Einführung in die Algebraische Geometrie

38 Pages·2008·0.23 MB·German

SkriptzurVorlesung
Einführung in die Algebraische
Geometrie
Wintersemester 2007/2008
Frankfurt am Main
Prof.Dr.AnnetteWerner
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
2 DerHilbert’scheBasissatz 4
3 DerHilbert’scheNullstellensatz 12
4 DasSpektrumeinesRinges 24
1 Einführung
In der Algebraischen Geometrie studiert man Lösungsmengen von Polynomglei-
chungenmitgeometrischenMethoden.BeispielefürPolynomgleichungensindetwa
dielinearenGleichungssysteme
a x + +a x =b
11 1 1n n 1
···
.
.
.
a x + a x =bm,
m1 1 mn n
···
wobei(a ) undb ,...,b ElementeeinesKörpersksind.
ij 1 m
i=1,...,m
j=1,...,n
InderLinearenAlgebralerntman,wanneinsolchesGleichungssystemeineLösung
inknbesitztundwiemandieLösungsmengebeschreibenkann.
EinweiteresBeispielsinddiePolynomgleichungenineinerUnbestimmten
a xn+a xn−1+...+a x+a =0
n n−1 1 0
füra ,...,a k,diemaninderAlgebrastudiert.IsteinesolcheGleichungüberk
1 n
∈
nicht lösbar, so gibt es eine algebraische Körpererweiterung L/K, in der sie lösbar
ist.
InderAlgebraischenGeometriewollenwirLösungsmengenvonbeliebigenPolyno-
meninbeliebigvielenUnbestimmtenstudieren.Daserfordertnatürlichetwasmehr
Aufwand.
Wir bezeichnen den Polynomring in n Unbestimmten über dem Körper k mit
k[x ,...,x ]. Fürf ,...,f k[x ,...,x ]setzenwirdann
1 n 1 m 1 n
∈
V (f ,...,f )= P =(P ,...,P ) kn :
k 1 m 1 n
{ ∈
f (P ,...,P )=...=f (P ,...,P )=0.
1 1 n m 1 n
V (f ,...,f )istalsodieMengeallergemeinsamenNullstellenvonf ,...,f ink.
k 1 m 1 m
Beispiel:
i) Istf(x,y)=x2+y2−1∈Q[x,y],soistVR(f)={(P1,P2)∈R2 :P12+P22 =1}
derEinheitskreisinR2.
Seite1
Wirkönnenauch
VQ(f)={(P1,P2)∈Q2 :P12+P22 =1}
betrachten, dies ist die Menge der rationalen Zahlen auf dem Einheitskreis.
Auch VC(f) = {(P1,P2) ∈ C2;P12 + P22 = 1} ist definiert; dies ist allerdings
nichtderEinheitskreisinC2!
Da f nur die Koeffizienten 0 und 1 hat, können wir f auch im Polynomring
F2[x,y]auffassen.Dannist
VF2(f)={P1,P2)∈F22 :P12+P22 =1}
= (0,1),(1,0) .
{ }
WirsehenschonandiesemeinfachenBeispiel,dassdieNullstellenmengevon
f entscheidendvomgewähltenGrundkörperabhängt.
ii) Wirbetrachtenf(x,y)=y2 x3 x2.Hierist
− −
VR(f)={(P1,P2)∈R2 :P22 =P13+P12}.
DiesisteineKurvemiteinemDoppelpunkt:
DieseKurvelässtsich„parametrisieren“durchdieAbbildung
ϕ=R R2
→
t (t2 1,t3 t).
7→ − −
Seite2
Esgiltϕ(R) VR(f),wiemansofortnachrechnet.
⊂
Ferneristϕinjektivfürt / 1 ,dennaust2 1 = s2 1undt3 t = s3 s
∈ {± } − − − −
folgtt(s2 1)=s(s2 1),alsofürs= 1aucht=s.
− − 6 ±
DieTatsache,dassϕ( 1)=ϕ(1)=0gilt,erklärtdenDoppelpunktderKurve.
−
iii) DieausderLinearenAlgebrabekannteMenge
GL (k)= A kn×n :detA=0
n
{ ∈ 6 }
derinvertierbaren(n n) MatrizenmitEinträgeninklässtsichebenfallsals
× −
NullstellenmengevonPolynomenschreiben.
Dazu brauchen wirn2 Unbestimmte (x ) und eine zusätzliche Unbe-
ij
i=1,...,n
j=1,...,n
stimmte T. Die Determinante einer Matrix ist ein Polynom in den Einträgen,
wiemanetwaanderLeibniz-Formelsieht.Daheristdet (x ) einPolynom
ij i,j
ink[x ,...,x ].WirbetrachtendasPolynom (cid:0) (cid:1)
11 nn
f (x ) ,T =det(x )T 1 k[x ,...,x ,T].
ij i,j ij 11 nn
− ∈
(cid:0) (cid:1)
Esist
V (f)= (a ) kn×n,t k :det(a ) t=1 .
k ij i,j ij i,j
{ ∈ ∈ }
DieseNullstellenmengelässtsichmitHilfederAbbildung
GL (k) V (f)
n k
→
A (A, 1 )
7→ detA
mitderMengeGL (k)identifizieren.
n
iv) Wirbetrachtennunfürn 2nochdasberühmteBeispiel
≥
f(x,y,z)=xn+yn zn.
