Table Of ContentEinf(cid:252)hrung in die Algebra
(+ Erg(cid:228)nzungen)
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(cid:47) (cid:47)
Peter M(cid:252)ller
13. Juli 2016
Algebra is the o(cid:27)er made by the devil to the mathematician. The devil says:
(cid:16)I will give you this powerful machine, it will answer any question you like.
All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have
this marvellous machine.(cid:17)
Sir Michael Atiyah1
Inhaltsverzeichnis
1 Einf(cid:252)hrung 4
2 Etwas Zahlentheorie 5
3 Gruppen 7
3.1 De(cid:28)nitionen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Untergruppen und zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Symmetrische und alternierende Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 Abz(cid:228)hlungen von F(cid:228)rbungen (cid:22) der Satz von Red(cid:28)eld(cid:21)P(cid:243)lya . . . . . . . 30
3.9 Die S(cid:228)tze von Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.10 Produkte von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.1 Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1Bull. London Math. Soc. 34 (2002) 1(cid:21)15
1
3.10.2 Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.11 Endlich erzeugte abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.12 Au(cid:29)(cid:246)sbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Ringe 45
4.1 De(cid:28)nitionen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Homomorphismen, Ideale und Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Maximale Ideale und Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Euklidische Ringe und Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Quotientenk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.10 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.11 Primitive Polynome, Lemma von Gau(cid:255) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.12 Das Irreduzibilit(cid:228)tskriterium von Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 K(cid:246)rper 62
5.1 K(cid:246)rpererweiterungen, K(cid:246)rpergrade und Homomorphismen . . . . . . . . 62
5.2 Algebraische und transzendente Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1 W(cid:252)rfelverdoppelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.2 Winkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.3 Regul(cid:228)re n(cid:21)Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.4 Quadratur des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.5 Konstruierbare Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Kreisteilungspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5 Algebraische K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.1 Fortsetzung von Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2 Zerf(cid:228)llungsk(cid:246)rper und normale Erweiterungen . . . . . . . . . . . 72
5.5.3 Separabilit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.1 Automorphismen endlicher K(cid:246)rpererweiterungen . . . . . . . . . . 77
5.6.2 Ein Lemma der Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.3 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.4 Beispiele f(cid:252)r Galoisgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6.5 Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit durch Radikale, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7 Endliche K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Erg(cid:228)nzungen zur Gruppentheorie 89
6.1 Zwei weitere Beweise f(cid:252)r Existenz der Sylowgruppen . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 2. Beweis von Satz 3.74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 3. Beweis von Satz 3.74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2
6.2 Der Satz von Jordan-H(cid:246)lder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Gruppen kleiner Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3.1 Automorphismen zyklischer Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 |G| = pq, p < q Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.3 |G| = 1001 = 7·11·13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.4 |G| = pqr, p < q < r Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.5 |G| = paqb, p < q Primzahlen, 0 ≤ a,b ≤ 2. . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.6 |G| = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.7 Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit von G f(cid:252)r |G| < 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Erg(cid:228)nzungen zur Ringtheorie 97
7.1 Existenz maximaler Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Anwendungen der Kongruenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Einheitengruppe von Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.4 Kryptographie und Restklassenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5 Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.6 Diskriminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.7 Chinesischer Restsatz etwas allgemeiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.8 Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.9 Polynome (cid:252)ber faktoriellen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Erg(cid:228)nzungen zur K(cid:246)rpertheorie 111
8.1 Lineare Unabh(cid:228)ngigkeit von Charakteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Zyklische Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Au(cid:29)(cid:246)sbarkeit durch Radikale, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Zirkel- und Linealkonstruktion regul(cid:228)rer n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . 114
8.5 Algebraischer Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.6 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.6.1 1. Beweis (direkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.6.2 2. Beweis (Funktionentheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6.3 3. Beweis (Topologie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6.4 4. Beweis (Galoistheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.7 Mehr zur Separabilit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.8 Spuren und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.9 Polynome vom Grad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.10 Kreisteilungspolynome (cid:252)ber endlichen K(cid:246)rpern . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.11 Primzahlen in mN+1 und abelsche Galoisgruppen (cid:252)ber Q . . . . . . . . 121
8.12 Zykeltypen in Galoisgruppen (cid:21) ein Satz von Dedekind . . . . . . . . . . . 122
8.13 Eine unpraktische Methode zur Berechnung von Galoisgruppen . . . . . . 125
8.14 Der Hilbertsche Irreduzibilit(cid:228)tssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.14.1 Hilbertsche K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.14.2 Ein Reduktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.14.3 Galoisgruppen und hilbertsche K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.14.4 Simultane Spezialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3
8.14.5 Konvergente Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.14.6 Ein Lemma (cid:252)ber Lagrange(cid:21)Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.14.7 S(cid:228)tze von D(cid:246)rge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.14.8 Beweis des Hilbertschen Irreduzibilit(cid:228)tssatzes . . . . . . . . . . . 140
8.14.9 Kronecker(cid:21)Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.14.10Erweiterungen Hilbertscher K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.14.11Anwendungen hilbertscher K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.14.12Eine Methode von Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.15 Schiefk(cid:246)rper und der Satz von Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9 Verschiedenes 148
9.1 Das Lemma von Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2 Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.3 Transzendenz von e und π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.4 Elementare Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.4.1 Holomorphe und meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.2 Di(cid:27)erentialk(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.3 Die S(cid:228)tze von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1 Einf(cid:252)hrung
Die Algebra hat ihre Wurzeln in der Geometrie und Zahlentheorie.
