Table Of ContentDynamik
des Bogentragers und
Kreisringes
Von
Karl Federhofer
Pruressor an der Techllischen Hocltschule Graz
Mit 35 Texlabbildungcn und 26 Zahlenlafeln
'Vien
Springer-Verlag
1950
ISBN-13: 978-3-211-80138-3 e-ISBN-13: 978-3-7091-7736-5
001: 10.1007/978-3-7091-7736-5
AlIl' l{l'l·htt" inKbl'Hllndl'!"c 1I81l del UbCrKCtzlllIg
in fremdc Hl'l"aehclJ, YOl"behaltcn.
('upYl·ight 1950 by Sprin!,rer-'-l'rlag in Yil'lllm.
Dem Andenken an meinen Lehrer
Ferdinand Witten ba uer
(1857 -1922)
Vorwort.
Die Stalik cler Bogentriiger erfreut sich dank ihrer groBen Bedeutung
fUr das Bau- und Maschinenwesen schon seit jeher der besonderen
Pflege der wissenschaftlichen Forschung, so daB sie mit ihren bis ins
einzelne ausgearbeiteten analytischen und graphischen Methoden zu den
bestentwickelten Teilen der modern en Baustatik zu zahlen ist, fiir die
im in-und allslandischen Schrifttum schon langst sehr schone zusammen
fassende Darstellungen bestehen. Nicht so erfreuliches kann von der
Dynamik der Bogentrager behauptet werden.
Die in den vergangenen eineinhalb J ahrzehnten erschienenen
Biicher iiber technische Schwingungsprobleme, von denen die aus
gezeichneten Standardwerke von S. Timoshenko (1932) und Biezeno
Grammel (1939) besonders genannt seien, behandeln entsprechend
ihrer Zielsetzung die technisch ungemein wichtigen Schwingungen von
Systemen mit einem und mehreren Freiheitsgraden, sowie von elasti
schen Systemen, letztere aber vorwiegend heschrankt auf gerade Stabe
oder Platten und Schalen. Der Fall gekriimmter Stahe wird, wenn iiber
haupt, nur durch Angabe jener Ergebnisse beriicksichtigt, die seit
dem Erscheinen der klassischen Werke von Lord Rayleigh und A. E. H. Love
bekannt sind und auch Eingang gefunden haben in den verschiedenen
Handbiichern der technisehen Mechanik und Physik; sie beziehen sieh
im wesentliehen auf die Schwingungen eines geschlossenen Kreisringes
mit kreisrundem Querschnitte und auf jene von Sehraubenfedern.
Es konnte demnach scheinen, als bestiinde kein Bediirfnis nach Er
weiterung der Kenntnisse auf diesem enger begrenzten Gebiete der
Schwingungsforsehung. Dem ist aber nieht so. Man denke nur an die
Schwingungen von Bogenbriicken, an jene von Leitungsrohren unter
Innen- und AuBendruck, an die verschiedenartigen Gehauseschwin
gungen von rotierenden elektrischen Maschinen, an die Bedeutung der
Kreisring- oder Rohrschwingungen in der Akustik (Kundt'sche Rohre)
und viele andere technische und physikalisehe Anwendungen, und man
wird zugeben, daJ3 der Losung der damit bloB angedeuteten Schwin
gungsprobleme des elastischen Bogens in theoretischer und praktischer
Hinsicht besondere Bedeutung zukommt. Es muB daher iiberraschen,
VI Vorwort.
<laB eine einheitliche Darstellung rler Eigenschwingungen des krummpJ\
Stahes, welche die auf rliesem Forschungsgebiete im Laufe der letzt.cJ\
heiden .Jahrzehnte erzielten und in verschiedenen oft schwer zugang
lichen Zeitschriften niedergelegten Ergebnisse zusammenfaBt, bislang
iiherhaupt gefehlt hat.
Die vorliegende Schrift versucht diese bestehende Liicke zu schlieBen
und ein einigermaBen vollstandiges Bild von dem heutigen Stande der
Forschung auf diesem Teilgebiete der Schwingungstheorie nehst ent
sprechenden Literaturnachweisen zu gehen.
