Ein Beitrag zur Zuverlässigkeitsanalyse von Strukturen unter Berücksichtigung von Systemunsicherheiten mit Hilfe der Methode der stochastischen Finiten Elemente [thesis]

231 Pages·1995·67.427 MB·German

by  Christoph Brenner

p
2 4. Juli 1995
EIN BEITRAG
ZUR ZUVERLÄSSIGKEITSANALYSE VON
STRUKTUREN UNTER BERÜCKSICHTIGUNG
VON SYSTEMUNSICHERHEITEN
MIT HILFE DER METHODE DER
STOCHASTISCHEN FINITEN ELEMENTE
von
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Dipl.-Ing. Christoph
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Dissertation
eingereicht an der Universität Innsbruck
Fakultät für Bauingenieurwesen und Architektur
zur Erlangung des akademischen Grades
"Doktor der technischen Wissenschaften"
+Z21800309
Innsbruck, im Juli 1995
\ I
......
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meIner Tätigkeit als wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Institut für Mechanik der Leopold Franzens Universität Innsbruck
in den Jahren 1990 - 1994. Teile dieser Arbeit wurden im Rahmen des Projek-
tes FFF 6/752 des Forschungsförderungsfonds für die gewerbliche Wirtschaft (FFF)
durchgeführt.
Herrn o.Univ.-Prof. Dr. G.I. Schueller, Vorstand des Institutes für Mechanik, danke
ich für die zahlreichen und äußerst wertvollen Anregungen und Diskussionen wäh-
rend der Entstehung dieser Arbeit, die sehr genaue Durchsicht des Manuskripts
sowie für die Übernahme des ersten Gutachtens.
Ferner danke ich Herrn ao.Univ.-Prof. Dr. G. Swoboda, Leiter der Abteilung Nu-
merische Methoden in der Baustatik des Institutes für Baustatik und verstärkte
Kunststoffe, für die Übernahme des zweiten Gutachtens.
Dank gebührt insbesondere Herrn Univ.-Prof. Dr. C.G. Bucher, Leiter des Instituts
für Strukturmechanik an der Hochschule für Architektur und Bauwesen Weimar, für
die umfassende Betreuung dieser Arbeit und die Mühe mit der Durchsicht des Ma-
nuskriptes während und nach seiner Tätigkeit als Universitätsdozent am Institut für
Mechanik.
Schließlich möchte ich mich bei meinen Kollegen vom Institut für Mechanik für die
fruchtbaren Diskussionsbeiträge und nicht zuletzt auch bei Ilse für ihre Geduld und
ihren Beistand in dieser arbeitsintensiven Zeit bedanken.
-
5
11
Kurzfassung
Die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Strukturen gewinnt zunehmend an Bedeu-
tung. Versagen, definiert als Verlust der Funktionsfähigkeit oder Kollaps des Systems,
geht in einer Reihe von Fällen der Praxis mit nichtlinearem Verhalten bei teilweise dyna-
mischer Belastung einher. Daraus ergibt sich die Forderung, daß geeignete Verfahren zur
Zuverlässigkeitsbeurteilung in der Lage sein müssen, nichtlinear dynamischem Verhalten
auch komplexer Systeme Rechnung zu tragen. Die Belastung und die Struktureigenschaf-
ten dieser Systeme sind i.a. nicht deterministisch, sondern gewissen Schwankungen und
Streuungen unterworfen, die sich häufig wahrscheinlichkeitstheoretisch bzw. statistisch
beschreiben lassen. Eine diesbezügliche Erweiterung der auf dem Gebiet der Ingenieur-
berechnungen zum Standard gewordenen Methode der Finiten Elemente resultiert in der
sogenannten Stochastischen Finite Element Methode. Bislang entwickelte Stochastische
Finite Element Verfahren sind jedoch in ihrer Anwendung meist eingeschränkt auf kleine,
einfache, oft lineare Probleme, oder sie zeigen Ungenauigkeiten und sind rechenintensiv.
