Dynamical Systems with Applications using Maple¿

511 Pages·2010·26.08 MB·English

by  Stephen Lynch (auth.)

Stephen Lynch
Dynamical Systems
with Applications
using MapleTM
Second Edition
Birkha¨user
Boston (cid:129) Basel (cid:129) Berlin
StephenLynch
DepartmentofComputingandMathematics
ManchesterMetropolitanUniversity
ManchesterM15GD
UnitedKingdom
[email protected]
http://www.docm.mmu.ac.uk/STAFF/S.Lynch
ISBN978-0-8176-4389-8 e-ISBN978-0-8176-4605-9
DOI10.1007/978-0-8176-4605-9
LibraryofCongressControlNumber:2009939273
Mathematics Subject Classification (2000):34Axx,34Cxx,34Dxx,37Exx,37Gxx,37Nxx,58F10,
58F14,58F21,78A25,78A60,78A97,92Bxx,92Exx,93Bxx,93Cxx,93Dxx
(cid:2)c Birkha¨userBoston,apartofSpringerScience+BusinessMedia,LLC2001,2010
Allrightsreserved.Thisworkmaynotbetranslatedorcopiedinwholeorinpartwithoutthewrit-
tenpermissionofthepublisher(Birkha¨userBoston,c/oSpringerScience+BusinessMedia,LLC,233
SpringStreet,NewYork,NY10013,USA),exceptforbriefexcerptsinconnectionwithreviewsor
scholarlyanalysis.Useinconnectionwithanyformofinformationstorageandretrieval, electronic
adaptation,computersoftware,orbysimilarordissimilarmethodologynowknownorhereafterde-
velopedisforbidden.
Theuseinthispublicationoftradenames,trademarks,servicemarks,andsimilarterms,evenifthey
arenotidentifiedassuch,isnottobetakenasanexpressionofopinionastowhetherornottheyare
subjecttoproprietaryrights.
Printedonacid-freepaper
Birkha¨userBostonispartofSpringerScience+BusinessMedia(www.birkhauser.com)
For
mydad,GeoffreyLynch(1943–2008)
and
thefatherofchaos,EdwardLorenz(1917–2008)
Contents
Preface xiii
0 ATutorialIntroductiontoMaple 1
0.1 AQuickTourofMaple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 TutorialOne:TheBasics(OneHour) . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 TutorialTwo:PlotsandDifferentialEquations(OneHour) . . . 7
0.4 SimpleMaplePrograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.5 HintsforProgramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.6 MapleExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 DifferentialEquations 17
1.1 SimpleDifferentialEquationsandApplications . . . . . . . . . 18
1.2 ApplicationstoChemicalKinetics . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 ApplicationstoElectricCircuits . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 ExistenceandUniquenessTheorem. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 PlanarSystems 43
2.1 CanonicalForms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 EigenvectorsDefiningStableandUnstableManifolds . . . . . . 48
2.3 PhasePortraitsofLinearSystemsinthePlane . . . . . . . . . . 52
2.4 LinearizationandHartman’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . 56
viii Contents
2.5 ConstructingPhasePlaneDiagrams . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 InteractingSpecies 71
3.1 CompetingSpecies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Predator–PreyModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 OtherCharacteristicsAffectingInteractingSpecies . . . . . . . 80
3.4 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4 LimitCycles 87
4.1 HistoricalBackground. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 ExistenceandUniquenessofLimitCyclesinthePlane . . . . . 91
4.3 NonexistenceofLimitCyclesinthePlane . . . . . . . . . . . . 97
4.4 PerturbationMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 HamiltonianSystems,LyapunovFunctions,andStability 113
5.1 HamiltonianSystemsinthePlane. . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 LyapunovFunctionsandStability . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 BifurcationTheory 129
6.1 BifurcationsofNonlinearSystemsinthePlane. . . . . . . . . . 130
6.2 NormalForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 MultistabilityandBistability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 Three-DimensionalAutonomousSystemsandChaos 147
7.1 LinearSystemsandCanonicalForms . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2 NonlinearSystemsandStability . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 TheRösslerSystemandChaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 TheLorenzEquations,Chua’sCircuit,andtheBelousov–
ZhabotinskiReaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Contents ix
8 PoincaréMapsandNonautonomousSystemsinthePlane 173
8.1 PoincaréMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2 HamiltonianSystemswithTwoDegreesofFreedom . . . . . . . 180
8.3 NonautonomousSystemsinthePlane . . . . . . . . . . . . . . 183
8.4 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9 LocalandGlobalBifurcations 197
9.1 Small-AmplitudeLimitCycleBifurcations . . . . . . . . . . . . 198
9.2 GröbnerBases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.3 MelnikovIntegralsandBifurcatingLimitCyclesfromaCenter . 209
9.4 BifurcationsInvolvingHomoclinicLoops . . . . . . . . . . . . 211
9.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10 TheSecondPartofHilbert’sSixteenthProblem 219
10.1 StatementofProblemandMainResults . . . . . . . . . . . . . 220
10.2 PoincaréCompactification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.3 GlobalResultsforLiénardSystems . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.4 LocalResultsforLiénardSystems . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11 LinearDiscreteDynamicalSystems 243