Riebei bietet sich auch zwanglos die Moglichkeit, einen Fragen
komplex erstmals zu behandeln, der durch die im modernen Stahlbau
iibliche Verwendung diinnwandiger offener Querschnitte von beliebiger
Form ausgelost wird und bisher in der Schwingungsforschung un
heachtet geblieben ist. Fiir soIche Querschnitte biiBen namlich die
gehrauchlichen, Frequenzformeln gekriimmter (und auch gerader)
Stahe ihre Giiltigkeit i. a. ein, so daB eine Verscharfung der hekannten
Grundgleichungen ihrer Eigenschwingungen erforderlich geworden ist.
Gestiitzt auf die heim Ausbau der Elastostatik und Stahilitatstheorie
des gedriickten geraden Stabes mit solchen Querschnitten erzielten
Ergehnisse, welche seit dem entscheidenden VorstoB H. Wagners (1929)
in dieses neue Gehiet nach Beitragen verschiedener Forscher schlieBlich
vor 10 .Jahren durch R. Kappus ihre abklarende Darstellung gefunclen
hahen, wird in der vorliegenden Schrift u. a. auch die fiir solche Quer
schnitte notwendig gewordene erweiterte Schwingungstheorie des
Kreishogentragers erstmals dargestellt, desgleichen die erweiterte Theorip
der Biegungs-Drillungsschwingungen eines geschlossenen Kreisringes.
rch hahe mich hemiiht, die Liisungen der behandelten Prohleme
nicht hloB anzudeuten, sondern unter haufiger Reranziehung von
:!\aherungsverfahren soweit zu entwickeln, claB sie zahlenmaBig ohne
weiters ausgewertet werden konnen; diesem Zwecke dienen die in an
sehnlicher Zahl heigegehenen Zahlentafeln und graphischen Dar
stellungen, die auch eine rasche Beurteilung der zwecks Vereinfachung
der Rechnung zumeist vernachlassigten Neheneinfliisse - wie Dehnung
der Bogenachse, rotatorische Tragheit, Verw(ilhungstragheit, Schu h
krafte, Wolhkrafttorsiun - ermiiglichen.
Ein Vergleich der gewonnenen theoretischen Ergehnisse mit jencn
von einwandfrei durchgefiihrten Schwingungsversllchen war leicleI' nm
in vereinzelten Fallen miiglich; hiezu konnten vor aHem die MeB
ergehnisse der vor einigen Jahren von W. K1lhl systematisch angestellten
VOl'wort. VII
VerRuche iiber die ebenen und raumlichen Biegungsschwingungen von
Stahlringen herangezogen werden, welche die hiefUr vom Verfasser
entwickelte Theorie vollauf bestatigt haben.
Was mir an neueren Ergebnissen iiber die Eigenschwingungen von
offenen und geschlossenen Kreisringen bis 1948 bekannt geworden ist,
ha be ich gewissenhaft beriicksichtigt; infolge der immer noch
bestehenden Schwierigkeiten der Beschaffung des auslandischen Schrift
turns mag es aber sein, daB die darauf beziiglichen Literaturverweise
da oder dort noch einer Erganzung bediirfen. Zum Zwecke der hier
versuchten einheitlichen Darstellung dieses Schwingungsgebietes muBte
der Verfasser freilich das meiste aus eigenem beisteuern.
Meinen beiden Assistenten, den Herren Dozent Dr. techno H. Egger und
Dr. techno G. Reyl habe ich fUr die Unterstiitzung bei Berechnung der
Zahlentafeln und fUr ihre Hilfe beim Lesen der Korrekturen zu danken.
G r a z, April 1950. K. Federhofer.
Inhaltsverzeichnis.
