Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1557
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerprasidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretar Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 517.432.1
Prof. Dr. Paul Leo Butzer
Dipl.-Phys. Hermann Schulte
Lehrstuhl fur Mathematik (Analysis) der Rhein.-Westj. Techn. Hochschule Aachen
Ein Operatorenkalkul zur Lasung gewahnlicher und
partieller Differenzengleichungssysteme von Funktionen
diskreter Veranderlicher und seine Anwendungen
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06153-3 ISBN 978-3-663-07066-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07066-5
Vcrlags-Nr. 011557
© 1965 by Springer Pachmedien Wiesbaden
Urspriinglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, KOIn und Opladen 1965
GcsamtherstelJung: Westdeutscher Verlag
Inhalt
Einleitung und Inhaltsiibersicht ......................................... 1
Kapitel 1: Theoretische Grundlagen
1. 1 Die 0 peralorenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Der Summierungs- und Differenzenoperator ........................... 14
1.3 Der Verschiebungsoperator ........................................ 18
1.4 Die Erweiterung der Theorie auf Systeme von Funktionen 19
Kapitel2: Anwendungen
2.1 Die Aufsummierung von Reihen 22
2.2 Die LiJ"sung von gewohnlichen Differenzengleichungen ..................... 22
2.3 GewiJ"hnliche Differenzengleichungsrysteme ,. die Berechnung eines Keltenleiters .. 24
2.4 Die Anwendung des Kalkiils auf die Abtast-Regelung ................... 28
2.5 Die Anwendung des Kalkiils auf die Baustatik 31
Kapitel 3: Operatorvektoren
3.1 Allgemeine Grundlagen ........................................... 34
3.2 Die Operator-Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
3.3 Die Losung partieller Differenzengleichungen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie 40
3.4 Die LO'sung eines partiellen Differenzengleichungsrystems aus der Technischen
Chemie ........................................................ 41
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
Tabelle zum Operatorenkalkiil ......................................... 50
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Einleitung und Inhaltsubersicht
Methoden, gewohnliche sowie partielle Differentialgleichungen kalkiilmiiBig zu
lOsen, sind bereits mehrfach bekannt. 1m wesentlichen gehen sie auf HEAVISIDE,
LAPLACE und MIKUSINSKI zuriick. Vor allem letzterem gelang eine mathematisch
streng begriindete Darstellung eines Kalkiils, mit dessen Hilfe Differentialglei
chungen gelost werden konnen [19]. Die Theorie von MIKUSINSKI ist einfach in
ihrem Aufbau und dabei umfassend und noch allgemeingiiltiger als etwa die
analoge Theorie der Laplace-Transformation, da nicht Konvergenzeigenschaften
bei gewissen Funktionen zu Schwierigkeiten bei der Aussage iiber die Eindeutig
keit fiihren. Eine kurze, klare und elegante Darstellung des Mikusinski-Kalkiils
gibt das Buch von ERDELYI [6]. In diese Theorie sind auch die Dirac-o-Funktion
und ihre Ableitungen einbezogen, die in der Laplace-Transformation nur formal
zu erfassen sind.
Dagegen bleibt die Anwendung des Mikusinski-Kalkiils auf diskrete Differenzen
gleichungen, deren Losung Zahlenfolgen sind, formal, wegen der Umdeutung
in Funktionen einer kontinuierlichen Veriinderlichen wenig aussagestark und
damit in dem Bereich, wo solche Gleichungen auftreten, unbefriedigend. Die
zunehmende Bedeutung von diskontinuierlichen V orgiingen in einigen Gebieten
der Physik und Technik, der volkswirtschaftlichen Statistik, der Abtastregelung
und der Technik der Rechenmaschinen macht es wiinschenswert, einen selb
stiindigen Kalkiil auch fiir diese Differenzengleichungen zu besitzen.
