Table Of ContentEindimensionale Finite Elemente
Markus Merkel • Andreas Öchsner
Eindimensionale Finite
Elemente
Ein Einstieg in die Methode
2., neu bearbeitete und ergänzte Auflage
MarkusMerkel AndreasÖchsner
ZentrumfürvirtuelleProduktentwicklung GriffithSchoolofEngineering
HochschuleAalen–TechnikundWirtschaft GriffithUniversity
Aalen Southport
Deutschland Australia
ISBN978-3-642-54481-1 ISBN978-3-642-54482-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-54482-8
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© Springer-VerlagBerlinHeidelberg2010,2014
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UnserenVäterngewidmet.
Vorwort
Vorwortzur1.Auflage
DerTitel des Buches – Eindimensionale Finite Elemente, Ein Einstieg in die Methode –
stehtfürInhaltundAusrichtung.ZumThemaFinite-Elemente-Methodegibtesheutezahl-
reiche Literatur. Die unterschiedlichen Werke spiegeln die vielfältigen Sichtweisen und
Anwendungsmöglichkeiten wider. Der Grundgedanke dieser Einführung in die Methode
der Finiten Elemente wird von dem Konzept getragen, die komplexe Methode anhand
eindimensionaler Elemente zu erläutern. Ziel ist es, die vielfältigenAspekte der Finite-
Elemente-Methode vorzustellen und dem Leser das methodische Verständnis wichtiger
Themenbereichezuermöglichen.DerLeserlerntdieAnnahmenundAbleitungenbeiver-
schiedenen physikalischen Problemstellungen in der Strukturmechanik zu verstehen und
MöglichkeitenundGrenzenderMethodederFinitenElementekritischzubeurteilen.Zu-
sätzliche umfangreiche mathematische Beschreibungsformen entfallen, die lediglich aus
dererweitertenDarstellungfürzwei-oderdreidimensionaleProblemstellungenentstehen.
SomitbleibtdiemathematischeBeschreibungweitgehendeinfachundüberschaubar.Die
BehandlungeindimensionalerElementeistjedochnichtnureinereineBeschränkungauf
eine einfache und übersichtliche formale Darstellung der notwendigen Gleichungen. Im
konstruktiven Ingenieurbau gibt es zahlreiche Strukturen – zum Beispiel Brücken oder
Hochspannungsmasten–dieüblicherweisemittelseindimensionalerElementemodelliert
werdenkönnen. SomitumfasstdiesesWerkaucheinen,SatzvonWerkzeugen‘, derauch
inderPraxisseineAnwendungfindet.
DieKonzentrationaufeindimensionaleElementeistneufüreinLehrbuchundermög-
licht die Behandlung verschiedenster grundlegender und anspruchsvoller physikalischer
ProblemstellungenderStrukturmechanikineinemeinzigenLehrbuch. DiesesneueKon-
zepterlaubtsomitdasmethodischeVerständniswichtigerThemenbereiche(zumBeispiel
Plastizität oderVerbundwerkstoffe), die einem angehenden Berechnungsingenieur in der
Berufspraxisbegegnen,jedochindieserFormnurseltenanHochschulenbehandeltwerden.
FolglichisteineinfacherEinstiegmöglich,auchinweiterführendeAnwendungsgebieteder
MethodederFinitenElemente.
VII
VIII Vorwort
DiesesBuchistentstandenauseinerSammlungvonSkripten, diealsschriftlicheUn-
terlagenfürVorlesungenausgeteiltwurden,undSchulungsunterlagenfürSpezialkursezur
Finite-Elemente-Methode.BesondersbeidendurchgerechnetenBeispielenunddenweiter-
führendenAufgabensindtypischeFragestellungenvonStudierendenundKursteilnehmern
aufgegriffen.
VoraussetzungfüreingutesVerständnissindGrundlageninderlinearenAlgebra,Physik,
Werkstoffkunde und Festigkeitslehre, so, wie sie typischerweise im Grundstudium eines
technischenFachesimUmfelddesMaschinenbausvermitteltwerden.