Für Zuverlässigkeitsbeurteilungen an Modellen realer Strukturen ergibt sich daraus die
Notwendigkeit der Entwicklung eines Stochastischen Finite Element Verfahrens, das es
erlaubt, auch Strukturen mit einigen hundert Freiheitsgraden und mit Unsicherheiten in
Struktur und Belastung zu behandeln.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es nun, ein geeignetes Verfahren für die Zuverlässig-
keitsanalyse von Strukturen mit ein paar hundert Freiheitsgraden, Last- und Strukturun-
sicherheiten und nichtlinear dynamischem Verhalten zu entwickeln, das sich auf die Sto-
chastische Finite Element (SFE) Methode stützt. Die umfassende Literaturstudie und
Ergebnisse eigener Studien werden dazu verwendet, Methoden und Konzepte für einzelne
Teilaufgaben im gesamten Berechnungsablauf auf ihre Eignung für eine derartige Aufgabe
zu untersuchen und auszuwählen. Aufgrund der gestellten Anforderungen erscheint das
Monte Carlo Simulationsverfahren in Verbindung mit einer Sensitivitätsanalyse zur Be-
stimmung wichtiger Zufallsvariablen für die Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit,
die ein Maß für die Zuverlässigkeit ist, als die geeignetste Methode. Die Implementa-
tion eines neuen Diskretisierungsverfahrens für Zufallsfelder erlaubt eine effiziente, ge-
naue und einfache Darstellung der räumlichen Streuungen der Strukturparameter durch
Zufallsvariable. Die Sensitivitätsanalyse bezüglich des Einflusses einzelner Zufallsvaria-
ble der spektral definierten Belastung und der Struktur auf die Systemantwort wird, wo
immer möglich, am linearen System unter Verwendung der Übertragungsfunktion bzw.
der Leistungsspektralmethode in Kombination mit einer Taylorreihenentwicklung durch-
geführt. Bei Zufallsvariablen mit Einfluß nur auf das nichtlineare Systemverhalten kommt
zu diesem Zweck eine nichtlinear statische SFE-Analyse unter Berücksichtigung dynamisch
induzierter Verschiebungsformen zum Einsatz. Nur noch wenige rechenzeitintensive, nicht-
linear dynamische Stochastische Finite Element Berechnungen mit Steigerung der Werte
der identifizierten wichtigen Zufallsvariablen sind dann zur Bestimmung von einzelnen
Grenzzuständen, die Versagen und sicheres Verhalten trennen, erforderlich, womit schließ-
lich, unter Verwendung des Antwortflächenverfahrens, die Versagenswahrscheinlichkeit der
Struktur bestimmt werden kann.
Die Analyse einer tragflügelartigen Struktur mit etwa 400 Freiheitsgraden bestätigt
die Anwendbarkeit des vorgestellten Konzeptes. Berechnungen der Versagenswahrschein-
lichkeit an diesem sowie den Überschreitensraten und Standardabweichungen an einem
III
kleinen System zeigen, daß - im Gegensatz zur häufig getroffenen Annahme - Strukturun-
sicherheiten in den meisten Fällen für eine Zuverlässigkeitsbeurteilung nicht vernachlässigt
werden dürfen. Die Unterschiede können dabei, abhängig vom Problem, ohne weiteres eine
Größenordnung und mehr erreichen. Mit dem vorgestellten Konzept ist es möglich, die
Zuverlässigkeit von Problemen auch mit ein paar hundert Freiheitsgraden mit vertretba-
rem Rechenaufwand bei Berücksichtigung von nichtlinear dynamischem Verhalten sowie
Last- und Systemunsicherheiten zu bestimmen. Gegenüber bislang verfügbaren Verfahren
wird nur ein Bruchteil der Rechenzeit benötigt und damit eine Zuverlässigkeitsbeurteilung
derartiger Systeme erst ermöglicht.
