ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones en Maple

409 Pages·2017·4.19 MB·Spanish

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ECUACIONES

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DIFERENCIALE S
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con aplicaciones entMaple
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Jaime Escobar Aui. 1
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A

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U

1Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en

Matema´ticas de la Un iversidad Nacional. Texto en la p´agina Web:

http://matematicas.udea. edu.co/ jescobar/; e-mail: [email protected]
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INDICE GENERAL
a
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m
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a
M

e
d

o
t
u
1. INTRODUCCION t 1
i
1.0.1. Ejercicios y problemas: . . . . .st. . . . . . . . . . . 4
n
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I
1.2. ECUACIO´N DE CONTINUIDAD, . . . . . . . . . . . . . 6
a
i
u
2. ME´TODOS DE SOLUCIO´N q 7
o
2.1. VARIABLES SEPARABLES .i. . . . . . . . . . . . . . . 7
t
2.1.1. VARIABLES SEPARABnLES . . . . . . . . . . . . 7
A
2.1.2. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3. ECUACIONES HOMdOeGE´NEAS . . . . . . . . . . 10
2.1.4. Ejercicios y Problemd as . . . . . . . . . . . . . . . . 13
a
2.1.5. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . 14
d
2.1.6. Ejercicios y Problesimas . . . . . . . . . . . . . . . . 15
r
2.2. ECUACIONES EXACTeAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
v
2.2.1. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . 15
i
n
2.2.2. Ejercicios y prUoblemas . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3. FACTORES D E INTEGRACIO´N . . . . . . . . . 20

2.2.4. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. E.D. LINE AL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . 26

2.3.2. ECUACI ON DIFERENCIAL DE BERNOULLI 29

2.3.3. Ejercicio s y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. E.D. NO LIN EALES DE PRIMER ORDEN . . . . . . 33

iii
iv ´INDICE GENERAL
2.4.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 44
3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 47
3.1. APLICACIONES GEOME´TRICAS . . . . . . . s. . . . . 47
a
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . c. . . . . . 47
i
t
3.1.2. Problemas de Persecucio´n: . . . . . . . .a. . . . . . 49
m
3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ıa anal´ıtica . . . . . . . 52
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIO´N e. . . . . . . . 53
t
a
3.2.1. Desintegraci´on radioactiva . . . . . M. . . . . . . . . 54
3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . 54

e
3.2.3. Ley de absorcio´n de Lambert . .d. . . . . . . . . . 54

3.2.4. Crecimientos poblacionales . . o. . . . . . . . . . . 55
3.3. PROBLEMAS DE DILUCIO´N . . . .ut. . . . . . . . . . . 57
t
3.3.1. Ejercicios y problemas: . . . .i. . . . . . . . . . . . 64
t
s
3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . .n. . . . . . . . . . . . . 66
I
3.4.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 70
,
3.5. APLICACIONES A LA FISICAa. . . . . . . . . . . . . . 71
i
u
3.5.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 77
q
o
i
4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEAtLES 79
n
4.1. INTRODUCCION . . . . . .A. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. DIMENSIO´N DEL ESP. V ECT. SOL. DE UNA E.D.O. 87
e
4.2.1. Ejercicios y problemdas: . . . . . . . . . . . . . . . . 94

d
4.3. TEORIA CUALITATIVA PARA E.D. LINEALES . . 96
a
4.3.1. Ejercicios y probldemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 100
i
4.4. ME´TODO DE REDUCsCIO´N DE ORDEN . . . . . . . 100
r
4.4.1. Ejercicios y proeblemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 103
v
4.5. E.D. LINEALES COiN COEFICIENTES CONST. . . . 104
n
4.5.1. E.D. LINEAULES DE ORDEN DOS . . . . . . . . 104
4.5.2. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5.3. E.D. LINE ALES DE ORDEN MAYOR QUE

DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5.4. Ejercicio s y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.6. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6.1. Ejerc i cios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.7. COEFICIE NTES INDETERMINADOS . . . . . . . . . 113
´INDICE GENERAL v
4.7.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.8. VARIACIO´N DE PARA´METROS . . . . . . . . . . . . . 116
4.8.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.9. GENERALIZACIO´N DEL ME´TODO DE
VARIACIO´N DE PARA´METROS . . . . . . . . . . . . . 124
4.9.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 126
s
4.10.OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a. . . . 127
c
4.11.OPERADORES INVERSOS . . . . . . . . . . . i. . . . . 129
t
4.11.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . .a. . . . . 140
m
4.12.E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 141
e
4.12.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . t. . . . . . . 144
a
4.13.APLICAC. DE LA E.D. DE SEGUNDO ORMDEN . . . 145
4.13.1. MOVIMIENTO ARMO´NICO SIMP LE . . . . . 145
e
4.13.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADOd. . . . . . . . 148

o
4.13.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . 151
t
u
4.13.4. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 159
t
i
4.14.ANEXO CON EL PAQUETE Maple t. . . . . . . . . . . 164
s
n
I
5. SOLUCIONES POR SERIES 171
,
a
5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
i
u
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . 173
q
5.2.1. Ejercicios y problemas: . o. . . . . . . . . . . . . . . 179
i
5.3. SOLUCIONES EN TORNO AntPUNTOS SING. REG. 184
5.3.1. CASO II: r r = enteAro positivo . . . . . . . . . 190
1 2
5.3.2. FUNCIO´N G−AMMA:e Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . 193
d
5.3.3. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 195

d
5.3.4. CASO III: r1 = r2 . .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.3.5. ECUACIO´N DE BdESSEL DE ORDEN p : . . . . 200
i
s
5.3.6. Ejercicios y problremas: . . . . . . . . . . . . . . . . 205
e
5.3.7. PUNTO EN ELvINFINITO . . . . . . . . . . . . . 213
i
5.3.8. Ejercicios y pronblemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 214
U
5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 214

6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 217

6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.2. TRANSFORMA DA INVERSA DE LAPLACE . . . . . 221

6.3. TEOREMAS S OBRE LA TRANS. DE LAPLACE . . 224

6.3.1. Ejercici o s y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.4. APLICACION ES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D.240
vi ´INDICE GENERAL
6.4.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . 246
6.5.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 249
7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 253
s
7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . .a. . . . . 253
c
7.2. CONJUNTOS FUND. Y SIST. HOMOGE´NEiOS . . . 256
t
a
7.3. ME´TODO DE LOS VALORES Y VECT. PRmOPIOS . 257
7.3.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . e. . . . . . . . 276
t
7.4. VARIACIO´N DE PARA´METROS . . . . .a. . . . . . . . 278
M
7.4.1. Ejercicios y problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 282

e
7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS283
d
7.5.1. Ejercicios y problemas: . . . . . o . . . . . . . . . . . 285
t
7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Mapleu. . . . . . . . . . . 286
t
i
t
8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. s 287
n
8.1. SISTEMAS AUTO´NOMOS, EL PILANO DE FASE . . 287

,
8.1.1. Ejercicios y problemas: . .a. . . . . . . . . . . . . . 291
i
u
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . 292
q
8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CoRITICOS. . . . . . . . . . 293
i
t
8.2.2. Ejercicios y problemasn: . . . . . . . . . . . . . . . . 301
A
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTAB. . . 302

8.3.1. Ejercicios y problemeas: . . . . . . . . . . . . . . . . 313
d
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV . 314
d
8.4.1. Ejercicios y probleamas: . . . . . . . . . . . . . . . . 321
d
8.5. LINEALIZACION DEiSISTEMAS NO LINEALES . . 323
s
r
8.5.1. Ejercicios y proeblemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.6. CICLOS LIMITES: TEOvREMA DE POINCARE´-BENDIXSON 344
i
n
8.6.1. Ejercicios y pUroblemas: . . . . . . . . . . . . . . . . 352
8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 354