11.1 RecurrenceRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.2 TheLeslieModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.3 HarvestingandCullingPolicies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.4 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12 NonlinearDiscreteDynamicalSystems 263
12.1 TheTentMapandGraphicalIterations . . . . . . . . . . . . . . 264
12.2 FixedPointsandPeriodicOrbits . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.3 TheLogisticMap,BifurcationDiagram,andFeigenbaum
Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
12.4 GaussianandHénonMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.6 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
12.7 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13 ComplexIterativeMaps 297
13.1 JuliaSetsandtheMandelbrotSet . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.2 BoundariesofPeriodicOrbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13.3 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.4 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
x Contents
14 ElectromagneticWavesandOpticalResonators 309
14.1 Maxwell’sEquationsandElectromagneticWaves . . . . . . . . 310
14.2 HistoricalBackground. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
14.3 TheNonlinearSFRResonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
14.4 ChaoticAttractorsandBistability . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14.5 LinearStabilityAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
14.6 InstabilitiesandBistability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
14.7 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
14.8 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
15 FractalsandMultifractals 337
15.1 ConstructionofSimpleExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
15.2 CalculatingFractalDimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
15.3 AMultifractalFormalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
15.4 MultifractalsintheRealWorldandSomeSimpleExamples . . . 355
15.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
15.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
16 ChaosControlandSynchronization 371
16.1 HistoricalBackground. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
16.2 ControllingChaosintheLogisticMap . . . . . . . . . . . . . . 376
16.3 ControllingChaosintheHénonMap . . . . . . . . . . . . . . . 380
16.4 ChaosSynchronization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
16.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
16.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
17 NeuralNetworks 395
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
17.2 TheDeltaLearningRuleandBackpropagation . . . . . . . . . . 402
17.3 TheHopfieldNetworkandLyapunovStability . . . . . . . . . . 406
17.4 Neurodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
17.5 MapleCommands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
17.6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
18 Simulation 427
18.1 Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
18.2 TheMapleSimConnectivityToolbox . . . . . . . . . . . . . . . 435
18.3 MapleSim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
18.4 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
19 Examination-TypeQuestions 445
19.1 DynamicalSystemswithApplications . . . . . . . . . . . . . . 445
19.2 DynamicalSystemswithMaple. . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Contents xi
20 SolutionstoExercises 453
20.0 Chapter0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
20.1 Chapter1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
20.2 Chapter2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
20.3 Chapter3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
20.4 Chapter4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
20.5 Chapter5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
20.6 Chapter6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
20.7 Chapter7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
20.8 Chapter8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
20.9 Chapter9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
20.10 Chapter10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
20.11 Chapter11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
20.12 Chapter12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
20.13 Chapter13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
20.14 Chapter14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
20.15 Chapter15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
20.16 Chapter16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
20.17 Chapter17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
20.18 Chapter18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
20.19 Chapter19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
References 475
Textbooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
ResearchPapers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
MapleProgramIndex 493
Index 497