Table Of ContentEin einheitliches Konzept verallgemeinerter Kontinua
mit Mikrostruktur
VomFachbereich Mechanikder
TechnischenUniversit(cid:127)atDarmstadt
zurErlangungdervenia legendi
fu(cid:127)rdasFachMechanik
genehmigteHabilitationsschrift
von
Dr.-Ing. CarloSansour
geb. inBethlehem
Ein einheitliches Konzept verallgemeinerter Kontinua
mit Mikrostruktur
VomFachbereich Mechanikder
TechnischenUniversit(cid:127)atDarmstadt
zurErlangungdervenia legendi
fu(cid:127)rdasFachMechanik
genehmigteHabilitationsschrift
von
Dr.-Ing. CarloSansour
geb. inBethlehem
Referenten:
Prof. Dr.-Ing. P.Wriggers
Prof. Dr.-Ing. O.T.Bruhns
Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing.E.h. F.G.Kollmann
TagderHabilitation: 9. Juli1997
Publikationsreihe des Fachgebiets Maschinenelemente und
Maschinenakustik der Technischen Universität Darmstadt
Band 2/99
Carlo Sansour
Ein einheitliches Konzept verallgemeinerter
Kontinua mit Mikrostruktur unter besonderer
Berücksichtigung der finiten Viskoplastizität
.
D 17 (Habil.-Schr. TU Darmstadt)
Shaker Verlag
Aachen 1999
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Sansour, Carlo:
Ein einheitliches Konzept verallgemeinerter Kontinua mit Mikrostruktur unter
besonderer Berücksichtigung der finiten Viskoplastizität / Carlo Sansour.
- Als Ms. gedr. -
Aachen : Shaker, 1999
(Publikationsreihe des Fachgebiets Maschinenelemente und
Maschinenakustik der Technischen Universität Darmstadt ; Bd. 99,2)
Zugl.: Darmstadt, Techn. Univ., Habil.-Schr., 1999
ISBN 3-8265-6703-X
.
Copyright Shaker Verlag 1999
Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen
oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungs-
anlagen und der Übersetzung, vorbehalten.
Als Manuskript gedruckt. Printed in Germany.
ISBN 3-8265-6703-X
ISSN 1435-4292
Shaker Verlag GmbH • Postfach 1290 • 52013 Aachen
Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9
Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected]
Vorwort
Diese Arbeit entstand w(cid:127)ahrend meiner T(cid:127)atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am
Fachgebietfu(cid:127)rMaschinenelementeundMaschinenakustikderTechnischenUniversit(cid:127)atDarm-
stadtimRahmendesSonderforschungsbereichs\DeformationundVersagenvonmetallischen
undgranularenStrukturen".
Obwohl das Fachgebiet innerhalb des Fachbereiches Maschinenbau angesiedelt ist,
besch(cid:127)aftigteichmichimRahmendesSonderforschungsbereichsmitThemen,diedemFach
Mechanik zuzuordnen sind. Gleiches gilt fu(cid:127)r diese Schrift. Die Tatsache, da(cid:25)es an der
Universit(cid:127)atDarmstadteineeigenst(cid:127)andigeFakult(cid:127)atfu(cid:127)rMechanikgibt,inderdeutschenuni-
versit(cid:127)arenLandschafteher die Ausnahme, motivierte mich nun, die Habilitation innerhalb
dieses Fachbereiches anzustreben. Den Professoren des Fachbereiches Mechanik, die dieses
erm(cid:127)oglichthaben,binichdaherzuDankverp(cid:13)ichtet.
MeinganzbesondererDankgiltHerrnProf.Dr.-Ing. P.Wriggersfu(cid:127)rseineF(cid:127)orderungund
wohlwollendeUnterstu(cid:127)tzung. SeineAufgeschlossenheitundseino(cid:11)enerGeist,hatvieleserst
m(cid:127)oglichgemacht. Eru(cid:127)bernahmdasHauptreferat.
