Table Of Content,"n U
))u
(1)
M. DE GUZMAN
Ph. D. (Mothemotics),T he Universilyo f Chicogo.
Doctor en Ciencios( Motemdlicosl,U niversidodC omplulenséd e Modrid.
ECUACIONES
DIFERENCIATES
ORDINARIAS
Teoría de estabilidad
Control
Y
UI]IV.ERSIDADD E LA REPUBLICA
FACI-;iTAD DE I}.IGI]NIERIA
DEPAIiTAI\,IEiI']]O DE
DOCU.l'VIHi'.'ir\CION Y j]IIiLIOTECA
Bl;r-if-¡rl-ii DE: / H€
6 81t
Ne DE iNVEI'irARIo:
Eo s'lz
Primera edición, 1975
EO¡TORIAAL LHAMBRAS' . A.
B. E. 182
Madrtd-1C. laudioC oello' 76
Dalegac¡ones:
Barcelona-8E.n riqueG ranados6' l
Bllbaol4. DoctorA lb¡ñ¿na'1 2
Málaqa.T rinidadG rund,1 7
Sevilia-12R. elnaM ercedes3' 5
i/alencta-3C. abillers'5
México
Ed¡t¡aM exicana,S . A.
Méx¡co.L ucerna8, 4 ' DesP.f
Bep. Argentina
Ed¡tor¡aSl iluetas,S . A.
SuenoCn tres. EartoloméM lt¡e' 37¡15/¡t9
Perú
Edit¡aP eruanaS. . R. Ltda.
Lima.J osé Daaz,m 8
n c 0523$50
@ Es propiedadd el autor.
Reservadosto dos los Uerechos.
lsBN 84-205-05544
Depós¡tol egal: M. 20801'1975
lmpreso en España'Printed in Spain
SeteccionesG ráticas' Carretüa de Infn, km' 11'500' Madr¡d (1975)
Dedicdo a Mmía Luisa, mi mad'te,
INDICEG ENERAL
Capítulos Pdg¿t as
PRóLoco VIT
Origen y evolución de Ia teoría de ecuaciones diferenciales
Los orígenes, l. De ñnes del si8lo xvlr hasta el si8lo x¡x, 4, La primera mitad del
siglo xrx, 18. La segunda mitad de¡ siglo x¡x y comienzos del siglo xx, 24.
Algunas direcciones contemporáneas, 27.
Métodos de integración ... ... 30
Significación geométrica de la ecuación xr(t)=f(t, ¡(t)), 31. Ecuaciones con varia-
bles separables, 35. Ecuaciones exactas, Facto! integrante, 37. Cambio de va-
riables, 44. Ecuación lineal, 47. Desarrollo en serie. Método de la mayorante, 49.
Aprox¡mación numérlca, 55.
Teoremas básicos para la teoría de la existencia 59
Teorema de Ascolí-A¡zelá, 59. Ap¡oximación de funciones, 70. T€oremas del
punto fijo, 75.
4 Existencia, unicidad y prolongabilidad de soluciones. Dependencia de
parámetros y valores iniciales 85
El problema de Cauchy. Solución global, 86, El problena de Cauchy. Solución
local, 96. Prolongabilidad de soluciones, 103. Lema de Gronwall. Dependencia
de parámetros y de valores iniciales, 107. Diferenciabil¡dad respecto de parámetros.
Teo¡ema de Peano, II2. Inecuaciones diferenciales. Teoremas de unicidad, ll7.
5 Ecuaciones lineales f28
Elementos de análisis matricial, 128. Teoría espectral elemental. Teorema de
Jordan, 138. Ecuaciones lineales, 158. Coeñcientes constantes, tó6. Ecuaciones
periódicas, 169.
6 Teoría de estabilidad. IIIétodo de la prinrera aproxirnación ... ... ... 173
Noción de estabilidad, 173. Estabilidad de ecuaciones lineales, 177. Algunos cri-
terios de estabilidad aslntót¡ca, 182. Estabilidad de soluciones de ecuaclones no
Iineales, 188. Un teorema sobre estabilidad orbital, 197,
Teoría de estabilidad. El método directo de Lyapunov 2Ll
Esrabilidad y estabilidad uniforme, 212, Inestabilidad, ZZ0. Estabilidad aslntó-
tica, 223, La función de Lyapunov para ecuaciones lineales con coeficientes
constantes, 227. Estabilidad para ecuaciones lineales con coeficientes variables, 230.
