Dynamische Systeme: Theorie und Numerik

449 Pages·2010·5.66 MB·German

by  Bernd Marx

Dynamische Systeme
Bernd Marx Werner Vogt
Dynamische Systeme
Theorie und Numerik
Autoren:
Univ.-Prof. Dr. rer. nat. habil. Bernd Marx
Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
e-mail: [email protected]
Priv.-Doz. Dr. rer. nat. habil. Werner Vogt
Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
e-mail: [email protected]
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Sabine Bartels
Redaktion: Dr. Sonja Bernhart
Herstellung und Satz: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm
Titelfotografi e: © Jos Leys
ISBN 978-3-8274-2447-1

Vorwort
Mit diesem Buch wollen die Autoren den Studierenden in den Masterstudiengängen für
Mathematik, Natur- und Ingenieurwissenschaften ein solides mathematisches Wissen
zur Theorie und Numerik dynamischer Systeme vermitteln. Viele Prozesse in Physik,
Chemie, Biologie, Medizin und in den Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften werden
durchparameterabhängigenichtlineareDifferenzialgleichungenbeschrieben.Deshalbsind
Differenzialgleichungen und dynamische Systeme als zentrale Gebiete der Mathematik
auchweiterhininständigerEntwicklungbegriffen.DieIdeezudiesemBuchentstandaus
unserer langjährigen Vorlesungstätigkeit für Studierende der Mathematik, der Techni-
schen Physik, des Maschinenbaus, der Elektrotechnik und der Informatik, sowie auf der
Basis unserer wissenschaftlichen Kooperation mit Ingenieuren an der TU Ilmenau.
An die aktuelle Mathematik in den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden Fragen
von großer Komplexität gestellt, die nur durch das Ineinandergreifen sehr unterschiedli-
cherGebieteerfolgreichinAngriffgenommenwerdenkönnen.Diesführtinwachsendem
Maße zum Zusammenführen von reiner und angewandter Mathematik. Diese Entwick-
lungstendenzen werden sich auch auf Grund des Auftretens neuer Ideen und Methoden
in Zukunft fortsetzen. Wir halten es deshalb für unabdingbar, wesentliche Begriffe und
DenkweisenderFunktionalanalysiseinerseitsundderNumerischenAnalysisandererseits
einzuführen, um den Einsatz moderner mathematischer Verfahren des Wissenschaftli-
chen Rechnens zu unterstützen.
In der Stoffauswahl und -anordnung haben wir auf ausführliche Motivation und Erläu-
terung der Grundideen, auf leichte Fasslichkeit, Anschaulichkeit und Übersichtlichkeit
Wertgelegt.DermitderThematikbereitsvertrauteLesermögeVerständnisaufbringen,
wenn an geeigneter Stelle ihm bekannte Grundbegriffe und -aussagen definiert werden.
Damit wollen wir erreichen, dass das mühevolle Zusammensuchen von Begriffen und
AussagenweitgehendentfälltundfüralleLeserdesBuchesgleicheBedingungengeboten
werden, um den Einstieg in das umfangreiche Gebiet zu erleichtern. Wo es die Stoff-
auswahl zulässt, wird auch ein Praxisbezug hergestellt. Wir werden allerdings nicht in
jedem Kapitel erläutern, wofür ein mathematischer Begriff oder Sachverhalt „nützlich“
ist, denn erst das Zusammenspiel der verschiedenen Begriffsbildungen und der daraus
resultierenden Sätze führt zu sinnvollen Anwendungen. Von der Behandlung chaotischer
LösungenundAttraktorenfraktalerDimensionmusstenwirinAnbetrachtdesBuchum-
fanges Abstand nehmen, zumal sich das erforderliche mathematische Instrumentarium
teilweisestarkvomübrigenBuchunterscheidetunddeshalbgesondertvorgestelltwerden
soll.
Das Buch ist so aufgebaut, dass zunächst im ersten Kapitel einige Grundtatsachen aus
dem Gebiet der Funktionalanalysis aufgeschrieben sind. Die gesamte moderne Analysis
vi
basiert heute auf der Funktionalanalysis. Sie stellt als elegante mathematische Theorie
allgemeine Hilfsmittel bereit, um mathematische Aufgabenstellungen, wie gewöhnliche
undpartielleDifferenzialgleichungen,IntegralgleichungenundExtremalproblemeinüber-
sichtlicher und einheitlicher Weise zu lösen. Gemeinsame Merkmale, die bei der Lösung
dieser Aufgabenstellungen auftreten, werden auf allgemein gültige Prinzipien zurückge-
führt. Darüber hinaus kann man die Struktur und Konvergenz von Näherungsverfahren
ineinheitlicherWeiseuntersuchen.DerMehraufwandzurEinarbeitungindiesesKapitel
wird dadurch abgegolten, dass scheinbar sehr unterschiedliche Aufgabenstellungen, wie
sie in der Praxis auftreten, mit Hilfe der gleichen abstrakten mathematischen Methode
gelöst werden können.
