Table Of ContentOSTERREICHISCHE AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN OSTERREICHISCHE AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN
KOMMISSION FOR BYZANTINISTIK KOMMISSION FOR BYZANTINISTIK
INSTITUT FOR BYZANTINISTIK DER UNIVERSITAT WIEN INSTITUT FOR BYZANTINISTIK DER UNIVERSITAT WIEN
WIENER BYZANTINISTISCHE STUDIEN
BAND VI
WIENER
BYZANTINISTISCHE STUDIEN KURT VOGEL
HERAUSGEGEBEN VON EIN BYZANTINISCHES RECHENBUCH
HERBERT HUNGER
DES FRiiHEN 14, JAHmiUNDERTS
TEXT, OBERSETZUNG UND KOMMENTAR
Band VI
KURT VOGEL
EIN BYZANTINISCHES RECHENBUCH
DES FROHEN 14. JAHRHUNDERTS
TEXT, Obersetzung und kommentar
Wl E;N 1968 WIEN 1968
IN KOMMISSION BEI HERMANN BOHLAUS NACHF., GRAZ-WIEN-KOLN IN KOMMISSION BEI HERMANN BOHLAUS NACHF., GRAZ-WIEN-KOLN
Die Vorzeichnung des Klischees auf dem Titelblatt stanunt von dem Wiener Graphiker
Friedrich Krai. Sie wurde nach einem Original (Solidus Kaiser Theophilos’, Ratto 1832)
im Besitze des Herausgebers angefertigt.
In memoriam Ernst Wust
Gredruckt mit Untersttitzung durch das Holzhausen-Legat
Alle Rechte vorbehalten
Inhaltsverzeichnis VORWORT
Vorwort ..................................................................................................................................... 7
tiber Umfang und Methoden der Logistik, also der praktischen Rechen-
T. Textbeschreibung ............................................................. ................................... 9 kunst, bei den Griechen ist wenig bekannt, da eigene Schriften dariiber nicht
1. Die Handschriften .................................................................................................... 11 existieren. Zwar finden sich bei Platon schon einige allgemeine Hinweise^
2. Schrift und Sprache..................................................................................................... 14 und sein Freund Archytas hebt einmal sogar den Vorrang der Logistik vor
3. Transkription xmd Textgestaltung.......................................................................... 16
den anderen Kiinsten hervor^, t)ber die Art der Aufgaben aber, die doch
4. Personlichkeit des Schreibers ...............................................- ............................ 16
im taglichen Leben immer anfielen und durch Rechnung zu losen waren,
BiWtafel ........................................................................................................................ nach 16
erfahren wir — wenn man von den Epanthema des Thymaridas^ absieht —
II. Text und tJbersetzung ....................................................................................... 17 erst einiges aus hellenistischer Zeit, aus Heron, Diophant und den Epigrammen
III. Der mathematische Inhalt dos Rechenbuches ..................................137 der griechischen Anthologie, wozu noch spater einige Aufgaben im Pap5nrus
1. Die Zahlen und ihre Darstellung ..........................................................................139 Ahmim [4]^ und bei dem Armenier Anania Schirakazi [33] kommen, der ja
2. Die Rechentechnik .....................................................................................................141 in Byzanz seine Ausbildung erfuhr. So ist das vorliegende Rechenbuch aus
3. Die Aufgaben ...........................................................................................................146 dem Anfang des 14. Jahrhunderts mit seinen 119 Problemen die erste umfang-
4. Die Methoden ...........................................................................................................149 reiche griechische Aufgabensammlung iiberhaupt. Sie enthalt neben Auf
5. Zwi Geschichte der Probleme .................................................................................154 gaben aus dem taglichen Leben auch zahlreiche Ratselprobleme, die in der
Zoittafel ........................................................................................................................ nach 160 mathematischen Unterhaltungsliteratur aller Zeiten weiterleben. Es zeigt sich
Anhang 1. MaC- und Miinzverhaltnisse ..........................................................................161 dabei, daB der anonyme Verfasser nicht nur die hellenistische Tradition
Anhang 2. Proise imd Lohne ..............................................................................................163 weiterfiihrt, sondern daB sich auch arabische Einfliisse sowie Beziehungen
Register 1. Litoratiu-verzeichnis .......................................................................................164 zum Abendland geltend machen. So dient die Herausgabe dieses friihen
Register 2. Namen- und Sachverzeichnis ..........................................................................169 Rechenbuches nicht nur der Erweiterung unserer Kenntnisse iiber die Logistik
der Griechen, sondern es bestatigt sich auch erneut das Zusammentreffen der
verschiedenen Einfliisse aus Ost und West in Byzanz.