Klassische Beispiele
• Kann man mit Zirkel und Lineal beliebige Winkel dritteln, oder W(cid:252)rfel verdop-
peln?
• Kann man die Nullstellen von Polynomen stets durch Wurzeln und die vier Grund-
rechenarten ausdr(cid:252)cken?
• Kann man f(cid:252)r Funktionen wie e−x2 explizite Stammfunktionen angeben?
• Wie(cid:28)ndetmanrationaleoderganzzahligeL(cid:246)sungenvonSystemenvonPolynomen
in mehreren Ver(cid:228)nderlichen, z.B. (f(cid:252)r festes n ∈ N) Xn+Yn = Zn mit X,Y,Z ∈ Z
(Fermat-Problem)?
Moderne Beispiele
• Wie (cid:252)bertr(cid:228)gt man digitale Daten, bei deren (cid:220)bertragung Fehler auftreten k(cid:246)n-
nen, durch Einbau von m(cid:246)glichst wenig Redundanz, aber mit m(cid:246)glichst guter
Fehlererkennungs- und -korrekturm(cid:246)glichkeit? Dies f(cid:252)hrt zur Kodierungstheorie.
4
• Wie (cid:252)bertr(cid:228)gt man verschl(cid:252)sselte Daten (cid:246)(cid:27)entlich, so dass nur der vorgesehene
Empf(cid:228)nger sie entschl(cid:252)sseln kann? Das geht sogar, ohne dass Sender und Emp-
f(cid:228)nger vorher geheime Schl(cid:252)ssel austauschen m(cid:252)ssen, selbst die d(cid:252)rfen (cid:246)(cid:27)entlich
mitgeteilt werden (public key cryptography)! Dies f(cid:252)hrt zur Kryptographie.
In der Algebra haben sich wichtige Begri(cid:27)e herauskristallisiert, n(cid:228)mlich Gruppen, Ringe
und K(cid:246)rper. Diesen Begri(cid:27)en ist die Einf(cid:252)hrung in die Algebra gewidmet. Ein weiteres
wichtiges Gebiet ist die Galoistheorie, eine reizvolle Kombination aus Gruppen- und
K(cid:246)rpertheorie.
2 Etwas Zahlentheorie
In diesem Abschnitt erinnern wir an einige einfache Aussagen der Zahlentheorie, die
ho(cid:27)entlich aus dem Vorkurs und/oder den Anf(cid:228)ngervorlesungen bekannt sind.
Es gibt keine einheitliche Au(cid:27)assung dar(cid:252)ber, ob 0 eine nat(cid:252)rliche Zahl ist. Im gesam-
ten Skript wird 0 nicht als nat(cid:252)rliche Zahl betrachtet. Entsprechend schreiben wir N =
{1,2,3,...}. Man beachte aber, dass z.B. in der franz(cid:246)sischen Literatur (oder auch nach
der DIN-Norm 5473) 0 eine nat(cid:252)rliche Zahl ist. F(cid:252)r die Menge {0,1,2,...} = N∪{0}
N
schreiben wir .
