Dynamical Systems and Ergodic Theory

194 Pages·1998·1.645 MB·English

by  Mark Pollicott, Michiko Yuri

(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:4)(cid:7)(cid:6)(cid:8)(cid:3)(cid:5)(cid:4)(cid:10)(cid:9)
(cid:11)(cid:13)(cid:12)(cid:15)(cid:14)(cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:18)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:18)(cid:28)(cid:12) (cid:26)(cid:27)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:16)! #"$(cid:26)&%’(cid:26)$(cid:12))(*(cid:16)!(cid:26)(cid:27) ,+ (cid:29)-(cid:26)
.0/2143057698(cid:13)57:<;=305?> @,;
A#/CB23(cid:25):EDF:G;H305 @,;
I,/CJLK<8NMOKG8QP#R?;=>G;=:<;=8Q>S;H5UT(cid:28)30;H59:C>V8(cid:13):C:<3(cid:25)T(cid:28)30WH30X(cid:25)Y[ZO14\]DFT?:<8(cid:13)KG>^.(cid:13)M‘_9a @,;
b /CJLK<8NMOKG8QP#R?;=>G;=:<8(cid:13)>c;=5edf8gD(cid:25)>GR,KG8(cid:31):<\?8(cid:13)3(cid:25)KGYhZO1i\]DFT?:G8(cid:13)K<>2j(cid:19)MG.(cid:19)A0a @?;=;
k#/2l#R,m*D(cid:25)n?n?;o:<;=698^>G8QP#R?8(cid:13)5?pQ8Q> @?;H;=;
_,/Cqc8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> @?;H;=;
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)Uxzy (cid:6) (cid:29)(cid:21)(z%{v(cid:23)"& #+(cid:2)(*(cid:12)(cid:23)(cid:20)}|(cid:23)(*+g(cid:26)$(cid:24)~v(cid:23)(cid:16)!(cid:18)*vL #(cid:16)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:26)& #+ x
.0/=.0/c(cid:127)(cid:128)@]D(cid:25)d(cid:2)T]W=8Q> .
.0/(cid:129)A#/C(cid:130))K<D(cid:25)5?>G;=:<;o6,;o:(cid:131)Y A
.0/(cid:132)I,/(cid:134)(cid:133)(cid:134):<\?8(cid:13)KCp(cid:135)\]DFK<D(cid:25)p(cid:13):<8(cid:13)K<;=(cid:136)gDF:<;=305?>c30rw:VKED(cid:25)5?>G;=:G;=6,;o:(cid:137)Y b
.0/b /C(cid:130))K<D(cid:25)5?>G;=:<;o6,;o:(cid:131)Yfrs3(cid:25)KC>GR,m]>V\?;Hr(cid:138):<>(cid:134)30r)(cid:139)]5?;=:<8(cid:8):(cid:137)Y#T(cid:140)8 b
.0/(cid:129)k#/c(cid:141)(cid:142);H5?;=d(cid:143)D(cid:25)WH;o:(cid:137)Y(cid:144)D(cid:25)5?nU:<\?8(cid:146)(cid:145)4;=KG(cid:147)#\?3(cid:25)(cid:148)(cid:5)K<8QpQR,KGKG8Q5?pQ8(cid:7):<\?8Q3(cid:25)KG8Qd _
.0/(cid:132)_,/(cid:134)1430dfd(cid:149)R,:<;H5?X(cid:149)\?30df8(cid:13)30df3(cid:25)KGT]\?;H>Vdf> (cid:150)
.0/(cid:129)j#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> (cid:150)
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)h(cid:151)(cid:28)y(cid:153)(cid:152)~(cid:12)(cid:154)(]v(cid:23)v(cid:155)"&(cid:26)&(cid:24)9(?(cid:14)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:18)(cid:28)(cid:12)(cid:156)(cid:18)*(cid:157)u(cid:16)! #(cid:24)9(cid:22)w(cid:16)!(cid:16)(cid:19) ,(cid:12)w(cid:24)9 ’(cid:14)(cid:17)(cid:18)(cid:158)(](cid:16)F(cid:26)s(cid:14) t-(cid:159)
%{ 7(cid:14)(cid:19)(cid:26)$(cid:24)~v(cid:23)(cid:16)!(cid:18)*(cid:160)*(cid:16)! #+g+g(cid:26)&(cid:18)z(cid:12)(cid:23)+ x*x
A#/=.0/S¡¢D(cid:25)5Un?8NKC£⁄D(cid:25)8(cid:13)KGn?8Q5(cid:15)¥(cid:132)>C:G\?8Q3(cid:25)K<8Qd .0.