J. H. Heiberg hat wohl zyerst auf das Rechenbuch bei seiner Beschreibung
der Pariser Handschrift Cod. Par. Suppl. Gr. 387 [26; V, p. XXII] aufmerksam
gemacht. Er sagt dazu: „Si quis aliquando ad studium artis computandi
Byzantinorum adcesserit, dignum sane propositum, is in hoc codice materiam
uberrimam insignemque inueniet.“
Schon vor dreiBig Jahren hat der Herausgeber Text und Inhalt der
Aufgaben zusammen mit Ernst Wiist eingehend durchbesprochen. Eine erste
Bearbeitung erfolgte im Winterquartier 1940/41; sie ging im Fruhjahr 1945
in Mecklenburg verloren. Ftir die jetzige Ausfiihrung der Arbeit haben mir
Dr. Karl Wiist, der Sohn meines Freundes Ernst Wust, sowie ganz besonders
Herbert Hunger, der sich der Miihe unterzog, die Handschrift in Paris einzu-
1 Gesetze VII, 829b, Hippias min. 366/8, Charmides-Scholion 165e.
2 Vorsokratiker [20; 438].
3 S. lamblichos in Nicomachum [48; 62].
4 Die Nummern in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis.
8 Vorwort
sehen, weitgehende philologische Hilfe gegeben. Dafiir darf ich hier meinen
herzlichen Dank sagen. Ein solcher gilt auch der Akademie der Wissenschaften
in Wien, welche die Drucklegung ermoglicht hat. Mein Dank gilt schlieBlich
auch Frau Dipl.-Math. K. Reich fiir ihre wertvoUe Unterstiitzung bei der
Erstellung der Register.
Mtinchen, 30. 9. 1968 Kurt Vogel
I. TEXTBESCHREIBUNG
Die Handschriften H
1. Die Handschriften
Der Text des Rechenbuches 1st in zwei Handschriften, namlich in Paris
(hier mit P bezeichnet) und im Escorial (E), erhalten:
1. P steht im Cod. Par. Suppl. Gr. 387 (fol. 118^—140^), der von mehreren
Schreibern, darunter dem Monch Georgios Chumnos, zu Anfang des 14. Jahr-
hunderts geschrieben wurde^ Cber die Geschichte und den Inhalt der Hand-
schrift, die einst im Besitz von Georgios Valla war, dann von Napoleon nach
Paris gebracht wurde und im Jahre 1814 nicht zuriickkara, berichtet
J. H. Heiberg [26; IV, p. IV f. und V, p. XXIf.]ia.
2. E steht im Cod. Scorial. Φ-Ι-16 (fol. 95»·—115^)2. Der Schreiber
loannes Mauromata^ hat seine Abschrift am 17. 3. 1548 abgeschlossen
[26; V, p.XLI]*.
E ist eine wortlich genaue Abschrift von P; sie ist so deutlich geschrieben,
daB manche in P unleserliche Stellen aus E aufgeklart werden konnen. Als
Belege daftir, daB Mauromata die Handschrift P vor sich hatte, seien folgende
angef iihrt:
1. E hat Fehler, insbesondere Liicken, von P tibemommen in den Auf-
gaben 25, 39, 50, 1145.
2. E hat Randbemerkungen bei P in den Text der Aufgaben 85, 92
aufgenommen.
3. E hat die in P gestrichenen Stellen weggelassen bei 6, 16 und 99,
bei 7 hat er es iibersehen.
4. E hat beim Abschreibefi einzelne Stiicke ausgelassen, so in 55 genau
eine Zeile; in 54 springt er von dem ersten τά auf das zweite und
in 67 von dem ersten’ώρας auf das zweite.
f sTlieiberg in [26; V, p. XXI].
la Neuerdings hat M.-L. Concasty [13a] ausfiihrlich iiber die Datierung (zwischen
1303 und 1308), die Geschichte und den Inhalt von Cod. Par. Suppl. Gr. 387 berichtet.
