Eine allgemeine selbstlernende Strategie für nicht-kooperative Spiele

125 Pages·2008·8.42 MB·German

Eine allgemeine selbstlernende Strategie
f(cid:252)r nicht-kooperative Spiele
- im KI-Framework jGameAI -
Fachbereich Mathematik und Informatik
Arbeitsgruppe K(cid:252)nstliche Intelligenz
der Freien Universit(cid:228)t Berlin
Autor: Maro Bader
Betreuer: Prof. Dr. Raœl Rojas, Marco Block-Berlitz
9. Dezember 2008
1
Zusammenfassung
Unternicht-kooperativeSpielefallendiemeistenGesellschafts-undBrettspiele,
beidenenSpielerversuchen,einesiegbringendePositiondurchdenVergleichzu-
k(cid:252)nftiger Spielstellungen zu erreichen. Auch viele Situationen des Alltags, etwa
in Wirtschaftsprozessen und Verhandlungssituationen lassen sich mit spieltheo-
retischen Formalismen gut beschreiben und gegebenenfalls l(cid:246)sen.
Starke Spieler entstehen, wenn man aus gespielten Partien sinnvolle R(cid:252)ck-
schl(cid:252)sse f(cid:252)r zuk(cid:252)nftiges Verhalten gewinnen kann. Dies kann mit maschinellem
Lernen bewerkstelligt werden. Die Konzepte einer verallgemeinerten selbstler-
nenden Computerstrategie f(cid:252)r eine breite Klasse an Spielen werden in dieser
Diplomarbeit untersucht und vorgestellt.
DieentwickeltenSuch-undLernalgorithmenUPP−maxnundTD−Probn(λ)
wurden im KI-Framework jGameAI eingebaut und (cid:28)nden ihre Verwendung be-
reits in mehreren Computerspielen f(cid:252)r g(cid:228)ngige Spiele. Das Framework wurde
eigens f(cid:252)r diese Diplomarbeit realisiert und wird von der AG Spieleprogram-
mierung der Freien Universit(cid:228)t st(cid:228)ndig erweitert.
https://sourceforge.net/projects/jgameai/
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Motivation 5
2 Verwandte Arbeiten 10
2.1 Komplexit(cid:228)t von Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Suchbaumbasierte Verfahren zur L(cid:246)sung von Spielen . . . . . . . 12
2.3 Klassi(cid:28)zierung von L(cid:246)sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Einsatz von Lernmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Abstraktion von Spielen 16
3.1 Spiele als nicht deterministische Zustandsautomaten . . . . . . . 16
3.1.1 Terminale Zust(cid:228)nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Zufallsereignisse und unvollst(cid:228)ndige Information . . . . . 20
3.1.3 Spielbaum und Partien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Suchbaum und Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Suchbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2.1 Spekulative Strategien . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2.2 Siegreiche Strategien. . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Strategiebaum und Suchbreite . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Bewertung und Suche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Rationales Spielen durch Bewertungsfunktion . . . . . . . 28
3.3.2 Ideale Bewertungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Gewichtete Stellungskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.4 Verfeinerung durch Stellungsklassen . . . . . . . . . . . . 31
3.3.5 Normierung der Gewichtsvektoren . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.6 Auswahl- und Erwartungsfunktion . . . . . . . . . . . . . 32
2
INHALTSVERZEICHNIS 3
4 Ein allgemeiner Suchalgorithmus 35
4.1 Das strategische Nash-Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Suchalgorithmen f(cid:252)r 2S-Nullsummenspiele . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 MiniMax-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Pruning-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.3 Zugsortierungsheuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Transpositionstabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Zobrist-Schl(cid:252)ssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.2 Varianten von Transpositionstabellen. . . . . . . . . . . . 43
4.4 Erweiterungen zu allgemeinen Spielklassen . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1 Nicht-Nullsummenspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.2 Tiefeniteration und Zeitmanagement . . . . . . . . . . . . 47
4.4.3 Entscheidungsvarianten der optimalen Strategie . . . . . . 48
5 Die MS-Spielsuche UPP −maxn 50