A#/(cid:129)A#/cƒ(cid:154)n,Y,5]D(cid:25)df;=pgD(cid:25)W(cid:28)T?K<3§30r .(cid:19)A
A#/(cid:132)I,/C(cid:130)i\?8(cid:31)T?KG3#30rs>C30r(cid:155)l#R?WH8QdfdfD(cid:10)A#/(cid:129)A#/¤A(cid:149)D(cid:25)5?n(cid:142)l#R,m]WH8(cid:13)dfd(cid:143)D(cid:10)A#/¤A#/(cid:129)I .(cid:19)k
A#/b /(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> .(cid:19)j
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)f'(cid:21)y (cid:4) (cid:18)zvL(cid:18)(cid:28)"(cid:27)(cid:18)*(cid:160)(cid:28)(cid:26)&(cid:24)0(z"4 #(cid:12)(cid:15)(cid:14)(cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:18)*v(cid:21)“ x#«
I,/=.0/c‹(cid:8)8(cid:13)(cid:139)]5?;o:<;H305?> .(cid:17)›
I,/(cid:129)A#/C(cid:130)i\?8(cid:144)J(cid:155)8(cid:13)KGK<305#MOfi*K<3(cid:25)m(cid:28)8Q5?;H30R?>(cid:149):<\?8Q3(cid:25)KG8Qd D(cid:25)5?nfl>VR,m]>G\?;Hr(cid:138):<>(cid:10)30rS(cid:139),M
5?;o:<8(cid:31):(cid:137)Y§T(cid:140)8 A0A
I,/(cid:132)I,/(cid:134)(cid:133)(cid:134):<\?8(cid:13)KCn?8(cid:13)(cid:139)]5?;=:<;=305?>(cid:134)D(cid:25)5?ne8(cid:135)@]D(cid:25)d(cid:2)T]W=8Q> A(cid:25)_
I,/b /(cid:134)14305!(cid:176)–R?X9D(cid:25)p(cid:13)Y I0†
I,/(cid:129)k#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> I9A
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)(cid:10)‡)y^(cid:11)Q(cid:12)(cid:140)(cid:14)(cid:17) #(cid:16)(cid:19)·,(*"(cid:181)%{(]v(cid:155)+ '*'
b /=.0/cfi(cid:155);¶@?8Qn~T(cid:140)30;H59:<>cD(cid:25)5?n•T(cid:140)8NK<;H3§n?;Hp(cid:8)T(cid:140)30;H59:<> I0I
b /(cid:129)A#/C(cid:130)w3(cid:25)T(cid:28)30WH30X0;=pgD(cid:25)W(cid:140)8Q59:GK<3(cid:25)T7Y•30r);H59:<8(cid:13)KG6FD(cid:25)W(cid:21)d(cid:143)DFT]> I9j
b /(cid:132)I,/c(cid:141)‚DFKG(cid:147)93(cid:17)6~d(cid:143)DFT]> I0›
„
„(cid:17)” »(cid:21)…(cid:23)‰w(cid:190)(cid:21)¿z‰w(cid:190))(cid:192)
b /b /(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> b0b
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)(cid:144)`(cid:140)y(cid:146)´•“(cid:21)vˆ §(cid:16)!|L(cid:18)(cid:28)"&(cid:26)&(cid:24)U(cid:14)(cid:17)(cid:18)z(cid:16)(cid:19)(*"(cid:181)(*(cid:22))(cid:14)(cid:17)(cid:18)(cid:28)%{(cid:18)*(cid:16)(cid:19)v t (cid:26)&+g%’+ ‡(cid:15)˜
k#/=.0/c‹(cid:8)8(cid:13)(cid:139)]5?;o:<;H305?> b j
k#/(cid:129)A#/c(cid:127)ˆ57:GKG3(cid:25)T§Y~rs3(cid:25)K(cid:134)¯(cid:134)Y§T(cid:140)8(cid:13)KVm(cid:140)30WH;=p(cid:31)(cid:130)w3(cid:25)KED(cid:25)W(cid:15)ƒ2R,:<30df3(cid:25)KVT]\?;H>Gdf> b ›
k#/(cid:132)I,/(cid:134)l#\]D(cid:25)n?3(cid:17)˘C;=5?X(cid:143)D(cid:25)5?n•>V8Qdf;oMOpQ305!(cid:176)–R?X9D(cid:25)p(cid:13)Y k0A
k#/b /(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> k0k
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)f˙(cid:21)y(cid:146)¨(cid:144)(cid:18)](cid:14)(cid:17)(?(cid:14)(cid:19)(cid:26)&(cid:18)z(cid:12)(cid:158)(cid:12)(cid:21)(cid:22)(cid:23)%‚|L #(cid:16)!+ `*˜
_,/=.0/c¯230df8(cid:13)30df3(cid:25)KGT]\?;H>Vdf>¢30r(cid:21):<\?8(cid:8)pQ;=KGpQWH8(cid:31)D(cid:25)5?n(cid:144)K<3(cid:25):EDF:<;=305~57R?dum(cid:140)8(cid:13)KG> k0j