2 Gregorio de Andres, Catdlogo de los c6dices griegos de la Real biblioteca de
El Escorial, Bd. II, Madrid 1965, S. 23—25.
3 M. Vogel—V. Gardthausen, Die griechischen Schreiber des Mittelalters und der
Renaissance, Leipzig 1909, S. 177f. G. Patrinelis, Έλληνες κωδικογράφοι των χρόνων της
άναγεννήσεως, Έπετηρίς του Μεσαιωνικού ’Αρχείου 8/9 (1958/59) 97. Ρ. Canart, Scribes grecs
de la Renaissance, (Scripiormm 17 (1963) 65. K. A. de Meyier, Scribes grecs de la Renais
sance, Scriptorium 18 (1964) 260.
4 Der Text geht nicht, wie Heiberg angibt, bis fol. 131^, da ab fol. 115^ (letzte
Zeile) dieselbe Abhandlung folgt wie in Cod. Par. S. Gr. 387 fol. 141*· (πας δέ άριθμός ή
περιττός έστι ή άρτιος κ. τ. λ.), ein weiteres Zeugnis dafiir, daB E eine Abschrift vonP ist.
5 Die halbfetten Zahlen beziehen sich auf die Aufgabennummem.
12 I. Textbeschreibung Die Handschriften 13
5. Zahlreiche weitere Schreibfehler sind in E beim Lesen schlecht ge- VI, VII, XIII, XVI bei Rhabdas [60], die unseren Nummern 20, 21, 22, 24, 35
schriebener Buchstabenformen entstanden; Beispiele dafiir sind: entsprechen, eine gewisse Reihenfolge erkennen; so hatte vielleicht Rhabdas
dieselbe Vorlage wie P vor sich.
Aufg. 2 Ein verblaBtes Epsilon wnrde als Ypsilon gelesen. DaB ahnhche Aufgabensammlungen auch weiterhin in Byzanz vorhanden
8 E liest γ' (=3) als γίνεται und als κθ·. waren, zeigen z. B. „Die Arithmetik des Elia Misrachi" [74] oder ein Rechen
14 P schreibt τρ wie κ, so liest E κάπρον statt τρόπον. buch aus dem Codex Vindobonensis Phil. Gr. 65 [29], beide aus dem Ende des
17 Bei 3 + 4 = 7 liest E wieder γ' fiir γίνεται. 15. Jahrhunderts.
21 In P sieht die Ligatur ουλ wie ξ aus; so liest E Ιξων statt
δούλων.
25 In P ist das SchluBsigma von ναΰς verblaBt, so liest E ναυν.
40 P schreibt μία mit 2 Punkten iiber Iota und hochgestelltem
Alpha, was E als μετά liest.
52 E liest τ^ (= τραχία) als τόν.
55 In P sieht κρ in κράτησον wie μ aus, also liest E μάτησον.
94 In P ist bei ώδευε das δευ so ligiert, daB στ gelesen werden
konnte, was E auch tut.
104 Hier hat E statt ε' ein καί gelesen. Das schrag liegende Omega
in ώνηθήναι konnte als Epsilon gedeutet werden, was E tut.
Besonders deutlich erkennt man den Abschreiber an der sklavischen
Wiedergabe der Zahlbezeichnungen, fiir die so vielerlei Arten ver-
wendet wurden (s. u. S. 139f.). Ist die Zahl in P ausgeschrieben, so
macht es E auch, dasselbe gilt fiir die verschiedenartige Akzentuierung.
Aber P selbst ist ebenfalls die Abschrift aus einer anderen Vorlage.
Zwar kann man nicht feststeUen, ob gewisse Fehler, z. B. der Horfehler in
74 (άπόθου statt άπο του), die Verwechslung von έξάγια statt κουκιά in 1 oder
die Vertauschungen bzw. Auslassungen der Kapiteliiberschriften λύσις, μέθ-οδος,
άπόδειξις, vom Schreiber von P stammen, doch erkennt man die Vorlage aus
vielen Stellen:
8 P hat aus Π® = νόμισμα ein πο abgeschrieben.
17, 74 P hat die Zahl γ' (= 3) als γίνεται gelesen.