−
Esist
VQ(f)= (a,b,c) Q3 :an+bn =cn
{ ∈ }
Seite3
geradedieMengederrationalenLösungenderFermat-Gleichungxn+yn =zn.
(PierredeFermat(1601oder1607/08bis1665)wareinfranzösischerJuristund
genialerHobbymathematiker,deru.a.dasTraktat„Arithmetika“vonDiophan-
tosvonAlexandriamitRandnotizenversah.)DiesehatimmerdietrivialenLö-
sungen(0,1,1), (1,0,1)(undVielfachedavon)sowie( 1,1,0),fallsnungera-
−
de ist bzw. (0,1, 1) und (1,0, 1), falls n gerade ist. Man nennt eine Lösung
− −
(a,b,c)nichttrivial,fallsabc=0ist.
6
Fürn = 2gibtesunendlichvielenicht-trivialeLösungen,diesogenanntenPy-
thagoräischenTripel
a=2AB, b=A2 B2, c=A2+B2
−
fürganzeZahlenA>B >0.Esgiltnämlich
a2+b2 =(2AB)2+(A2 B2)2
−
=4A2B2+A4 2A2B2+B4
−
=(A2+B2)2 =c2.
FürA=2undB =1ergibtsichdasbekanntePythagoräischeTripel(2,3,5).
Istn≧3,sosagtdieberühmteFermatscheVermutung,dassdieGleichung
xn+yn =zn
keinenicht-trivialeLösunginQ3 besitzt.MitanderenWorten,dieNullstellen-
mengeVQ(f)bestehtnurausdenobenangegebenentrivialenLösungen.
DieFermatscheVermutungwurde1995vonAndrewWilesmitdenhochentwi-
ckeltenMethodenderAlgebraischenGeometriebewiesen.
2 Der Hilbert’sche Basissatz
WirerinnernzunächstaneinigeBegriffeausderRingtheorie.
EinRingisteineMengeAmitzweiVerknüpfungen+und ,fürdiefolgendeBedin-
·
gungengelten:
i) (A,+)isteineabelscheGruppe,insbesondereexistiertalsoeinNullelement0in
A.
Seite4
ii) DieMultiplikation istassoziativunddistributiv,d.h.esgiltinA
·
a(b+c)=ab+ac
und
(a+b)c=ac+bc.
AlleRinge,diewirbetrachtenwerden,sindkommutativmit1,d.h.esgiltzu-
sätzlich
iii) ab=bafürallea,b A.
∈
iv) EsgibteinEinselement1 Amit1a=a1=afürallea A.
∈ ∈
Ab sofort treffen wir folgende Vereinbarung: Mit Ring meinen wir immer einen
kommutativenRingmitEins.
EinRinghomomorphismusisteineAbbildungf :A BzwischenRingen,fürdie
→
i) f(a+b)=f(a)+f(b)
ii) f(ab)=f(a)f(b)
iii) f(1)=1
gilt.
f heißtIsomorphismusvonRingen,fallseseinenRinghomomorphismusg :B A
→
gibt,sodassf g =id undg f =id gilt.DiesistgenaudannderFall,wennder
B A
◦ ◦
Ringhomomorphismusf injektivundsurjektivist.
EineTeilmengea AheißtIdeal,falls
⊂
i) (a,+)eineUntergruppevon(A,+)ist,d.h.esist0 aundaistabgeschlossen
∈
unter+und
−
ii) aA=agilt,d.h.fürallea aundx Aistxa a.
∈ ∈ ∈
Ista AeinIdeal,soerbtdieQuotientengruppeA/aeineMultiplikationsabbildung
⊂
vonAundwirddamitselbsteinRing.DieAbbildung
A A/a
→
x x+a,
7→
Seite5
die x auf die Nebenklasse von x modulo a abbildet, ist ein surjektiver Ringhomo-
morphismus.
Ein Nullteiler in A ist ein Element a A, so dass ein b A existiert mit b = 0 und
∈ ∈ 6
ab=0.
Beispiel: Istk > 1undl > 1,soexistierenfürn = klNullteilerimRingZ/nZ,denn
esgilt
(k+nZ)(l+nZ)=0inZ/nZ
undbeideFaktorensind=0.
6
Definition2.1 Ein kommutativer Ring mit 1, der keine Nullteiler enthält, heißt
Integritätsring.
Beispiel: Z,jederKörperk undjederPolynomringk[x1,...,xn]übereinemKörper
ksindBeispielefürIntegritätsringe.
Wir benötigen nun noch einige Tatsachen über Ideale. Jedes a A definiert ein
∈
sogenanntesHauptideal(a)=aA= ab:b A .