_,/(cid:129)A#/c‹(cid:8)8Q5!(cid:176)–3(cid:17)Y(cid:140)¥(cid:201)>c:<\?8Q3(cid:25)KG8Qd _0†
_,/(cid:132)I,/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> _0I
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)(cid:144)˜(cid:140)y^(cid:11)Q(cid:12)(cid:15)·,(](cid:16)F(cid:26)(cid:27)(*(cid:12)(cid:140)(cid:14)f%{ §(z+g(cid:22))(cid:16)! #+ ˙(cid:28)`
j#/=.0/c‹(cid:8)8(cid:13)(cid:139)]5?;o:<;H305?>-D(cid:25)5?n(cid:146)pE\]DFKED(cid:25)pN:<8(cid:13)K<;=(cid:136)gDF:<;H305(cid:31)30r#;=576FDFK<;HD(cid:25)57:-df8gD(cid:25)>VR,K<8Q>
_9k
j#/(cid:129)A#/C(cid:145)43(cid:25)K<8QW(cid:15)>V;HX0d(cid:143)D!M‘D(cid:25)WHX08(cid:13)m?KED(cid:25)>irs3(cid:25)KCpQ30d(cid:2)T*D(cid:25)p(cid:13):Sdf8(cid:13):VK<;Hp(cid:31)>VT*D(cid:25)pQ8Q> _9k
j#/(cid:132)I,/c(cid:127)(cid:128)@]D(cid:25)d(cid:2)T]W=8Q>i30rw;H596FDFK<;(cid:138)D(cid:25)59:Cd(cid:2)8gD(cid:25)>GR,K<8Q> _9j
j#/b /S˚(cid:131)596(cid:25)DFK<;HD(cid:25)57:cdf8gD(cid:25)>VR,K<8Q>Crs3(cid:25)Kc3(cid:25):<\?8(cid:13)K(cid:134)D(cid:25)p(cid:13):<;=305?> _0›
j#/(cid:129)k#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> j#.
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)f¸(cid:21)y(cid:146)(cid:204)˝ #(*+g(cid:22)w(cid:16)(cid:19) e(cid:14) t #(cid:18)*(cid:16)(cid:19) §(cid:14)(cid:19)(cid:26)&(cid:24)~ #(cid:12)(cid:15)(cid:14)(cid:17)(cid:16)(cid:19)(cid:18)*v(cid:21)“ ˜?'
(cid:150),/=.0/cJ(cid:128)DFKG:G;=:<;=305?>cD(cid:25)5?n•pQ305?n?;=:<;=305]D(cid:25)W(cid:21)8N@,T(cid:28)8Qp(cid:13):EDF:<;=305?> j(cid:25)I
(cid:150),/(cid:129)A#/C(cid:130)i\?8^8(cid:13)57:GKG3(cid:25)T§YU30r(cid:155)D˛T*DFKV:<;=:<;=305 j(cid:25)_
(cid:150),/(cid:132)I,/C(cid:130)i\?8^8(cid:13)57:GKG3(cid:25)T§YU30r(cid:155)D˛:VKED(cid:25)5?>Grs3(cid:25)K<d(cid:143)DF:G;H305 j(cid:25)(cid:150)
(cid:150),/b /C(cid:130)i\?8^;=5?p(cid:13)K<8gD(cid:25)>V;H5?Xfd(cid:143)DFKV:<;H5?X9D(cid:25)W=8(cid:8):G\?8Q3(cid:25)K<8Qd (cid:150),.
(cid:150),/(cid:129)k#/c(cid:127)ˆ57:GKG3(cid:25)T§YUD(cid:25)5?ne>G;=X0d(cid:143)D˛D(cid:25)WHX08(cid:13)m?KED(cid:25)> (cid:150)0I
(cid:150),/(cid:132)_,/(cid:134)14305?n?;=:<;=305]D(cid:25)W(cid:15)8Q59:GK<3(cid:25)T7Y (cid:150)9k
(cid:150),/(cid:129)j#/cJLK<3#30rs>S30rwˇ-8Qdfd(cid:143)D˛(cid:150),/¤j(cid:149)D(cid:25)5?neˇ-8Qdfd(cid:143)D˛(cid:150),/(cid:129)(cid:150) (cid:150)9j
(cid:150),/(cid:132)(cid:150),/S˚(cid:131)>G30df3(cid:25)KVT]\?;H>Gd (cid:150)0(cid:150)
(cid:150),/(cid:132)›,/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> (cid:150)0›
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)f«(cid:21)y (cid:6) (cid:16)!(cid:160)*(cid:18)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:26)&(cid:24)(cid:5)%{ #(*+g(cid:22)w(cid:16)(cid:19) ,+ «(cid:15)x
›,/=.0/c‹(cid:8)8(cid:13)(cid:139)]5?;o:<;H305?>CD(cid:25)5?n•pE\]DFKED(cid:25)p(cid:13):<8NK<;H(cid:136)gDF:G;H305e30r)8(cid:13)K<X03#n?;=p^d(cid:2)8gD(cid:25)>GR,K<8Q> ›,.