0
Sind a,b ∈ Z ganze Zahlen, und 0 (cid:54)= n ∈ Z, dann schreibt man a ≡ b (mod n), falls
n ein Teiler von a−b ist. Statt a ≡ 0 (mod n) schreibt man auch n | a, und n (cid:45) a, falls
n kein Teiler von a ist.
Unter Division mit Rest verstehen wir die folgende einfache Aussage: Sind a,n ∈ Z
und n (cid:54)= 0, dann gibt es c,r ∈ Z mit a = cn+r und 0 ≤ r ≤ |n|−1. Dabei sind c und
r eindeutig.
Der gr(cid:246)(cid:255)te gemeinsame Teiler ggT(a,b) von a,b ∈ Z, a (cid:54)= 0 oder b (cid:54)= 0, ist die gr(cid:246)(cid:255)te
nat(cid:252)rliche Zahl n mit n | a und n | b. Man nennt a und b teilerfremd, falls ggT(a,b) = 1.
Eine sehr wichtige Aussage ist
Satz 2.1 (Lemma von BØzout). Seien a,b ∈ Z nicht beide 0, und d = ggT(a,b) der
gr(cid:246)(cid:255)te gemeinsame Teiler von a und b. Dann gibt es u,v ∈ Z mit ua+vb = d.
Sind insbesondere a,b teilerfremd, dann gibt es u,v ∈ Z mit ua+vb = 1.
Beweis. Da a und b teilerfremd sind, folgt der erste Teil des Satzes aus dem zweiten
d d
Teil. Wir k(cid:246)nnen also annehmen, dass a und b teilerfremd sind.
Wir zeigen die folgende Behauptung durch vollst(cid:228)ndige Induktion (cid:252)ber n ∈ N: Sind
a,b ∈ Z teilerfremd und |a|+|b| ≤ n, dann gibt es u,v ∈ Z mit ua+vb = 1.
Induktionsanfang: F(cid:252)r n = 1 folgt |a|+|b| ≤ 1, also a = ±1 und b = 0, oder a = 0
und b = ±1. In diesen F(cid:228)llen ist die Aussage klar. (Etwa a·a+b·b = 1.)
Schluss von n auf n+1: Sei |a|+|b| ≤ n+1. Indem man eventuell a durch −a und b
durch −b ersetzt, d(cid:252)rfen wir a,b ≥ 0 annehmen. Da die Aussage symmetrisch in a und
b ist, d(cid:252)rfen wir weiter a ≥ b annehmen.
Falls b = 0, dann gilt 1 = ggT(a,b) = ggT(a,0) = a, und daher a = 1. Dieser Fall ist
bereits erledigt.
5
Sei also b > 0. Wegen a = (a−b)+b sind a−b und b teilerfremd. Ferner gilt
|a−b|+|b| = a−b+b = a ≤ a+(b−1) = |a|+|b|−1 ≤ (n+1)−1 = n.
Nach Induktionsannahme gibt es daher u,v ∈ Z mit 1 = u(a−b)+vb = ua+(v −u)b,
und die Behauptung folgt.
Eine einfache Folge ist
Lemma 2.2. Seien r,s ∈ Z\{0} teilerfremd, und m ∈ Z.
(a) Aus r | sm folgt r|m.
(b) Aus r | m und s | m folgt rs | m.
Beweis. Sei ur + vs = 1 mit u,v ∈ Z. Dann sind beide Summanden der rechten Seite
von m = urm+vsm durch r teilbar, und wir erhalten (a).
Zu (b). Schreibe m = rr(cid:48) und m = ss(cid:48) mit r(cid:48),s(cid:48) ∈ Z. Dann gilt
m = urm+vsm = urss(cid:48) +vsrr(cid:48) = rs(us(cid:48) +vr(cid:48)),
und die Behauptung folgt.
Die Primzahlen sind die nat(cid:252)rlichen Zahlen p ≥ 2, die au(cid:255)er ±1 und ±p keine Teiler
haben.Dasistgleichbedeutenddamit,dassmanpnichtalsProduktkleinerernat(cid:252)rlicher
Zahlen schreiben kann.
Zur (nicht nur mathematischen) Allgemeinbildung z(cid:228)hlt
Satz 2.3 (Euklid, etwa 300 v. Chr.). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Wir zeigen, dass es f(cid:252)r alle n ∈ N eine Primzahl p > n gibt. Sei p der kleinste
Teiler > 1 von n!+1 = 1·2·3···n+1. Dann ist p eine Primzahl, denn jeder echte Teiler
von p w(cid:228)re ja auch ein Teiler von n!+1, im Widerspruch zur minimalen Wahl von p.