IndenerstenKapitelnwerdendieeindimensionalenElementevorgestellt,anhandderer
sich die Grundbelastungsarten Zug/Druck, Torsion und Biegung abbilden lassen. Herge-
leitet werden jeweils die Differenzialgleichung und die grundlegenden Gleichungen aus
der Festigkeitslehre zur Kinematik, zur konstitutiven Beziehung und zur Bildung des
Gleichgewichtes.ImAnschlussdaranwerdendieFinitenElementemitdenüblichenDefini-
tionenfürKraft-undVerschiebungsgrößeneingeführt.AnBeispielenwirddieprinzipielle
Vorgehensweise präzisiert. Für weiterführendeAufgaben sind Kurzlösungen imAnhang
angegeben.
Im Kap. 6 werden Fragestellungen unabhängig von der Belastungsart und der damit
einhergehenden Elementformulierung aufgegriffen. Behandelt werden ein allgemeines
eindimensionalesFinitesElement, dasausderKombinationvonGrundelementenaufge-
bautwerdenkann,dieTransformationvonElementenimallgemeinendreidimensionalen
Raum und die numerische Integration als wichtiges Hilfsmittel bei der Implementierung
derFinite-Elemente-Methode.
InKap.7wirddievollständigeAnalyseeinesGesamttragwerksvorgestellt.DieGesamt-
steifigkeitsbeziehung entsteht aus den Einzelsteifigkeitsbeziehungen der Basiselemente
unterBerücksichtigungderVerbindungenzueinander.MitdenRandbedingungenentsteht
ein reduziertes System, aus dem die unbekannten Größen ermittelt werden. Beispiel-
haft wird die Vorgehensweise an ebenen und allgemein dreidimensionalen Tragwerken
vorgestellt.
IndenKap.8bis12werdenThemenaufgegriffen,dienichtzumStandardrepertoireeines
Grundlagenbuchesgehören.InKap.8wirddasBalkenelementmitSchubanteilvorgestellt.
GrundlageistderTimoshenko-Balken.
InKap.9wirdineineFinite-Elemente-FormulierungfüreinebesondereWerkstoffklasse
– dieVerbundwerkstoffe – eingeführt. Zunächst werden verschiedene Beschreibungsfor-
menfürrichtungsabhängigesStoffverhaltenvorgestellt.KurzwirdauchaufdieFaserver-
bundwerkstoffeeingegangen. EinVerbundelementwirdbeispielhaftamVerbundstabund
amVerbundbalkendemonstriert.
In den Kap. 10, 11 und 12 wird auf Nichtlinearitäten eingegangen. In Kap. 10 wer-
denkurzdieverschiedenenArtenvonNichtlinearitätenvorgestellt.Tieferbeleuchtetwird
derFalldernichtlinearenElastizität.DieProblematikwirdexemplarischfürStabelemente
dargestellt. Zuerst wird die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Deh-
nungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden
Vorwort IX
diedirekteIterationunddievollständigeundmodifizierteNewton-RaphsonscheIteration
abgeleitetundanhandvonzahlreichenBeispielendemonstriert.
InKap. 11wirdelasto-plastischesVerhaltenberücksichtigt, einederhäufigauftreten-
den Form der materiellen Nichtlinearität. Zuerst werden die kontinuumsmechanischen
Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die
Fließbedingung, die Fließregel, dasVerfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoff-
modulwerdenfüreinachsige, monotoneBelastungszuständeeingeführt. ImRahmender
VerfestigungistdieBeschreibungaufdieisotropeVerfestigungbeschränkt.ZurIntegration
deselasto-plastischenStoffgesetzeswirddasinkrementellePrädiktor-Korrektor-Verfahren
allgemeineingeführtundfürdenFalldesvollständigimplizitenunddessemi-impliziten
Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet.An entscheidenden Stellen wird auf den Unter-
schiedzwischenein-unddreidimensionalerBeschreibunghingewiesen,umeineeinfache
ÜbertragungderabgeleitetenVerfahrenaufallgemeineProblemezugewährleisten.
