Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1794
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 677 - 042.2.001.57
677.061.1 :531.15
Prof Dr.-Ing. Dr.-Ing. B.h. Walther Wegener
Dipl.-Ing. Alfred Kühnel
Ins/i/ut für Textiltechnik der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Ein Modell für die Anordnung der Elementarfäden
in einem gedrehten Faden
WESTDEUTSCHER VERLAG· KÖLN UND OPLADEN 1967
ISBN 978-3-663-06150-2 ISBN 978-3-663-07063-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07063-4
Verlags-Nr. 011794
© 1967 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
Inhalt
1. Problemstellung................................................. 7
2. Literaturübersicht ............................................... 8
3. Das theoretische Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
3.1 Eigenschaften und Verh alten eines Fadenbündels während der
Drehungserteilung .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
3.2 Die V oraussetzungen für das theoretische Modell ................ 17
4. Experimenteller Teil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
5. Zusammenfassung............................................... 46
6. Literaturverzeichnis.............................................. 47
5
1. Problemstellung
In der vorliegenden Arbeit wird die geometrische Struktur, die sich in einem
Faden aus ursprünglich gestreckt und parallel nebeneinander liegenden Elementar
fäden während der Drehungserteilung ausbildet, untersucht. Als die geometrische
Struktur solI die Anordnung der Elementarfäden im gedrehten Faden bezeichnet
werden.
Für die Lösung dieses Problems ergeben sich zwei Wege. Der eine besteht darin,
daG die Kurve, die ein bestimmter Elementarfaden beschreibt, mit Hilfe einer
geeigneten mikroskopischen Beobachtungstechnik sichtbar gemacht wird. Der
andere, der in der vorliegenden Arbeit beschritten wird, geht von einer Modell
vorstellung über die Anordnung der Elementarfäden aus. Unter Zugrundelegung
eines derartigen geometrischen ModelIs lassen sich aus den mechanischen Eigen
schaften der Elementarfäden die mechanischen Eigenschaften des Fadens in Ab
hängigkeit vom Drehungsgrad voraussagen. Eine Annahme über die geometrische
Struktur impliziert also eine Aussage über die mechanischen Eigenschaften.
Das in der vorliegenden Arbeit entwickelte theoretische Modell liefert z. B. ei ne
Voraussage über den Zusammenhang zwischen der (veränderlichen) Drehung des
Fadens, dessen (veränderlicher) Länge und der in der Richtung der Fadenbündel
achse wir kenden Zugkraft. Dieser in die Form eines Integralausdruckes gekleidete
Zusammenhang ermöglicht einerseits eine Voraussage über die Abhängigkeit der
Länge des Fadens von der Drehung bei einer bestimmten Zugkraft und anderer
seits eine Voraussage der bei einer bestimmten Drehung im Faden herrschenden
Zugkraft, wenn die Länge des Fadens konstant gehalten wird. Die Länge des
Fadens, die darin herrschende Zugkraft und - vorausgesetzt, daG diese GröGe
meGtechnisch eindeutig def1niert ist - auch die Drehung werden in der Regel einer
Messung leichter zugänglich sein als die Koordinaten eines im Faden liegenden
Elementarfadens. In den Gleichungen, die den Zusammenhang zwischen der
Länge des Fadens, der darin herrschenden Zugkraft und der Drehung beschreiben,
sind die Voraussetzungen, die hinsichtlich der Anordnung der Elementarfäden
getroffen werden, implizit enthalten ; können daher die Gleichungen experimentelI
bestätigt werden, so bestätigt dies die Richtigkeit der vorausgesetzten geo
metrischen Struktur.
7
2. Literaturübersicht
Mit den Vorgängen während der Drehungserteilung ist die Frage nach den
mechanischen Eigenschaften des gedrehten Fadens eng verbunden. Diese Frage,
auf die hier nicht eingegangen wird, ist in zahlreichen theoretischen und experi
mentellen Untersuchungen [1-7] behandelt.
Einige dies er Autoren zeigen auch die Vorgänge während der Drehungserteilung
auf. TREOLAR [8] geht von einem bestimmten theoretischen Modell aus, urn den
Zusammenhang zwischen der (veränderlichen) Länge und der (veränderlichen)
Drehungszahl1 eines Bündels von Elementarfäden während des Drehungsvor
ganges auf theoretischem Wege vorauszusagen. Dieses geometrische Modell wird
als Schraubenlinien-Modell bezeichnet. Es bildet, in geeigneter Weise modifiziert,
auch den Ausgangspunkt für die vorliegende Arbeit und geht in seiner Konzeption
(für Fasergarne) auf GÉGAUFF [9] zurück. Charakteristisch für das Schrauben
linien-Modell sind die folgenden V oraussetzungen:
1. Die Achse jedes Elementarfadens, der nicht in der Achse des (tordierten)
Fadenbündels liegt (Vo raussetzung 2), bildet eine gewähnliche Schraubenlinie.