W(cid:228)re p ≤ n, dann w(cid:228)re p einer der Faktoren in n!, d.h. p w(cid:228)re ein Teiler von (n! +
1)−n! = 1, ein Widerspruch. Daher gilt p > n.
Eine wichtige und nicht unmittelbar aus der De(cid:28)nition folgende Eigenschaft der Prim-
zahlen ist
Satz 2.4 (Euklid). Sei p eine Primzahl. Aus p | ab f(cid:252)r a,b ∈ Z folgt p | a oder p | b.
Beweis. Sei p (cid:45) a. Dann sind p und a teilerfremd, und es gilt up+va = 1 mit u,v ∈ Z.
Hieraus folgt b = ubp+vab, und wir sehen, dass p auch die linke Seite teilt.
Mit dem vorigen Satz und vollst(cid:228)ndiger Induktion beweist man
Satz 2.5 (Eindeutige Primfaktorzerlegung). Jede nat(cid:252)rliche Zahlen n ≥ 2 hat eine bis
auf Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen.
6
3 Gruppen
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two
operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This de(cid:28)nition
provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs
of operations? (cid:16)Oh, curse this maths(cid:17) concludes the student (who, possibly,
becomes the Minister for Science in the future).
Vladimir I. Arnold2
3.1 De(cid:28)nitionen, Beispiele
Eine zweistellige Verkn(cid:252)pfung auf einer Menge M ordnet je zwei Elementen a,b ∈ M
ein Element a·b ∈ M zu. Einer der einfachsten und zugleich grundlegendsten Begri(cid:27)e
der Mathematik ist der einer Gruppe:
De(cid:28)nition 3.1. Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer zweistelligen Verkn(cid:252)pfung und
einem Element e mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Es gilt (a·b)·c = a·(b·c) f(cid:252)r alle a,b,c ∈ G. (Assoziativit(cid:228)t)
(b) a·e = a f(cid:252)r alle a ∈ G. (e ist ein neutrales Elements)
(c) Zu jedem a ∈ G gibt es ein Element b ∈ G mit a · b = e. (Existenz des inversen
Elements)
Die ersten zwei Beispiele sind aus der Schule bekannt die anderen beiden aus der
Linearen Algebra.
Beispiel 3.2. (a) Die ganzen Zahlen Z bilden mit der Addition eine Gruppe, wobei
man nat(cid:252)rlich a+b statt a·b und 0 statt e schreibt.
(b) Die positiven rationalen Zahlen G = {x ∈ Q | x > 0} bilden bez(cid:252)glich der
Multiplikation eine Gruppe.
(c) GL (K) = {A ∈ M (K) | detA (cid:54)= 0}, K K(cid:246)rper.
n n
(d) SL (Z) = {A ∈ M (Z) | detA = 1}.
n n
Eine sehr wichtige Familie von Beispielen sind die symmetrischen Gruppen:
Satz 3.3 (Symmetrische Gruppe). Sei Ω eine nicht leere Menge, und G die Menge
aller bijektiven Abbildungen von Ω nach Ω. F(cid:252)r f,g ∈ G sei f · g ∈ G de(cid:28)niert durch
(f ·g)(ω) = f(g(ω)) f(cid:252)r alle ω ∈ Ω. Dann ist G mit diesem Produkt · eine Gruppe.
2Russian Math. Surveys 53:1, 229(cid:21)236
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Beweis. Wir (cid:252)berpr(cid:252)fen die drei geforderten Eigenschaften (a), (b) und (c):
(a) Seien f,g,h ∈ G. F(cid:252)r alle ω ∈ Ω gilt
((f ·g)·h)(ω) = (f ·g)(h(ω)) = f(g(h(ω))) = f((g ·h)(ω)) = (f ·(g ·h))(ω),
und daher (f ·g)·h = f ·(g ·h).
(b) Sei e die identische Abbildung, also e(ω) = ω f(cid:252)r alle ω ∈ Ω. Dann gilt nat(cid:252)rlich
f ·e = f f(cid:252)r alle f ∈ G.