Abstract
As a consequence of the permanent social interest in technical safety issues the reliability
assessment of structures is gaining more and more importance. In many practical cases,
failure, defined as the loss of serviceability or collapse of a system, is found together with
preceding nonlinear behavior and partially in combination with dynamic excitation. This
understanding leads to the demand that suitable methods for assessing the reliability of a
structure must be able to cope with possibly complex, nonlinear systems subjected to dy-
namic loading. Generally, loading as weIl as structural properties will not be deterministic
but exhibit certain fluctuations and scatter in their values which often may be described
in a probabilistic manner. Referring to this, an extension of the finite element method,
which became a standard tool in engineering computations, results in the so-called stochas-
tic finite element method. So far existing stochastic finite elements procedures, however,
are mostly restricted to small, simple and often linear problems, or they are inaccurate
and computationally expensive. For judging the reliability of real structures this leads
to the necessity to develop a stochastic finite element procedure which allows for a treat-
ment of structural models with hundreds of degrees of freedom including system and load
uncertainties.
The purpose of the present work is to develop a suitable procedure, based on stochastic
finite elements (SFE), for the reliability analysis of structures with hundreds or even thou-
sands of degrees of freedom which is capable of taking into account load and structural
uncertainties as weIl as nonlinear dynamic system behavior. A comprehensive literat ure
review and results of own studies are used to investigate methods and concepts for parts of
the whole analysis with respect to their suitability for a such a reliability problem. Based
on these investigations appropriate methods are selected. The Monte Carlo simulation
Method combined with a sensitivity analysis to determine important random variables is
chosen to fulfill best the requirements for a reliability analysis. The implementation of
a new discretization method allows for a efficient, accurate and simple representation of
the spatially distributed fluctuations of the structural parameters by random variables.
The sensitivity analysis with respect to the influence of single load or structural random
variables on the system response is performed using a linear system, if possible, apply-
ing the transfer function or the power spectral method combined with a Taylor series
expansion. Considering random variables which only affect the linear system behavior,
a nonlinear static SFE analysis is employed for this purpose where dynamically induced
displacements are taken into account. Only few repeated nonlinear dynamic stochastic
finite element computations - which require most of the computational effort - using
•
the identified important random variables are necessary to determine points at the limit
state. FinaIly, the response surface methodology is utilized to determine the structural
probability of failure.
The analysis of a wing-like structure with approximately 400 degrees of freedom con-
firms the suitability of the proposed concept. The computation of the prob ability of failure
using this system, as weIl as the exceedance probabilities and standard deviations for a
small system shows, that - in contrast to the common assumption - structural uncer-
tainties must not be neglected in many cases of a reliability analysis. The differences in
the results are depending on the problem. They may easily reach one magnitude of order
and more. The concept as presented allows the reliability assessment of problems with
so me hundreds of degrees of freedom with tolerable computational effort, considering non-
linear dynamic behavior as weIl as load and system uncertainties. In contrast to readily
available procedures only a fraction of computational time is required. This for the first
time allows a reliability assessment of such systems.