{ ∈ }
IstjedesIdeala AeinHauptideal,soheißtAHauptidealring.EinIdealp=AinA
⊂ 6
heißtPrimideal,fallsgilt:Istab pfüraundbinA,sogilta poderb p.Alsoist
∈ ∈ ∈
p AgenaudanneinPrimideal,wennA/pnullteilerfreiist.
⊂
Beispiel: Ist p eine Primzahl, so ist das von p erzeugte Hauptideal (p) in Z ein
Primideal.Fernerist(0) ZeinPrimideal.
⊂
Ein Ideal m A heißt maximales Ideal, falls m = A ist und falls für jedes Ideal
⊂ 6
m a Aschonm = afolgt.EinIdealm AistgenaudanneinmaximalesIdeal,
⊂ ⊂6= ⊂
wennA/meinKörperist.
Beispiel: Ist p eine Primzahl, so ist (p) Z ein maximales Ideal. Das Nullideal ist
⊂
nichtmaximalinZ.
Istf : A B einRinghomomorphismus,undb B einIdeal,soistf−1(b) Aein
→ ∈ ⊂
Ideal.IstbeinPrimideal,soistauchf−1(b)einPrimideal.
Seite6
Definition2.2 i) Es sei I eine beliebige Indexmenge und (a ) eine Familie
i i∈I
von Elementen aus A. Ein Ideal a heißt erzeugt von (a′) , wir schreiben
1 i∈I
a = (a ) , falls alle a a sind und falls sich jedes x a als x =
i i∈I i
∈ ∈
x a +...+x a schreibenlässtmitgeeignetenIndizesi ,...,i I und
i1 i1 im im 1 m ∈
Elementenx ,...,x A.
i1 im ∈
ii) Ein Ideal a A heißt endlich erzeugt, falls es endlich viele Elemente
⊂
a ,...,a agibtmita=(a ,...,a ).
1 m 1 m
∈
Definition2.3 EinRingAheißtnoethersch,fallsjedesIdealendlicherzeugtist.
Lemma2.4 DiefolgendenAussagensindäquivalent:
i) Aistnoethersch.
ii) JedeaufsteigendeKettevonIdealena a ... a ...inAwirdstatio-
1 2 k
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
när,d.h.esgibteinn mita =a fürallen≧n .
0 n0 n 0
iii) Jede nicht-leere Menge von Idealen besitzt ein maximales Element bezüglich
derInklusion.
Beispiel:JederHauptidealringistnoethersch,insbesondereistZnoethersch.
Lemma2.5 IstAeinnoetherscherRingunda AeinIdeal,soistA/aeinnoether-
⊂
scherRing.
Beweis:Esseiπ : A A/adiekanonischeAbbildung.Istb A/aeinIdeal,soist
→ ⊂
π−1(b) AeinIdeal.NachVoraussetzungistπ−1(b)endlicherzeugt,alsoπ−1(b) =
⊂
(a ,...,a ) für geeignete a ,...,a A. Man rechnet leicht nach, dass dann b =
1 m 1 m
∈
π(a ),...,π(a ) gilt.Alsoistbendlicherzeugt. (cid:3)
1 m
(cid:0) (cid:1)
Definition2.6 Sei A ein Ring. Ein A Modul M ist eine Menge mit einer Verknüp-
−
fung+undeinerAbbildung(skalareMultiplikation)
A M M,
× →
(a,m) am
7→
sodassfolgendeBedingungengelten:
i) (M,+)isteineabelscheGruppe.
ii) a(x+y)=ax+ayfüra A,x,y M
∈ ∈
Seite7
iii) (a+b)x=ax+bxfüra,b A,x M
∈ ∈
iv) (ab)x=a(bx)füra,b A,x M
∈ ∈
v) 1x=xfürx M.
∈
Beispiele:
i) JedesIdeala AisteinA Modul.InsbesondereistAselbsteinA Modul.
⊂ − −
ii) IstA=keinKörper,sosinddieA Modulngenaudiek Vektorräume.
− −
iii) Die Z Moduln sind genau die abelschen Gruppen, wobei wir auf einer abel-
−
schenGruppedieskalareMultiplikationmitZsodefinieren:
a+...+a , fallsm>0

m−mal
ma= | {0z } ,fallsm=0
a ... a , fallsm<0
− − −
 | (−m{)z−mal }
EineAbbildungf :M N zwischenzweiA ModulnheißtHomomorphismusvon
→ −
A Moduln,falls
−
f(x+y)=f(x)+f(y)und
f(ax)=af(x)
fürallea A, x,y M gilt.
∈ ∈
EineTeilmengeN M heißtUntermodul,fallsN eineUntergruppevonM ist,die
⊂
abgeschlossenunterderA Multiplikationist.
−
Beispiel:Istf : M N einHomomorphismus,soistKernf = x M : f(x) = 0
→ { ∈ }
einUntermodulvonM undBildf = y N :esgibteinx M mitf(x) = y ein
{ ∈ ∈ }
UntermodulvonN.
Ist N M ein Untermodul, so existiert die Faktorgruppe M/N. Auf dieser können
⊂
wirdurch
A M/N M/N
× →
(a,x+N) ax+N
7→
Seite8