25 P hat ein Stiick der Vorlage ausgelassen.
54 P hat λ fiir a gelesen.
61 P schreibt έπί als έστιν ab.
64 P macht aus ς" (= 6) seiner Vorlage ein ήμισυ.
72 P liest statt άμφω ein άπό.
92 P hat die Abkiirzung fiir 1/2 als καί gelesen.
100 P schreibt statt der Abkiirzung γίνεται ein i'.
Auch das Rechenbuch von Nikolaos Rhabdas vom Jahre 1341 enthalt
eine Reihe derselben Aufgaben wie unser Rechenbuch; es ist aber keine 4b-
Γ
14 I. Toxtbeschroibung Zur Transkription und Toxtgestaltung 15
2. Zur Schrift und Sprache 3. Zur Transkription und Textgestaltung
Die Minuskelschrift P verrat eine geiibte griechische Hand. Der Schreiber Bei der Transkription wurden, damit der Apparat nicht zu sehr belastet
war eben — im Gegensatz zu loannes Mauromata — ein Grieche von Geburt. wird, folgende Gesichtspunkte beachtet: Fehler gegen die Orthographie und
Die Sprache zeigt ein Nebeneinander von hochsprachlichen und neugriechischen gegen die Akzentuierung (z. B. λάβε statt λαβέ) wurden richtiggestelJt. Die
bzw. volkssprachlichen Formen. Als Beispiele fiir Itazismen seien angefiihrt: Interpunktion wurde nach dem Sinn des Textes vorgenommen. Unberiick-
έχης (statt έχεις) 114, 3; βλις (statt βλης) 32, 5; κινστέρνις (statt κινστήρνης) sichtigt bleiben Trennungszeichen wie οβελός und άστερίσκος sowie gewisse
64, 10); άπειρα (statt άττηρα) 54, 2; στιχεΐ (statt στοιχεϊ) 102, 2; προέκηψε Schreibgewohnheiten. Hierzu gehort der Doppelakzent z. B. bei άν (2, 4;
(statt προέκυψε) 88, 1; άκέρεον (statt άκέραιον) 14, 1; δεσπότις (statt δεσπότης) 13, 2) Oder έπει (30, 2) und das Doppel-Ny bei εννι (26, 1 u. pass.). Auch
87, 4. die Schreibungen ΰφειλον, ύφειλε, ΰφειλαι statt ΰφελε wurden nur an der zuerst
Von der Hochsprache abweichende Formen bzw. Bedeutungen sind: vorkommenden Stelle erwahnt. Die zahireichen Itazismen wurden verbessert
ας (damit) 33, 2, 28, 2; βώλιν (Wiirfel) 38, 3; κομμάτι (Stuck) 1, 5; 3, 1; und nur gelegentlich im Apparat vermerkt. Weggelassene Buchstaben und
κουκί(ν) (Karat) 53, 6, bei Rhabdas [60; 190] κοκίον; κούπα (Kelch, Becher) Silben wurden mit runden Klammern erganzt, wie λέγ(ει) oder ν(ομισμάτ)ων.
5, 1, 93, 6, s. Heron [26; V, 253]; λοιπόν (= also) 114, 8; μαζιον (kleine Dagegen wurden die iiblichen Abkiirzungen, wie fiir όμοΰ oder ήγουν, ohne
IVIasse) 6, 1; ή μερίδα (Teil) 27, 5; μονός = περιττός (ungerade) 113, 1; δρδινον Klammern aufgelost; hierher gehort auch γ' = γίνεται bzw. γίνονται, was im
(Reihe, von ordo) 37, 1, Rhabdas [60; 188] kennt ένορδίνως; παριστα (statt Text nicht feststellbar ist (auBer bei γίνον'>^). Besonders willkiirlich ist die
παρίστησι) 108, 7; πενήντα = πεντήκοντα 5, 8; τέσσαρις = τέταρσι 103, 10; Akzentuierung der Zahlen (s. u. S. 139f.). Sie wurde hier einheitlich gestaltet:
χρυσάφι (Gold) 5, 1; 6, 1. Ganze Zahlen sowie Bruchzahler erhalten 1 Akzent: 3 = γ'; 3/7 == γ'ζ"ζ".
Ungewohnlich sind auch die Konstruktionen: Stammbriiche erhalten 2 Akzente: 1/7 = ζ''. Der Nenner des allgemeinen
δουλεύειν αύτόν (statt αύτφ) 93, 3; ινα λάβω (statt λαμβάνω) 6, 4. Bruches wird doppelt geschrieben; 3/7 = γ'ζ"ζ".
