidt
Einführung
in die algebraische
Zahlentheorie
123
Prof.Dr.AlexanderSchmidt
NWFI-Mathematik
UniversitätRegensburg
Universitätsstraße31
93040Regensburg
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MathematicsSubjectClassification(2000):11A05,11A07,11A15,11R04,11R29,11M06
ISBN 978-3-540-45973-6 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Fu¨r Reinhard B¨olling
Vorwort
Dieses Buch gibt eine Einfu¨hrung in die Grundgedanken der modernen Alge-
braischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und gleichzeitig heute
besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von The-
menbereichen, die u¨blicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet
werden (Kleiner Fermatscher Satz, Quadratisches Reziprozit¨atsgesetz), fu¨hrt
es anhand konkreter Problemstellungen zu den Techniken, die das Herz der
modernen Theorie ausmachen. Der technische Apparat wird nur so weit ent-
wickelt,wieesfu¨rdiekonkretenFragestellungenn¨otigist,sollaberaucheinen
Vorgeschmack auf die allgemeine Theorie geben.
Alle Fortschritte, die die Algebraische Zahlentheorie in den letzten Jahr-
zehnten erreicht hat, beruhen auf modernen und komplizierten mathemati-
schen Theorien, die zum Teil anderen mathematischen Disziplinen, wie et-
wa der Topologie,Algebraischen Geometrie oder Analysis, entstammen. Dies
bringt fu¨r die heranwachsende Generation ein Dilemma mit sich. Man kann
(undwird)langebrauchen,umsichmitdenTechnikendermodernenZahlen-
theorievertrautzumachen.DieserAufwandwirddurchdiegroßeEleganzder
Theoriebelohnt,diedieEinsichtenvielerGenerationenvonMathematikernin
kondensierter Form aufhebt. Allerdings bleibt auf diesem Wege der Blick auf
die urspru¨nglichen Fragen lange verstellt. Der Ausgangspunkt ist sozusagen
erst wieder vom Dach des Geb¨audes aus sichtbar.
Nun kann man verschiedene Arten von Lehrbu¨chern schreiben und auch
lesen. Ein systematisches Studium der Zahlentheorie ist unabdingbar fu¨r je-
den, der den Anspruch, hat tiefer zu dringen und vielleicht sp¨ater selbst zu
forschen. Wer dies anstrebt, dem sei, in dieser Reihenfolge, die Lektu¨re der
Monographien [Neu] und [NSW] ans Herz gelegt. Das vorliegende Buch ist
alsEinfu¨hrungkonzipiert.Essetztm¨oglichstwenigvorausundentwickeltdie
Theorie anhand konkreter Probleme, wie z.B. der Fermat-Gleichung, in lo-
ckerer Form und nicht in gr¨oßter Allgemeinheit. Wer dadurch Lust auf mehr
bekommen hat, sei auch auf die Lehrbu¨cher [BS], [IR] und [Se] hingewiesen.
VIII Vorwort
Wie es bei einem einfu¨hrenden Buch nicht u¨berraschenwird, stammt kei-
nes der behandelten Resultate vonmir, und auchdie gegebenenBeweise sind
nicht neu. Ich habe darauf verzichtet, jeweils die Herkunft zu erw¨ahnen. Le-
diglichklassische,namhafte S¨atze werdenunter dem Namenihres Entdeckers
gefu¨hrt.
Unter Auslassung der hinteren Kapitel ist es gut m¨oglich, dieses Buch als
Grundlagefu¨reineneinsemestrigenKurszunehmen.Auseinemsolchenistes
auchentstanden.WieweitmandabeiimStoffkommt,wirdwesentlichvonden
Vorkenntnissendes Publikums abh¨angen.Im Textwerdennur Schulkenntnis-
se vorausgesetzt und der algebraische Apparat, soweit gebraucht, behutsam
entwickelt. Ab Kapitel 8 werden Kenntnisse in Analysis und linearer Alge-
bra vorausgesetzt, jedoch nicht mehr, als durch die Grundvorlesungen eines
Mathematikstudiums abgedeckt wird. Der Inhalt der letzten beiden Kapitel
eignet sich nach meiner Erfahrung gut fu¨r ein Seminar.
Bedankenm¨ochteichmichbeimeinenFreundenundKollegenAntonDeit-
mar,DanielHuybrechts,StefanieKnorr,OtmarVenjakob,DenisVogel,Gabor
Wiese und Kay Wingberg, die eine vorl¨aufige Version gelesen, viele Verbes-
serungen gefunden und wichtige Anregungen gegeben haben. Ein besonderer
Dank geht an Frau Eva-Maria Strobel fu¨r ihr gru¨ndliches Korrekturlesen.