BesonderszuDankverp(cid:13)ichtetbinichdemKoreferentenHerrnProf.Dr.-Ing.Dr.-Ing.E.h.
F.G. Kollmann, dem Leiter des Fachgebietes Maschinenelemente und Maschinenakustik.
Ohne die Freir(cid:127)aume, die ermir gew(cid:127)ahrte, w(cid:127)are diese Schrift so nicht m(cid:127)oglich gewesen. Er
unterstu(cid:127)tztemeineArbeitundbegleitete siestetsmitgro(cid:25)emInteresse. DieGespr(cid:127)achemit
ihm,oftauchu(cid:127)berdasFachliche hinausgehend,habenwesentlich zueinerangenehmenund
anregendenAtmosph(cid:127)areamFachgebietbeigetragen.
HerrnProf. Dr.-IngO.T.Bruhnsdankeichebenfallsfu(cid:127)rdieu(cid:127)bernahmeeinesKoreferats.
Seinemunermu(cid:127)dlichenEinsatzinDeutschlandfu(cid:127)rdasFachMechanikundseinerF(cid:127)orderung
jungerWissenschaftler gebu(cid:127)hrtBewunderung.
CarloSansour
Kurzfassung
IndieserArbeitwirdeine Theorieverallgemeinerter Kontinuavorgelegt,diesowohldas
klassische Kontinuum als auch bisherige Modelle wie das Cosserat und das mikromorphe
Kontinuum unter einem einheitlichen Schirm zusammenfa(cid:25)t. Das allgemeine Kontinuum
weistunendlich viele Freiheitsgradeauf.
Die Beschr(cid:127)ankung auf endlich viele Freiheitsgrade fu(cid:127)hrt zu speziellen Theorien, deren
Konzeption problemorientiert ist. Eine besondere Eigenschaft des neuen Konzepts verall-
gemeinerter Kontinua ist die Unabh(cid:127)angigkeit vom gew(cid:127)ahlten Sto(cid:11)gesetz. So k(cid:127)onnen z.B.
konstitutive Modelle der (cid:12)niten Viskoplastizit(cid:127)at vom vereinheitlichten Typ ohne weiteres
beru(cid:127)cksichtigtwerden,wasbisheralskaumm(cid:127)oglich erachtetwurde.
DasneueKonzeptverallgemeinerter Kontinuakannebenfalls eingesetzt werden,umso-
wohlDimensionsreduktion(HerleitungvonSchalen-undStabmodellen)alsauchumDimen-
sionserweiterung(Einfu(cid:127)hrungvoninnerenL(cid:127)angen)systematischzuerreichen.
Bekanntlich stellen die Rotationen die erweiterten Freiheitsgrade dar, die das Cosserat
Kontinuum charakterisieren. Diese spielen bereits bei einem klassischen Kontinuum eine
besondere Rolle, die auch bei verallgemeinerten Kontinua voll zum Tragen kommt. Daher
werdensichdieerstenKapitelderArbeitmitdemKonzeptdesklassischenKontinuumsund
derRolle derRotationenbefassen,bevoru(cid:127)berverallgemeinerteKontinuagesprochenwird.
Eswirdgezeigt,da(cid:25)dieRotationenstets(auchbeiklassischenKontinua)alsunabh(cid:127)angige
Freiheitsgradebetrachtetwerdenk(cid:127)onnen. DieAussageistauchdeshalbwichtig,weilsiedie
Zerlegung des Strecktensors als Basis fu(cid:127)r eine Theorie der (cid:12)niten Inelastizit(cid:127)at nahe legt.
Ausfu(cid:127)hrlich werden insgesamt vier m(cid:127)ogliche Strecktensorzerlegungen diskutiert. Insbe-
sondere wird gezeigt, da(cid:25) vollst(cid:127)andige Theorien auch auf der Basis von Zerlegungen des
r(cid:127)aumlichenStrecktensorsentwickeltwerdenk(cid:127)onnen.