Daszweite KapitelbeschäftigtsichwenigermitMethodenderBerechnungderLösungen
von Differenzialgleichungen, sondern mehr mit strukturellen und qualitativen Aussagen.
WirhabendieserSichtweisedenVorzuggegenüberdertraditionellen,anLösungstechni-
ken und der linearen Theorie ausgerichteten Betrachtungsweise gegeben. Dieser Aspekt
erscheint wichtig, um numerische und grafische Lösungsapproximationen beurteilen zu
können.
Im Kapitel 3 wird der Leser an den Begriff der Lösungsbifurkation bei Differenzial-
gleichungen behutsam herangeführt. Dieser Abschnitt beschreibt die ersten Schritte in
Richtung einer zeitgemäßen Fortführung der elementaren Theorie autonomer Systeme.
Es werden die drei Grundtypen Sattel-Knoten-Bifurkation, transkritische Bifurkation
und die Pitchfork-Bifurkation behandelt. Den Abschluss bilden die Resultate über die
Verzweigung von Ruhelagen und geschlossenen Orbits (Hopf-Bifurkation).
DasKapitel4überanalytischeBifurkationstheoriekannalsBrückezwischenderelemen-
taren Theorie gewöhnlicher Differenzialgleichungen und den Anfängen der so genannten
nichtlinearenDynamikverstandenwerden.NebenverschiedenenThemenderklassischen
statischen Bifurkationstheorie haben wir auf unterschiedlichem mathematischen Niveau
einige grundlegende Probleme der modernen dynamischen Verzweigungstheorie vorge-
stellt, die in den üblichen Büchern über Differenzialgleichungen in dieser Form nicht
behandelt werden.Die Gewinnungder Aussagenin diesemAbschnitterfolgtwiedervor-
wiegend auf der Basis der in Kapitel 1 dargelegten Funktionalanalysis.
Die Numerik nimmt – beginnend mit Kapitel 5 – bei der Entwicklung und Analyse
leistungsfähiger Näherungsverfahren einen relativ großen Umfang ein. Wegen der Nicht-
linearitätdermathematischenModellekönnendynamischeSystemeausderPraxisohne
leistungsfähige numerische Verfahren zukünftig nicht erfolgreich analysiert werden. Des-
halbsindNaturwissenschaftlerundIngenieureaufeffizienteAlgorithmenundComputer
bei der Erforschung der Modelle ihres Fachgebietes angewiesen. Für umfangreiche Com-
putersimulationenrealerProzessewerdenschnelleundzuverlässigenumerischeVerfahren
vii
benötigt, deren grundlegendes Verständnis und Einordnung in zunehmendem Maße Be-
standteil der mathematischen Ausbildung werden sollte. Das Wissenschaftliche Rechnen
(Scientific Computing) in Mathematik, Natur- und Ingenieurwissenschaften nutzt effi-
ziente analytische und numerische Verfahren besonders für nichtlineare und großdimen-
sionale Probleme. Deshalb werden in den Kapiteln 5 und 6 aktuelle Näherungsverfahren
zur Lösungsverfolgung von Gleichgewichtslagen und periodischen Schwingungen ein-
schließlich ihrer programmierbaren Algorithmen vorgestellt und beispielhaft durch die
Verzweigungsanalyse eines 9-dimensionalen Modells aus der Ingenieurspraxis illustriert.
Das Kapitel 7 ist quasi-periodischen Bewegungen mit mehreren Basisfrequenzen ge-
widmet. Diese multifrequentiellen Schwingungen treten insbesondere bei gekoppelten
DGL-Systemen, z.B. in elektrischen Dreiphasen-Systemen der Energietechnik auf und
bilden ein kompliziertes und sensitives Studienobjekt. Invariante Tori als Träger dieser
quasi-periodischen Bewegungen können jedoch durch die vorgestellten aktuellen nume-
rischen Zugänge (Finite-Differenzen-Verfahren, Fourier-Galerkin-Verfahren) als Lösung
der sie beschreibenden partiellen Differenzialgleichungen approximiert und untersucht
werden. Konkrete Anwendungen demonstrieren den erfolgreichen Einsatz dieser Verfah-
ren.
Die Darstellung des Stoffes ist weit davon entfernt, eine bloße Sammlung von „Kochre-
zepten“zusein.GeradediemathematischstrengeHerleitungzentralerIdeenunddurch-
gehendpräziseFormulierungenundDarstellungenfördernentscheidendVerständnisund
DurchblickundgebensoerstdiegewünschteSicherheitbeidenAnwendungen.Fallsuns
ein vollständiger Beweis nicht ratsam erschien, wird in der Regel ein Literaturverweis
angegeben. Unseren Beitrag sehen wir darin, durch Klarheit, Transparenz und Konzen-
tration auf das Wesentliche, den Leser auch an die moderneren Inhalte der Mathematik
heranzuführen. Es ist uns ein Anliegen zu demonstrieren, dass die Mathematik nicht
nur Eleganz und innere Schönheit besitzt, sondern auch effektive Methoden zur Lösung
konkreter Fragestellungen zur Verfügung stellt. Wir wollen uns bemühen, mit diesem
Buch ein solides Fundament zu legen, das dem Leser später auch bei weitergehender
Beschäftigung mit Mathematik und deren Anwendung zu gute kommt.
