Einführung in Algebra und Zahlentheorie

286 Pages·2008·2.75 MB·German

by  Prof. Dr. Rainer Schulze-Pillot (auth.)

Springer-Lehrbuch
Rainer Schulze-Pillot
Einführung in Algebra
und Zahlentheorie
Zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage
123
Prof.Dr.RainerSchulze-Pillot
FR6.1Mathematik
UniversitätdesSaarlandes
Postfach151150
66041Saarbrücken
[email protected]
Die erste Auflage dieses Buches erschien 2007 in der Reihe Springer-Lehrbuch unter dem Titel
ElementareAlgebraundZahlentheorie,ISBN978-3-540-45379-6,Springer-VerlagBerlinHeidelberg
ISBN 978-3-540-79569-8 e-ISBN 978-3-540-79570-4
DOI 10.1007/978-3-540-79570-4
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek
DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2000):11-01,12-01,13-01,20-01
©2008,2007Springer-VerlagBerlinHeidelberg
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der
Übersetzung, desNachdrucks, desVortrags,derEntnahmevonAbbildungen undTabellen, derFunk-
sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in
Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Ver-
vielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzender
gesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom9.Septem-
ber1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig.Zuwider-
handlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auchohnebesondere Kennzeichnung nichtzuderAnnahme, dasssolche NamenimSinne
derWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebung alsfreizubetrachtenwärenunddahervonjeder-
mannbenutztwerdendürften.
Satz:DatenerstellungdurchdenAutorunterVerwendungeinesSpringerTEX-Makropakets
Herstellung:le-texpublishingservicesoHG,Leipzig
Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg
GedrucktaufsäurefreiemPapier
987654321
springer.de
Vorwort
Vorwort zur zweiten Auflage
In dieser zweiten Auflage habe ich auf Anraten einiger Leser und des Ver-
lages den Titel des Buches von Elementare Algebra und Zahlentheorie“ in
”
Einfu¨hrunginAlgebraundZahlentheorie“ ge¨andert,umVerwechslungenmit
”
Textenfu¨rdenBereich Elementarmathematikvomh¨oherenStandpunkt“ von
”
Lehramtsstudieng¨angen auszuschließen - im Sinne dieser Terminologie von
Studieng¨angen geh¨ort der Inhalt des Buches trotz seiner Beschr¨ankung auf
die elementareren Teile der Algebra und der Zahlentheorie in den Studien-
bereich H¨ohere Mathematik“. Ferner habe ich eine Reihe Druckfehler und
”
sonstigeFehlerkorrigiertsowieeine ReiheweitererkleinererA¨nderungenvor-
genommen; ich danke S. Ku¨hnlein, Karlsruhe, der mich auf die meisten der
Fehler aufmerksam gemacht hat.
Schließlichhabeich,ebenfallsaufAnregungeinigerLeser,zweiweitereerg¨an-
zende Abschnitte hinzugefu¨gt. In Kapitel 12 wird der Hauptsatz der Galois-
theorie formuliert und bewiesen sowie zum Beweis des hinreichenden Krite-
riums fu¨r Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal des regelm¨aßigen n-Ecks
benutzt. In dem anderen neu hinzugekommenen erg¨anzenden Abschnitt 10.4
wird die algebraische Theorie der zyklischen fehlerkorrigierenden Codes vor-
gestellt, ohne aber auf die informationstheoretischen Grundlagen der Codie-
rungstheorie einzugehen.
Wie auch die anderen erg¨anzenden Abschnitte des Buchs werden beide Ab-
schnitte in der Regel nicht in den Rahmen einer einsemestrigen Vorlesung
u¨ber Algebra und Zahlentheorie passen und sind zum Verst¨andnis der ande-
ren Teile des Buchs nicht notwendig; sie sollen interessierten LeserInnen zur
AbrundungdesStoffesundalsersterEinblickinfortgeschritteneThemenund
in Anwendungen dienen.
Wie bisher bitte ichLeserInnen,die noch verbliebeneFehler finden, mir diese
[email protected],damitichdieKorrekturenaufmei-
VI Vorwort
nerhomepageunterwww.math.uni-sb.de/ag/schulze/eazbuch.htmlimIn-
ternet zug¨anglichmachen kann. Dort sind auch die mir bekannten Fehler der
ersten Auflage mit Korrekturenaufgelistet.
Saarbru¨cken,Mai 2008 Rainer Schulze-Pillot
Vorwort zur ersten Auflage
Dieses Buch ist aus dem Versuch entstanden, die Ausbildung der Studieren-
den in Algebra und Zahlentheorie an der Universit¨at des Saarlandes in Saar-
bru¨ckenandiedurchdieEinfu¨hrungderBachelor-undMasterabschlu¨sseund
die anstehendeReformdesLehramtsstudiumsver¨andertenRandbedingungen
anzupassen.
Da algebraische und diskrete Strukturen ebenso wie einige grundlegende Er-
gebnisse und Methoden der Zahlentheorie in zunehmendem Umfang auch fu¨r
Anwender relevant werden, erschien es sinnvoll, eine einsemestrige Vorlesung
u¨ber Algebra und Zahlentheorie anzubieten, die auf einer Grundvorlesung
u¨ber lineare Algebra aufbaut und sich unabh¨angig von der beabsichtigten
Schwerpunktbildung fu¨r alle Studierenden eignet.
