Table Of ContentEinflußflächen für Kreuzwerke
Freiaufliegende und über mehrere Öffnungen
durchlaufende Systeme
Von
Dr.-Ing. H. Homberg und Dr.-Ing. J. Weinmeister
HagenjWestf. Linza.D.
Zweite verbesserte Auflage
Mit 40 Abbildungen
Springer-Ver lag
ISBN 978-3-642-52868-2 ISBN 978-3-642-52867-5 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-642-52867-5
AIle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
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dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem \Vege
(Photokopie, ~Iikrokopie) zu vervielfaltigen.
@ by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1956
Einflu.J3flächen für Kreuzwerke
V orwort zur zweiten Auflage.
Die vorliegende Neuauflage enthält Lösungen für freiaufliegende und über mehrere Felder
durchlaufende Kreuzwerke und daher auch den im Vorwort zur ersten Auflage angekündigten
zweiten Teil des Gesamtwerkes. Die Verzögerung in der Herausgabe dieses Teiles ergab sich
daraus, daß er völlig neu bearbeitet wurde, da es sich als zweckmäßig erwiesen hat, für durch
laufende Kreuzwerke solche Lösungen anzugeben, die beliebigen Stützweitenverhältnissen
entsprechen. Die früher für bestimmte Stützweitenverhältnisse errechneten Lösungen konnten
wegen Platzmangels leider nicht aufgenommen werden. Weiter wird ein Verfahren zur nähe
rungsweisen Berechnung von Kreuzwerken angegeben.
Die für die praktische Durchführung von Kreuzwerkberechnungen so nützlichen Tafeln
der Querverteilungszahlen wurden durch Aufnahme neuer Tafeln für die Randsteifigkeit I ~ r ~ 2
und für den Balken auf vielen Stützen erheblich erweitert, sie können auch für das Nähe
CXJ
rungsverfahren verwendet werden.
Die zugehörige Theorie ist innerhalb der Arbeiten "Kreuzwerke, Statik der Trägerroste
und Platten", Berlin 1951, und "Beitrag zur Kreuzwerkberechnung" , Stahlbau 1954, veröffent
licht worden.
Dem Deutschen Stahlbauverband, Köln, danke ich für die Förderung der Arbeit, Herrn
Dr.-Ing. Weinmeister ganz besonders für die Erweiterung der Tafeln der Querverteilungs
zahlen, und meinen Mitarbeitern, insbesondere den Herren Dr.-Ing. Haeussler, Dr.-Ing.
Trenks und Dipl.-Ing. Ruhrberg für ihre tatkraftige Unterstützung.
Hagen in Westfalen,
im Oktober 1955.
H. Homberg.
Aus dem V orwort zur ersten Auflage.
Es werden gebrauchsfertige, im Sinne der Baustatik genaue Lösungen für die Einfluß
flächen der statischen Größen geboten, die dazu dienen sollen, dem Statiker eine schnelle
Berechnung der mehrfach oder hochgradig statisch unbestimmten Kreuzwerke zu ermöglichen.
Die Gleichungen können auch zur Berechnung orthotroper Platten benutzt werden.
Zur Erleichterung der Ermittlung und Auswertung der Einflußflächen wurden umfang
reiche Hilfsmittel ausgearbeitet. Die genaue Berechnung der Trägerroste kann daher in einem
Bruchteil der Zeit durchgeführt werden, die nach üblichen Methoden für die Berechnung der
artiger Systeme erforderlich ist.
Der vorliegende 1. Teil gibt die Lösungen für die freiaufliegenden Trägerroste über einer
Öffnung. Der 2. Teil behandelt die über mehrere Felder durchlaufenden Trägerroste, er liegt
im Manuskript fertig vor und wird in Kürze gleichfalls veröffentlicht werden.
Da die Bezeichnung "Trägerrost" allgemein sprachlich nicht eindeutig ist, wird für diese
Tragwerksart die neue Wortprägung "Kreuzwerk" in Anlehnung an andere bautechnische
Bezeichnungen eingeführt. Im Text ist nur die letztere Bezeichnung benutzt worden. In evtl.
später erscheinenden Auflagen soll auch im TiteJ der neue Ausdruck erscheinen.
Für die Prüfung der Theorie spreche ich dem Bundesverkehrsministerium, für die Zur
verfügungstellung der Tafeln der Querverteilungszahlen Herrn Dr.-Ing. Weinmeister,
Linz a. D., meinen Dank aus.
