EGE 2017. Matematika. Neravenstva i sistemy neravenstv. Zadacha 15

354 Pages·2017·2.237 MB·Russian

by  Shestakov S.A.

12+
ISBN 978-5-4439-1085-7
9 785443 910857 >
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
С. А. Шестаков
ЕГЭ . Математика
Неравенства
и системы неравенств
Задача  (профильный уровень)
ИзданиесоответствуетФедеральномугосударственному
общеобразовательномустандарту(ФГОС)
Москва
ИздательствоМЦНМО

УДК:
ББК.я
Ш
Шестаков С.А.
Ш ЕГЭ . Математика. Неравенства и системы нера-
венств.Задача(профильныйуровень).—М.:МЦНМО,
.—с.
ISBN----
Пособия по математике «ЕГЭ . Математика» ориентированы
на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого
государственногоэкзаменапоматематике.Вданномучебномпособии
представленматериалдляподготовкикрешениюзадачипрофиль-
ногоуровня.
По сравнению с прошлым годом книга существенно доработана
идополнена.
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей
математикииродителей.
Издание соответствует Федеральному государственному общеоб-
разовательномустандарту(ФГОС).
ББК.я
Приказом№МинистерстваобразованияинаукиРоссийскойФеде-
рацииМосковскийцентрнепрерывногоматематическогообразования
включенвпереченьорганизаций,осуществляющихизданиеучебныхпо-
собий,допущенныхкиспользованиювобразовательномпроцессе.
ШестаковСергейАлексеевич
ЕГЭ2017.Мàòåìàòèêà.Нåðàâåíñòâàèñèñòåìûíåðàâåíñòâ.
Зàäà÷à(ïðîôèëüíûéóðîâåíü)
Подписановпечать..г. Формат60 90/ . Бумагаофсетная.
× 
Печатьофсетная. Печ.л.. Тиражэкз. Заказ№ .
ИздательствоМосковскогоцентра
непрерывногоматематическогообразования.
,Москва,БольшойВласьевскийпер.,д..Тел.()––
ОтпечатановООО«Типография МиттельПресс“».
”
г.Москва,ул.Руставели,д.,стр..
Тел./факс+()--,--.
E-mail:[email protected]
КнигииздательстваМЦНМОможноприобрестивмагазине«Математическаякнига»,
БольшойВласьевскийпер.,д..Тел.()––.E-mail:[email protected],
http://biblio.mccme.ru
©ШестаковС.А.,.
ISBN---- ©МЦНМО,.
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Глава.Общиеметодырешениянеравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Основныепонятияифакты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Методинтервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Разложениенамножителиигруппировка . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Методвведенияновойпеременной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Применениесвойствфункцийкрешению неравенств . . . . . . . 
§.. Методзнакотождественныхмножителей . . . . . . . . . . . . . . . . 
Глава.Целыенеравенстваисистемынеравенств . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Линейныеиквадратныенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныецелыенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Глава.Дробно-рациональныенеравенстваисистемынеравенств . . . . 
§.. Простейшиедробно-рациональныенеравенства . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныедробно-рациональныенеравенства . . . . . . . . . 
Глава.Неравенства,содержащиепеременнуюподзнакомабсолютнойве-
личины(модуля) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Простейшиенеравенствасмодулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныенеравенствасмодулем . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Глава.Иррациональныенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Простейшиеиррациональныенеравенства . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныеиррациональныенеравенства . . . . . . . . . . . . . 
Глава.Тригонометрическиенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Простейшиетригонометрическиенеравенства . . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныетригонометрическиенеравенства . . . . . . . . . . 
Глава.Показательныенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Простейшиепоказательныенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныепоказательныенеравенства . . . . . . . . . . . . . . 
Глава.Логарифмическиенеравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Простейшиелогарифмическиенеравенства . . . . . . . . . . . . . . 
§.. Болеесложныелогарифмическиенеравенства . . . . . . . . . . . . 
Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Предисловие
Этакнигапосвященаметодамрешенияосновныхтиповнеравенств
школьного курса математики. Неравенства или системы неравенств
являются обязательной частью ЕГЭ по математике (базового и про-
фильного уровней) и дополнительных вступительных испытаний в те
вузы страны,где эти испытаниясохранились.Пособиепредназначено
учащимся–классов,учителям,методистамивсемнепосредственно
связаннымсошкольнымматематическимобразованием.