Eine erste Testversion dieser Vorlesung habe ich im Sommersemester 2005
gehalten. Auf dem Skript zu dieser Vorlesung basiert dieses Buch, das sich
vorallemanStudierende der Mathematik abdemdritten oder ggf.auchdem
zweitenSemesterinBachelor-oderLehramts-Studieng¨angenanUniversit¨aten
wendet.
Ebensowie die Vorlesungkombiniertes Teile des Stoffes,der u¨blicherweisein
einerVorlesungu¨berelementareZahlentheoriebehandeltwird,mitTeilendes
Stoffes einer klassischen Algebra-Vorlesung.
Mit der Beschr¨ankung auf die elementareren Teile des Gebiets und einer re-
lativ ausfu¨hrlichen Darstellung will das Buch eine breite Leserschaft anspre-
chen.Ichm¨ochteaber nichtdas Versprecheneiner sanften“ Einfu¨hrung oder
”
eines leichtverdaulichenanschaulichenund abstraktionsfreien Mathe-light“-
”
Kurses abgeben – wer eine Scheu vor abstrakten Konzepten hat, wird in der
Regel ohnehin nicht Mathematik studieren und mit Sicherheit die Algebra
meiden.
DasBuchenth¨altausderZahlentheorieeinigeGrundlagenderPrimzahltheo-
rie, den euklidischen Algorithmus, die Theorie der linearen diophantischen
Gleichungen sowie des gr¨oßten gemeinsamen Teilers und des kleinsten ge-
meinsamen Vielfachen, die Theorie der Kongruenzen mit dem chinesischen
Restsatz,die Theorieder primenRestklassengruppeund derPotenzresteund
das quadratische Reziprozit¨atsgesetz.
Aus derAlgebrabehandelnwirdie Grundtatsachenu¨berGruppenundRinge
einschließlichderOperationenvonGruppenaufMengenundderBehandlung
Vorwort VII
von Idealen und Restklassenringen, die Theorie der (endlich erzeugten) abel-
schenGruppenundihrerCharakteresowiedieGrundlagenderK¨orpertheorie
unter besonderer Betonung der endlichen K¨orper.
W¨ahrend in den Teilen des Stoffes, die aus der elementaren Zahlentheorie
stammen,die zuGrundeliegendenabstraktenalgebraischenKonzeptebetont
werden,werdendieTeile,dieausderAlgebrastammen,engandieBehandlung
(meist zahlentheoretischer) Beispiele angebunden.
DieBehandlungvonAnwendungenergibtsichdabeiinnatu¨rlicherWeise;wir
behandeln etwa das RSA-Verschlu¨sselungsverfahren, Primzahltests, Zahldar-
stellungen und modulares Rechnen im Computer sowie die diskrete Fourier-
Transformation.
Wichtige Teile der klassischenAlgebra-Vorlesungfallen bei dieser Vorgehens-
weise notwendigerweise unter den Tisch: Die Galoistheorie erscheint nur in
ihrereinfachstenFormalsGaloistheoriederendlichenK¨orper,dieTheorieals
solcheundihreAnwendungenfu¨rdieAufl¨osungvonGleichungendurchRadi-
kale bleibenebenso einerweiterfu¨hrendenAlgebra-Vorlesungvorbehaltenwie
dieAusarbeitungderGruppentheorie(Aufl¨osbarkeit,SatzvonJordan-H¨older,
freie Gruppen).
Die algebraischeBehandlung der Konstruktionenmit Zirkel und Lineal fu¨hrt
nur bis zum notwendigen Kriterium, das immerhin erlaubt, die bekannten
S¨atze u¨ber Nicht-Konstruierbarkeitzu beweisen. Den Begriffdes Zerf¨allungs-
k¨orpers eines Polynoms und den Beweis seiner Eindeutigkeit behandeln wir
in Abschnitt 9.4, haben aber die Theorie der endlichen K¨orper ohne deren
Benutzungaufgebaut,sodassmandiesenAbschnittu¨berspringenkann,wenn
man m¨oglichst rasch zu den endlichen K¨orpern kommen will.
Auf einige fu¨r das weitere Verst¨andnis nicht notwendige Themen wird in
erg¨anzendenBemerkungenoderinAbschnitteneingegangen,dieinderU¨ber-
schrift als Erg¨anzung gekennzeichnet sind. Bei einer einsemestrigen an dem
Buch orientiertenVorlesung wird manauf die Behandlung der meisten dieser
Erg¨anzungen in der Vorlesung verzichten mu¨ssen, ihre Lektu¨re will ich aber
interessiertenStudierenden,die einwenigu¨ber das Grundwissenhinausgehen
wollen, ausdru¨cklich ans Herz legen.