S. GOLDBERG [11], W. FELLER [8] und vor allem CH. JORDAN [13] beschreiben
eine Losungsmethode von Differenzengleichungen mittels »Erzeugender Funk
tionen«, die wohl auf LAPLACE zuriickgeht. Diese GroBen werden durch den
Ansatz einer unendlichen Reihe gewonnen. Die Methode ziihlt daher zur diskreten
Laplace-Transformation, die in der Regelungstechnik zur Behandlung von dis
z-
kontinuierlichen V orgiingen unter dem N amen Transformation ein bewiihrtes
Rechenhilfsmittel geworden ist. Zu nennen sind hier die Biicher von ZYPKIN [24],
Tou [21], TSCHAUNER [22], JURY [15] und andere.
Folgt man der geschichtlichen Entwicklung aller Operatorenrechnungen, so
stoBt man bereits auf Ansiitze zu einer kalkiilmiiBigen Losung solcher diskreten
Differenzengleichungen. GOLDBERG [11] zeigt, wie auch aus anderen Arbeiten
hervorgeht, daB sogenannte Differenzenoperatoren wie Zahlen in Verbindung
mit Funktionen gehandhabt werden konnen. Differenzengleichungen konnen
damit unmittelbar nicht gelost werden, weil die Verkniipfung mit den Anfangs
werten bei solchen Gleichungen nicht besteht.
Zuniichst schlieBt unser Kalkiil diese Liicke. Dariiber hinaus ist es das Ziel der
Arbeit, gewohnliche und partielle Differenzengleichungen und vor aHem Systeme
solcher Gleichungen nach streng mathematischer Begriindung zu lOsen. Es steHt
sich heraus, daB unser Kalkiil vollig selbstiindig aufgebaut wird und nicht in der
Mikusinskischen Theorie fiir die kontinuierlichen Funktionen eingeschlossen ist.
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Umgekehrt kann der Mikusinskische Fall nicht aus unserem direkt abgeleitet
werden. Allerdings findet man eine Reihe analoger Ergebnisse.
Ein wichtiger Anwendungsbereich dieses Kalkuls wird in dieser Arbeit nicht
angesprochen werden. Es stellt sich heraus, wie in einer weiteren Arbeit der
Verfasser gezeigt wird, daB in der numerischen Mathematik die bei der naherungs
weisen Losung von Differentialgleichungen auftretenden Differenzengleichungen
mit diesem Kalkiil vorteilhaft geli:ist werden konnen. Zudem kann man finden,
daB durch die Begrundung einer sogenannten Operatorenanalysis die Theorie
der Differenzengleichungen erweitert wird.
Nun sind bereits ein paar Autoren der Anregung MIKUSINSKIS gefolgt und haben
eine Operatorenrechnung fur Funktionen diskreter Veranderlicher aufgebaut.
So J. ELIAS [5], 1. FENYO [10] und L. BERG [2]. Die drei Verfasser unterscheiden
sich aIle in der Definition der Ringmultiplikation, so daB ihre Operatorelemente
aIle unterschiedlich aussehen. ELIAS halt sich eng an die Diktion MIKUS[NSKIS,
wahrend BERG seinen Kalkul analog zum Duhamel-Integral aufbaut. Un sere Dar
stellung weicht entscheidend von beiden abo Wir streben nicht zuletzt die Dar
stellung der Analogie zur diskreten Laplace-Transformation an, urn die dort
bekannten Tabellenwerke benutzen zu konnen. Zum anderen haben wir das Ziel,
auch partielle Differenzengleichungssysteme zu losen.
In der hier vorliegenden Arbeit werden eingangs fur Funktionen diskreter
Veranderlicher, den Folgenfunktionen, nach geeigneter Definition von Summe
und Produkt Ring- und Korpereigenschaften nachgewiesen. Der algebraische
Zusammenhang zwischen dem Raum dieser Funktionen und dem Korper der
komplexen Zahlen wird dargestellt. Der Summierungsoperator wird definiert.
Seine Eigenschaften im Zusammenhang mit denen von Funktionen gesehen und
schlieBlich erste Differenzengleichungen geli:ist. Die Aufsummierung einer Reihe
zeigt, wie ahnliche Aufgaben mit diesem Kalkiil geli:ist werden konnen. Der
sogenannte Verschiebungsoperator wird eingefuhrt und seine Eigenschaften
gezeigt. Insbesondere gelingt es mit ihm, die Analogie zwischen unserem Kalkiil
und der diskreten Laplace-Transformation streng herzuleiten.
