Table Of ContentHans Hermes
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Eine Termlogik mit
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Lecture Notes in Mathematics
An informal se ries of special lectures, seminars and reports on mathematical topics
Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zürich
6
Hans Hermes
Universität Münster
Institut für mathematische Logik
und Grundlagenforschung
Eine Termlogik mit
Auswah loperator
1965
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Schrift: Fräulein T. Hessling
ISBN 978-3-540-04899-2 ISBN 978-3-540-36203-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-540-36203-6
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written permission from Springer Verlag.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1965.
U!Sprilnglich e!Schienen bei Springer-VerIag Berlin· Heidelberg 1965
Library of Congress Catalog Card Number 65-17845. Title No. 7326
Inhaltsübersicht
1. Einlei tung ."""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 0" " "" " "" "
2. Prädikatenlogik mit Auswahloperator ••••••••••••••.•••••••••••••••• 4
3. Termlogik ••..•••••••••••••••.•..••.•• 7
0 ••••••••••••••••••••••••••• 0
4. Zusammenhang zwischen der Prädikatenlogik und der Termlogik ••••••• 10
5. Rang, freies Vorkommen einer Variablen, Substitution •••••••••••••• 15
00.0.........................
6. Ein Kalkül für die Termlogik ••••••••• 17
7. Gleichwettigkeit von ~ und t ••••••••••••••••••••••••••••••• 00.0.. 21
8. Gbersicht über den Vollständigkeitsbeweis ••••••••••••••••••••••••• 23
Termisomorphismen ~ ••••••••••••••• 00 •••••• 0 •••••••••• 0000 •••• 0011 24
10. Maximalisierung von ~~ ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 26
11. Verallgemeinerte Substitution ••••••••••••••••• 28
0 •••••••••••••••••• 0
12q Erfüllbarkeit von ~* •....•.....•....• 35
0 •••••••••••••••••••••••••• 0
Li tera tur ................................................................................................ 40
Verzeichnis der Symbol e .................................................................... .. 41
Sachverzeichnis ............................................................................................. 42
-1_
Der Kennzeichnungsoperator wurde im Rahmen der formalen Logik
zuerst von Whitehead und Russell [6] behandelt. In Hilbert-Bernays [4J
wird statt des Kennzeichnungsoperators allgemeiner ein Auswahloperator
t zu Grunde gelegt, und ein Eliminationstheorem für diesen Operator
bewiesen. Man verglo auch Rosser [5J.
Man kann bekanntlich die gewöhnliche Prädikatenlogik der ersten
Stufe zunächst auf semantischer Grundlage aufbauen und dann ein Regel~
system angeben, für welches die Korrektheit (soundness) und die Voll-
ständigkeit (completeness) bewiesen werden kann. Es wäre erwünscht,
auch die Prädikatenlogik mit Auswahloperator in dieser Weise aufzu-
bauen.