DieU¨bungsaufgabenhabeichmeinerimLaufederJahreentstandenenSamm-
lung entnommen. Viele von ihnen stammen aus anderen Lehrbu¨chern, ohne
dassichdieurspru¨nglichenQuellennochzuru¨ckverfolgenkann;dieKollegen,
dieihreAufgabenhierwiederfinden,bitteichumVerst¨andnisfu¨rdiefehlende
Quellenangabe.
Abschließend m¨ochte ich Christine Wilk-Pitz sowie Michael Bergau, Matt-
hias Horbach und Alexander Rurainski danken, die Teile des Manuskripts
als Skript zu der eingangs erw¨ahnten Vorlesung bzw. zu fru¨heren Vorlesun-
gen in LATEX geschrieben haben. Ferner danke ich Ute Staemmler, Markus
VIII Vorwort
Zacharski und den H¨orerInnen meiner Vorlesung fu¨r etliche Fehlerkorrektu-
ren. LeserInnen, die noch verbliebene Fehler finden, bitte ich, mir diese an
[email protected],damitichdie Korrekturenaufmeiner
homepage unter www.math.uni-sb.de/ag/schulze/eazbuch.htmlim Inter-
net zug¨anglich machen kann.
Saarbru¨cken,November 2006 Rainer Schulze-Pillot
Inhaltsverzeichnis
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen ............... 1
0.1 A¨quivalenzklassen, Gruppen, Ringe ........................ 1
0.2 Polynomring............................................ 5
0.3 Erg¨anzung:Formale Potenzreihen ......................... 13
U¨bungen.................................................... 14
1 Natu¨rliche und ganze Zahlen .............................. 15
1.1 Axiomatik bzw. Konstruktion............................. 15
1.2 Zahldarstellungen ....................................... 19
U¨bungen.................................................... 22
2 Teilbarkeit und Primzahlen................................ 23
2.1 Teilbarkeit in Integrit¨atsbereichen ......................... 23
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik .......................... 29
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge ......................... 32
2.4 Erg¨anzung:Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion ..... 33
2.5 Sieb des Eratosthenes .................................... 34
U¨bungen.................................................... 36
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und
diophantische Gleichungen................................. 39
3.1 Gr¨oßter gemeinsamer Teiler............................... 39
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung ........................... 43
3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe ............. 45
3.4 Lineare diophantische Gleichungen......................... 49
3.5 Erg¨anzung:Multiplikative Funktionen...................... 51
U¨bungen.................................................... 54
4 Kongruenzen und Ideale................................... 57
4.1 Kongruenzen............................................ 57
4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz ..................... 63
X Inhaltsverzeichnis
4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz ........... 68
4.4 Lineare Kongruenzen und prime Restklassengruppe.......... 75
4.5 Erg¨anzung:Polynomiale Kongruenzen...................... 79
4.6 Erg¨anzung:Gauß’sche Primzahlen ......................... 83
U¨bungen.................................................... 86
5 Gruppen................................................... 89
5.1 Grundbegriffe........................................... 89
5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz..........101
5.3 Isomorphies¨atze und direktes Produkt......................110
5.4 Erg¨anzung:Semidirektes Produkt .........................115
U¨bungen....................................................116
6 Operationen von Gruppen auf Mengen ....................119
6.1 Grundbegriffe...........................................119
6.2 Bahnformel und Klassengleichung .........................123
6.3 Erg¨anzung:S¨atze von Sylow ..............................126
U¨bungen....................................................129
7 Abelsche Gruppen und Charaktere ........................131
7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz......................131
7.2 Charaktergruppe ........................................138
7.3 Diskrete Fouriertransformation............................143
7.4 Erg¨anzung:Moduln u¨ber Hauptidealringen .................148
U¨bungen....................................................157
8 Prime Restklassengruppe und quadratische Reste .........161
8.1 Struktur der primen Restklassengruppe ....................161
8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste ..........................168
8.3 Das quadratische Reziprozit¨atsgesetz.......................174
8.4 Erg¨anzung:Primzahltests ................................186
U¨bungen....................................................192
9 K¨orper und K¨orpererweiterungen .........................195
9.1 Konstruktion von K¨orpern................................195
9.2 K¨orpererweiterungen.....................................200
9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungsk¨orpern ..........207
9.4 Zerf¨allungsk¨orper und algebraischer Abschluss ..............211
9.5 Erg¨anzung:Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ...........218
U¨bungen....................................................221
10 Endliche K¨orper...........................................223
10.1 Konstruktion und Klassifikation ...........................223
10.2 Erweiterungen endlicher K¨orper und Automorphismen .......230
10.3 Endliche K¨orper und quadratisches Reziprozit¨atsgesetz.......232
10.4 Erg¨anzung:Zyklische lineare Codes ........................235
Inhaltsverzeichnis XI
U¨bungen....................................................243
11 Faktorisierung von Polynomen.............................245
11.1 Gauß’sches Lemma und Irreduzibilit¨atskriterien .............245
11.2 Erg¨anzung: Algorithmische Faktorzerlegung u¨ber endlichen
K¨orpern................................................250
U¨bungen....................................................259
12 Erg¨anzung: Galoistheorie ..................................261
U¨bungen....................................................271
Sachverzeichnis ................................................273