Die Anwendungsbeispiele sind in erster Linie so ausgewahlt, daB daran der
Rechengang des Kalkuls demonstriert wird. So werden zunachst gelaufige
Differenzengleichungen geli:ist. Die Stromspannungsberechnung in der Masche
cines Kettenleiters fiihrt als erstes zu einem System gewohnlicher Differenzen
gleichungen, das in einem Zuge gelost wird. Aus der Abtastregelung wird ein
Modellregelkreis aufgebaut und gezeigt, wie vorteilhaft gerade in dies em Bereich
mit unserem Kalkul gerechnet werden kann. Die Bestimmung der Momenten
verteilung an einem Durchlauftrager bei gleichmaBiger Lastverteilung ist das
Beispiel aus der Baustatik.
1m Hinblick auf die Berechnung cines partiellen Differenzengleichungssystems
aus der Technischen Chemie folgt im dritten Kapitel zunachst weitere Theorie.
Sogenannte Operatorvektoren werden eingefuhrt und einzelne Eigenschaften
von Differenzengleichungssystemen im Korper gezeigt. SchlieBlich wird dann
das Problem der fraktionierten Verteilung bei nicht vollstandiger Diffusion aus
der Technischen Chemie gelost.
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KAPITEL 1
Theoretische Grundlagen
1.1 Die Operatorenalgebra
In der vorliegenden Untersuchung werden die Eigenschaften des Karpers (£ der
komplexen Zahlen als bekannt vorausgesetzt. Der Aufbau dieses Karpers stellt
zugleich ein Modell dar, nach dem unser Kalkiil aufgebaut wird.
Definition 1. Wir verstehen unter a = {an} eine reellwertige Funktion, die aujferhalb
der diskreten Punkte n (n = 0, 1, ... ) der positiven reef/en Aehse versehwindet. a = {an}
reprasentiert eine Zahlenfolge.
Bemerkung. Der Unterschied zwischen den Funktionswerten an(n = 0, 1, ... )
und der Funktion a = {an} selbst, hier gekennzeichnet durch geschwungene
Klammern, muG streng auseinandergehalten werden.
Definition 2. Die Menge soleher Funktionen a = {an}, die in jedem der diskreten
=
Punkte n(n = 0, 1, ... ) wohldejiniert sind, d. h. pir die also die Werte an =1= ±
(n = 0, 1, ... ) sind, bildet den Raum 6.
Die Rechenoperationen der Addition und Multiplikation in 6 und zwischen 6
und (£ seien wie folgt definiert:
i) Die Addition der Elemente a und b aus 6 durch
+ + +
a b = {an} {bn} =' {an bn};
ii) Die Multiplikation eines Elementes IX E (£ mit einem Element a E 6 durch
rxa = rx{an} == {rxan};
iii) Die Multiplikation zweier Elemente a und b aus 6 durch
n
{L
ab = {an} {bn} ~ akbn-k}'
k~O
Wie in der Algebra muG nun gezeigt werden, daG der GraGenbereich 6 einen
kommutativen Ring und dariiber hinaus auch iiber dem Karper (£, der Menge
der komplexen Zahlen, ein Linearsystem bildet. Das fiihrt zu folgendem Satz:
Satz 1. 5eien a, b, eE6; rx, fJE(£. 50 gilt
+
i) a b, rxa, abE6;
ii) a + b = b + a; a + (b + e) = (a + b) + e;
+ +
iii) ab = ba; a(be) = (ab) e; (a b) e = ae be;
+ + + +
iv) rx(a b) = lXa rxb; (rx fJ) a = lXa fJa;
rx(ab) = (rxa) b = a(rxb); (rxfJ) a = rx(fJa).
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Zu i): Summe und Produkt endlich vieler wohldefinierter Funktionswerte
ergeben wieder wohldefinierte Funktionswerte. Summe und Produkt
zweier Funktionen aus 6 mussen daher wieder zu 6 gehoren. i) zeigt
also, daB 6 bezuglich der Operationen der Addition, der Multiplikation
mit einem Skalar und der Multiplikation abgeschlossen ist.
Zu ii): Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition ergeben sich
unmittelbar.