In Nr. 2 wird eine derartige Logik aufgebaut. Es stellt sich nun
heraus (Nr.3), dass eine gewisse Duplizität besteht zwischen den Aus-
drücken auf der einen Seite und den Termen andererseits. Man kann
die Frage stellen, ob man nicht auf eine der bei den genannten Arten
von Zeichenreihen verzichten kann. Es wird eine formale Sprache
einer reinen Termlogik aufgebaut, bei der nur mehr Terme auftreten,
jedoch keine Ausdrücke. Hierzu benötigt man nur Funktorenvariablen
und den t-Operator. Der t-Operator wird auf Terme angewendet. Die
aussagenlogischen Verknüpfungen ~ und A sowie die Identität - werden
als spezielle Funktorenvariablen aufgefasst. Auf die Quantoren kann
verzichtet werden, da diese sich bekanntlich (vgl. Hilbel't-Bernays
[4])mit Hilfe des t-Operators definieren lassen: Ist a~ der durch
Substitution von t für x entstehende Ausdruck (verallgemeinerte
Substitution; vgl.Nr.11), so kann man setzen:
i
~cx "'\X
xV a für ax für a-x -
-2-
Als Grundlage für die semantischen Begriffsbildungen wird der
Begriff der semantischen Basis für die Prädikatenlogik (Nr.2) und
für die Termlogik (Nr.3) eingeführt. Eine semantische Basis ist für
die Termlogik ein Septupel (w, lt, -F, i, 14-, ~, '11', ). Dabei ist w der
zu Grunde gelegte Individuenbereich. lt ist ein Teilbereich von w •
Die Elemente von 1t repräsentieren "das Wahre". Da 11 und w - 11
nicht leer sein sollen, muss w wenigstens zwei Elemente haben. Die
Funktorenvariablen werden durch Funktionen interpretiert. ~ ist der
dabei zugelassene Funktionenvorrat. Die speziellen Funktoren
variablen ., ~, A sollen jedoch immer durch die fest vorgegebenen
Funktionen i, ~ ~ interpretiert werden (die Funktorenvariablen
~, A, - sind daher in diesem Sinne Funktorenkonstanten). Die Funk
tionen i, ~, ~ sollen im Zusammenhang mit 11 gewissen Gesetzen genü
gen, welche sie als eine Identität, Negation, bzw. eine Konjunktion
ausweisen. ~ ist ein Auswahloperator.
Man könnte mehr oder weniger Anforderungen an ~ stellen, als
dies in (3.10) geschieht. Darauf soll jedoch hier nicht eingegangen
werden.
Es wird in Nr.4 gezeigt, dass sich die Prädikatenlogik mit Aus
wahloperator in die Termlogik in einem gewissen Sinne einbetten
lässt.
In Nr.6 wird ein Regelsystem in Form eines Sequenzenkalküls an
gegeben, dessen Korrektheit (Nr.7) und Vollständigkeit (Nr.6 bis 12)
nachgewiesen wird. Der Vollständigkeitsbeweis folgt dem allgemeinen
Schema von Henkin [2J und Hasenjaeger [1].
-3-
Im Vollständigkeitsbeweis arbeitet man mit einer verallgemei
nerten Substitution (Nr.11). Für diese muss man mehr Sätze herlei-
ten als dies für einen Vollständigkeitsbeweis der gewöhnlichen Prädl
katenlogik (zoB. in ~ [3J) erforderlich ist. Diese Sätze werden
auf Sätze über die gewöhnliche Substitution zurückgeführt, welche in
Nr.5 aufgeführt werden. Zu ihrem Beweis vgl. etwa Hermes [3J, dort
finden sich auch Einzelheiten zu anderen Uberlegungen, die im folgenden
nicht in allen Details gegeben werden.
Der eigentliche Vollständigkeitsbeweis findet sich in Nr.12.
-4-
(Diese Logik soll im folgenden kurz "Prädikatenlogik" genannt werden.)
Als Zeichenmaterial wird verwendetl
Ca) Abzählbar viele Prädikatenvariablen jeder Stellenzahl r ~O.
(b) Abzählbar viele Funktorenvariablen jeder Stellenzahl r~ O.
(e) Die logischen Symbole ~ (nicht), A (und), - (ist gleich), & (ein).
(d) Klammern (, ).
Die nullsteiligen Prädikatenvariablen heissen auch Aussagen-
variablen, die nullsteiligen FUnktorenvariablen Subjektsvariablen.
Durch "x", "y", "z", ••• werden Subjektsvariablen, durch "f", "g"
Funktorenvariablen, durch "P" Prädikatenvariablen angedeutet.
~ und Ausdrücke werden simultan induktiv eingeführt vermöge
der folgenden Definitionenl
(2.1) Jede Subjektsvariable ist ein Term.
(2.2) Ist feine r-stellige Subjektsvariable (r ~1), und sind
t1, ••• ,tr Terme, so ist ft1 ••• tr ein Term.
(2.3) Ist a ein Ausdruck und ist x eine Subjektsvariable, so ist
&XlX ein Term. (J'ür "&XlX" soll auch "xt a" geschrieben werden).