7
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Kurzfassung ii
Abstract
III
A b bildungsverzeichnis vi
Tabellenverzeichnis
Xl
1 Einleitung und Problemstellung 1
2 Stochastische FE Methoden - eine Übersicht 6
2.1 Allgemeines ............... . 6
2.1.1 Eigenschaften von Zufallsfeldern 7
2.1.2 Zufallsfelder und Mikromechanik 9
2.2 Diskretisierung von Zufallsfeldern und -prozessen 9
2.2.1 Allgemeines...... .. .... 9
2.2.2 Punktdiskretisierungsmethoden. 10
2.2.3 Methode der örtlichen Durchschnittsbildung . 12
2.2.4 Interpolationsmethode .... 12
2.2.5 Karhunen-Loeve Entwicklung 13
2.3 Darstellung von Zufallsfunktionen . 14
2.3.1 Allgemeines ...... . 14
2.3.2 Taylorreihenentwicklung 15
2.3.3 Spektrale Darstellung von Zufallsprozessen 15
2.4 Darstellungsformen der Strukturmatrizen bei SFEM 17
2.4.1 Herleitung der FE-Strukturmatrizen . . . .. 17
11
z
INHALTSVERZEICHNIS
III
2.4.2 Stochastische Finite Element Matrizen 18
2.4.3 Methode der gewichteten Integrale .. 20
2.4.4 Taylorreihenentwicklung der Strukturmatrizen 24
2.4.5 Neumannsche Reihe .... .. ...... . 24
2.4.6 Summendarstellungen der Systemmatrizen . 25
2.5 Semianalytische Lösungsverfahren 26
2.5.1 Allgemeines ... ... . 26
2.5.2 Taylorreihenentwicklung 27
2.5.3 Stochastische Eigenwertprobleme 32
2.5.4 Neumannsche Reihe . . . . ... 34
2.6 Numerische Lösungsverfahren / Simulationsverfahren . 37
2.6.1 Allgemeines ...... . 37
2.6.2 Monte Carlo Simulation 37
3 Methoden der Zuverlässigkeitsanalyse 43
3.1 Einführung und Definitionen 43
3.2 Näherungsverfahren 44
3.2.1 Allgemeines. 44
3.2.2 Näherungsverfahren der Zuverlässigkeitsberechnung 1. und 2. Ord-
nung . ............ . 45
3.2.3 Das Antwortflächenverfahren 47
3.3 Simulationsverfahren ........ . 49
3.3.1 Direkte Monte Carlo Simulation 49
3.3.2 Varianzmindernde Simulationsverfahren 50
3.3.3 Weitere Simulationsmethoden . . . . . . 54
4 SFE-Zuverlässigkeitsanalysen von Strukturen 55
4.1 Einführung .. . ........... . 55
4.1.1 SFE-Methoden und Strukturen 56
4.1.2 Ein Überblick über die vorgeschlagene Methode. 58
4.2 Die Integrationspunktmethode ....... . 59
4.3 Verringerung der Anzahl der Zufallsvariablen 64
4.3.1 Allgemeines .............. . 64
4.3.2 Transformation in den unkorrelierten Raum 64
4.3.3 Weitere Möglichkeiten zur Reduktion der Anzahl der Zufallsvariablen 69
INHALTSVERZEICHNIS
IV
4.4 Reduktion der Variablenzahl über Sensitivitätsanalyse 70
4.4.1 Allgemeines..... . 70
4.4.2 Zufällige Lastprozesse 71
4.4.3 Strukturzufallsvariable mit Einfluß auf das lineare Strukturverhalten 76
4.4.4 Strukturzufallsvariable mit Einfluß nur auf das nichtlineare Struk-
turverhalten. . . . . . . . . .. . 86
4.5 Bestimmung von Grenzzustandspunkten 89
4.6 Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit 92
5 Beispiele 95
5.1 Einführung 95
5.2 Stabmodell 96
5.3 Plattenbiegeproblem 98
5.3.1 Vergleich: Methode der gewichteten Integrale - Integrationspunkt-
methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
5.3.2 Einfluß von Lastunsicherheiten im Vergleich zu Systemunsicherheiten 102
5.4 Dreidimensionale Balkenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.1 Einfluß des Zufallsfeldverteilungstyps auf die Systemantwort . 114
5.5 Flügelartige Struktur . ...... . 119
6 Schlussbemerkungen und Ausblick 132
Literaturverzeichnis 140
A Konformes dreieckiges Plattenbiegeelement 157
A.l Herleitung der Elementmassenmatrix ..... 157