Настоящее издание включает восемь глав. Первая глава содержит
основные факты и утверждения, связанные с неравенствами, а так-
жеобщимиметодамиихрешения:методоминтервалов,методомвве-
дения новой переменной, методом знакотождественных множителей
идр.Материалглавыпроиллюстрированмногочисленнымипримера-
мирешения задач; в концекаждого её параграфадаютсяупражнения
повсемфункционально-алгебраическимлиниямшкольногокурсама-
тематики,сгруппированныеподва.
Каждая из семи следующих глав посвящена методам решения не-
равенств одной из таких линий: целых рациональных, дробно-рацио-
нальных,иррациональных,тригонометрических,показательных,лога-
рифмических,атакженеравенств,содержащихзнакабсолютнойвели-
чины(модуля).Такжекакипервая,этиглавысодержатбольшоечисло
примероврешениянеравенствисистемнеравенств.Главы–имеют
одинаковую структуру и состоят из двух параграфов каждая. В пер-
вом параграфе рассматриваются простейшие неравенства и системы
неравенств соответствующей функционально-алгебраической линии,
вовтором—болеесложныенеравенстваисистемынеравенств.Перед
изучением материала второго параграфа каждой из этих глав следует
повторить общие методы решения неравенств по первой главе посо-
бия. В конце каждого параграфа приводятся упражнения, сгруппиро-
ванныеподва,авконцекаждогопараграфаглав–также предлага-
ются и диагностические работы. Таким образом,пособиесодержит 
диагностическихработ(вдвухвариантахпозадачкаждый).Задания
в диагностических работах даны сизбытком: учитель может отобрать
необходимые задачи в нужном количестве в соответствии с уровнем
классаиобразовательнымицелями.
Нарядусо стандартнымив пособиирассматриваютсяиметоды ре-
шениянеравенств,традиционноотносимыекнестандартным.Этиме-
тодыосновываютсяпреждевсего насвойствах монотонныхиограни-
ченных функций. Отметим, что эта книга позволяет получить первые
Предисловие 
представленияотакихметодах.Дляболеедетальнойпроработкимето-
доврешениянестандартныхнеравенствнужнообратитьсякпособию:
Шестаков С.А. ЕГЭ.Математика.Задачиспараметром.Задача
(профильныйуровень)(М.:МЦНМО,).
По сравнению с прошлым годом книга существенно доработана
идополнена.
Автор признателен и благодарен О.А.Васильевой за замечания
и предложения, в немалой степени способствовавшие существенному
улучшениюрукописиипоявлениюэтойкниги.
Глава . Общие методы решения неравенств
§.. Основные понятия и факты
В школьном курсе математики можно выделить шесть следующих
основныхчисловыхифункционально-алгебраическихлиний(впоряд-
кеихпоявлениявучебниках),всоответствиискоторымииструктури-
рованаосновнаячастьэтогопособия:
целые числа, степени с натуральным показателем, целые алгеб-
•
раическиевыражения(многочлены),целыерациональныефунк-
ции,
дроби, степени с целым отрицательным показателем, алгебраи-
•
ческиедроби,дробно-рациональныефункции,
корни, степени с дробнымпоказателем, иррациональныеалгеб-
•
раическиевыражения,иррациональныефункции,
тригонометрическиевыражения,тригонометрическиефункции,
•
степенисдействительнымпоказателем,показательныевыраже-
•
ния,показательнаяфункция,
логарифмы, логарифмические выражения, логарифмическая
•
функция.
Чтобы сделать классификацию однозначной и облегчить поиск нуж-
ных задач, условимся, что хронология изучения темы является клю-
чевым признаком классификации, т.е. если, например, в некотором
уравненииилинеравенствепеременнаясодержитсяиподзнакомкор-
ня,иподзнакомлогарифма,будемсчитатьегологарифмическим,ане
иррациональным,посколькулогарифмыизучаютсяпозжекорней.
