Ein mathematischer COUNTDOWN zur Wirtschaftswissenschaft

187 Pages·1990·3.8 MB·German

by  Prof. Dr. Walter Trockel (auth.)

Walter Trockel
Ein naathenaatischer
COUNTDOWN
zur Wirtschafts
wissenschaft
Mit 37 Abbildungen
Springer -Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Prof. Dr. Walter Trockel
Institut fUr Mathematische Wirtschaftsforschung (lMW)
Universitat Bielefeld
Postfach 8640
D-4800 Bielefeld 1
ISBN-13: 978-3-540-53002-2 e-ISBN-13: 978-3-642-75980-2
001: 10.1007/978-3-642-75980-2
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© Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1990
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daher von jedermann benutzt werden dtirften.
Fiir Monika
Stefan Alexander
Jan Nicolai
Christian Tobias
Daniel Dominik Benjamin
Vorwort
Der vorliegende Text entstand aus der sich Jahr fur Jahr wiederholenden
bitteren Erfchrung, daB die mathematischen Vorkenntnisse, die man als
Dozent bei Anfangern eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums unter
stellen mochte, in der Regel nicht annahernd vorhanden sind. Aus dieser
Erkenntnis heraus habe ich an der Universitat Bielefeld im Winter
semester 1989/90 zum ersten Mal einen mathematischen Vorkurs ange
boten, der all das behandeln sollte, was man eigentlich in den Vorlesun
gen "Mathematik fUr Wirtschaftswissenschaftler" schon aus Zeitgrunden
nicht mehr behandeln kann. Beniitzt man namlich diese Vorlesungen, urn
Lucken im Schulstoff auszufiillen, so fallen fUr das wirtschaftswissen
schaftliche Studium unverzichtbare Inhalte unter den Tisch.
Dieser Text ist mit der Intention geschrieben worden, durch hinreichende
Verbreitung unter kunftigen Studenten der Wirtschaftswissenschaften
einen solchen Vorkurs langfristig iiberflussig zu machen.
Wenn die Einsicht, daB man in den Wirtschaftswissenschaften wie in den
Naturwissenschaften ohne Mathematik nicht sehr weit kommt, sich ver
breitet, dann ist bereits sehr viel gewonnen.
Der Text beginnt mit Grundbegriffen der elementaren Mengenlehre und
endet mit Grundbegriffen der Differential- und Integralrechnung. Ich
habe jerloch die giinstige Gelegenheit benutzt, einiges an Terminologie
und Notation miteinflieBen zu lassen, was von der Schule her sicher nicht
bekannt, im wirtschaftswissenschaftlichen Studium aber durchaus niitz
lich ist.
VIII
Konzeptuelles Verstandnis zu vermitteln sowie Einsicht in den wirklichen
Bedarf der vorgestellten mathematischen Begriffe und Ergebnisse sind das
eigentliche Ziel dieses Vorkurses. Obgleich vieles ohne Beweis nur be
hauptet wird, tauchen dennoch Beweise auf, vor allem dort, wo sie dem
Verstandnis besonders dienlich sind. Vollstandigkeit war in keinem der
behandelten Themenbereiche mein Ziel.
Die Uberzeugung des Autors von der Bedeutung der axiomatischen
Methode auch in den Wirtschaftswissenschaften spiegelt sich hoffentlich
gelegentlich im Text wieder.
Ein Literaturverzeichnis erubrigt sich, da alles irgendwo entlehnt ist und
nichts wirklich neu. Generell verweise ich jedoch auf die verschiedenen
hervorragenden Bucher zur Mathematik von Professor Serge Lang.
Meine Mitarbeiter, Dr. Detlev Homann und Dipl.-Math. Frank Weidner,
haben die ursprungliche Fassung mit Ausnahme der Aufgaben und L6sun
gen so grundlich gelesen und in so vielen Teilen kritisiert und verbessert,
daB ich geneigt bin, auch die Schuld fiir verbliebene Fehler ihnen mit
anzulasten. Fur ihre Bemuhungen bin ich sehr dankbar. Ebenso herzlicher
Dank gilt meiner Sekretarin, Frau Ulrike Bruning, fur ihre aufopferungs
volle Arbeit am Tandon-Rechner beim Schreiben des Textes sowie Herrn
cando math. oec. Oliver Weigel fur die Erstellung des Sach- und Symbol
verzeichnisses sowie eines groBen Teiles der Diagramme.
SchlieBlich danke ich Frau Marianne Bopp und Herrn Dr. Werner Muller
yom Springer-Verlag dafiir, daB sie mich in meinem Vorhaben bestarkt
und den etwas unkonventionellen Stil bis in den Titel hinein akzeptiert
haben.
Ich hoffe, mit meinen Lesern ist zu spaBen.
Bielefeld im Juni 1990
Walter Trockel
Inhaltsverzeichnis
Vorworl VII
Zeichenkurs - Symbolverzeichnis XI