(c) Sei f ∈ G. Da f bijektiv ist, hat f eine Umkehrabbildung g, es gilt also g(f(ω(cid:48))) =
ω(cid:48) f(cid:252)r alle ω(cid:48) ∈ Ω. Mit ω(cid:48) = g(ω) f(cid:252)r ω ∈ Ω folgt g(f(g(ω))) = g(ω), und dann
f(g(ω)) = ω wegen der Injektivit(cid:228)t von g. Es gilt also f ·g = e.
In dem speziellen Fall Ω = {1,2,...,n} mit n ∈ N werden wir sp(cid:228)ter die Gruppe G
genauer studieren.
In obigem Beispiel der symmetrischen Gruppe gilt e·f = f f(cid:252)r alle f ∈ G, und aus
f · g = e folgt auch g · f = e. Auch stellt man schnell fest, dass in diesem Beispiel
genau ein neutrales Element existiert, und zu f ∈ G genau ein Element g ∈ G mit
f ·g = e existiert. Der folgende Satz zeigt, dass das keine Besonderheit dieses Beispiels
ist, sondern f(cid:252)r alle Gruppen gilt:
Satz 3.4. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Dann gilt:
(a) e·a = a f(cid:252)r alle a ∈ G.
(b) Aus a·b = e folgt b·a = e.
(c) Aus a·x = b·x folgt a = b. (K(cid:252)rzungsregel)
(d) Aus x·a = x·b folgt a = b. (K(cid:252)rzungsregel)
Beweis. Wir beweisen zun(cid:228)chst (b). Man mache sich in jedem Schritt klar, welches
Gruppenaxiom wir benutzt haben. Es sei also a·b = e. W(cid:228)hle c ∈ G mit b·c = e. Dann
gilt
b·a = (b·a)·e
= b·(a·e)
= b·(a·(b·c))
= b·((a·b)·c)
= b·(e·c)
= (b·e)·c
= b·c
= e
Unter Benutzung von (b) beweisen wir nun (a): Sei b ∈ G mit a·b = b·a = e. Dann gilt
e·a = (a·b)·a = a·(b·a) = a·e = a.
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Zum Beweis von (c) w(cid:228)hle y ∈ G mit x·y = e. Dann gilt
a = a·e = a·(x·y) = (a·x)·y = (b·x)·y = b·(x·y) = b·e = b.
Der Beweis von (d) geht analog.
Aus den K(cid:252)rzungsregeln folgt insbesondere, dass eine Gruppe nur ein neutrales Ele-
ment hat, und es zu jedem Element nur ein inverses Element gibt. Das inverse Element
zu a bezeichnet man mit a−1. Es gilt also a·a−1 = a−1 ·a = e.
Die K(cid:252)rzungsregel wird auch oft in der Form angewendet, dass aus ax = x schon
a = e folgt (wegen ax = x = ex).
Aus dem Assoziativgesetz folgt zun(cid:228)chst, dass man in Produkten mit drei Faktoren
a · b · c keine Klammern ben(cid:246)tigt. Durch vollst(cid:228)ndige Induktion (cid:252)ber die Anzahl der
Faktoren kann man zeigen, dass das auch f(cid:252)r Produkte beliebiger (endlicher) L(cid:228)nge gilt.
((cid:220)bung?!)
Ist a ein Gruppenelement, und n ∈ N, dann bezeichnet an das n-fache Produkt a ·
a···a. Ferner setzt man a0 = e und a−n = (a−1)n. Mit diesen Vereinbarungen gilt
((cid:220)bung?!) ar+s = aras f(cid:252)r alle r,s ∈ Z.
Aus den bisher gewonnenen Erkenntnissen folgen einige weitere Eigenschaften, die wir
ohne weiteren Kommentar verwenden werden: F(cid:252)r a,b ∈ G gilt (ab)(b−1a−1) = e, also
(ab)−1 = b−1a−1. Ferner folgt (a−1)−1 = a aus e = aa−1 = a−1a.
Aufgabe. Sei M eine Menge mit einer zweistelligen Verkn(cid:252)pfung ◦ und einem Element
e mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Es gilt (a◦b)◦c = a◦(b◦c) f(cid:252)r alle a,b,c ∈ M.
(b) a◦e = a f(cid:252)r alle a ∈ M.
(c) Zu jedem a ∈ M gibt es ein Element b ∈ M mit b◦a = e.
Man zeige, dass eine solche Menge bez(cid:252)glich der Verkn(cid:252)pfung ◦ keine Gruppe sein muss.