Темсамымлюбоеуравнениеилинеравенствошкольногокурсама-
тематики можно однозначно отнести к одному из следующих типов
в соответствии с перечисленными функционально-алгебраическими
линиями: целое рациональное (слово «рациональное» в дальнейшем
дляэкономииместа будем опускать), дробно-рациональное,иррацио-
нальное,тригонометрическое,показательное,логарифмическое.Преж-
де чем переходить к изложению общих методов решения неравенств,
напомнимосновныепонятия,определенияифакты,связанныеснера-
венствамииуравнениями(решениеуравненийчастоявляетсясостав-
нойчастьюрешениянеравенств).
Значение любого алгебраического выражения f(x) при любом до-
пустимом значении переменной x либо положительно (в этом случае
пишут f(x)>0),либоотрицательно(вэтомслучаепишут f(x)<0),ли-
боравнонулю(вэтомслучаепишут f(x)=0). Любаяматематическая
§..Основныепонятияифакты 
формулаявляетсявысказыванием,предложением,написаннымнама-
тематическом языке. Высказывания f(x)>0 (читается: f(x) больше
нуля), f(x)<0 (читается: f(x) меньше нуля), f(x)>0 (читается: f(x)
больше или равно нулю или f(x) не меньше нуля) и f(x)60 (читает-
ся: f(x) меньше или равно нулю или f(x) не больше нуля) называют
неравенствами с одной переменной, а высказывание f(x)=0 (чита-
ется: f(x) равно нулю)—уравнением с одной переменной. Неравен-
ства f(x)>0 и f(x)<0 называются строгими, а неравенства f(x)>0
и f(x)60—нестрогими.Заметим,чтоправаячастьнеравенства(урав-
нения) может быть отличной от нуля. В этом случае строгое неравен-
ство записывается в виде f(x)>g(x) или f(x)<g(x), нестрогое нера-
венство—в виде f(x)>g(x) или f(x)6g(x), а уравнение—в виде
f(x)=g(x).
Числоназываетсярешениемнеравенства(корнемуравнения),если
при его подстановке вместо переменной в данное неравенство (урав-
нение) получаетсяверное числовоенеравенство (равенство). Решить
неравенство(уравнение)—значитнайтимножествовсехегорешений
(корней). Поэтомувответе предпочтительнееуказыватьименномно-
жествачисел,используядлязаписинесколькихнепересекающихсямно-
жествзнакобъединения« »либопростоточкусзапятой.Вэтомсмыс-
∪
ле использование в качестве ответа, например, записи x >1 менее
удачнопосравнениюсзаписью(1;+∞),посколькуx>1являетсянера-
венством,а(1;+∞)—множествомегорешений.
Если неравенство (уравнение) не имеет ни одного решения (кор-
ня), то множество его решений (корней) не содержит ни одного эле-
мента(такоемножествоназываетсяпустым).Подобныеситуациивре-
мяотвременивстречаются—втомчислеинаэкзаменах,книмнадо
бытьготовыми.Втакихслучаяхдлязаписиответаиспользуютсимвол
пустогомножества∅либопростопишут:«решенийнет».Ответвфор-
ме «x ∅» является математически не вполне грамотным, поскольку
∈
пустое множество по определению не содержит ни одного элемента.
Для записи конечных числовых множеств используютфигурные скоб-
ки { }, в которых через точку с запятой (не через запятую—чтобы
исключитьпутаницу,посколькузапятойотделяютсядробныечастиде-
сятичныхдробей)записываютчисла(обычновпорядкевозрастания),
являющиесярешенияминеравенства(корнямиуравнения).
Важнойчастьюобщейматематическойкультуры,необходимойдля
решениянеравенств,являетсяумениеделатьлогическийперебор,про-
водитьдоказательныерассуждения,отвечатьнавопросыознакахичис-
лерешенийнеравенствадажевтехслучаях,когдарешатьнеравенство
не требуется или найти решение не представляется возможным. Раз-
 Глава.Общиеметодырешениянеравенств
витию и тренировке навыков логического перебора, умения анализи-
ровать условие и делать обоснованные умозаключения и выводы, на-
ходитьстратегиюрешенияпосвященазначительнаячастьупражнений
этогопараграфа.
Пример. Сенясказал,чтонаписанноенадоскенеравенствоиме-
ет менее  целочисленных решений, а Веня—что менее . Учитель
ответил, что прав только один из них. Сколько целочисленных реше-
нийимеетэтонеравенство?