Dahl bei Hagen in Westfalen,
im Oktober 1949.
H. Homberg.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
v A. Erläuterungen zum Aufbau und Gebrauch der Lösungen .. 1
1. Grundsätzliches zur Ausbildung und Wirkungsweise von Kreuzwerken und verwandten
Systemen ............ . 1
2. Begriffsbestimmung und Einführung ....... . 2
3. Bezeichnungen am Kreuzwerk . . . . . . . . 2
4. Beschreibung des Gleichungsaufbaus der Einflußflächen 3
5. Hilfssystem in der Querrichtung . . . . . . . . . 4
6. Lösungen und Tafeln für die Größen Bu bzw. Bu(.) 5
7. Durchlaufende Kreuzwerke ........... . 6
8. Berechnung von Kreuzwaben (orthotropen Platten) . 7
9. Auswertung der Einflußflächen . . . . . . . 8
10. Hüllinien der Biegemomente und Querkräfte . 10
11. Durchführung der Berechnung . . . . . . . 11
12. Näherungsweise Berechnung von Kreuzwerken 12
13. Die Wirkung und näherungsweise Berücksichtigung der Drehsteifigkeit 12
14. Die Wirkung der Schubsteifigkeit . 14
15. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B. Lösungen für die Einflußflächen von Kreuzwerken 39
I. Beidseitig frei aufliegende Kreuzwerke über einer Öffnung 39
1. LS J: j6 4. LS r r r J: 2':.
a
d
2au.b. Li J: X z.. 5. fS, r r r J: r :6
b e
3. t5. J: :I X 2':. 6. LSxzrn :Iuu:6
c f
II. Kreuzwerke über einer Öffnung, links frei aufliegend, rechts fest eingespannt . 57
1. LS :I ~ 3. LS i r J: ~.
9 4. LSiii:ff--___ _ :::UllX ~
2. t5. r 'f ~ j
h
m.
Kreuzwerke mit unendlich vielen, unendlich schmalen Querträgern beiderseits starr eingespannt 64
I.~~T II Z L _____ .IIIIII ~
I ~
IV. Durchlaufende Kreuzwerke über zwei Öffnungen ..... . . . . . . . 64
J,rJ cl, erJ
J,l'J co{ (pI
f r :r: 1 1 CJ~7tJ:f
1. ~ Je ~
2.
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Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
V. 72
cf, er!
1. 2.
---+.-----~l-----+--
n o
VI. Ordinaten IM der Biegelinien des Balkens auf zwei Stützen . 79
........
C. Tafeln der Einflußflächen usw. von Kreuzwaben (orthotropen Platten) 80
[ W [
1. 3. W )
P r
m ] i w
2. 4.
q s
D. Allgemeine Lösungen für die Auflagerkräfte Bil, für Balken auf drei bis zehn elastischen
Stützen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
E. Tafeln der Auflagerkräfte Bik von Balken auf elastischen Stützen (Querverteilungszahlen) 98
I. Balken auf 3 bis 8 Stützen . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
i i"' 3i i"'
1. 4. d r1 ~ ~rJ
sr
2. ~rJ e~J~ ~~~~J
5.
30
~rJ
3. J
6.
II. Balken auf unendlich vielen Stützen . . 149
1. g ----~ ~ ~ ~ ~----- 2. h ~ ~ ~ ~ ~--------
A. Erläuterungen Aufbau und Gebrauch der Lösungen.
ZUlU
1. Grundsätzliches zur Ausbildung und Wirkungsweise von Kreuzwerken und verwandten Systemen.
Verwandte Tragwerke sind
1. Kreuzwerke,
2. Plattenkreuzwerke,
3. Plattenrippenwerke,
4. Zellwerke (Hohlstäbe und Hohlplatten) und
5. Platten (Abb. 1).
Die Wirtschaftlichkeit dieser ebenen Systeme beruht auf ihrer "Lastquerverteilung" . Last-
verteilende Wirkungen derselben sind:
1. Die Biegesteifigkeit der sich in Querrichtung des Tragwerks erstreckenden Teile,
2. die Drehsteifigkeit der Tragwerksteile und
3. die Schubsteifigkeit der horizontal liegenden Platten oder Verbändel.