(Hinweis: De(cid:28)niere a◦b := a)
De(cid:28)nition 3.5. Eine Gruppe G hei(cid:255)t abelsch3 oder auch kommutativ, wenn a·b = b·a
f(cid:252)r alle a,b ∈ G gilt.
In abstrakten abelschen Gruppen wird die Verkn(cid:252)pfung h(cid:228)u(cid:28)g mit + statt · bezeich-
net, und das neutrale Element e mit 0. Ferner schreibt man −a statt a−1.
Bei Gruppen in multiplikativer Notation schreibt man meist ab statt a·b.
Aus den bisherigen Erkenntnissen (cid:252)ber Gruppen erh(cid:228)lt man folgende Aussage:
Satz 3.6. Sei G eine Gruppe, und a,b ∈ G. Dann haben die Gleichungen ax = b und
ya = b jeweils eine eindeutige L(cid:246)sung x ∈ G bzw. y ∈ G.
Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus der K(cid:252)rzungsregel. Die Existenz ist auch klar, denn
f(cid:252)r x = a−1b gilt ax = aa−1b = b, und analog ya = b mit y = ba−1.
Man beachte, dass im Allgemeinen x (cid:54)= y gilt!
3Benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802(cid:21)1829).
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3.2 Untergruppen und zyklische Gruppen
De(cid:28)nition 3.7. Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G hei(cid:255)t Untergruppe von
G, wenn aus a,b ∈ U schon a·b ∈ U und a−1 ∈ U folgt. (In diesem Fall ist (U,·) eine
Gruppe.) Man schreibt U ≤ G.
Esfolgtsehreinfach,dassUntergruppenvonUntergruppenwiederUntergruppensind.
Auch Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen. (Was ist mit Vereinigun-
gen?)
Beispiele
• G = Z, U = 2Z = {2m | m ∈ Z}
• G = S , U = {g ∈ G | g(5) = 5} = S
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• G = GL (K), U = SL (K)
n n
De(cid:28)nition 3.8. Sei M ⊆ G eine Teilmenge der Gruppe G. Die von M erzeugte Un-
tergruppe <M> ist die bez(cid:252)glich Inklusion kleinste M enthaltende Untergruppe von G.
(Somit ist <M> der Schnitt aller Untergruppen von G, welche M enthalten.)
Ist M = {m ,m ,...,m }, dann schreibt man normalerweise <m ,m ,...,m > statt
1 2 k 1 2 k
<M> = <{m ,m ,...,m }>.
1 2 k
Unsere De(cid:28)nition des Erzeugnisses ist meistens nur f(cid:252)r Beweise n(cid:252)tzlich. Ist G eine
gro(cid:255)e Gruppe, und M ⊆ G, dann will man nat(cid:252)rlich nicht <M> dadurch bestimmen,
dass man alle Untergruppen von G aufz(cid:228)hlt und dann den Schnitt all derer bildet, die
M enthalten. Vielmehr f(cid:252)hrt folgende (cid:228)quivalente Beschreibung normalerweise schneller
zum Ziel.
Satz 3.9. Sei M ⊆ G eine nicht leere Teilmenge der Gruppe G, und U die Menge aller
Produkte der Form m m ···m mit m ∈ M oder m ∈ M−1 = {m−1 | m ∈ M}. Dann
1 2 r i i
ist U eine Gruppe, und es gilt U = <M>.
Beweis. JedeM enthaltendeUntergruppevonGenth(cid:228)ltdieangegebenProduktem m ···m ,
1 2 r
daher gilt U ⊆ <M>.
AndererseitsistU unterMultiplikationundwegen(m m ···m )−1 = m−1···m−1m−1
1 2 r r 2 1
auch unter Inversenbildung abgeschlossen, also eine Untergruppe von G, die M enth(cid:228)lt.
Es gilt also auch <M> ⊆ U, und daher U = <M>.
Bemerkung. Ein besonders einfacher Fall ist M = {m}. Dann gilt <M> = {mi |
i ∈ Z}. Das Erzeugnis von zwei Elementen hingegen kann in nicht abelschen Gruppen
beliebig kompliziert werden.
Wichtige Beispiele von (Unter)gruppen sind solche, die von einem Element erzeugt
werden.
De(cid:28)nition 3.10. Eine zyklische Gruppe ist eine von einem Element erzeugte Gruppe.
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