Einleitung 1
A. Kinematik der Biegung und Drillung dt's von Haus aus gekriimmten und
tordierten Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I. Geometrische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Krummungskomponenten und Drall der verzerrten Rtahachse. 7
3. Spezialisierung fUr den Kreishogentrager. . . . . . . . . . 10
B. Die Differentialgleichungen der Eigenschwingungen des raumlich schwin-
genden offenen Kreisbogens und ihre Randhedingungen 12
I. Formanderungsarbeit . . . . . . . . . . . . 12
2. Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Die Differentialgleichungen der Eigenfunktionen 20
4. Die resultierenden Krafte und Momente eines Bogenquerschnittes 23
5. Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Wolbmomente, Wolhwiderstand, Schuhmittelpunkt . . . . . 27
C. Sonderfall des Kreishogentrligers mit einfach-symmetriselH'1l1 '(~ucr
schnitte dessen eine Hauptachse in der Kreisehene liegt :l3
Fall a: Die Syll1metrieachse des Querschnittes liegt in der Kreisehene.. 3:3
Fa II b: Die Symmetrieachse des Querschnittes steht senkrecht auf der
Kreisehene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
D. Einflul3 der Querschnittsform auf die Schwingungsgleiehungen in den
Sonderfallen des Abschnittes C . . . . . . . . . . . . . . . 40
1. Doppelsymmetrischer 1-Querschnitt. . . . . . . . . . . . . . . 40
a) Die Frequenzengleichung fUr den geschlossenen, freien Ring . .. 4:l
b) Die Frequenzengleichungen fUr den an heiden Enden eingespannten
Kreisbogentrager . . . . . . . . . 46
a) Symll1etrische Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . 47
fJ) Gegensymmetrische Schwingungen . . . . . . . . . . . 48
c) Naherungsformel zur Ermittlung der Grundschwingzahl fUr die
symmetrischen Eigenschwingungen des an heiden Enden eingespann-
ten Kreisbogentragers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
d) Die Frequenzengleichungen fUr den an heiden Enden gelenkig fest-
gehaltenen Kreisbogentrager . . . . . . . . . . . 55
2. Einfach-symmetrische, quasi-wolbfreie Querschnitte. . 59
3. Doppelt-symmetrische und quasi-wolbfreie Querschnitte 60
a) Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Kreisehene . 62
a) Symmetrische Schwingungen. . . . 66
(J) Gegensymmetrische Schwingungen . . . . . . . 67
y) Wurzeln der Frequenzengleichungen . . . . . . 67
b) Biegungs-Drillungsschwingungen senkrecht zur Kreisehene . 70
Die Frequenzen- und Amplitudengleichungen. . . . . . . 73
Inhalt~yerzeichnis. IX
~f'jte
(1) Symmetrische Schwingungen. . . . . . . . . . . . . 74
fJ) Gegensymmetrische Schwingungen . . . . . . . . . . 74
y) Naherungsformeln fUr die Grundschwingzahlen' der sym-
metrischen und gegensymmetrischen Schwingungen 77
,\) \Yurzeln der strengen Frequenzengleichungen eines Halbkreis
bogens und Yergleich mit den Ergelmissen von Schwingungs-
versuchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8:l
c) Frequenzen des geschlossenen freien Kreisringes; Yergleich mit
Yersuchsergebnissen. . . . . . . . . . . . . . . . . Sfl
(1) Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Ringebene . . 8fl
Numerische Ermittlung der Zahlenwerte k und der EinfluB
zahlen eo, e" e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Vergleich mit den Ergebnissen der zweidimensionalen Theorie 92
(i) Biegungs-Drillungsschwingungen senkrecht zur Ringebene. . . 97
Yergleich der vorstehend entwickelten verbesserten Theorie der
Biegungs-Drillungsschwingungen eines Kreisringes mit den Ver-
suchsergelmissen Yon \V. Kuhl ............... 104
y) Die ebene und raumliche Schwingform des Kreisringes mit der