(2.4) Ist P eine r·stellige Prädikatenvariable (r ~ 0), und sind
t1, ••• ,tr Terme, so ist Pt1 ••• tr ein Ausdruck.
(2.5) Sind t1,t2 Terme, so ist t1-t2 ein Ausdruck.
(2.6) Ist a ein Ausdruck, so auch ~.
(2.7) Sind a und ß Ausdrücke, so ist auch (aAß) ein Ausdruck.
Dureh "t", "s" werden 'ferme, durch "a", "ß",... Ausdrücke angedeutet.
Eine semantische Basis für die Prädikatenlogik sei ein Quadrupel
cx.
:Jj, - (w, J:, VI ).
-5-
welches folgenden Bedingungen genügtl
(2.8) w ist ein Individuenbereich mit wenigstens einem Element.
(2.9) ~ ist eine Menge von Attributen über w. Zu jeder Stellenzahl
soll es wenigstens ein Attribut in ~ geben. Ist ~ ein r-stelliges
'r
w,
Attribut aus ot und sind f.j, ••• , Elemente aus so soll
erklärt sein, ob ~ auf '1' ••• "r zutrifft, oder nicht.
"Pr1 ••• ~r" besage, dass ~ auf ~1'.·.' 'fCr zutrifft.
(2.10) $ ist eine Menge von Funktionen über w. Zu jeder Stellen-
zahl soll es wenigstens eine Funktion in $ geben. Ist ~ eine
r-stellige Funktion aus $ und sind ~1'.'.'~r Elemente aus w,
so soll es genau ein Element in w geben, welches der ~Wert
von rl' •.• '~r ist. Dieses Element soll mit "~(~1' ••• ,~)"
bezeichnet werden. - ~ soll genau dann eine nullsteilige
Funktion sein,wenn ~ ein Element von w ist.
(2.11) ~ ist ein Auswahloperator über w. Für jede nichtleere
Teilmenge P von w soll ~(p) ein Element von p sein. Zusätzlich
sei ~(o) - ~(w).
Eine Interpretation über einer semantischen Basis
Z (w, ot, $, a) ist eine Abbildung J, welche jeder Prädikaten-
variablen ein gleiohstelliges Attribut aus ot und jeder Funktoren-
variablen eine gleichstellige Funktion aus $ zuordnet.
Jedem Term t lässt sich eindeutig ein Element J(t)
zuordnen. Ferner wird für jeden Ausdruck ~ erklärt, ob J ein Modell
von ~ ist (wofür man auch sagen kann, dass ~ ~J gilt). J(t) und
Mod J ~ werden simultan induktiv definiert durch.
(2.1') J(x) ist bereits erklärt.
»·
(2.21) J(ft1 ••••• tr ) - J(f)(J(t1)·····1(tr
(2.3') J(i~) _IJ/.({~I Ii1wl...J~ ~}). Dabei sei J~ diejenige InterN
x
-6~
pr~tation, welche mit ~ übereinstimmt bis auf das Argument
x, welches durch ~! auf das Element ~ abgebildet werde.
{~I ••• } sei die Menge der ~, für welche
(2.4') Mod ~ Pt1 ••• tr gdw ~ (P)~(t1) ••• ~(tr) (d.ho ~(p) trifft
zu auf ~(t1), ••• ,~(tr»).
(2.5') Mod ~ t1a t2 gdw ~(t1) • ~(t2)'
(2.6') Mod ~ ... a gdw nich t Mod ~ a.
(2.1') Mod ~ (aAß) gdw Mod ~ a und Mod ~ ß.
~ sei eine beliebige Menge von Ausdrücken. !2! ~ ~ soll heissen,
dass M2! J a für jedes a E ~ Sind ~ und a vorgegeben, und ist für
jede beliebige semantische Basis g und jede Interpretation J über g
stets Mod J a, wenn !2! J~, so sagt man, dass a ~ ~ ~
symbolisch, ~ ~ a •