2. Die gemeinsame Achse für die Achsen aller Schraubenlinien ist die Achse des
Fadenbündels.
3. Die Drehungszahl ist für alle nicht in der Fadenbündelachse liegenden Elemen
tarfäden gleich grof3.
Darüber hinaus macht TREOLAR [8] noch die folgenden Voraussetzungcn:
4. Die Längen der Elementarfäden blei ben während des Drehungsvorganges
unverändert.
5. Die Länge des Fadenbündels stimmt mit dem Mittelwert der senkrechten
Projektionen aller Elementarfäden auf die Achse des Fadenbündels überein.
6. Der Querschnitt des Fadenbündels (senkrecht zur Fadenbündelachse) ist kreis
färmig; sein Radius Rist längs der Fadenbündelachse konstant.
7. Der Radius R des Fadenbündels bleibt während des Drehungsvorganges
unverändert.
8. Die Anzahl der Elementarfäden, welche die Flächeneinheit irgendeines Faden
bündelquerschnittes durchsetzen, ist über den Querschnitt konstant.
1 Die im Zusammenhang mit dem Schraubenlinien-Modell auftretenden Begriffe sind
im Abschnitt 3.2 definiert.
8
Das durch die V oraussetzungen 1-8 gekennzeichnete geometrische Modell bleibt
unvollständig, solange die Bedingungen, unter denen die Drehungserteilung
erfolgt, nicht def1niert sind. Deshalb muG die Frage, ob die Voraussetzungen 1-8
einen Widerspruch enthalten, offen bleiben.
Einem Bündel ursprünglich gestreckt und parallel nebeneinander liegen der
Elementarfäden kann unter Modellbedingungen Drehung auf einem Drehungs
prüfgerät erteilt werden. Wird das eingespannte Fadenbündel axial belastet, so
kann der Zusammenhang zwischen der Längenänderung und der Drehung
(Drehungsanzahl) des Fadenbündels bei konstanter axialer Belastung untersucht
werden. In diesem FalIe müssen die jeweilige Stellung der horizontal beweglichen
Klemme und der Verdrehwinkel der drehbaren Klemme ablesbar sein.
TREOLAR [8] leitet aus den Voraussetzungen 1-8 für den Zusammenhang zwischen
der auf die Ausgangslänge des Fadenbündels bezogenen Längenänderung M und
der Drehungszahl T des Fadenbündels die Beziehung
ab. Es ist auGerordentlich bemerkenswert, daG diese Beziehung nicht zutreffen
kann, wenn die Drehung auf einem Drehungsprüfgerät aufgebracht wird. Zu den
Voraussetzungen 1-3 tritt nämlich in diesem FalIe notwendig die Bedingung
hinzu, daG die Länge der Projektion eines beliebig herausgegriffenen Elementar
fadens auf die Achse des Fadenbündels für alle Elementarfäden gleich grog und
stets gleich der (veränderlichen) Länge L = L(T) des Fadenbündels sein muG.
Aus dieser Voraussetzung und den Voraussetzungen 1, 2 und 3 folgt für die
Länge 5 eines Elementarfadens, der auf dem Mantel eines Zylinders mit dem
Radius r (0 ;:; r ~ R) liegt,
S = Ser, T) = Lil + 4712r2T2
Diese Gleichung ist mit der von TREOLAR [8] getroffenen Voraussetzung 4 unver
einbar. TREOLAR [8] selbst erwähnt dies en Widerspruch und versucht, ihn nach
träglich durch die Bemerkung abzuschwächen, daG der Abstand eines willkürlich
herausgegriffenen Elementarfadens von der Fadenbündelachse in Wirklichkeit
längs dieser Achse variieren könne. Dies würde aber bedeuten, daG die Voraus
setzung 1, die zusammen mit der V oraussetzung 2 den Ausgangspunkt für alle
weiteren Betrachtungen des Autors bildet, nachträglich wieder verworfen wird.
Wie die Untersuchungen von TATTERSALL [10] und RmING [11] ergaben, weichen
die auf experimentellem Wege gewonnenen Ergebnisse von den von TREOLAR [8]
vorausgesagten Ergebnissen tatsächlich ab, wenn ein zwischen zwei Klemmen
eingespanntes und unter konstanter axialer Belastung stehendes Fadenbündel
tordiert wird (»static twisting«). Dieses Ergebnis kommt nicht überraschend. Urn
so verblüffender ist die Tatsache, daG die von TREOLAR [8] angegebene Gleichung
durch das Experiment bestätigt wird, wenn die Längenänderung während des
2 Vgl. S. 23.
9
Aufdrehens emes Fadenbündels crmittclt wird, das vorher entweder auf einer
Zwimmaschine herkömm!icher Bauart(»commercial twisting«: TATTERSALL (10])
oder auf einer eigens für ei ne kontinuierliche Drehungscrteilung unter Modell
bedingungen entwickelten V orrichtung (» continuous twisting machine«: RrDING
(11]) hergestellt wurde. Dieses Ergebnis ist deshalb so überraschend, weil nicht
einzusehen ist, warum ein in sich nicht widerspruchfreies theoretisches Modeli
unter den abgeänderten Versuchsbedingungen ein richtiges Ergebnis !iefem solI.