Wellenzahl Kull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lIO
15) Einflu13 Yon l'ngenauigkeiten der Form und Starke eines Kreis
ringes auf die Schwingzahlen seiner ebenen Biegungsschwin-
gungen . . . . . . . . 112
E. Der Grenzfall des geraden Rtabes . . . . . . . . . Ilfl
I. Die yier Rchwingungsgleichungen und ihre Randhedingungell . 11 fl
2. Die beiden Rnden des Rtabes sind in Kreuzgelenken ohne Rehinderung
der Verwiilbung der Endquerschnitte festgehalten. . . . 120
3. Der gerade Stab mit einfach-symmetrischem Querschnitt. . . 122
Formeln fUr das [-Profil .. ............. ]24
F. Kreisbogentrager mit entlang der Bogenachse veranderlichem Quer-
schnitte . . . . . . . . .. ............. 130
1. Dehnungslose Schwingungen in der Kreisebene .. . . . . . . ]31
a) Kreisfrequenz der ersten gegemymmetrischen Schwingung . 131
b) Kreisfrequenz der ersten symmetrischen Schwingung 13fl
2. Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Kreisebene . . . . . 139
G. EinfluB eines radialen AuBen- oder Innendruckes auf die Frequenzcn
eines Kreisbogentragers und Kreisringes 145
1. Gelenkig gelagerter Bogentrager. 146
2. Eingespannter Bogentrager 151
3. Der Kreisring. . . . . . . . . 156
H. Der Kreisring mit diinnwandigem geschlossenem Hohlquerschnitt (Hohl-
reifen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1. Entwicklung des Ausdruckes fUr das kinetische Potential '{'. . 159
2. Kreisfrequenzen fUr die Grund- und erste Oberschwingung . . 162
1. Frequenzen des Zweigelenk-Bogentragers mit paraholischer Achse 164
1. Dehnungslose Schwingungen . . 167
2. Biegungs-Dehnungsschwingungen . . . . . . . • . . . . . 172
Verzeichnis der Zahlentafeln.
Rl'ilc
Tafel I. Rteifigkeitsverhaltnis ie, Wiilbparametl'r ]J un(l Werte ko
heim gl'schlossenen Krl'isring fiir 12 / • Profile Xr. H his
60 (Biegungs. Drillungsschwingllngen) ........ 44
Tafel 2. EinfluIlzahl F (Xl> p) fiir yereinigte Wirkung der Dre·
hungstragheit und des Wiilbwiderstandes beim ge·
schlossenl'n Kreisring mit I· Querschnitt (Biegungs.J)ril.
lungsschwingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tafel 3. EinfluIlzahl T fUr Drehungstragheit in Ahhiingigkeit von
nih heim beidseitig eingespannten Halbkreishogen
mit I· Querschnitt. (Erste Biegllngs.Drillungssehwingung) :;:1
Erste Biegllngs.Drillungssl'hwingung des heidsl'itig ein·
gespanntl'n Halhkrl'ishogpns mit /.(~u(,l'schnitt. l':in·
flllJ37.ahl i9 (p) fUr Wiilhwidl'l'stand ill Ahhiillgigkpit ,'0111
Profile unrl von rrlh. \\'I'l'te del' Einspnkungsfnllktion rt>;
\Vertl' L~'l hl'i \'ernaehl1issigllllg rlpr Flanschhicgllug Ilnd
DrehungstrilgllPit .. . . . . . . . . . . . . . . .. ii.J.
Tafel 5. Biegungs. Drilillugsschwingungen von der Urdnllng It = 2
und 3 des Halhkrl'ishogens mit gelenkiger Lagerung
;(.
spinpr ElldplI nurl /. QUPTRC'hllitt.. F:influBzahl ~ .•- -+- ,
v- II.
fiir Drehllngstriigheit. . .
Tafel 6. f'tpifigkeitsverhiiltllis I. fijI' Kreis. HeC'ht{'C'k unrl Krenz·
qllersclmitt. Grpnzwl'I'k l'ff ill Ahhiillgigkeit nlll A. Die
\Yerte kIT!, fUr die erste symmetrische und gegensym·
metrische Riegungs-Drillungssc hwingung des an den
Enden eingespannten Halhkrcisbogens. . . . . . . 71
Tafel 7. Erste symmetrische Biegungs. Drillungsschwingung des
Kreisbogens yom Offnungswinkel2 a. Zahlenwerte ". (a, A)
und'P (fl, A). • . . . • . . . . • . . . . • . . . • 79
Tafel 8. Erste gegensymmetrische Biegung. Drillungsschwingung
des Kreisbogens yom Offnungswinkel 2 fl = n und
2 a = 2 n. ~ Zahlenwerte k ((1, }.) unci 'P ((1. ;,) • • • . • H2
Tafel 9a uncI 9h. Ebene Biegungs.Dehnungsschwingungen des geschlos.