Решение. Если утверждение Сени истинно и неравенство имеет
менее  целочисленных решений, то и утверждение Вени истинно,
чтопротиворечитусловиюистинноститолькоодногоизутверждений.
Значит, утверждение Сени ложно, а утверждение Вени истинно, т.е.
неравенство имеет не менее , но менее  целочисленных решений.
Единственноецелоечисло,отвечающеетакомутребованию,—это.
Ответ:.
59 47
Пример. Неравенство > :
4x2+7 5x2+9
) неимеетрешений;
p p
) справедливотолькопри x=0;
6
) справедливоприлюбомдействительном x;
) справедливотолькопри x=0.
Укажитеномераистинныхутверждений.
Решение. Числитель дроби в левой части неравенства больше
числителя дроби в правой части неравенства, а знаменатель меньше
знаменателявправойчастиприлюбомзначениипеременной.Поэто-
мудробьвлевойчастинеравенствабольшедробивправойегочасти.
Следовательно,истинноутверждение.
Ответ:3.
Пример. Укажитеномератехнеравенств,которыенеимеютот-
рицательныхрешений:
) (x+2)2(7x18 9x5 5)>0;
− −
) 2x2 7x+6<0;
−
) 2+7x8 18x17<0;
−
) x2 56789x 9876560;
− −
) x2 7777x+77777<0.
−
Решение. Рассмотрим последовательно каждое из пяти данных
неравенств.Числоx= 2является,очевидно,решениемнеравенства.
−
Следовательно, это неравенство имеет по крайней мере одно отрица-
тельное решение. Квадратное неравенство  легко решить стандарт-
§..Основныепонятияифакты 
ным способом; его решением является промежуток (1,5;2). Следова-
тельно, это неравенство не имеет отрицательных решений. Неравен-
ствоедваливозможнорешитьшкольнымиметодами,ноответнаво-
просзадачиэтогоинетребует.Действительно,еслипредположить,что
какое-то отрицательное число является решением этого неравенства,
то мы получим противоречие: ведь при любом отрицательном значе-
ниипеременнойлеваячастьнеравенствазаведомо принимаеттолько
положительные значения. Следовательно, это неравенство не имеет
отрицательныхрешений.Решитьквадратноенеравенство,разумеет-
ся, можно, но это потребует несоразмерных ему арифметических по-
двигов.Посколькунаходитьрешениявовсенеобязательно,попробуем
порассуждать.Графикомквадратичнойфункции
y = x2 56789x 98765
− −
является парабола, ветви которой направлены вверх. Так как y(0)=
= 98765<0,этотграфикпересекаетосьабсциссвдвухточках,распо-
−
ложенныхпоразныестороныотначалакоординат,иприлюбомзначе-
ниипеременной,заключённоммеждуними,лежитнижеосиабсцисс.
Следовательно,неравенствоимеетотрицательныерешения.Этотже
результат можно было получить, используя формулы Виета. Восполь-
зуемся ими для ответа на вопрос о существовании отрицательных ре-
шений у неравенства . Если дискриминант квадратного трёхчлена
влевойчастинеравенстванеположителен,тоононеимеетрешений
(в том числе и отрицательных). Если дискриминант положителен, то
решением неравенства является интервал, концы которого—корни
квадратного трёхчлена x2 7777x+77777. Из формул Виета следует,
−
что оба корня этого трёхчлена (если они существуют) положительны,
поскольку их произведение и сумма положительны. Поэтому и при
положительном дискриминанте левой части неравенство  не имеет
отрицательныхрешений.Заметим,чтоивслучаенеравенстваможно
былоиспользоватьрассуждения,аналогичныепредыдущим.
Ответ:2;3;5.
Навыки, полученные при решении подобных задач, помогут нахо-
дить оптимальные пути решения, рассматривать меньшее число слу-
чаев,анализироватьполученныеответынавозможныеошибкиит.п.
Если нужно найти все значения переменной, каждое из которых
являетсякакрешениемнеравенства f(x)>0(уравнения f(x)=0),так
и решением неравенства g(x)>0 (уравнения g(x)=0), то говорят,
чтозаданасистеманеравенств f(x)>0и g(x)>0(системауравнений
f(x)=0 и g(x)=0), а записывают и систему неравенств, и систему