Table Of ContentK. Hohenemser · W. Prager
Dynamik der
Stabwerke
Eine Schwingungslehre für Bauingenieure
Dynatnik der Stabvverke
Eine Schwingungslehre für Bauingenieure
Von
K. Hohenemser W. Prager
und
Dr.-Ing., Göttingen Prof. Dr.-Ing., Göttingen
Mit 139 Textabbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1933
ISBN 978-3-662-23878-3 ISBN 978-3-662-25983-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-25983-2
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1933 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 1933.
reprint of the original edition 1933
Vorwort.
Da über die Auswahl und Anordnung des Stoffes in der Einleitung
das Nötige gesagt ist, möchten die Verfasser an dieser Stelle nur allen
denjenigen ihren Dank aussprechen, die ihnen bei ihrer Arbeit wert
volle Hilfe geleistet haben.
Ein Teil der Tabelle der Frequenzfunktionen VII A, der von Herrn
Priv.-Doz. Dr.-Ing. F. W. Waltking schon bei früherer Gelegenheit
für seinen eigenen Gebrauch berechnet wurde, ist den Verfassern hier zur
erstmaligen Veröffentlichung zur Verfügung gestellt worden. Die Ver
vollständigung der Tabelle VII A wurde von Frau K. Hohenemser
vorgenommen. Die Tabelle VII D wurde von Herrn Dipl.-lng. S. Grad
stein berechnet und ist einer früheren Arbeit von S. Gradstein und
W. Prager entnommen. Bei der Korrektur wurden die Verfasser in
wertvoller Weise unterstützt von Herrn Dipl.-Ing. W. Hackenschmidt,
Herrn lng. G. Treml und Herrn Priv.-Doz. Dr.-Ing. F. W. Waltking.
Zuletzt, aber nicht am wenigsten, sei dem Verleger Herrn Dr.-Ing.
E. h. Juli us Springer gedankt für das bereitwillige Eingehen auf die
Wünsche der Verfasser und seine Zustimmung zu einer nicht unbeträcht
lichen Überschreitung des ursprünglich vorgesehenen Buchumfangs.
Göttingen, im September 1933.
Die Verfasser.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung 1
I. Grundbegriffe der Schwingungslehre.
A. KinematIsche Grundbegnffe der Schwlllgungslehre 5
I. Die harmonischen Schwmgungen und ihre Bestimmungsstücke .. 5
2. Zusammensetzung harmomscher Schwingungen gleicher Richtung 7
3. Zusammensetzung harmomscher Schwingungen mit zuemander senk-
rechten Richtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
B. Kinetische Grundbegriffe der Schwingungslehre . . . . .. 14
4. FreIe Sch'Nlngungen eines Systems mit emem Freiheitsgrad . .. 14
5. Erzwungene Schwingungen eines Systems mit einem Freiheitsgrad 16
6. Energetische Betrachtungsweise .. . . . . . . . . . . . 21
7. Einfluß emer der Geschwindigkeit proportIOnalen Dämpfung 23
8. Einfluß unvollkommener Elastizität ...... 25
11. Allgellleine Methoden der Schwingungslehre.
A. Der mlt Einzelmassen belegte Stab . . . . . . . . . 28
1. AufgabensteIlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. DIe Einflußzahlen für die VerschIebungen und die Einflußzahlen für
die Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. BeweIs für die Symmetne der Einflußzahlen 31
4. Aufstellung der BewegungsgleIchungen des Stabes mIt dreI gleIchen
Einzelrnassen . . . . . . . . 32
5. Ein Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6. Koordinatentransformationen ......... 35
7. Die Bewegungsgleichungen des Modellsystems für die Hauptnchtungen 36
8. BestImmung der Hauptrichtungen . . . . . . . . . . . 37
9. Lösungen der Bewegungsgleichungen für das Modellsystem 39
10. Übertragung der Lösungsmethode auf den Stab mit drei gleichen
Einzelrnassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11. DIe Bewegung unter dem Einfluß plötzlich aufgebrachter Lasten als
Beispiel für die Verwendung der Normalgleichungen . . . . . . . 44
12. Das Verhalten der FormänderungsarbeIt und der kinetIschen Energie
bel harmonischen Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13. Berechnung der Eigenfrequenz mit Hilfe der Energiemethode . . . 51
14. Die Berechnung der Eigenfrequenzen und der Eigenschwmgungs
formen durch schrittweise verbesserte Näherungen . . . . . . . . 53
15. Der Stab mit drei ungleichen Einzelrnassen . . . . . . . . . . . 61
16. Der Einfluß von Massen- und Steifigkeitsänderungen auf die Eigen-
frequenzen . . . . . . . . . . . • . . . . . . 67
17. Die Eigenfrequenzen zusammengesetzter Systeme 69
18. Der Balken mit n Einzelrnassen . . . . . . . . 74
B. Der mit stetig verteilten Massen belegte Stab 76
19. Eimge wichtige Beziehungen aus der Statik des Balkens 76
20. Aufstellung der DifferentialgleIchung der Transversalbewegung eines
Balkens mit stetiger Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . 79
v
Inhaltsverzeichnis.