Die Bedingung, daB die Länge der Projektion eines willkürlich herausgegriffenen
Elementarfadens auf die Fadenbündelachse für alle Elementarfäden gleich groB
und gleich der Länge des Fadenbündels sein muB, bleibt nämlich auch unter den
Bedingungen, die bei einer kontinuierlichen Drehungserteilung herrschen, unver
ändert bestehen. Und diese Bedingung führt, wie bereits erwähnt wurde, auf einen
Widerspruch mit der Voraussetzung 4, wenn die Voraussetzungen 1-3 aufrecht
erhalten werden.
Sowohl TAT1'ERSALL [10] als auch RrJ)]NC [11] ziehen aus den Ergebnissen ihrer
llntersuchungen den SchluB, daB die geometrische Struktur eines zwischen zwei
Klemmen unter konstanter axialer Belastung tordierten Fadenbündels von der
ei nes bei gleichzeitiger Lieferung tordierten Fadenbündels wesentlich verschieden
sein muil. Die Frage, ob diese Vermutung richtig ist, wird in der vorliegenden
Arbeit offengelassen. Eine ganz andere, das Thema dieser Arbeit unmittelbar
berührende Frage ist die, ob das Schrauhenlinien-Modell dem momentanen Zu
stand eines zwischen zwei Klemmen eingespannten und unter konstanter axialer
Belastung stehenden Fadenbündels während der Torsion tatsächlich angemessen
ist, oder ob dieses Modell durch ein anderes ersetzt werden muB.
Ein erster Hinweis darauf, daB die Vorstellung üher ein Bündel auf konzentrischen
Schraubenlinien liegender Elementarfäden in Wirklichkeit gar nicht zuzutrefFen
braucht, findet sich bei TA TTERSALL [10]. T ATTERSALL [10] erwähnt, daB ein unter
den Bedingungen des» statie twisting« tordiertes Fadenbündel eine mit zunehmen
der Drehung ehenfalls zunehmende Neigung zur Kringelbildung zeigt. Nach
TA 1TERSALL [10] ist diese Erscheinung auf das Bestreben der Elementarfäden
zurückzuführen, die mit zunehmender Drehung innerhalb des Fadenbündels
immer ausgeprägter werdenden Spannungsunterschiede durch ei ne Wanderung
der in der Randzone des Fadenbündels !iegenden Elementarfäden nach innen und
umgekehrt der im Inneren liegenden Fäden nach auBen wieder auszugleichen.
T ATTERSALL [10] geht dabei von der V orstellung aus, daB die Anordnung der
Elementarfäden innerhalb des Fadenbündels mit dem Schraubenlinien-Modell im
Einklang steht, solange die Drehung des Fadenbündels hinreichend klein ist. Die
Längenunterschiede zwischen den in der Umgebung der Oberf1äche und den in
der Nähe der Achse des Fadenbündels liegenden Elementarfäden sollen in diesem
Zus tand noch klein sein.
Mit zunehmender Drehung werden diese Unterschiede nach T ATTERSALL [10J
immer gröBer. Ein Ausgleich der durch die Längenunterschiede hervorgerufenen
Spannungsunterschiede wird durch die mit zLlnehmender Verdrehung ebenfalls
stärker gewordene Schichtenbildung verhindert. Ein Spannungsausgleich ist
daher nur auf dem Wege der Kringelbildung möglich.
10
Die Ausführungen von T ATTERSALL [10] stellen lediglich den Versuch einer quali
tativen Deutung der Kringelneigung dar. An der theoretischen Vorstellung eines
Bündels auf konzentrischen Schraubenlinien liegender Elementarfäden hält
T ATTERSALL [10] wciterhin fest. RIDING [11] geht einen Schritt weiter. Die von
diesem Autor aufgestellte Hypothese, dag der Abstand eines Elementarfadens
von der Fadenbündelachse längs dies er Achse stetig variieren kann (» migration
filament hypothesis«, s. a. TREOLAR [8]), bedeutet bereits eine Abkehr vom
Schraubenlinien-Modell. Tatsächlich kann RIDING [11], indem er eine spezielIe,
von MORTON und YEN [12] für ganz ähnliche Untersuchungen an Fasergarnen
entwickelte mikroskopische Beobachtungstechnik (» tracer-fibre technigue«, s. a.