13. Das ist doch logo - Grundlagen logischen SchlieBens 1
12. Der Barbier von Sevilla - Mengen und Klassen 5
11. Eins, zwei, drei ... ganz viele - N atiirliche Zahlen 19
10. Ein Bruch kommt selten allein - Rationale Zahlen 25
9. Wer immer strebend sich bemuht
- Approximation und Konvergenz 39
8. Von der Vorherrschaft des Irrationalen - Reelle Zahlen 51
7. Guterbundel sind wie Pfeile - Vektoren 62
6. Wie an der Schnur gezogen - Linearitat 70
5. Wenn klar ist, wo es lang geht - Differenzierbarkeit 78
4. Man ist geknickt, wenn nicht alles glatt geht
- Stetigkeit 94
3. Alles unter einem Hut - Integrierbarkeit 105
2. "Wenn der Schwanz mit dem Hund wedelt"
und andere Extrema - mehr uber Differenzierbarkeit 118
1. Yin und Yang - Integration und Differentiation 134
O. Jedem Tierchen sein Plasierchen - Spezielle Funktionen 146
Kein Grund zur Aufgabe - Aufgaben 154
" 0 schone Sphinx! 0 lOse mir
das Ratsel, das wunderbare !
Ich hab' dariLber nachgedacht
schon manche tausend Jahre" - L6sungen der Aufgaben 160
(Heinrich Heine)
Suchet und Ihr werdet finden - Sachverzeichnis 171
Zeichenkurs - Symbolverzeichnis
-,A Negation von A, "nicht" A 1
AvB Disjunktion, A "oder" B 1
A"B Konjunktion, A "und" B 1
A=>B Implikation, "aus" A "folgt" B 1
A¢=>B Aquivalenz, A ist aquivalent zu B 1
a> b,a ~ b a ist grofier (gleich) b 24
A , 'v'xEX Allquantor, Generalisator, fur alle x aus X 3
xEX
V ,3 xEX Existenzquantor, Partikularisator, es gibt
xEX
ein x aus X 3
mEM mist Element aus M 6
m¢M mist nicht Element aus M 6
MeV Mist Teilmenge von V 6
Ml U M2,U Mi Ml vereinigt mit M2, Vereinigung aller Mi 8
Ml nM2,n Mi Ml geschnitten mit M2, Schnittmenge aller Mi 8
M2\Ml mengentheoretische Differenz, Ml "ohne" M2 8
M2 6. Ml symmetrische Differenz von M2 und Ml 8
M1" M2, Mengen-, kartesisches Produkt von Ml und M2,
lIM., X M. aller Mi 10
1 1
Mn M x M x ... x M (n-mal) 10
R Relation 11
R-1 inverse Relation 11
aRb (a,b) ist Element von R 11
#N Machtigkeit, Kardinalitat von N 17
A:::B A und B sind gleichmachtig 17
XII
supM Supremum von M 32
infM Infimum von M 32
IN, INO Menge der natiirlichen Zahlen (einsehl. Null) 19
-
IN Menge der negativen Zahlen 20
II Menge der ganzen Zahlen 21
Menge der rationalen Zahlen 25
~
IR+ Menge der positiven reellen Zahlen 12
IR Menge der reellen Zahlen 52
At Menge aller Mengen 6
0 leere Menge 7
Me Komplementarmenge von M 8
J'lB Potenzmenge von B, Menge aller Teilmengen
von B 13
6 Menge der endliehen Mengen 20
(M,o) Gruppe 22
(ll,+ ) additive Gruppe der ganzen Zahlen 22
K Ki:irper 27
K2 Restklassenki:irper modulo 2 28
(IR,+,· ) vollstandiger, archimediseh
angeordneter Ki:irper der reellen Zahlen 53
L(IR,IR) Menge der linearen Abbildungen von R nach R 72
S Vektorraum der Treppenfunktionen 114
[ a,b] abgeschlossenes Intervall 135
[a,b[ ,] a,b] halboffenes Intervall 135
] a,b[ offenes Intervall 135
Gf Graph von f 13
11 Urbild von f 14
GoF Komposition von Fund G, G "nach" F 15
°
f Abbildung der Verkniipfung 22
°
n! n Fakultat 34
XIII
Th. Summe tiber alle ai 35
1
m
Binominalkoeffizient, k tiber i 36
d(x,y) Metrik, Abstandsfunktion, Abstand von x und y 41
Ixl Absolutbetrag von x 42
(xn)nElN Folge von Zahlen xn fUr alle n E IN 43
lim xn Limes, Grenzwert der Folge (xn)n E IN 45
n-t
CD
diM Einschrankung von d auf eine Teilmenge M 47
CD
~ a n unendliche Reihe 57
n=l
M(xO) affine Abbildung h H f(xO)+Df(xO)(h-xO) 82
f'(xO) Steigung, Ableitung von f bei Xo 83
df
ax(xO) andere Schreibweise fUr f'(xO) 83
/n)(xo) n-te Ableitung von f bei Xo 85
R Restglied 86
f,xO
o(h) Funktion des Typs "klein 0" von h 87
L ,L xl-Schnitt, x2-Schnitt von f 89
xl x2
l87Xf 1 (x-1,x-2 ) partielle Ableitung von f nach xl 89
Grad f(x),-vf(x) Gradient von f bei x 89
Ilhll Norm des Vektors h 90
Df(x) tot ales Differential von f bei x 93
Kt(xO) offene t-Kugel um Xo 104
K)xO) abgeschlossene t-Kugel um Xo 104
(vN )nElN'(Yn)nEIN Riemann'sche Obersumme bzw. Untersumme 108
Jf,lf Riemann'sches Oberintegral bzw. Unterintegral 108
Jf Riemann-Integral, 108, Lebesgue-Integral 116
ft(A) Lange des Intervalls A., Mall der Menge A. 109,111
1 1
1J Indikatorfunktion 112