senen Kreisringes mit rechteckigem Querschnitt und mit
Kreisquerschnitt. ZahlenmaBige Auswertung der
Ergehnisse del' vel'hesserten eindimensionalen Theorie
fUr die Schwingungsordnungl'n n = 2 bis 10 mit
1 1
(1 = WOO und (1 = WO-, , . 91
VCJ'zeiehlli~ ucr Zahlcllhtfeln. XI
Scite
Tafel 10. Erste ebene Biegungsschwingung des Kreisringes (n = 2).
Ergebnisse der zweidimensionalen und der verbesserten
eindimensionalen Theorie; Yergleieh mit den MeBergeh
nissen yon \\'. Kuhl . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Tafel 11. Ehene Biegllngssehwingungen des Kreisringes von der
Ordnung n = 3 bis n = 8. Die Werte V kn naeh der ver
hesserten eindimensionalen Theorie und naeh den Mes
sungen von W. Kuhl. . . . . . . . . . . . • . . . 98
TafeII2a. Sekundliehe Sehwingzahlen fb der Biegungssehwingungen
senkreeht zur Ebene eines Kreisringes mit quadratisehem
Quersehnitte fUr die 'Wellenzahlen n = 2 bis 8 naeh
Heehnung und Yersueh .....•......... 106
TafelI2b. Sekundliehe Sehwingzahlen trlr der Drillungssehwin
gungen eines Kreisringes mit quadratisehem Quer-
s hnitte fUr die Ordnungszahlen n = 0 bis 5 naeh Reeh-
nung und Versueh ................. 107
Tafel 12c. Sekundliehe f-jehwingzahlen 18 der Sehiebllngssehwin
gungen eines Kreisringes mit quadratisehem Quer
sehnitte fur die Ordnungszahlen n = 0 bis 5. . . . . . 108
Tafel 13. 'Verte !Pc und "I'D zur Bereelmung des Einflusses einer
geringen Veranderliehkeit des Ringquersehnittes auf die
(lrundfrequenzen seiner ebenen Biegungssehwingungen 114
+
Tafel13a. EinfluUfaktor 1 99 10*2 • • • • • • • • • • • • • • 116
TafelI4a. Die Kreisfrequenzen WI und w. der gekoppelten Biegungs
Drillungssehwingungen des geraden Stabes mit [-Profil
in Ahhiingigkeit von Ilk und slk im Sonderfalle k = b 125
'rafel 14 b. WI und w. fUr [-Profil im SOllderfalle k = 2b . . . . 126
'rafel 15 a. I':weigclenkbogell mit yeriinderliehem Heehteekquer
"'1* "'.*
selmitt. - '\Terte und fUr die erste gegensym-
lIletrisehe "Dehnungslose" in 1. und 2. Naherung 132
'l'afel Ii> b. I':weigelenkbogen, dessen Quersehnitt aus 4 Winkel
"'1* "'.*
profilen gebildet ist. - Werte und fUr die erste
gegensymmetrisehe "Dehnungslose" ......... 136
Tafell<i, Zweigelenkbogen mit veranderliehem Reehteekquer
"'1* "'.*
sehnitt. - "'erte und fUr die erste symmetrisehe
"Dehnungslose" in 1. und 2. Naherung ........ 138
Tafel 17. Zweigelenkbogen mit veranderliehem Reehteekquer
scllllitt. - Werte "'1 * fUr die erste aymmetriaehe Biegungs
Dehnungssehwingung. . . . . . . . . . . . . . . . 142
vF
Tafel 18. Radial belasteter Zweigelenkbogen. Werte fUr die
erste gegensymmetrische "Dehnungslose" in Abhangig-
keit vom Offnungswinkcl a und von c' . . . . . . . . 147
1
Tafel 19. Radial bela.steter Zwcigelenkbogen. Werte vk" fUr die
erate symmetrisehe Biegungs-Dehnungaschwingung in
Abhangigkeit vom Offnungswinkel a" von c2 und von der
vT. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schlankheit 150