5.1 Das Mehrspieler-Entscheidungsproblem MES . . . . . . . . . . . 50
5.2 Mehrspieler-Suchalgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1 Der maxn-Suchalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Der paranoid-Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
→−
5.3 L(cid:246)sung des MES (cid:252)ber die Entropie-Nutzenfunktion UH(cid:48)(e) . . . 55
5.3.1 Notwendigkeit Spieleabh(cid:228)ngiger Nutzenfunktionen . . . . 56
→−
5.3.2 Die allgemeine Entropie-Nutzenfunktion UH(cid:48)(e) . . . . . 58
5.4 Der UPP −maxn-Suchalgorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.1 paranoid-Pruning im UPP −maxn-Suchalgorithmus . . . 63
5.4.2 Abschneidungen an Zufallsknoten in UPP −maxn . . . . 64
6 Lernen mit TD−Probn(λ) 67
6.1 Maschinelles Lernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 TD−Probn(λ) zur Optimierung der Gewichtskoe(cid:30)zienten . . . 69
6.2.1 Konzept von TD−Probn(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.2 Optimieren der Gewichtskoe(cid:30)zienten . . . . . . . . . . . 70
6.2.3 Diskussion und Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Beitr(cid:228)ge und zuk(cid:252)nftige Arbeiten 76
7.1 Beitr(cid:228)ge der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Ausblick auf zuk(cid:252)nftige Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.1 Zus(cid:228)tzliche Erweiterungen in UPP −maxn einbauen. . . 77
7.2.2 Stellungskriterien selbstst(cid:228)ndig entdecken . . . . . . . . . 78
INHALTSVERZEICHNIS 4
7.2.3 Nicht-lineares Entfernungsma(cid:255) bei UH(cid:48) . . . . . . . . . . . 79
7.2.4 Risiko in Probabilistischen Spielen . . . . . . . . . . . . . 80
8 Das Spieleframework jGameAI 83
8.1 Motivation und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.1.1 Projekt-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.2 (cid:220)bersicht Softwarearchitektur . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Die Pakete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2.1 Die Basisklassen f(cid:252)r alle Spiele und Spieler . . . . . . . . 86
8.2.1.1 Die Grundklasse f(cid:252)r alle Spiele: Game . . . . . . 87
8.2.1.2 Die Zustandsverwaltung eines Spiels . . . . . . . 87
8.2.1.3 Modellierung eines allgemeinen Spielers: Player . 89
8.2.1.4 Generische Bewertungsfunktion f(cid:252)r Zust(cid:228)nde . . 89
8.2.1.5 Graphische Darstellung von Spielen . . . . . . . 89
8.2.2 Das interne Kommunikationssystem . . . . . . . . . . . . 90
8.2.3 Generische graphische Ober(cid:29)(cid:228)chen . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.4 Suchen nach besten Z(cid:252)gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.5 Bewerten von Z(cid:252)gen durch die Computer-Spieler . . . . . 96
8.2.6 Turniere und Trainingspartien . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3 Aktuelle Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3.1 Popul(cid:228)re Brettspiele: Schach, Dame und GO . . . . . . . 100
8.3.2 Die n(cid:228)chste Herausforderung: Poker . . . . . . . . . . . . 100
8.3.3 Das Strategiespiel Siedler von Catan in jGameAI . . . . . 102
8.3.4 Echtzeitanwendungen: jBirds und jAsteroidsAI . . . . . . 104
8.3.5 Die Spielwiese: 4-gewinnt!, 3-gewinnt! und 3-gewinnt!* . . 104
8.4 Ausblick und zuk(cid:252)nftige Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9 APPENDIX 108
9.1 Der UPP −maxn-Suchalgorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.2 Der TD−probn(λ)-Lernalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 Die Spiele 3Wins und 3WinsProb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Kapitel 1
Einleitung und Motivation
(cid:16)Arti(cid:28)cial Intelligence is the study of how to make computers
do things at which, at the moment, people are better.(cid:17)
Elaine Rich, 1983
M(cid:246)chtemandiemenschlicheIntelligenzmitderk(cid:252)nstlichenvonComputern
vergleichen, eignen sich Spiele daf(cid:252)r besonders gut. An die Computerspieler
werden dabei hohe Anspr(cid:252)che gestellt, die sie mit unterschiedlichen Methoden
meisternm(cid:252)ssen:rationaleSpielhaltungen,schnelleZugsucheundakkurateEin-
sch(cid:228)tzung der Spielsituation. Ausgehend von menschlichen Konzepten k(cid:246)nnen
Computerspieler sich nach und nach einem Spiel anpassen und dieses erlernen.