Schließlich möchten wir die Aufmerksamkeit auch auf die Übungsaufgaben richten, die
amSchlußeinesjedenKapitelszufindensind.DieBeschäftigungmitdiesenAufgabenist
einewichtigeVoraussetzungfüreinvertiefendesVerständnisdesStoffes.DieDarstellung
der numerischen Verfahren als Algorithmen im Pseudocode bietet Musterlösungen für
eigene Verfahrensentwicklungen der Leser und soll zu einer kritischen Bewertung der
Näherungsverfahren anleiten. Sämtliche mit dem Computer gerechneten Anwendungs-
beispiele benutzen automatisch die im wissenschaftlichen Bereich international übliche
NotationvonGleitpunktzahlenmittelsdesDezimalpunktes.Wirhabenunsentschlossen,
die Dezimalpunkt-Darstellung durchgehend zu verwenden, zumal damit die Lesbarkeit
viii
von Zahlenfolgen und -vektoren verbessert wird. Für sehr häufig wiederkehrende mathe-
matischeBegriffewie„Differenzialgleichung“werdenallgemeinüblicheAbkürzungenwie
„DGL“ an entsprechender Stelle eingeführt und undekliniert im gesamten Text benutzt.
ZwaristdasBuchprimäranStudentenimMaster-StudiumderMathematik,derNatur-
undIngenieurwissenschaftenundInformatikgerichtet,kannaberauchvonDoktoranden
mit Gewinn genutzt werden. Auch Forschungsingenieuren und Anwendern dürfte das
Buch neue Elemente der Mathematik bieten. Die vorgestellten Anwendungen wurden
größtenteils mit Computerprogrammen gerechnet, die von Studierenden und Doktoran-
den gemeinsam mit den Autoren an der TU Ilmenau entwickelt wurden. Deshalb gilt
unser Dank Frau Dr. K. Bernet und den Herren Dr. F. Schilder, Dr. S. Schreiber, Dr.
D. Peterseim und Dipl.-Math. M. Ernst, die mit ihrer zeitaufwändigen Leistung zum
Gelingen des Buches beigetragen haben.
Als jederzeit kompetente und freundlich nachsichtige Ansprechpartner standen uns sei-
tens des Spektrum-Verlages Herr Dr. Andreas Rüdinger und Frau Sabine Bartels stets
hilfreich zur Seite. Die Autoren danken ihnen insbesondere für die wertvolle Unterstüt-
zung während der gesamten Fertigstellung des Buches.
Ilmenau, im September 2010 Bernd Marx
Werner Vogt
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionalanalytische Grundlagen................................ 1
1.1 Einführung ........................................................ 2
1.1.1 Metrischer Raum............................................. 3
1.1.2 Normierter Raum und Banach-Raum............................ 7
1.1.3 Skalarproduktraum und Hilbert-Raum .......................... 9
1.1.4 Orthogonalreihen in Hilbert-Räumen............................ 13
1.2 Lineare Operatoren................................................. 17
1.2.1 Bezeichnungen und Begriffe .................................... 18
1.2.2 Lineare stetige Operatoren..................................... 23
1.2.3 Adjungierte Operatoren ....................................... 29
1.2.4 Direkte Summe und Projektoren................................ 33
1.2.5 Fredholm-Operatoren ......................................... 36
1.2.6 Kompakte Operatoren ........................................ 41
1.3 Fréchet- und Gâteaux-Ableitung...................................... 54
1.4 Nemytski-Operator ................................................. 58
1.5 Implizites Funktionentheorem........................................ 59
1.6 Aufgaben ......................................................... 61
2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (DGL) ...................... 67
2.1 Einführende Beispiele ............................................... 68
2.2 Geometrische Interpretation einer DGL................................ 72
2.3 Existenz- und Eindeutigkeitssätze .................................... 73
2.4 Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung .................................... 83
2.5 Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten........... 89
2.6 Autonome Systeme ................................................. 98
2.6.1 Allgemeine Aussagen.......................................... 98
2.6.2 Kritische Punkte ............................................. 104
2.7 Hilfsmittel zur Konstruktion von Phasenportraits ....................... 107
2.7.1 Stabilität linearer Systeme..................................... 107
2.7.2 Linearisierung nichtlinearer DGL-Systeme ....................... 111
2.7.3 Das Hartman-Grobman-Theorem ............................... 112
2.8 Aufgaben ......................................................... 122
3 Bifurkation bei gewöhnlichen DGL ............................... 127
3.1 Strukturelle Stabilität............................................... 128
3.2 Einige typische Bifurkationen ........................................ 133
3.2.1 Sattel-Knoten Bifurkation ..................................... 134
3.2.2 Transkritische Bifurkation ..................................... 136
3.2.3 Die Pitchfork-Bifurkation...................................... 138
3.2.4 Die Hopf-Bifurkation.......................................... 140