Dieselben Ideen, die eine richtige Behandlung von r(cid:127)aumlichen Strecktensoren erlauben,
fu(cid:127)hren auch zur Kl(cid:127)arungvon zwei weiteren wichtigen o(cid:11)enen Fragen. Zumeinen wird die
FragederAnisotropieinderMomentankon(cid:12)gurationaufgeworfenundbehandelt. Zumande-
renwirddieFragederpassendenWahleinerobjektivenAbleitung,fu(cid:127)rwelcheEvolutionsglei-
chungenformuliertwerdensollen,ebenfallsgekl(cid:127)art. Eswirdgezeigt,da(cid:25)sichinAnwesenheit
vonAnisotropie die Formderkonstitutiven Beziehungen (cid:127)andert, wenn r(cid:127)aumliche Tensoren
alsdieprim(cid:127)arenSpannungs-undVerzerrungsgr(cid:127)o(cid:25)enbetrachtetwerden. Beachtetmansolche
Modi(cid:12)kationen,sogelingtes,dieAnisotropieinderMomentankon(cid:12)gurationrichtigzuerfas-
sen. Es kommtein Hauptgedanke zumTragen: nichtobjektive Anteile ver(cid:127)andernu(cid:127)ber das
Sto(cid:11)gesetzdieFormeinerderbeidenGleichgewichtsbedingungen. SoistentwederdieForm
desKr(cid:127)aftegleichgewichtsoderdiedesMomentengleichgewichtsentsprechendzumodi(cid:12)zieren.
Wasu(cid:127)brigbleibt,istdanneineobjektiveAbleitung,fu(cid:127)rwelcheEvolutionsgleichungenformu-
liertwerden. DieFeststellungistalsowesentlich,da(cid:25)dieben(cid:127)otigtenobjektivenAbleitungen
nichtgew(cid:127)ahlt,sondernberechnetwerdenmu(cid:127)ssen.
Die Ergebnisse, die fu(cid:127)rklassische Kontinuagewonnenwordensind,gelten auchfu(cid:127)rver-
allgemeinerte Kontinua. Von gro(cid:25)em Wert ist die Feststellung, da(cid:25) Invarianz der Verzer-
rungsma(cid:25)enurbezu(cid:127)glich derorthogonalenGruppegefordertwerdenmu(cid:25). DieErweiterung
solcherInvarianzforderungenaufandereLieGruppenkannzuVerzerrungsma(cid:25)enfu(cid:127)hren,die
nichtsinnvolleGleichgewichtsbeziehungen nachsichziehen. DieseIdeenwerdenanhanddes
Beispiels mikromorpherKontinuanachEringenundKafadarverdeutlicht.
DieAnwendbarkeitderinderArbeitdargelegtenKonzeptewirdanhandvonvierverschie-
denen F(cid:127)allen aufgezeigt, begleitet von numerischen Berechnungen. Eine Membrantheorie
(cid:12)niterVerzerrungenunterEinschlu(cid:25)derRotationenalsunabh(cid:127)angigeVariable,FiniteVisko-
plastizit(cid:127)atbasierendaufStrecktensorzerlegungen,Schalentheorieu(cid:127)berdasModelleinerCos-
serat Fl(cid:127)ache undSchalen als mikromorpheFl(cid:127)achen unterEinschlu(cid:25) (cid:12)niterviskoplastischer
VerzerrungenstellendieAnwendungsgebietedar.