Zu iii): Auch das kommutative Gesetz der Multiplikation folgt sofort. Das
assoziative Gesetz der Multiplikation ist dagegen nicht ohne weiteres zu
erkennen. Der Beweis laBt sich aber leicht durchfUhren mit Hilfe der
sogenannten Dirichlet-Formel, wie sie fur analoge Gebietsintegrale gilt.
Wir mussen zeigen, daB a(bc) = (ab) c ist. Es ist
n
ab = { 2.: akbn-k} = {gn} ,
k~O
n
bc = { L bkcn-k} "'" {bn}.
k~O
Wegen der Kommutativitat der Multiplikation folgt
n-k
{gn-k} = {L aibn-k-i}.
i~O
Man setzt i = j - k und erhalt
n n j=n
{ Lgn-kCk} = { L [2>n-jbj-kCk]}.
k~O k~O j~k
Die Doppelsumme der rechten Seite erstreckt sich uber den Bereich
o
~ k~ j ~ n. Die Dirichlet-Formelliefert
n j n
{2.: L {L
an-d bj-kCk]} = an_jbj},
j~O k~O j-O
was zu beweisen war.
Zu iv): iv) zeigt die Eigenschaft von 6, Linearsystem zu sein.
Folgerung. Aus den Rechenregeln in 6 folgt:
i) Das Nullelement () = {O} E 6 ist die Funktion, die auch fUr die diskreten,
ganzzahligen Abszissenwerte n(n = 0, 1, ... ) verschwindet.
==
ii) Das Einselement 1 {bo•n} mit bo•n als dem Kronecker-Symbol, definiert
durch bo•n = 1 fUr n = 0, = 0 fur n = 1,2, ... , ist die Funktion, die fur
alle naturlichen n(n = 1,2, ... ) die Werte Null annimmt und fUr n = 0 den
Wert 1 besitzt.
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Bemerkung.
i) Die Definition der Nullfunktion ergibt sich sofort aus der Multiplikations
regel in 6, da man die Beziehung 0 {an} = 0 flir {an} beliebig aus 6 erhalten
will.
ii) In analoger Weise erhalt man das Einselement 1, da man 1 {an} = {an} flir
{an} beliebig aus 6 haben mi::ichte. Hier sei erwahnt, daB das Einselement 1
von 6 zum Ring gehi::irt, eine Eigenschaft, die das Einselement in der Miku
sinskischen Theorie flir stetige Funktionen nicht besitzt. Es ist namlich dort
die Diracsche 6-Funktion, die nicht einmal eine Funktion im klassischen Sinne
darstellt.
Von entscheidender Wichtigkeit ist nun der Nachweis, daB 6 nullteilerfrei ist;
denn dann und nur dann ist nach einem Satz der Algebra der Ring 6 zu einem
Ki::irper zu erweitern.
Satz 2. Seien a, bE 6, so gilt,' Das Produkt ab ist dann und nur dann gleich dem
Nullelement, wenn a oder b gleich dem Nullelement ist.
Beweis. Die Hinliinglichkeit folgt sofort.
Notwendigkeit: Angenommen, die Funktionen a und b seien ungleich der
Nullfunktion in der Weise, daB die Funktionswerte von a an der Stelle r, also ar,
und von b an der Stelle s, also bs, ungleich Null sind. Wir bilden sodann vom
Produkt ab den Funktionswert an der Stelle (r + s) und erhalten (ab)r+s =
r+s
= L akbr+s-k = arbs =F O. Dieses Ergebnis widerspricht der Voraussetzung,
k~O
nach der ab identisch verschwinden sollte. Daraus folgt die Aussage des Satzes.
Wir stellen fest, daB der kommutative Ring 6 nullteilerfrei ist. Er ist daher
definitionsgemaB ein Integritatsbereich. Urn zu einem Operatorenkalklil vorzu
stoBen, in dem aIle vier Rechnungsarten uneingeschrankt gelten, insbesondere
also auch die Division, bedarf es nach dem Muster der Algebra einer Bereichs
erweiterung, etwa zu einem Quotientenki::irper.
Zuniichst suchen wir Li::isungen x der Gleichung bx = a bei willklirlicher
Vorgabe der Funktionen a und b aus 6, jedoch mit b =\= O.