Seite
21. Die Bestimmung der Eigenfrequenzen und der Eigenschwingungs
formen aus der Differentialgleichung für die freie harmonische Be-
wegung des Balkens .... . . . . . . . . . . . . . . . 81. .
22. Die Entwicklung einer Funktion nach den Eigenschwingungsformen
des Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 . . .
23. Die Lösung der Differentialgleichung der transversalen Bewegung
eines Balkens mit Hilfe der Methode der Normalgleichungen . . . 88
24. Die Lösung der Differentialgleichung der transversalen Bewegung
eines Balkens bei periodischveränderlicher Last mit Hilfe der Founer
darstellung der Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 .
25. Die Formänderungsarbeit und die kinetIsche EnergIe bel harmonIschen
Schwingungen emes Stabes mit stetiger Massenverteilung . . . . . 101
26. Die Energiemethode angewendet auf den Balken mit stetiger Massen-
verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 03. . .
27. Die Methode der schrittwelsen Näherungen angewendet auf den Bal
ken mit stetiger Massenverteilung, Kombmation mit der EnergIe-
methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
28. Weitere Anwendungen der EnergIesätze. . . . . . . . . HO
29. Einander zugeordnete Systeme gleIcher Eigenfrequenzen . 112
30. Anwendung des Zuordnungsprinzips zur Verbesserung der EnergIe-
methode und der Methode der schrittweisen Näherungen 113
IU. Die Berechnung der Eigenschwingungszahlen von Stabwerken.
A. Die grundlegenden DIfferentIalgleIchungen für die EIgen-
schWIngungen von Stabwerken ... . ....... .. . 118
1. Die Differentialgleichung der Transversalschwingungen unter Berück-
sichtigung von Rotationsträgheit und statischen Längskräften 118
2. Die Differentialgleichungen der Longitudinalschwmgungen 120
3. Die Differentialgleichung der Torsionsschwingungen 122
4. Kombinierte Schwingungen .. . . . . . . . 123
B. Verfahren zur Aufstellung der strengen Frequenzgleichung
eines Stabwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 25. .
5. Die nächstliegendste Art der Aufstellung der FrequenzgleIchung . . 125
6. Einführung von Hilfsgrößen und Aufstellung der Grundgleichung . 126
7. Verwendung der Grundgleichung zur Aufstellung der Frequenzglei-
chung beliebiger ebener Stabwerke 129
8. Beispiele . . . . . . . . . . . . 133
9. Weiterer Ausbau des Verfahrens . 137
10. Berücksichtigung von Längsschwingungen 140
11. Verfahren zur Auflösung von Frequenzgleichungen 144
C. Praktisch ausreichende näherungs weise Berechnung der
EI gensch wlngu ngszahlen 153
12. Grundton . . . . . . . 153
13. Obertöne ...... . 194
14. Einfluß von Systemänderungen 202
D. Verfeinerte Methoden zur Kontrolle der Näherungen 209
12. Grundton 209
16. Obertöne 216
E. Nebeneinflüsse 227
17. Rotationsträgheit 227
18. Statische Längskräfte 230
19. Überlagerte Längsschwingungen 235
VI InhaltsverzeIchnis.