A.2 Stochastische Massenmatrix eines TUBA3-Elements 158
B Zufallsfelder aus mikromechanischer Sicht 162
B.l Tensorformulierung . . . . . . . . . . . 167
C Ergänzungen zur Literaturübersicht 169
C.l Allgemeines ....... . 169
C.2 Diskretisierungsverfahren 169
C.2.1 Optimale lineare Schätzmethode 169
C.2.2 Basis-Zufallsvariablen-Methode 170
C.3 Darstellung von Zufallsfunktionen . . . 171
7
INHALTSVERZEICHNIS v
C.3.1 Homogene Chaos Entwicklung 171
CA Semianalytische Läsungsverfahren 173
C.4.1 Taylorreihenentwicklung 173
C.4.2 Neumannsche Reihe . . 174
C.4.3 Homogene Chaos Entwicklung 176
C.5 Numerische Läsungsverfahren . . . . 179
C.5.1 Läsungsschema von Lawrence 179
C.5.2 Implizite Zeitintegration und Hermite-Gauß-Quadratur 181
D Ergänzungen zu Kapitel 3 184
D.1 Simulationsverfahren . . 184
D.l.1 Directional Sampling . 184
D.l.2 Weitere Verfahren zur Varianzminderung 186
D.2 FE-basierende Zuverlässigkeitsmethoden . . . . . 188
E Nataf-Transformation der verschobenen Exponentialverteilung 193
F Zufallsfelder und SFEM in COSSAN 195
z
A b bildungsverzeichnis
1.1 Menge der Unsicherheiten und Modellunsicherheiten: (a) Bei deterministi-
schen FEM und zufälliger Belastung. (b) Bei Stochastischen FEM. . . .. 2
2.1 Platte mit zufallsverteiltem Elastizitätsmodul, beschrieben durch ein zwei-
dimensionales Zufallsfeld (Hisada und N akagiri (1985)) . . . . . . . . . . .. 7
2.2 Simulierte Stichproben eines Zufallsfeldes einer Platte mit zufällig variie-
rendem Elastizitätsmodul (Shinozuka und Yamazaki (1989)) . 8
2.3 Beliebige Punkte mit kartesischem Koordinatensystem . . . . . . . . . . .. 9
2.4 Erklärende Skizze der Bedeutung der Grenze 0.25A = 0.25w2 am Beispiel
u
der Mittelpunktsmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
2.5 Zur Berechnung der Kovarianzen bei der Methode der gewichteten Integrale
im zweidimensionalen Fall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.6 Plattenmodell (oben), Erwartungswert (Mitte) and Standardabweichung
(unten) der Verschiebung in y-Richtung (Shinozuka und Yamazaki (1988)). 29
2.7 Vergleich der Varianz der Verschiebungen am Knoten 1 berechnet mit:
PFEM, Hermite-Gauss Quadratur (HGQ) und Monte Carlo Simulation
(MCS). (Liu et al. (1986a)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
2.8 Balken mit zufälliger Biegesteifigkeit unter gleichförmiger Belastung (Spa-
nos und Ghanem (1989)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
2.9 Normalisierte Standardabweichung der Auslenkung des Balkenendes auf-
getragen über der Standardabweichung der Biegesteifigkeit; Lösung über
Neumannsche Reihenentwicklung (Ghanem und Spanos (1991a)) ...... 36
2.10 Beschreibung der zufälligen Schwankungen durch die wichtigsten Zufallsva-
riablen (Brenner (1991)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
3.1 Schematische Darstellung des Antwortflächenverfahrens für zwei Zufallsva-
riable ........................... . .. . ........ 48
3.2 Überschreitenswahrscheinlichkeit als Funktion von Vielfachen der Standard-
abweichung. Vergleich von Antwortflächenverfahren und direkter Monte
Carlo Simulation (Bucher und Brenner (1992)) . . . . . . . . . . . . . . .. 49
3.3 Optimale Importance Sampling Funktion für ein eindimensionales Problem
(Ouypornprasert (1988)) . . . .. ........... . .......... 52
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