Bei Kreuzwerk und Platte treten allgemein nur die ersten beiden, bei den übrigen Tragwer
ken alle drei lastverteilenden Wirkungen auf. Während jedoch beim Zellwerk aUe Wirkungen
Iff'euzwef'k
1 I t. I ' l. ~I I 7I I ~r I I
1ZS HT fir Qf
Platlellk!'eu zwef'k ....--Plolte
~ I I I ~I I i l--- ~TJ I
er
P/o!fellrippellwerk .::;.Plolte oe ;r
, I ( I I
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iflr ;Ir [gr EIn tlquel'tl'o.g. el' Hf
Ze//werk .::;.Plolte
[1 ] I I [ J
I' •
gf ~ 'HT Platte Hf
Piaffe P/offenqlJerschnifl
X 2
Abb.l.
etwa gleich bedeutsam sein können, überwiegt bei Plattenkreuz- und -rippenwerken meist
der erste lastverteilende Effekt und verschwindet der dritte oft vollständig.
Bei Vernachlässigung der Schubsteifigkeit der Fahrbahnplatten können Plattenkreuz
und -rippenwerke statisch als Kreuzwerke aufgefaßt werden. Die Platte wird längs und quer
durchschnitten gedacht und unter Berücksichtigung ihrer mittragenden Breite und Dreh
steifigkeit in die Trägheitsmomente der Kreuzwerkträger einbezogen.
Wird die Zahl der nebeneinanderliegenden Haupt- und Querträger bei den genannten
diskontinuierlichen Systemen so groß, daß der Grenzübergang zu unendlich vielen Trägern
gerechtfertigt ist, so können wir diese Tragwerke als Flächentragwerke auffassen. Wir be
zeichnen sie dann als
1. Kreuzwaben (orthotrope Platten),
2. Plattenkreuzwaben,
3. Plattenrippenwaben und
4. Zellwaben (Hohlplatten).
1 Inwieweit bei unten offenen Br~ckenprofilen die Wirkung der "Wölbkrafttorsion" der Wirkung der Schub
steifigkeit gleich ist, ist noch nicht wissenschaftlich geklärt.
Homberg, Kreuzwerke, 2. Auf!. 1
2 A. Erläuterungen zum Aufbau und Gebrauch der Lösungen.
Die genaue Theorie der Kreuzwerke und -waben wurde u. a. vom Verfasser 1, 2, diejenige
für Plattenkreuz- und -rippenwerke ebenfalls vom Verfasser3, für Plattenkreuz- und -rippen
waben von Trenks4 angegeben. Für Zellwerke fehlt bisher ein genaues Berechnungsverfahren.
Das vorliegende Buch befaßt sich mit Kreuzwerken und -waben. Die angegebenen, ge
brauchsfertigen Lösungen können unter Vernachlässigung oder bei näherungsweiser Berück
sichtigung der Drehsteifigkeit auch zur Untersuchung drehsteifer Tragwerke verwendet werden.
2. Begriffsbestimmung und Einführung.
Tragwerke aus zwei Scharen sich kreuzender Träger nennen wir Kreuzwerke (Trägerroste),
wenn die äußeren Lasten senkrecht zum Tragwerk stehen, Rahmenwerke, wenn sie in der
Ebene des Tragwerks liegen. Der Kreuzungswinkel der beiden Trägerscharen eines Kreuz
werks ist beliebig. Die Verbindung der Träger in den Kreuzungspunkten sei zug-, druck- und
biegefest. Beim zweiseitig gelagerten Kreuzwerk einer Brücke besteht die erste Schar aus den
in den Lagern unterstützten Hauptträgern, die zweite Schar wird von den lastverteilenden
Querträgern gebildet, die vom linken zum rechten Randhauptträger durchlaufen. Außer den
lastverteilenden Querträgern können noch Nebenquerträger und Querrahmen angeordnet
sein, die nur zur Unterstützung der Fahrbahntafel bzw. zur Stabilisierung des Tragwerks
dienen, deren Wirkung jedoch vernachlässigt wird. Die lastverteilenden Querträger werden
daher für die Folge kurz Querträger genannt.
Die vorliegenden, genauen Lösungen für die Einflußflächen der Kreuzwerke mit mehreren
Querträgern wurden durch Einführen von Lastgruppen gewonnen\ die in Tragwerklängsrich
tung ausgerichtet sind und eine solche Unterteilung der Elastizitätsgleichungen bewirken, daß
innerhalb der Matrix der Elastizitätsgleichungen unabhängige Gleichungsgruppen entstehen,
die untereinander und mit den Elastizitätsgleichungen des Durchlaufbalkens auf starren Stützen
sowie mit denen des Durchlaufbalkens auf elastisch senkbaren Stützen eng verwandt sind.