Seite
IV. Die Berechnung der erzwungenen Schwingung von Stabwerken
infolge schwingender Lasten mit festem Angriffspunkt.
A. Die strenge Berechnung der erzwungenen Schwi ngungen . 238
1. AufgabensteIlung . . . . . . . . . . . . . . . . 238
2. Erzwungene Schwingungen emes von Einzellasten freien Balken-
stücks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3. Berücksichtigung einer schwingenden Last in Balkenmitte 246
4. Der Dreimomentensatz der Stabwerksdynamik ..... 251
5. Der Viermomentensatz der Stabwerksdynamik ..... 256
6. Näherungsweise BerücksIchtigung der Längsschwingungen 260
7. Strenge Berücksichtigung von Längsschwingungen . . . . 261
8. Vergleich der Ergebnisse der verschiedenen Rechnungsweisen an
einem Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
B. Verwendung des Verfahrens zur Bestimmung der EIgen-
schwingungsformen ebener Stabwerke .......... 270
9. Beziehung zwischen Eigenschwingungsformen und erzwungenen Schwm
gungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~70
10. Die Bestimmung der Lage der Knotenpunkte von Eigenschwingungs-
formen ........ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272
C. Verfahren zur angenäherten Berechnung erzwungener
Schwingungen . . . . . . . . . . . . .. ....... 274
11. Die Methode der Entwicklung der erzwungenen Schwmgungsform
nach Eigenschwingungsformen . . . . . . . . . 274
12. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13. Die Energiemethode für erzwungene Schwingungen . . . . . . . 281
14. Der Einfluß von statischen Längskräften auf die erzwungenen Schwin-
gungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
V. Die Berechnung von Ausgleichsschwingungen.
A. Ausgleichsschwingungen infolge plötzlicher Laständerungen 284
1. Das Stabwerk unter dem Einfluß allgemeiner zeitlich veränderlicher
Lasten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 284
2. Plötzliche Entlastung . . . . . . . . . . . . . .. 287
3. BeIspiel für plötzliche Entlastung. Der zweifach gestützte Stab mit
einer Einzelkraft in der Mitte . . . . . . . . . .. 289
4. Weiteres Beispiel für plötzliche Entlastung: Der emseitig emgespannte
Stab mit einer Einzelkraft am freien Ende . . . 294
5. Plötzliche Belastung und Stoß . . . . . . . . . . . 300
6. Der Querstoß auf emen Balken auf zwei Stützen . . 302
B. Ausgleichsschwingungen Infolge bewegter Lasten 304
7. Der Balken auf zwei Stützen unter dem Einfluß einer gleIchförmIg
bewegten Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 304
VI. Zusanunenfassende Darstellung der dynamischen
Berechnungsmethoden der Stabwerke. . . . . . . 310
VII. Tabellen.
A. Tabelle der Frequenzfunktionen .................. 324
B. Tabelle der erzwungenen Schwingungsformen . . . . . . . . . . . . 344
C. Tabelle der ersten 5 Eigenfunktionen des eingespannt-freien homogenen
Stabes ........................... 354
D. Tabelle der Funktionen zur Berechnung erzwungener Schwingungen 355
Literaturübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 364
Einleitung.
Die Methoden der modernen Baustatik sind außerordentlich weit
entwickelt und gestatten eine mühelose Behandlung vieler Aufgaben
gruppen. So sind wohl alle Aufgaben aus der Statik ebener Stabwerke
nicht nur grundsätzlich lösbar, sondern es liegen bis ins einzelne
ausgearbeitete Verfahren zur möglichst einfachen Behandlung der
meisten dieser Aufgaben vor. Stellt man sich nun die Frage nach dem
mechanischen Gehalt dieser zweckmäßigen Lösungsverfahren, so er
kennt man, daß es nur ganz wenige Lehrsätze der Mechanik sind, auf
welche letzten Endes alle diese Verfahren zurückgehen. Diese Tatsache
ist es, die vielfach die Methoden der Baustatik in den Augen derer
trivial erscheinen läßt, welche sich noch nicht im Konstruktionsbüro
von ihrer außerordentlichen praktischen Bedeutung überzeugen konnten.