IchselbsthabedenStoffdervorderenKapitelbereitsalsAbiturientkennen
gelernt.Zu danken ist dies Herrn Dr. Reinhard B¨olling und seinen damaligen
Kursen in Wissenschaftlich-Praktischer-Arbeit fu¨r ausgew¨ahlte Schu¨ler der
OstberlinerHeinrich-Hertz-Oberschule.Mitbeeindruckendemp¨adagogischem
Geschick bereitete Herr B¨olling komplizierten mathematischen Stoff so auf,
dass er, hohes Engagement vorausgesetzt, von Schu¨lern verstanden werden
konnte. Inhalt und Darstellung der ersten sechs Kapitel sind stark an den
damaligen Unterricht angelehnt, und ich hoffe, dass große Teile des Buches
auch fu¨r motivierte Abiturienten lesbar sind.
Regensburg, November 2006 Alexander Schmidt
Inhaltsverzeichnis
Kapitel1: Rechnen mit Restklassen............................ 1
1.1 Teilbarkeit.............................................. 1
1.2 Primzahlen ............................................. 3
1.3 Kongruenzen............................................ 7
1.4 Der Kleine Fermatsche Satz............................... 13
1.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse I .................. 14
1.6 Polynomkongruenzen .................................... 15
1.7 Primitive Wurzeln ....................................... 17
Kapitel2: Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz ............... 21
2.1 Quadratische Reste modulo p ............................. 21
2.2 Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz ...................... 24
2.3 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse II.................. 27
2.4 Quadratsummen I ....................................... 29
Kapitel3: Diophantische Gleichungen.......................... 35
3.1 Hindernisse ............................................. 35
3.2 Lineare Gleichungssysteme................................ 37
3.3 Diophantische Gleichungen modulo p ...................... 40
3.4 Diophantische Gleichungen modulo Primpotenzen ........... 43
3.5 Anwendung des QRG auf diophantische Gleichungen......... 45
Kapitel4: Die Gaußschen Zahlen .............................. 49
4.1 Abelsche Gruppen, Ringe und K¨orper...................... 49
4.2 Euklidische Ringe ....................................... 53
4.3 Primzerlegung in den Gaußschen Zahlen.................... 56
4.4 Quadratsummen II ...................................... 59
4.5 Pythagor¨aischeTripel.................................... 61
4.6 Erweiterte Zahlringe ..................................... 63
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel5: Algebraische Zahlen................................. 65
5.1 Polynomringe ........................................... 65
5.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen ........................ 67
5.3 Ganze algebraischeZahlen................................ 71
5.4 Kreisteilungspolynome ................................... 75
5.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse III................. 79
Kapitel6: Quadratische Zahlk¨orper ............................ 81
6.1 Quadratische Zahlk¨orper ................................. 82
6.2 Rechnen mit Idealen ..................................... 85
6.3 Primideale.............................................. 90
6.4 Gebrochene Ideale ....................................... 92
6.5 Das Zerlegungsgesetz .................................... 97
6.6 Die Idealklassengruppe...................................105
6.7 Einheiten in quadratischen Zahlk¨orpern ....................112
6.8 Anwendung auf diophantische Gleichungen .................117
6.9 Kriterien fu¨r h >1 .....................................119
K
6.10 Euklidizit¨at von .....................................121
K
O
Kapitel7: Der Große Fermatsche Satz .........................125
7.1 Der Fall n=4 ..........................................125
7.2 Der Satz von Sophie Germain.............................127
7.3 Kummers Theorem ......................................128
7.4 Der Fall n=3 ..........................................130
Kapitel8: Analytische Methoden ..............................133
8.1 Dirichlet-Charaktere .....................................133
8.2 Gauß- und Jacobi-Summen ...............................137
8.3 Diophantische Gleichungen modulo p ......................141
8.4 Die Riemannsche Zetafunktion ............................143
8.5 L-Reihen ...............................................147
8.6 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse IV.................149
Kapitel9: p-adische Zahlen ....................................153
9.1 Der p-adische Abstand ...................................153
9.2 Der K¨orper der p-adischen Zahlen .........................159
9.3 Ganze p-adische Zahlen ..................................161
9.4 Die p-adische Entwicklung ................................164
9.5 p-adische Gleichungen....................................166
9.6 Das Hilbert-Symbol......................................170
9.7 Die Produktformel.......................................175
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel10:Quadratische Formen...............................181
10.1 Quadratische Formen u¨ber K¨orpern........................182
10.2 Zwei S¨atze von Witt .....................................185
10.3 Reelle quadratische Formen...............................189
10.4 Quadratische Formen u¨ber lokalen K¨orpern.................191
10.5 Der Satz von Hasse-Minkowski ............................194
10.6 Quadratsummen III .....................................198
10.7 Geschlechtertheorie ......................................200
Bezeichnungen.................................................209
Literaturverzeichnis ...........................................211
Sachverzeichnis ................................................213