Hierbei erstreckt sich das erstgenannte Hilfssystem in Längs-, das zweite in Queriichtung
des Kreuzwerks. Daraus folgend konnte jede statische Größe am Kreuzwerk als Summe von
Produkten von statischen Größen,
1. längs, am Durchlaufbalken auf starren Stützen und
2. quer, am Durchlaufbalken auf elastisch senkbaren Stützen
entwickelt werden. Durch diese Zurückführung auf bekannte System9 führte das B9rechnungs
verfahren unmittelbar zu geschl03senen, gebrauchsfertigen Lösungen, die ohne Eingehen auf
die Theorie verwendet werden können. In den Lösungen ist stets Anzahl und Steifigkeit der
Hauptträger beliebig, jedoch ist vorausgesetzt worden, daß Haupt- und Qllerträger jeweils
gleiche Stützungsart und unveränderliches Trägheitsmoment über die angegebene Länge
aufweisen. Die Gleichungen können mit guter Näherung auch für Kreuzwerke mit gleich
bleibender Stegblechhöhe und abgestuften Gurtplatten . zugelassen werden.
3. Bezeichnungen am Kreuzwerk.
Jeder Ort am Kreuzwerk, Abb.2, muß wegen der Flächenwirkung des Tragwerks durch
zwei Zeichen bestimmt werden. Die m Hauptträger einer Brücke werden mit den Buchstab en
a, b, ... , i, k, ... , m; die n Q,18rträger mit den Zahlen 1,2,3, ... , h, J', ... , n benannt. Die
allgemeine Bezeichnung eines Hauptträgers ist also i oder k, die eines Q.lerträgers h oder i
Bei der Ortsbestimmung bezeichnet stets der erste der b9iden Zeiger das untersuchte Kon
struktionsglied. Für die Hauptträgerberechnung bezeichnen wir einen Knoten daher mit ih,
1 Homberg, H.: Kreuzwerke, Statik der Trägerroste und Platten (Forschungshefte aus dem Gebiet des Stahl-
baues, Heft 8.) BerlinjGöttingenjHeidelberg: Springer 1951.
2 Hom berg, H.: Beitrag zur Kreuzwerkberechnung. Stahlbau 1954.
3 Homberg, H.: Über die Lastverteilung durch Schubkräfte, Theorie des Plattenkreuzwerks. Stahlbau 1952.
4 Trenks, K.: Beitrag zur Berechnung anisotroper-orthogonaler Rechteckplatten. Bauingenieur 1954.
4. Beschreibung des Gleichungsaufbaus der Einflußflächen. 3
für die Querträgeruntersuchung jedoch den gleichen Knoten mit hi. Ein beliebiger Schnitt an
einem Hauptträger i hat die Entfernungen x und x' von den Auflagern, er wird i x genannt.
Wird die Hauptträgerlänge in gleiche Teile eingeteilt, so werden die Schnitte am Hauptträger
mit i 0; i 0,5; i 1; ... bezeichnet. Ein Schnitt am Querträger h hat die Entfernungen y und y'
von den Randträgern, er wird mit h y be
zeichnet. Eine Einzellast P = 1, die sich auf LÖflgsschflilf
der Kreuzwerkgrundfläche bewegt, hat die
Entfernungen u und u' von den Auflagern, v
und v' von den Randhauptträgern. Wir be-
zeichnen diesen Ort, mit uv. Steht die Last
P = 1 in u auf einem Hauptträger k, so heißt
dieser Ort ku, steht sie jedoch in v auf einem
Crufldri//
Querträger j, so heißt dieser Ort jv.
Jede statische Größe - Knotenkraft K, " 1 2 j
/1,
Querkraft Q, Biegemoment Mund Durchbie- a l; 11.
gung 0 - erhält vier Zeiger, die ersten beiden
bezeichnen die Lage des untersuchten Knotens P i/l llV y'
L
ix +
oder Querschnitts, die letzten zwei den Ort !
i
der Last, z. B. und ky
Kih,uv, Qix,kll> Mhi,uv r
Ohll.iv' Zu diesen vier Zeigern kann noch ein Pm ku I
fünfter treten, der zur Kennzeichnung der i
statischen Größe am Hauptsystem dient, z. B.
m
I x,1
- x
M?x,kU' I
Streckenlasten auf Haupt- oder Quer- I .--1--u~
u
trägern bezeichnen wir mit Pk oder Ph' die
statischen Wirkungen hieraus mit SiX,Pk oder RuersclJflilf
4. Beschreibung des Gleichungsaufbaus I I I I I
der Einflußflächen.
b m
Zur Bildung eines statisch bestimmten oder
1----- lR----i
unbestimmten Hauptsystems wurden die Kno
tenverbindungen der n Querträger mit den ~-------b-----~
(m - 2) inneren Hauptträgern gelöst. Bei n Abb.2.