Die Entwicklung der Baustatik in den letzten Jahrzehnten kann gekenn
zeichnet werden als Entwicklung von prinzipiell ausreichenden mecha
nischen Lehrsätzen zu wirklich verwendbaren und bequemen Rechen
verfahren.
Trotzdem die Zahl der ausgesprochen dynamischen Fragestellungen
im modernen Bauwesen kaum wesentlich geringer sein dürfte als die
jenige der vorwiegend statischen Fragestellungen, haben die dynami
schen Berechnungsmethoden noch lange nicht jenen Grad der Voll
kommenheit erreicht, welchen die statischen aufweisen. Die Sorgfalt,
mit welcher häufig NebeneinfIüsse in der statischen Berechnung berück
sichtigt werden, steht in auffallendem Mißverhältnis zu der großen
Ungenauigkeit, mit welcher durch rohe Faustformeln den dynamischen
Einflüssen fast ausnahmslos Rechnung getragen wird. Nun ist es aber
keineswegs so, daß eine strengere Behandlung dieser dynamischen Ein
flüsse nach dem heutigen Stand der Mechanik unmöglich wäre, vielmehr
liegen die entsprechenden Lehrsätze durchaus vor, und im Maschinen
bau, wo sich schon früher als im Bauwesen ein Bedürfnis nach der
Berücksichtigung dynamischer Einflüsse geltend gemacht hat, bestehen
für manche Fragestellungen bereits zweckmäßige Rechenverfahren.
Allerdings fehlt eine übersichtliche Zusammenstellung, welche die gegen
seitigen Beziehungen dieser zum Teil eng miteinander verwandten Ver-
Hohenemser u. Prager, Stabwerke. 1
2 Einleitung.
fahren darlegt und die empfehlenswerten von den weniger brauchbaren
scheidet. Es ist daher für den nicht völlig Eingearbeiteten schwierig,
sich eine kritische Übersicht über diese Verfahren zu verschaffen.
Mit dem vorliegenden Buch haben nun die Verfasser den Versuch
gemacht, einmal die für die Entwicklung strenger dynamischer Berech
nungsmethoden unumgänglich notwendigen klassischen Grundlagen der
Dynamik elastischer Systeme mit stetig verteilten Massen dem Bau
ingenieur nahezubringen (Kap. I u. II), dann aber auch ein Stück
jenes Weges von prinzipiell ausreichenden Lehrsätzen der Mechanik
zu wirklich brauchbaren Rechenverfahren zurückzulegen, auf welchem
die Baustatik schon so weit vorangeschritten ist· (Kap. III bis V). Die
Verfasser haben dabei teils sich an dynamische Berechnungsmethoden
aus dem Maschinenbau angelehnt unter Berücksichtigung der mitunter
etwas anders gearteten Fragestellungen des Bauwesens, teils Ver
fahren der Baustatik nach der dynamischen Seite hin ausgebaut. Sie
haben Wert darauf gelegt, einerseits möglichst vereinfachte Verfahren
zur Behandlung der wichtigsten Fragen der Dynamik der Stabwerke
zu bringen, andererseits aber auch die verschiedenen Nebeneinflüsse
mit möglichster Strenge und Vollständigkeit zu behandeln. Selbst
verständlich ist ein Teil der letztgenannten Verfahren nicht unmittelbar
für den praktischen Gebrauch bestimmt, sondern soll nur dazu dienen,
einen Vergleich strenger Werte mit Näherungsverfahren der Praxis
zu ermöglichen. Es entspricht dabei durchaus dem Sinn des Buches,
daß nicht eingegangen wurde auf die Diskussion der mannigfachen
Faustformeln, welche in der einschlägigen Literatur oft ohne genügende
Kenntnis allgemeingültiger elastokinetischer Beziehungen umstritten
werden. Die Verfasser sind im übrigen der Ansicht, daß viele dieser
Faustformeln schon deshalb wenig Berechtigung besitzen, weil die
strenge Beantwortung der betreffenden Frage kaum mehr, mitunter
sogar weniger Mühe macht als die Anwendung der Faustformel.