MORTON [13]) auf Fadenbündel anwendet, direkt nachweisen, daG der Weg, den
ein im tordierten Fadenbündel liegender Elementarfaden beschreibt, nicht mit
einer gewähnlichen Schraubenlinie übereinzustimmen braucht (s. a. RIDING [14]).
Den endgültigen Bruch mit der Vorstellung eines Bündels auf konzentrischen
Schraubenlinien liegender Elementarfäden (»coaxial-helix model«) vollzieht
TREOLAR [7]. TREOLAR [7] entwickelt ein neues theoretisches Modell (»migration
filament model«), das im wesentlichen auf den folgenden Voraussetzungen beruht:
(1) Der Abstand reines Punktes der Achse eines willkürlich herausgegriffenen
Elementarfadens von der Achse des Fadenbündels (r = 0) variiert stetig und
periodisch mit der längs dieser Achse gezählten Koordinate Z.
(2) Bezeichnet h den Polarwinkel eines Punktes der Achse eines willkürlich
herausgegriffenen Elementarfadens, so ist dessen Ableitung nach der Koordi
nate Z stets konstant.
(3) Die von den Achsen der Elementarfäden beschriebenen Raumkurven sind bis
auf eine Verschiebung in der Richtung der z-Achse und eine Drehung um
diese Achse für alle Elementarfäden identisch.
(4) Die Packungsdichte der Elementarfäden ist in jedem Punkt des Fadenbündels
gleich grolt
Neben diesen vier Voraussetzungen existiert noch die Voraussetzung
(5) Die Längen der Elementarfäden bleiben während des Drehungsvorganges
unverändert.
Entsprechend der V oraussetzung (1) stellt der Abstand reines Punktes der Achse
eines willkürlich herausgegriflenen Elementarfadens von der Fadenbündelachse
eine periodische Funktion der Koordinate Z dar. Die geometrische Struktur des
Fadenbündels wird daher und wegen der Voraussetzung (3) bereits weitgehend
bestimmt sein, wenn der Zusammenhang zwischen der Koordinate rund der
Koordinate zeines Elementarfadens bestimmt ist, der von dem Punkt (r = 0, Z = 0)
der Fadenbündelachse ausgeht und nach einer Halbperiode die Oberfl.äche des
Fadenbündels im Punkte (r = R, Z = Z) erreicht (R = Radius des Faden
bündels). Nach TREOLAR [7]lautet dieser Zusammenhang
11
I
Z r' Vp2rl2 --1
---::-:-----,-dr'
R i 1 + d2r'2
]i
und die einer Halbperiode entsprechende Länge Z ist durch
/v
Z ;':~~,:
R J,'
p
2ngR
gegeben (1' I = rlR, d = 2 nR T, P = --'--, T = Drehungszahl des Fadenbün-
m
deIs, g = Packungsdichte der Elementarfäden, JJJ = lineare Dichte, mit der die
Ursprungspunkte der Elementarfäden längs der z-Achse verteilt sind). Bemerkens
wert ist, daB in den beiden Integralen nicht die Zahl 1" = 0, sondern die Zahl
1
1" = - als untere Integrationsgrenze auftritt. Der Zusammenhang zwischen der
P
Koordinate l' und der Koordinate Z ist also in dem Interval! 0 ~ ,.' < liP nicht
definiert (>,axial region<c TREOLAR [7]). Als Begründung für die Wahl von
liP
,.' = an Stel!e von ,.' = 0 gibt TREOLAR [7] das Imaginärwerden des Inte
granden für 1" < liP an. Nach TREOI,AR entspricht dies er zunächst rein mathe
matischen Unsicherheit physikalisch der Umstand, daB die Voraussetzung (3) und
die Voraussetzung (4) in der unmittelbaren lImgebung der Fadenbündelachse
nicht gleichzeitig erfüllt sein können.
Für die einer Halbperiode entsprechende Länge 5 eines Elementarfadens leitet
TREOLAR [7] die Beziehung
(1 --
s 2. ~)
= P R
2 p2
ab. Die Längen der Elementarfäden blei ben während des Drehungsvorganges
unverändert [Voraussetzung (5)]. Für die relative Längenänderung des Faden
bündels während des Drehungsvorganges folgt daher
V
1
f p2r12-1
M = _S_S_Z = 1 - ~ = 1 -- -P-;-(l-~---~) -1 -+- d-2,.d'2 r'
p2 P
Jedem Wert des dimensionslosen Parameters P entspricht nach der Integral
beziehung
[
V
1
p2r12-1
Z
----dr'
+
R i 1 d2r'2
p
12