Querträgern wurden n Lastgruppen mit je n
Gruppenlasten zur Unterteilung der Matrix der Elastizitätsgleichungen eingeführt. Beim Kreuz
werk mit 3 lastverteilenden Querträgern traten z. B. die in Abschnitt B I 3 dargestellten
n = 3 Gruppenbelastungen auf.
Die Lösungen bestehen aus der statischen Größe am Hauptsystem und bei n Querträgern
aus n statisch unbestimmten Reihengliedern. Die einzelnen Reihenglieder sind durch Zeiger
in Klammern bezeichnet. Die Knotenkräfte erhalten positives Vorzeichen, wenn sie am los
gelösten Hauptträger auf zwei Rtützen positive Momente erzeugen.
Beim Kreuzwerk mit drei Querträgern lautet z. B. die Gleichung für die Knotenkraft K
il:
~i1,kU + "'2 "'1
= Ih YU(l) Cik(l) YU(2) Cik(2) - Yu.(3) Cik(3)
und für das Hauptträgerbiegemoment Mi2 in x = l/2:
+ + +
Mi2, ku = M~2, ku l "'3 YU(l) CUd1) 0 l "'4 Yu(3) Cik (3),
i = a ... m, k = a ... m, für k =t= i ist M?2,kU = O.
Zum Hilfssystem längs gehören darin:
- "'1 "'2 + "'1
Yu(l) - YU(2) YU(3),
1*
4 A. Erläuterungen zum Aufbau und Gebrauch der Lösungen.
als Auflagerkraft Al' bzw.
Mg,u - lfl3 Yu(1) - 0 - lfl4 YU(3),
+
als Biegemoment M eines Durchlaufbalkens der Gesamtlänge lauf n 2 = 5 starren Stützen
2
YU(1), YU(2) und Yu(3)
sind die zu den Gruppenbelastungen gehörenden Einheitsbiegelinien.
ist die bekannte Einfiußlinie des Balkens auf zwei Stützen mit der Mittel~mdinate M?2, i2 = l/4.
Zum Hilfssystem quer gehören darin:
und
0i/'(1), 0ik(2) 0ik(3)'
als Auflagerdrücke von drei, verschieden steifen Durchlaufbalken der Länge lQ auf m elasti
schen Stützen. Die Steifigkeiten dieser drei Durchlaufbalken werden ausgedrückt durch die
Kreuzsteifigkeiten der Gruppenbelastungszustände
Das Hilfssystem längs tritt in den Lösungen nicht besonders hervor, da alle Größen, die
zu ihm gehören, konstante Größen darstellen. Das Hilfssystem quer ist abhängig von Anzahl,
Steifigkeit und Abstand der Hauptträger, es muß besonders behandelt werden.
5. Hilfssystem in der Quel'richtung.
Im Kreuzwerk mit einem lastverteilenden Querträger bildet der Querträger für Lasten in
der Vertikalebene desselben den elastisch gestützten Durchlaufbalken, die Hauptträger selbst
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(Iaslisehe Slützen
Abb.3. b) Äußere Losloneiner elaslischen Sliilze
sind die elastischen Stützen, Abb. 3a und b. Die P-l
Auflagerdrücke dieses Systems nennen wir B ik>
Elaslische SIiJlzen
wenn die Lasten nur am Querträger angreifen,
0il" wenn sie an den Stützen selbst angreifen, t t t Im
lr
Abb. 4a und b.
4rl [mi
Es bestehen die Beziehungen:
0il,; = Bik, für k =1= i und Oii = Bii - 1 . Cu
I
Als Kennwert der Steifigkeitsverhältnisse
obiger Tragwerke führen wir die Begriffe C•a i t Ct ki C,m i
c:: _OJ
Kreuzsteifigkeit z und Randsteifigkeit r Ourc!lloo/bolkefl
ein. Abb.4.