El problema de Aizerman. El problema de Lurie, 233.
a Introducción a la teoría de control 2r7
Sistemas de control, 237. El ambi€nte de la teorfa de controlr 240. Los métodos
de la teorfa de control, Zl. Un eiemplo. Control de üempo mfnimo p¡üa un
tren sin fricción, 243. Formulación del problema general de control de un slstema
regido por ecuaciones diferenciales ordina¡ias, 249,
vtl
vill INDICE GENERAL
Cepltulos Págttras
9 Control de sistemas lineales. El principio de rnóximo de Pontryagin ... 25L
Un teorema de existenciay unic¡dad, 251. El teorema de Lyapunov, 252. El
principio de máximo de Pont¡yatin, 264.
l0 Sistemas lineales. Control de tiempo óptimo. Principio de bang-bang .., 271
El coniunto accesibleP. rincipio de bang-bant,2 72. Existenciad el control óDtimo.
Principio de máximo de Pontryagin,2 77. Vr eiemplo, 281.
ll Control de sistemas no lineales. El principio de máximo de Pontryagin. 286
El principiod e máximo,2 86.D emostraciódne l lema ll,l.2, 291,
Bibliografía 297
Indice de ¡naterias 299
PBOLOGO
ul¡J\.ir1-l5nAD DE lA REPtiBtIef,
F/!r.) :l,,Ti1r-i ll;-: lr r':i]l'llillllA
DliP.1 ):'l':r' i.i, to llli
DOCLTII i':l i'l' :11'lr-)i'i \: B l l::I ' IOTECI
IvIOliT'E\¡IDjlO - UitUGUAY
El presente trabaio está fornmdo esencialmente por eI curso de ecuaciones
diferenciales que he oenido impartiendo en la Unioersidad Complutense, du-
ronte uarios años, para alumnos de tercer curso de Licenciatura en Matemá-
ticas,
Tras un primer capítulo con algunas notas históricas sobre Ia euolución
de la teoría, la obra contiene tres partes bien diferenciadas.
La primera de ellas, capítulos 2 a 5, constituge el cuerpo básico de Ia teoría
de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención principal que me ha guiado
en la selección de materias ha sido Ia de ofrecer algunas técnicas básicas para
éste g muchos otros campos del anáIisis nzatemático, tales como teoremas
del punto fiio, inecuaciones diferenciales, teoría espectral, etc. Es cierto que
muchos resultados en la teoría de existencia g unicidad de soluciones podrían
obtenerse por métodos más económicos que los utilizados, pero pienso que es
mucho más importante para la formación del estudiante de Matemáticas Ia
familiarización con técnicas que han llegado a ser fundamentales en el anáIisis
actual que eI mero conocimiento de resultados.
La segunda parte, capítulos 6 g 7, contiene t¿na introducción a Ia teoría
de estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, He escogido urTos pocos
teoremas bcisicos, tanto en el estudio de Ia estabilidad mediante la primera
aproximación cotno ntediante el método de Lgapunou, para dar idea de las
técnicas más itnportarxtes para el estudio de este campo, que está recibiendo
actualmente un desarrollo tan notable gracias a los esfuerzos de ingenieros
g matentáticos.
La tercera parte, capítulos I a 11, se dedica a uno de los tenns de ntás
interés práctico g teórico en relación con las ecuaciones diferenciales ordina-
rias, la teoría de control. De fumdamental alcance en la tecnología actual pre-
senta problernas ntuA estitttztlantes para eI matemático. El desanollo que aquí
se ofrece de los resultados más irnportantes de Ia teoría, eI principio de
Pontrgagin y el príncipio de <bang-bang>, euita totalmente las técnicas auan-
zadas de teoría de Ia ntedida g del análisis funcional, requeridas en casi todos
Ios textos actuales de teoría de control. Con ello, estos capítulos sobre control,
así cottto los de estabilidad, son asequibles a todo estudiante de ingeniería
con una mítúma base matemática.
No se ha pretendido en tnodo alguno elaborar un tnanual de aplicaciones
técnicas concretes, sino presentar la iustificaciótt de aquellos principios de
antbas teorías, estabilidad g control, empleados cotzstantemente en la tecno-
PROLOGO
logía modernq. Es de esperarq ue un conocimiento mtis profundo de estos prin-
cipios influga positiuamente en sus aplicaciones.
La obra, por supuesto, está inspirada en otrcs muchas sobre ecuaciones
diferenciales. Quiero hacer constar mi deuda, en pmticular con las que a
contitzuación se citán. (EI nombre de un autor seguido de una fecha entre
corchetes hace referencia a la bibliografía que se encuentra al final del texto):
BrR¡esnrx |9701, Coon¡Ncror-LrvlNsoN [955], Copp¡,r.[ 965], HeuN [959],
H¡I-ÁNrv [966], Helrln fl967l, Hlnrrr¡eN U9641, Hnnu¡s-LnSlrrr [969],
Lrr-Menxus Ll967l, Pnrnovsru [966], Po¡¡rnyec¡N-Borryexsxrr-Geuxn¡rpzr-
MlscrreNxo Í19621,S rrper.¡ovt 1963]. Asimismo quiero hacer constar que mi
interés g nti traboio en ecuacionesd iferencialesh a estado siempre fuertemente
inspirado por las obras y las enseñanzqsq ue he recibido del Prof. Arssnro
Dou, c quien quiero manifestar aquí mi profundo agradecimiento.