Die Form βηλάριον statt βηλάρι (Stoff; vgl. velarium) 10, 6 ist wohl der Vielfach schreibt der Text auch die Ordinalzahl wie den Stammbruch,
Versuch einer gebildeten Schreibweise. also γ" = der dritte (38, 2). Die Transkription gibt dafiir τρίτος. Zahlbezeich-
Von der Hochsprache abweichend sind auch εϊπει (39, 3), άρξου (110, 1), nungen durch das Buchstabensymbol nebst Flexionsendung wie werden
wohl auch ει τι (= alles, was) in Wendungen wie ει τι δίδωσιν δ μερισμός mit (πρώτος) aufgelost; dies gilt^ auch fiir Kardinalzahlen wie bei ^a^"^ (χιλίων).
(102, 2), alles, was herauskommt. In derselben Weise wird auch das π-artige Siegel fur Nomisma als (νόμισμα)
wiedergegeben. Fiir andere MaBabkurzungen gilt dasselbe.
16 I. Textbeschreibung
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4“ ·~Ιη<ρ»κ ζ*»
4. Personlichkeit des Schreibers
Der anonyme Schreiber von P hat viele Stellen seiner Vorlage unrichtig
und gedankenlos iibernommen (s. o, S. 12). So verwechselt er oft die Ab-
schnittsuberschriften λύσις, μέθ-οδος und άπόδειξις und springt manchmal von
der ersten in die dritte Person. Besonders zeichnet er sich durch Redseligkeit
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und Geschwatzigkeit aus. Gern spricht er von der Leichtigkeit der Rechnung,
wie bei Aufgabe 14 („Es ist klar“), bei 28 (Es kommt „um nichts mehr“ heraus), 7»n,ic j<vS< <rT
bei 31 („Du wirst leicht sagen konnen“) und bei 44 („mache es ebenso und
du wirst die Fragen nicht verfehJen“). Auch die AuBerung έχεις οΰν και ταύτην
άκριβώς την κατάληψιν (19, 7f.) ist ein Gerede, denn gerade dieses Rezept nach ΤΓ·Τ»·
der speziellen Methode „al“radd“ (s. u. S. 153) ist nicht ohne weiteres zu ver-
stehen. Auch bei der voUig unklaren Aufg. 80 ist angeblich der Wert „leicht
zu finden“. Fiir die Kritiklosigkeit des Schreibers sei noch 108 erwahnt. Hier Tit'A ^ as"N
sind zwei verschiedene, und zwar nicht identische Losungen angegeben und ’/'·· ^ ^ |/ ed / ^ * y ^
doch spricht er davon, daB sie sich in nichts voneinander unterscheiden.
So zeigt sich der Schreiber als ein recht mittelmafiiger Mathematiker, dem
wir aber doch dankbar sein mtissen, daB er uns ein erstes Rechenbuch und
damit etwas iiber die sonst so wenig greifbare Logistik der Griechen hinter- I··
lassen hat. / ^
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Cod. Par. SuppL Gr. 387, fol. 139^
Zeichenerklarung
Es wurden folgende Abkiirzungen verwendet:
P = Cod. Paris. Suppl. Gr. 387 (Text oder Schreiber).
E = Cod. Scorial. Φ-Ι-16 (Text oder Schreiber).
() = ausgelassene Silben oder Buciistaben. Zur Auflosung von Kiirzungen
s. S. 15.
(> = Erganzung von Liicken im Text oder in der IJbersetzung zum besseren
Verstandnis fiir den Leser.
[] = tlberfliissige Textstellen sind zu tiJgen; diese wurden in die IJbersetzung
nicht aufgenommen.
{} = vom Schreiber getilgt.
L" — 1/2; im Text erscheint die Abkiirzung wie ein liegendes S [s. Tannery-
60; 148]
a" = 2/3; s. hierzu Tannery ebenda.
Halbfette Ziffern, z. B. 63, beziehen sich auf die Nummern der Aufgabe.
Im Apparat beziehen sich die angefiihrten Textstellen sowohl auf P wie auf E.
1st nur P oder E allein angegeben, so ist der Text in der anderen Hs. in
Ordnung.