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu(cid:127)hrung 1
2 Wesentliche Elemente der Transformationsgruppen 7
2.1 TransformationsgruppenunddieExponentialabbildung : : : : : : : : : : : : 7
2.2 TangentenunddieLieAlgebra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2.3 Zeitliche AbleitungenundVariationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
3 Anisotropie undhyperelastische Sto(cid:11)gleichungen 13
3.1 Notationundwesentliche geometrischeRelationen : : : : : : : : : : : : : : : 13
3.2 Hyperelastische Beziehungen. EineersteDiskussion : : : : : : : : : : : : : : 15
3.3 EinersterWegzurErfassungmateriellerAnisotropie : : : : : : : : : : : : : 17
3.4 Anisotropie inderMomentankon(cid:12)guration : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
s
3.4.1 VerwendungdesStrecktensorsV : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
3.4.2 Einealternative Herleitung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23
3.4.3 VerwendungdeslinkenCauchy-GreenTensors : : : : : : : : : : : : : 24
4 Das Rotationsfeld als unabh(cid:127)angige Variable 27
4.1 NichtsymmetrischeStrecktensoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
4.2 ZurZerlegungdesDeformationsgradienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31
5 Elasto-Viskoplastizit(cid:127)at basierendauf Strecktensorzerlegungen 33
5.1 Allgemeines : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
5.2 Diemultiplikative ZerlegungvonU : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35
5.2.1 ErsteZerlegungdesmateriellen Strecktensors : : : : : : : : : : : : : 35
5.2.2 ZweiteZerlegungdesmateriellenStrecktensors: : : : : : : : : : : : : 39
I
II INHALTSVERZEICHNIS
5.3 Diemultiplikative ZerlegungvonV : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41
5.3.1 ErsteZerlegungdesr(cid:127)aumlichenStrecktensors : : : : : : : : : : : : : 41
5.3.2 ZweiteZerlegungdesr(cid:127)aumlichenStrecktensors : : : : : : : : : : : : : 44
5.3.3 EinelastischesVerzerrungsma(cid:25)vomlinkenCauchy-Green-Typ : : : : 45
5.4 BemerkungenzumFallderinduziertenAnisotropie : : : : : : : : : : : : : : 46
6 Das CosseratKontinuum. Eine ersteFormulierung 49
6.1 DieVerzerrungsma(cid:25)e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49
6.2 Gleichgewichtsbedingungen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50
6.3 Derelastische Fall. DieLagrangeFunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50
6.4 Derelastisch-viskoplastische Fall: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
6.4.1 Multiplikative-additive ZerlegungderVerzerrungsma(cid:25)e : : : : : : : : 53
6.4.2 PositiveDissipation undFlie(cid:25)regeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54
6.4.3 Diskussion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55
7 Eine einheitliche Theorie verallgemeinerter Kontinua 57
7.1 ErsteDiskussionmikromorpherKontinuanachEringen : : : : : : : : : : : : 57
7.2 Verallgemeinerung desBegri(cid:11)sderMikrodeformation : : : : : : : : : : : : : 59
7.3 StrecktensorenimMikrobereich : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
7.4 Gleichgewichtsbedingungen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
7.5 Theorien(cid:12)niterVerzerrungen-Hyperelastizit(cid:127)atundViskoplastizit(cid:127)at: : : : : 64
7.5.1 Hyperelastizit(cid:127)at : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64
7.5.2 FiniteViskoplastizit(cid:127)at : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66
7.6 Diskussion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
7.7 BemerkungenzueinigengeometrischenKonzepten: : : : : : : : : : : : : : : 68
7.7.1 ZurStrukturderKon(cid:12)gurationsr(cid:127)aume : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
7.7.2 DasexternePotential: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
7.7.3 Kompatibilit(cid:127)atsbedingungenundSpannungsfunktionen : : : : : : : : 70
8 Anwendungsbeispiele und numerischeBerechnungen 71
8.1 EinhyperelastischesMembran : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71
8.2 Viskoplastizit(cid:127)atbasierendaufStrecktensorzerlegungen : : : : : : : : : : : : 75
INHALTSVERZEICHNIS III
8.3 DieSchalealseinzweidimensionales CosseratKontinuum : : : : : : : : : : : 77
8.4 DieSchalealseinzweidimensionales mikromorphesKontinuum: : : : : : : : 78
8.4.1 KinematikundVerzerrungsma(cid:25)e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78
8.4.2 DasPrinzipdervirtuellen ArbeitenundkonstitutiveGleichungen : : 80
8.4.3 ElastischeBerechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81
8.4.4 Viskoplastische Berechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
Literatur 87