Die in dem vorliegenden Buch behandelten Schwingungserschei
nungen lassen sich in zwei große Gruppen einteilen, die man als statio
näre Schwingungen und Ausgleichsschwingungen bezeichnen kann. Bei
den ersten handelt es sich um die Bestimmung der Formänderungen
und Beanspruchungen eines Stabwerks, welches periodisch veränder
lichen Lasten ausgesetzt ist. Die hierhergehörenden praktischen Ver
fahren werden in Kap. IV gebracht. Bei den zweiten handelt es sich
um die Bestimmung der Formänderungen und Beanspruchungen eines
Tragwerks, welches plötzlich be- oder entlastet wird oder Stößen aus
gesetzt ist oder durch über das Stabwerk sich hinwegbewegende Lasten
beansprucht wird. Diese Aufgaben werden in Kap. V behandelt. Die
meisten Verfahren zur Lösung dieser beiden Aufgabengruppen setzen
die Kenntnis von Eigenschwingungszahlen des Stabwerks voraus. Den
Einleitung. 3
wichtigsten Verfahren zur Bestimmung dieser Eigenschwingungszahlen
ist daher das Kap. III gewidmet. Da in die Kap. III bis V der größeren
Übersichtlichkeit halber nur die wichtigsten Rechenverfahren aufgenom
men worden sind, schien es den Verfassern zweckmäßig, die Grund
begriffe der Schwingungslehre sowie die allgemeinen Grundlagen der
Dynamik der Tragwerke in den Kap. I und II zu bringen. Hierdurch
werden die vom Leser dieses Buches geforderten Vorkenntnisse stark
eingeschränkt, und es wird dem Leser ein Überblick geboten, welcher
ihm eine kritische Stellungnahme auch zu den in diesem Buche nicht
näher behandelten Rechenverfahren und Faustformeln ermöglicht.
In Kap. VI sind die wichtigsten Rechenverfahren aus den vorher
gehenden Kapiteln noch einmal so dargestellt, daß sie auch von dem
jenigen angewendet werden können, der diese Kapitel entweder
überhaupt nicht systematisch durchgearbeitet oder doch die dort
gebrachten Gedankengänge nicht mehr vollständig gegenwärtig hat.
Kap. VII schließlich enthält mehrere Funktionentafeln, welche zur
Durchführung verschiedener dynamischer Rechenverfahren unumgäng
lich notwendig sind. Im Anhang sind nach den entsprechenden
Kapiteln des Buches geordnet die wichtigsten Quellen- und einige
weitere Literaturangaben zusammengestellt.
In den folgenden Zeilen dieser Einleitung soll noch kurz eingegangen
werden auf die idealisierenden Voraussetzungen, welche in diesem
Buch stets zugrunde gelegt werden. Die Voraussetzung vollkommener
Elastizität und die Voraussetzung kleiner Formänderungen bedürfen
kaum einer ausführlichen Begründung, da diese Voraussetzungen auch
in der Baustatik fast ausschließlich gemacht werden. Man darf freilich
die Augen nicht vor der Tatsache verschließen, daß in manchen Fällen
diese Voraussetzungen weniger deshalb eingeführt werden, weil sie
physikalisch begründet sind, als vielmehr, weil ohne sie die Rechnung
sich zu verwickelt gestalten würde. In solchen Fällen sollte man ver
suchen, wenigstens einige hinreichend einfache Sonderfälle unter Ver
zicht auf diese Voraussetzungen zu behandeln, um zu erkennen, in
welchem Sinne die Ergebnisse durch Einführung der vereinfachenden
Voraussetzungen beeinflußt· werden.
Eine andere in diesem Buche stets gemachte Voraussetzung ist die
der Dämpfungsfreiheit der betrachteten Systeme. Man unterscheidet
bekanntlich zwischen äußerer und innerer Dämpfung. Bei der äußeren
Dämpfung nimmt man gewöhnlich in jedem Punkte des schwingenden
Systems dämpfende Kräfte an, welche der Geschwindigkeit dieses
Punktes proportional sind. In diesem Falle beeinflußt die Dämpfung
die Form der erzwungenen harmonischen Schwingungen des Systems
nicht, es entsteht lediglich eine Amplitudenverringerung und eine
Phasenverschiebung zwischen Ausschlag und erregender Kraft. Anders
1*