Satz 3. Die Lijsung x der Gleichung bx = a mit a, bE 6, b =\= 0, ist eindeutig.
Beweis. Sei y eine zweite Li::isung von by = a, so folgt b(x - y) = O. Daraus
folgt wegen der Nullteilerfreiheit (Satz 2) unmittelbar x = y.
Man flihrt nun ein erweitertes algebraisches System ein, indem man fordert, daB
darin die Gleichung bx = a wie oben immer eine eindeutige Li::isung hat. Analog
erweitert man den Bereich der natlirlichen Zahlen zu dem Ki::irper der rationalen
Zahlen. Wir fiihren der Klarheit wegen un sere Bereichserweiterung in der
Schreibweise sogenannter geordneter Paare durch.
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Definition 3. i) Das geordnete Paar (a, b) von Funktiolle!1 a, b EO 6, b =1= () stelle die
Losung x der Gleichung bx = a dar. ii) Das geordnete Paar (a, b) ist iiquivalent einem
Zlveiten geordneten Paar (c, d) mit c, d EO 6, d =1= (j dann und nur dann, wenn die Beziehung
ad = be gilt. iii) /lllt aquivalenten Paare (a, b) oder alb bilden eine Klasse von l,cordneten
Paaren, die A·quivalenzklasse. (a, b) ist der Reprasentant dieser Klasse.
Es bedarf des Hinweises, daB die Definition einer Aquivalenzrelation gerecht
fertigt ist, da sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist und damit den geforderten
Axiomen genugt.
Definition 4. Die Menge aller .Aquivalenzklassen bezeichnen wir mit .R Die Repra
sentanten (a, b) oder alb dieser Klassen nennen wir Operatoren.
Bern e r k un g. Wir haben die Elemente von .R Opcratoren genannt. Spater wird
sich herausstellen, daB nach gewissen Identifizierungen bestimmte Operatorcn
bestimmten Elementen aus (£, dem komplexen Zahlenkorper, andere Operatoren
Elementen aus 6, dem Raum der Funktionen, entsprechen.
Der erweiterte Bereich unseres Ringes 6 soli eine solche Struktur haben, daB die
bisher eingefuhrten Rechenregeln zwischen den Elementen erhalten bleiben.
Damit sind zwangsIaufig die Rechenregeln in .R wie folgt fur (a, b) und (c, d) EO.R
definiert:
i) Die Addition durch
+ == +
(a, b) (c, d) (ad be, bd);
ii) die Multiplikation mit einer komplexen Zahl IX durch
==
IX (a, b) (IXa, b);
iii) die Multiplikation zweier Elemente (a, b), (e, d) durch
==
(a, b) (e, d) (ae, bd).
Urn zu erkennen, daB diese Definitionen sinnvoll sind, ist zu zeigen, daB sie
unabhangig von der Wahl des jeweiligen Reprasentanten einer Gleichheitsklasse
sind. Fur die Addition erkennt man das folgendermaBen: Seien (a, b) = (a', b'),
(e, d) = (e', d') gegeben. Nach der Definition gilt dafur ab' = ba', cd' = de'.
+ + +
Ferner gilt (ad be) b'd' = adb'd' beb'd' = a'bdd' --+- bb'dc' = (a'd' b'e') bd.
+ +
Daraus folgt (ad be, bd) = (a'd' b'c', b'd'). Analog erhalt man das Ergebnis
fur die Multiplikation.
Die Eigenschaft, daB der GroBenbereich .R ein Korper ist, zeigen die beiden
folgenden Satze:
Satz 4. Seien (a, b), (c, d), (e,f) EO.R; IX, fJ EO (£. Dann gilt;
+ + + +
i) (a, b) [(c, d) (e,f)] = [(a, b) (c, d)] (e,f);
+ +
(a, b) (c, d) = (c, d) (a, b);
ii) (a, b) (c, d) = (e, d) (a, b); (a, b) [(c, d) (e,f)] = [(a, b) (c, d)] (e,f);
+ +
[(a, b) (c, d)] (e,f) = (a, b) (e,f) (c, d) (e,f);
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