Agradezco la ayuda que he recibido de los profesores del Departamento
de Ecuaciones Funcionales de la Unioersidad Complutense de Madrid, en
particular de ]. FonreA, M. T. MiNÁncurz, R. MonryóN, I. PrneL, así como
la agttda y estímulo de ntis estudiantes,e n particular de l. Roonfcuez Plñeno.
Al Departamento de Apuntes de la Facultad de Ciencias agradezcos u esfuerzo
e inta'és en el trabaio de edición de una primera oersión de estas notas.
Finalntente quiero hacer constar mi agradecinúento a todo eI equipo de
Ed¿torial Alhambra. La colaboración con éI ha constituido para núz-arn
satisfacción continua. (
Madrid, 1975.
M. oE GuzttÁN.
Universidad Complutense de Madrid.
I
ORIGENY EVOLUCIOND E LA TEORIA
DE ECUAGIONESD IFERENGIATES
U}']I]¿I,íBSIDADDE LA REPLIB]TC J
FACrll,il¿ir-i\ D;:l lt.jGillll. ill \
DljlP.^, l.lrii /r j\1EN,l() LIE
DOCLrl4EliT'.\Cí()1.í Y FII')T,IOTEC,
j14ON'-tEVIi)UO- llRU(lr-iAY
Las notas históricas contenidase n este capítulo están en su mayor parte
basadase n el apéndicee laboradop or JuscnKEwlrscHe n el texto de W. W. Srr-
PANovt l963l.
Existen textos, como el de Incr }9271 y HenrmlN [L964], que contienen
referenciash istóricase xactasa isladamenteL. a obra histórica reciented e KrtNE
Í19721c ontienev arios capítulosd edicadose specialmentea narrar el desarrollo
de la teoría de las ecuacionesd iferenciales.
Para aquellos que se introducen por vez primera en el estudio de las
ecuacionesd iferencialesp arece aconsejablep osponerl a lectura de esta intro-
ducción histórica hasta despuésd e haber leído por lo menosl os capítulos2 -5.
LOS ORIGENES
Los primeros ensayosd e tratamiento de ecuacionesd iferencialest uvieron
lugar probablementeh acia finales del siglo xvr y comienzosd el xvll, motiva-
dos por la producción de tablas de logaritmos.I . Nepren (1550-1617e) mpleó
la siguiente interpretaciónc inemáticae n la construcciónd e sus tablas:
Se considera sobre un eje 0X un móvil M que en el instante ú:0 parte
de A(10?,0 ) con velocidad - V, siendo esta velocidad u(¿) en cada instante ú
proporcional a la distancia de M a 0. Sobre otro eje 0y se considera otro
móvil N que parte de 0 en el instante ú:0 con velocidad constante V. Sea
r(ú) la distancia de M a 0, e y(t) la de N a 0 en el instante f. NAeTERd efinió
entonces y(r) como el logaritmo de r(r), A(t):Lx(t).
Cap. l. ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORTA OE ECUACTONESD TFERENCIALES
En terminologíam oderna se puede poner:
r(0):107, dxldt: -Vxll9l,
U(0):0, dgldt:V,
y, así,
dgldx: -I07lx, r(0): I0r, U(0):0
de donde resulta:
U:Lx: l07log( f0?/r)
Las tablas de Napier constituyen,p or tanto, una solución numérica, obte-
nida por aproximacionesd, e una ecuación diferencial de primer orden. La
eleccióna rbitraria de la constantel 0? está basadae n la costumbred e Ia época
de dar al sen¡ rl2 el valor l0?. De esta forma los logaritmos de los senos
de ángulos entre 0 y Tl2 eran dados en las tablas de Napier por enteros
positivos.
En el estudio de problemasr elacionadosc on los fenómenosn aturales ya
Gnrrrao (1564-1642)y DEscenres (1596-1650)u tilizaron ecuacionesd iferen-
ciales. Al resolver el problema del espacior ecorrido por un cuerpo en caída
libre, Geulno (1638)d io la medida de este espacio,s {r), como el área de un
triángulo rectángulo de catetos el tiempo t y la velocidad o(t):gt.
Por tanto:
I
s(t):jst2
DescARtesm, otivado por sus trabajosd e óptica, enuncióy resolvió en 1628
el primero de los problemasl lamadosd e irusersíónd e Ia tangente,q ue vinieron
a desempeñaru n papel muy importante en el desarrollo del cálculo y de las
ecuacionesd iferenciales.
Dados dos puntos fiios A, B, en el plano, se trata de obtener una curva C
que los separe,d e modo que si se toma cualquier punto X de la curva y se
traza la normal NtNr a ella en X, se tenga:
