不思議な数eの物語

388 Pages·2019·8.986 MB·Japanese

by  Eli Maor, E・マオール・伊理由美 (訳)

ちくま学芸文庫
e
不思議な数 の物語
E・マオール
伊理由美訳
R

筑摩掛J)J
e: Th e Story of aN umber
by Eli Maor
Copyrightc1994 by Princeton University Press
Japanese translation published by arrangement with
Princeton University Press
through The English Agency (Japan) Ltd.
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私の両親リチャードとルイーズ・メッガー
(Richard. and Luise Metzger)に捧ぐ

宇宙というこの大きな本の中には哲学が酋かれている．宇宙
は我々がじっと見つめればいつでも見えるのであるが．それ
を理解するには，まず営業というものの理解のし方を学ぴ，
首策の文字の意味の読みとり方を学ばなければならない．そ
れは数学という甘策で苦かれており．その文字は三角形．円
などの幾何学的図形である．これらの図形を使わなければ宇
宙のことはー語たりとも人知では理解できないのである．
ー GALILEOGALILEI (ガリレオ・ガリレイ）．
fl Saggiatore (偽金鑑識官， 1623)より

007
まえがき
Tという数に私が初めて出会ったのは9歳か10歳の頃だ
ったはずである．父の友達に工場の持ち主がいて，ある日
私は誘われてそこを訪ねた．部屋は道具や機械でいっぱい
で，強い油の匂いが部屋中に立ちこめていた．私は機械に
はとくに典味がなかった．工場主は私が退屈していると見
たにちがいない．彼は脇の方のはずみ車がいくつもついた
大きい方の機械のところへ私を連れて行き，話をしてくれ
た．車が大きくても小さくても，必ずその周と直径の比は
1
一定で，およそ3ーであると．私はこの奇妙な数に興味
7
をそそられたそして彼がさらに付け加えて＂この数を正
確に書いた人はまだいないのだよ—~この数は近似的に杏
くことしかできないのだよ；だけどこの数は非常に大切だ
から特別の記号ギリシャ文字のm がつけられている"
と言ったとき，私の鷲きは裔まった．円のような単純な形
に．このような奇妙な数が関係するのはなぜなのだろうと
自問した．私は知らなかった．他でもないこの数がおよそ
4000年もの間科学者の興味をそそり．今でもなおこの数
に関して未解決の問題があることを．
数年後中学で代数を学んでいる時．私は第2の奇妙
な数に好奇心をそそられた．対数の学習はカリキュラム
の重要な部分であり当時—龍卓が現れるよりずっと前
008
—高等数学を学ぽうとするものにとって．対数表を使う
ことは絶対に欠かせないことであった．その表の何といか
めしかったこと 1緑の表紙がついていてイスラエル教育
省発行のものだった．行を飛ばしていないか．列を間違え
ていないかと心配しながら何百もの錬習問題をこなす
のは死ぬほど退屈だった．我々が使っていたのは“常用”
対数といわれるもので．ごく当たり前に．底として 10を
使っていた． しかし表には“自然対数＂と呼ばれるページ
もあった. 10を底とする対数より“自然なものがあるの
でしょうがと私が質問すると．先生は "eという文字で
表す特別の数があって．それは約2.71828に等しく．「高
等」数学ではこれを底として使う”と答えられた． どうし
てこのように奇妙な数を使うのか？それが分かるのは上
級になって微積分を習ってからであった．
ところで.7rと似たような数があって．その値が互いに
近いからなおさら．それらの比較をせずにはいられなかっ
た．これら二つの数が密接に関係しあっていること．そし
て．この関係が第3の記号i―有名な“虚数単位＂で．
ー1 の平方根—の存在により．ますます神秘的になるこ
とをその後数年大学で学んでから私は知った．こうして
数学的なドラマの要索がすべて揃う．その話をこれからす
るところである．
Tについては多くの人が話してきた．それは．その歴史
が古代に遡るという理由によるだけでなく．高等数学の知
識がなくてもほとんどのことを理解できるからでもある．
まえがき 009
その中で最もよくできているのはペートル・ベックマン
(Petr Beckmann)のAHistory of 1r 「(Tの歴史」ちく
ま学芸文庫Math& Science)であろう．それは．一般向
けの本でありながらはっきりと花確に粛かれた模範的な
解説宵である． ところが数eはそれほどうまくいかなかっ
た.eはより近代的な産物であるばかりでなく．その歴史
は“高等＂数学への入り口とみなされている微積分学と密
接に関係している．私の知る限りでは.eの歴史に関する
本でベックマンに並ぶものはない．本啓はその空白を埋め
るものである．
私の目標とすると•ころは，少々の数学の心得がある読者
なら読みこなせる程度のレベルで.eの話をすることであ
る．本文の中では数学の使用を最小限にして．証明や導出
のいくつかは付録に委ねた．同時に．時々．主題からそれ
て歴史的に興味のある副次的な話題の探索もあえて行なっ
た例えば.eの歴史に一定の役割を果たした多くの人々
の略伝である．それらの中には教科宵ではめったに触れら
れることのない人々もいる．とりわけ．指数関数exに関
係する多種多様な現象—物理や生物から芸術や音楽まで
―を取り上げて．それを数学を超える興味ある主題にし
たいと思っている．
本密は微積分学の教科書にある伝統的なやり方から逸
れた場合もかなりある．例えば．関数y=ざがその祁関
数に等しいことを示すとき，ほとんどの教科肉がまず公
=
式d{lnx)/dx l/xを導くが，これには長い過程を踏ま
Ol.O
なければならない．そうしてやっと．逆関数の尊関数の
法則を使って．望む結果が得られるのである．これは不
必要に長い過程であると常々思っていた：一般の指数関
数y=炉の微分が炉に比例することを示し．比例定数
が1になるようなbの値を求めれば．公式d(e）ェ/dx=eエ
を直接示すことができる―その方がはるかに早い（付
録4にこの導出を示す）．甜等数学にしばしば出てくる式
cosx+ isinxに対して．私は簡潔な記号 cisX ("シスぶ
と発音する）を使ったが，このずっと短い記号がもっと
多くの場所で使われるようにと願っている．三角関数と
双曲線関数の間の類似性を考えるとき．最も美しいもの
・v<
の一つがヴィンチェンゾ・リッカチ mcenzo Riccaい）
が1750年頃発見したもので．これら二つの型の関数の独
立変数が幾何学的には“面積＂と解釈できるということで
あるこのことによって二つの型の関数の形式的な類似性
はますます駕くべきものとなるこの事実は教科啓で触れ
られることはめったにないが．本宵では第12章と付録7
に述べてある．
本害を書くためにいろいろと調べているうち．一つ
の事実がすぐに判明した：微租分の発明より少なくと
も半世紀前．数eは数学者達に知られていた（このこと
は1618年に出版された対数に関するジョン・ネーピア
(John Napier)の著作のエドワード・ライト (Edward
Wright)の英語訳の中にすでに言及されている）．どの
ようにしてこのようなことが起こり得たのだろう？一