Konrad Zuse, Claude Shannon, John von Neumann und Alan Turing gel-
ten als die Pioniere der Informatik. Eine der ersten Anwendungen, mit de-
nen sie sich (teilweise nur theoretisch) besch(cid:228)ftigten, waren Schachprogramme
[Ertel 2008, Russel/Norvig 2004, Rojas 2002, Shannon 1950, Turing 1953]. Be-
reits damals stellten diese Forschungen ein interessantes Entwicklungsfeld dar,
um Rechenleistung kombiniert mit k(cid:252)nstlicher Intelligenz zu testen. Ein aus
heutigerSichtoftalsunfairempfundenerWettkampfzwischenMenschundMa-
schinebegann,deraufimmermehrSpieleausgeweitetwurdeundzurst(cid:228)ndigen
Weiterentwicklung der Methoden k(cid:252)nstlicher Intelligenz beigetragen hat.
Vor allem die Schachwelt pro(cid:28)tierte viel von den immer st(cid:228)rker spielenden
Computerprogrammen, da diese die eigenen theoretischen Arbeiten erweiter-
ten und sich als gute Trainingspartner erwiesen. Schlie(cid:255)lich wurde der H(cid:246)he-
punkt dieser Entwicklung mit dem von gro(cid:255)em medialen Echo verfolgten Sieg
5
KAPITEL 1. EINLEITUNG UND MOTIVATION 6
desSchachprogrammsDeepBlue(cid:252)berdendamaligenWeltmeisterKasparover-
reicht[Campbell 2002].WeiteresiegreicheComputerprogrammefolgten,sodass
dieses Duell f(cid:252)r uns Menschen mittlerweile als verloren gilt.
Einer der g(cid:228)ngigen Vorw(cid:252)rfe an die Entwickler von Deep Blue war, dass
ihr Programm zwar (fast) unbesiegbar sei, vom Spiel selbst aber wenig ver-
stehe, kein Gef(cid:252)hl f(cid:252)r das Spiel besitze und Partien nur aufgrund ungeheurer
Rechenkraft gewinnen k(cid:246)nne. Keiner der Parameter von Deep Blue war eigen-
st(cid:228)ndigerlernt,allewarennurvonHandeingegeben[Russel/Norvig 2004].Auch
eines der gegenw(cid:228)rtig st(cid:228)rksten Schachprogramme, Hydra nutzt keine maschi-
nelle Lernmethoden zur Weiterentwicklung [Donninger 2004].
DieArtundWeise,wieComputerspieleagieren,unterscheidetsichalsonoch
sehrstarkvommenschlichenVorgehen.EinGef(cid:252)hl,guteSpielstellungenzuerler-
nenundausvergangenenPartien,verlorenenwiegewonnenen,R(cid:252)ckschl(cid:252)ssef(cid:252)r
zuk(cid:252)nftigezuziehen,wirdinvielenverbreitetenProgrammennichterreicht.der
DabeibestehtgenaudarineinederSt(cid:228)rkenmenschlicherSpieler:sieerlernen
siegreiches Spielen. Faszinierend daran ist, dass Menschen dadurch in der La-
ge sind, eine prinzipielle, in allen Spielen meisterliche Spielst(cid:228)rke zu erreichen.
O(cid:27)enbar reicht ein verallgemeinerter Such- und Lernansatz, der sich nach und
nach an Gegebenheiten eines Spiels anpasst, daf(cid:252)r aus.
Es lohnt sich also, den Einsatz maschinellen Lernens in Spielen zu untersu-
chen, was bereits seit den Anf(cid:228)ngen der Spieleprogrammierung unternommen
wird [Samuel 1959]. Mittlerweile konnten dadurch starke Computerspieler ent-
wickelt werden, die sogar den menschlichen Meistern (cid:252)berlegen sind. F(cid:252)r das
Spiel Backgammon zeigte Gerald Tessauro 1995, dass dieser Ansatz zum Er-
folg f(cid:252)hrt, denn sein Programm konnte den amtierenden Weltmeister mehrfach
besiegen [Tesauro 1995].
Viele Herausforderungen konnten bisher allerdings noch nicht gemeistert
werden. Poker beispielsweise erweist sich als interessantes Forschungsgebiet, da
hierneueElementewieZufall,Mehrspieler-Situationund Gegneranalysehinzu-
kommen. Die formale spieltheoretische Erweiterung f(cid:252)r solche Spiele ist schnell
vollbracht, eine sich durchsetzende allgemeine L(cid:246)sung f(cid:252)r die Bew(cid:228)ltigung der
zus(cid:228)tzlichen Komplexit(cid:228)t scheint sich allerdings noch nicht abzuzeichen.
Ein Erfolg versprechender Ansatz der k(cid:252)nstlichen Intelligenz ist immer das
(cid:220)bernehmenvonbew(cid:228)hrtenL(cid:246)sungennat(cid:252)rlicherIntelligenz,hieretwavonuns
Menchen, die auch starke und siegreiche Spieler hervorgebracht haben. Dabei
muss ermittelt werden, auf welcher Entscheidungsgrundlage der menschliche
Spieler seine Zugwahl tri(cid:27)t,
KAPITEL 1. EINLEITUNG UND MOTIVATION 7
Wahrscheinlich noch wichtiger aber ist die Frage, wie genau Lernen etwa
durchSpielpraxisoderAneignungtheoretischenWissensstatt(cid:28)ndetundwieda-
durchdieSpielst(cid:228)rkezunimmt.SinddieseMechanismeneinmalerkannt,k(cid:246)nnen
sie, kombiniert mit der ungeheuren Rechenkraft heutiger Computer, zu einem
starken, m(cid:246)glichweise sogar unschlagbaren Spieler f(cid:252)hren.
Eine interessante Frage ergibt sich, wenn man die grundlegende Herange-
hensweise von Menschen an neue Spiele untersucht. Auch ganz ohne Erfahrung
scha(cid:27)enesmenschlicheSpielerdennoch,gleichvonBeginnansinnvolleZ(cid:252)gezu
(cid:28)nden und nach und nach ein Gesp(cid:252)r f(cid:252)r das Spiel zu entwickeln.
Ist es m(cid:246)glich, alle Spiele mit einer einzigen Suchmethode zu meistern und
dabei nur einige wenige grunds(cid:228)tzliche Parameter an die spezi(cid:28)schen Rahmen-
bedingungen und Erfahrungen eines Spieles anzupassen? Eine universale Suche
also, die mit maschinellem Lernen an die jeweiligen Spiele optimal angepasst
werden kann?
Um diese Fragen bearbeiten zu k(cid:246)nnen, wurde im Rahmen der AG-Spiele-
programmierung an der Freien Universit(cid:228)t Berlin das KI-Framework jGameAI
entwickelt, das eine verallgemeinerte Such- und Lernmethode anbietet. In die-
serArbeitwerdendieEntwicklungundKonzeptederFunktionenUPP−Probn
undTD−Probn vorgestellt,dieeinenverallgemeinertenL(cid:246)sungsansatzf(cid:252)rviele
Spieledarstellen.EinsatzundErfolgbeiderMethodensollenaneinigenBeispie-
len vorgef(cid:252)hrt werden.
Aufbau der Arbeit
Kapitel 2 besch(cid:228)ftigt sich mit verwandten Arbeiten und bekannten Compu-
terprogrammen der Spieletheorie. Die Entwicklung in unterschiedlichen Spielen
wirddargestellt.DabeiistdasAugenmerkaufdiejenigenL(cid:246)sungsans(cid:228)tzegerich-
tet, die maschinelles Lernen zum Verstehen eines Spiels und zur Verbesserung
der Spielst(cid:228)rke verwenden. Die Komplexit(cid:228)t von Spielen und eine allgemeine
Klassi(cid:28)zierung von L(cid:246)sungen werden vorgestellt.
In Kapitel 3 wird eine formale Abstraktion von Spielen und ihrer Such-
baumbasierten L(cid:246)sung eingef(cid:252)hrt, die zum theoretischen Verst(cid:228)ndnis beitragen
unddieBeschreibungderindieserArbeitvorgestelltenSuch-undLernalgorith-
men UP −maxn und TD−Probn(λ) erleichtern soll.
Kapitel 4 zeigt, welche Komponenten ein verallgemeinerter Suchalgorith-
mus aufweist. Die Auswirkung von unterschiedlicher Kon(cid:28)gurationen und Op-
timierungen wird besprochen. Ebenfalls wird gezeigt, wie der Suchalgorithmus
KAPITEL 1. EINLEITUNG UND MOTIVATION 8
ausgehend von zwei-Spiele-Spielen (2S-Spiele) erweitert werden kann, um f(cid:252)r
ein breiteres Spektrum an Spielen optimale Ergebnisse zu liefern.
Anschlie(cid:255)endwirdinKapitel5derSuchalgorithmusUPP−maxnvorgestellt.
Dieser realisiert den im vorherigen Kapitel vorgestellten allgemeinen Suchalgo-
rithmus auch f(cid:252)r Mehrspieler-Spiele (MS-Spiele). Dabei wird versucht, mittels
der Entropie-Nutzenfunktion UH(cid:48) das MS-Entscheidungsproblem zu l(cid:246)sen.
DieneuentwickelteselbstlernendeMethodeTD−Probn(λ)wirdinKapitel
6 erkl(cid:228)rt. Sie erweitert das Konzept der temporalen Di(cid:27)erenz zur Optimierung
vonGewichtsvektoreneinerBewertungsfunktion,umsomitauchdenEinsatzin
nicht-deterministischen MS-Spielen zu erm(cid:246)glichen.
Die Ergebnisse der hier vorgestellten Algorithmen werden in Kapitel 7 be-
sprochen.SiewurdeninnerhalbdesKI-FrameworksjGameAI f(cid:252)rmehrereSpiele
erstellt. Zus(cid:228)tzlich werden einige zuk(cid:252)nftige Forschungsarbeiten angef(cid:252)hrt, die
sich an diese Diplomarbeit ankn(cid:252)pfen lassen.
Das KI-Framework jGameAI wird im Kapitel 8 vorgestellt. Die Projekt-
struktur und die zugrunde liegenden Implementierungskonzepte werden erl(cid:228)u-
tert. Dazu ist eine (cid:220)bersicht von allen bisherigen Spieleentwicklungen und ak-
tuellen Projekten aufgef(cid:252)hrt.
DerJava-QuellcodederbeidenvorgestelltenAlgorithmenUPP−maxn und
TD−Probn(λ) ist unter dem Kapitel 9 (APPENDIX) zu (cid:28)nden. Dazu eine
Beschreibung der erfundenen Spiele 3-gewinnt! und 3-gewinnt!*.
Vielen Dank an Prof. Dr. Raœl Rojas und Marco Block-Berlitz, die meine
Diplomarbeit betreut und mir dieses Thema erm(cid:246)glicht haben.
SpielehabenmichauchnachmeinerKindheitfasziniert.Siebietendiefried-
liche M(cid:246)glichkeit, L(cid:246)sungskonzepte gegeneinander antreten zu lassen und den
Geist unterhaltsam anzuregen. Die Erfahrungen, die man bei der L(cid:246)sungssuche
inunterschiedlichenSpielsituationenmacht,bereichernoftauchandereLebens-
situationen.
Eigentlich unterst(cid:252)tze ich es nicht unbedingt, dass immer mehr die von und
f(cid:252)r Menschen erdachten Gesellschaftsspiele von Computern gel(cid:246)st werden. Die
KenntnisderspieltheoretischenL(cid:246)sungeinesSpielsbeschr(cid:228)nktaufgewisserArt
unserBestrebenunsst(cid:228)ndigweiterzuverbessern,dasiedaso(cid:27)ensichtlicheEnde
dieser Entwicklung vorf(cid:252)hrt. Eine Forschung dar(cid:252)ber hinaus macht wenig Sinn.
KAPITEL 1. EINLEITUNG UND MOTIVATION 9
Genarrt f(cid:252)hlen wir uns zudem vor allem dadurch, dass die Computerspieler
wenigvomSpielerfassthaben,sonderneinfachnurkonzentrierterundschneller
indieZukunftrechnenk(cid:246)nnen.Dabeierfreuensichdochbereitsauchschw(cid:228)chere
menschliche Spieler an der Sch(cid:246)nheit eines Spiels und eigener L(cid:246)sungswege,
selbst wenn diese zur Niederlage f(cid:252)hrten.
Lernf(cid:228)hige Konzepte f(cid:252)r Computerspieler versuchen im Gegensatz dazu, et-
was mehr von der menschlichen Herangehensweise zu verstehen und erfolgreich
einzusetzen.VondiesemProzesspro(cid:28)tierenauchwirMenschen:wirm(cid:252)ssendas
eigene Denken genauer analysieren und erfahren somit mehr (cid:252)ber uns selbst.
Es macht mir daher gro(cid:255)e Freude, mich im Rahmen der AG-Spieleprogram-
mierung an der Freien Universit(cid:228)t Berlin damit besch(cid:228)ftigen zu k(cid:246)nnen. Ich
bedanke mich f(cid:252)r die Unterst(cid:252)tzung bei der Entwicklung von jGameAI durch
Marco Block-Berlitz, Miao Wang, Johannes Kulick und Benjamin Bortfeldt.
Hiermit best(cid:228)tige ich, dass ich diese Diplomarbeit und alle Abbildung (bis
auf die Abbildungen 2.1 und 8.14) selbstst(cid:228)ndig angefertigt und alle verwende-
ten Textpassagen, Formeln und Zitate von Dritten als solche markiert und im
Quellenverzeichnis angegeben habe.
Berlin, den 02.12.2008 __________________
Maro Bader