Mit der Stabilität wird in Kap. 12 ein Thema aufgegriffen, das insbesondere bei der
GestaltungundDimensionierungvonLeichtbaukomponentenBerücksichtigungfindet.Die
für diese Art der Nichtlinearität entwickelten Finiten Elemente werden zur Lösung der
EulerschenKnickfälleherangezogen.
InKap.13wirdeineFE-FormulierungfürdynamischeProblemevorgestellt.Nebenden
SteifigkeitsmatrizenwerdenauchMassenmatrizenaufgestellt.UnterschiedlicheAnnahmen
zurVerteilungderMassen, obkontinuierlichoderkonzentriert, führenaufunterschiedli-
cheFormulierungen.BeispielhaftwirdderSachverhaltanDehnschwingungendesStabes
diskutiert.
Zur Veranschaulichung wird jedes Kapitel sowohl mit ausführlich durchgerechne-
ten und kommentierten Beispielen als auch mit weiterführenden Aufgaben – inklusive
Kurzlösungen–vertieft.JedesKapitelschließtmiteinerumfangreichenLiteraturlisteab.
Vorwortzur2.Auflage
DasgrundlegendeKonzeptzurBehandlungderFinite-Elemente-Methodemiteindimen-
sionalenFragestellungenistinder2.Auflageerhaltengeblieben.Zusätzlichaufgenommen
wurdediestationäreWärmeleitungunddasPrinzipdervirtuellenArbeitalseineweitere
MethodezurHerleitungvonFinite-Elemente-Formulierungen.ErgänztistdasKapitel14
mitSpezialelementenfürdieModellierungvonSingularitäten.
Hüttlingen,Southport(Australien),März2014 MarkusMerkel
AndreasÖchsner
Danksagung
Wir danken dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Baumann, für das Eingehen
hinsichtlichderAusrichtungdesBuchesundfürdieansprechendeAusstattungdesBuches.
StudierendenundKursteilnehmernseigedankt,siehabendurchkritischesHinterfragen
zurvorliegendenFormbeigetragen.
WirdankenherzlichFrauAngelikaBrunnerfürdieUnterstützungbeiderAnfertigung
desManuskriptesundFrauGertrudRublyfürdiesorgfältigeDurchsicht.
Abschließend sei unseren Familien für das Verständnis und die Geduld während der
ErstellungdesBuchesgedankt.
XI
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung .......................................................... 1
1.1 DieFinite-Elemente-MethodeimÜberblick ......................... 1
1.2 GrundlagenzurModellbildung .................................... 2
Literatur ............................................................ 4
2 MotivationzurFinite-Elemente-Methode .............................. 5
2.1 AusderingenieurmäßigenAnschauungmotivierteVerfahren ........... 5
2.1.1 DieMatrix-Steifigkeitsmethode ............................. 6
2.1.2 ÜbergangzumKontinuum.................................. 10
2.2 Integralprinzipien ............................................... 16
2.3 DieMethodedergewichtetenResiduen ............................. 18
2.3.1 VerfahrenaufBasisdesinnerenProduktes .................... 19
2.3.2 VerfahrenaufBasisderschwachenFormulierung .............. 22
2.3.3 VerfahrenaufBasisderinversenFormulierung................. 24
2.4 Beispielprobleme................................................ 24
Literatur ............................................................ 30
3 Stabelement ........................................................ 31
3.1 GrundlegendeBeschreibungzumZugstab ........................... 31
3.2 DasFiniteElementZugstab....................................... 34
3.2.1 HerleitungüberPotenzial .................................. 37
3.2.2 HerleitungüberSatzvonCastigliano......................... 38
3.2.3 HerleitungüberdasPrinzipdergewichtetenResiduen........... 39
3.2.4 HerleitungüberdasPrinzipdervirtuellenArbeit ............... 42
3.3 BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben...................... 44
3.3.1 Beispielprobleme ......................................... 44
3.3.2 WeiterführendeAufgaben .................................. 49
Literatur ............................................................ 49
XIII