A. F´ormulas 359

A.1. F´ormulas Arit m ´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

A.2. F´ormulas Geo m´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

A.3. Trigonometr ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

A.4. Tabla de In tegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
´INDICE GENERAL vii
B. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 367
B.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
B.2. TEOREMA LOCAL DE EXIST. Y UNICID., CASO UNIDIMENSIONAL 369
B.3. TEOREMAS LOCAL Y GLOBAL PARA SISTEMAS DE E. D. LINEALES376
C. EXPONENCIAL DE OPERADORES 381
s
a
D. TEOREMA DE LIE´NARD c 385
i
t
a
E. FRACCIONES PARCIALES m 391
E.1. Factores lineales no repetidos. . . . . . . . . . .e. . . . . . 391
t
E.2. Factores Lineales Repetidos. . . . . . . . . . .a. . . . . . . 392
M
E.3. Factores Cuadr´aticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

E.4. Factores Cuadr´aticos Repetidos. . . . . . .e. . . . . . . . 395
d

o
t
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t
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t
s
n
I

,
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o
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n
A

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CAPITULO 1
c
i
t
a
m
INTRODUCCIONe
t
a
M

e
d

o
t
u
Definicio´n 1.1. Si una ecuaci´on contiene las derivatdas o las diferenciales
i
de una o ma´s variables dependientes con respectosta una o ma´s variables
n
independientes, se dice que es una ecuaci´on diferencial (E.D.).
I

,
a
Silaecuaci´oncontienederivadasordinariasdieunaoma´svariablesdepen-
u
dientes con respecto a una sola variable indepeqndiente entonces la ecuaci´on
o
se dice que es una ecuaci´on diferencial ordinaria (E.D.O.).
i
t
n
Ejemplo 1. 3dy +4y = 5 A
dx
e
d
Ejemplo 2. (x2 y)dx+5 senydy = 0
− d
a
d
Ejemplo 3. udu +vdv = x
i
dx dx s
r
e
Si la ecuaci´on contiene derivadavs parciales de una o ma´s variables depen-
i
dientes con respecto a una o ma´s vnariables independientes, se dice que es una
U
ecuaci´on en derivadas parciales.

Ejemplo 4. ∂u = ∂v
∂y −∂x

Ejemplo 5. ∂2u = y x
∂x∂y −

Definicio´n 1.2. (Ord en). La derivada o la diferencial de ma´s alto orden

determina el orden de la E.D.

1
´
2 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Ejemplo 6. d3y +x2d2y +xdy = lnx, es de orden 3.
dx3 dx2 dx
Ejemplo 7. xdy ydx = 0 = dy = y, la cual es de orden 1.
− ⇒ dx x
s
a
Definicio´n 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma:
c
i
t
an(x)ddxnny +an 1(x)ddxn−n1y1 +...+a1(x)ddxy +a0(x)y = g(x)ma
− −
e
t
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadaas tienen exponente
M
uno y cada coeficiente a (x),a (x),...,a (x),g(x), depende solo de x. Si no
0 1 n

se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal. e
d

o
t
Ejemplo 8. x2d3y +cosxd2y +senxdy +x2y =uex es lineal de orden 3.
dx3 dx2 dx t
i
t
s
Ejemplo 9. senx d3y +xy2 = 0 no es lineal.n
dx3 I

,
Ejemplo 10. y2d2y +ydy +xy = x no esilaineal.
dx2 dx u
q
o
i
Definicio´n 1.4. . Se dice que una funcio´ntf con dominio en un intervalo I
n
es solucio´n a una E.D. en el intervalo I,Asi la funcio´n satisface la E.D. en el
intervalo I.
e
d

d
a
Ejemplo 11. x = yln(cy) es solucio´n de y (x+y) = y
d ′
i
s
En efecto, derivando impl´ıcitaemrente: 1 = dy ln(cy)+y 1 cdy
dx cy dx
v
i
1 = dy (ln(cy)+1), luego dyn= 1
dx dUx ln(cy)+1

Sustituyendo en la ecuac i´on diferencial:

yln( cy)+y y(ln(cy)+1)
= = y,
ln ( cy)+1 ln(cy)+1

luego y = y

por tanto x = yln(cy ) es solucio´n.