›,/(cid:129)A#/cJ(cid:155)30;=5?pgDFK#8(cid:8)— K<8QpQR,KGKG8Q5?pQ8(cid:149)D(cid:25)5?n•(cid:209)^D(cid:25)p(cid:25)¥(cid:201)>c:<\?8Q3(cid:25)KG8Qd ›,.
›,/(cid:132)I,/c(cid:127)(cid:128)@?;H>–:<8Q5?pQ8(cid:31)30r(cid:23)8(cid:13)K<X03§n?;Hp(cid:31)df8gD(cid:25)>GR,KG8Q> ›0I
›,/b /(cid:134)l#30df82m*D(cid:25)>G;=p(cid:146)pQ305?>–:GK<R?p(cid:13):<;=305?>C;=5•8(cid:13)K<X03§n?;Hp(cid:31):<\?8Q3(cid:25)KGY › b
›,/b /H.0/cl§(cid:147)98(cid:13)˘(cid:210)T?K<3#n?R?pN:<> ›9k
›,/b /¤A#/4˚(cid:131)5?n?R?pQ8Qne:GKED(cid:25)5?>Vrs3(cid:25)K<d(cid:143)DF:<;=305?>CD(cid:25)5?nUqC30\?WH;=5•:<3(cid:17)˘48(cid:13)K<> ›9k
›,/b /(cid:129)I,/iB(cid:8)DF:<R,KED(cid:25)W(cid:15)8N@#:<8Q5?>G;=305?> ›0_
›,/(cid:129)k#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> ›9j
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)Ux#(cid:211)(cid:21)y (cid:6) (cid:16)(cid:19)(cid:160)z(cid:18)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:26)&(cid:24)U(cid:14) t §(cid:18)z(cid:16)(cid:19) ,%’+ «*«
.(cid:17)†,/=.0/C(cid:130)i\?8(cid:31)¡ˆ305•B28(cid:13)R?d(cid:143)D(cid:25)5?5•8(cid:13)KGX03#n?;Hp(cid:146)(cid:130)S\?8(cid:13)3(cid:25)K<8Qd ›0›
.(cid:17)†,/(cid:129)A#/C(cid:130)i\?8(cid:146)(cid:145)4;oKG(cid:147),\?3(cid:25)(cid:148)(cid:142):<\?8Q3(cid:25)KG8Qd(cid:212)Z&rs3(cid:25)KC8(cid:13)KGX03#n?;Hp(cid:31)df8gD(cid:25)>VR,K<8Q>Ea .(cid:17)†9A
.(cid:17)†,/(cid:132)I,/cƒ(cid:134)T?T]W=;HpgDF:<;=305?>c30r-:<\?8(cid:146)8NK<X03#n?;=p(cid:31):<\?8(cid:13)3(cid:25)K<8Qdf> .(cid:17)†0_
.(cid:17)†,/b /C(cid:130)i\?8(cid:146)(cid:145)4;oKG(cid:147),\?3(cid:25)(cid:148)(cid:142):<\?8Q3(cid:25)KG8Qd(cid:212)Z&rs3(cid:25)KC;=576FDFK<;(cid:138)D(cid:25)59:cdf8gD(cid:25)>GR,K<8(cid:13)>Ea .0.0.
.(cid:17)†,/(cid:129)k#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> .0.(cid:19)A
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)Uxzx*yu(cid:204)(cid:213)(cid:26)s(cid:29)-(cid:26)$(cid:12))(cid:160) xzx#'
»(cid:21)…(cid:23)‰w(cid:190)(cid:21)¿z‰w(cid:190))(cid:192) „(cid:17)”(cid:132)”
.0.0/=.0/S£’8QDF(cid:147)Ud(cid:2);o@?;=5?X .0.(cid:17)I
.0.0/(cid:129)A#/cƒ(cid:214)n?8Q5?>V;=:(cid:137)Y’305?8(cid:143)pQ3059698(cid:13)K<X08Q5?p(cid:13)8UpE\]DFKED(cid:25)p(cid:13):G8(cid:13)K<;H(cid:136)QDF:<;H305⁄30r4˘48gDF(cid:147)
df;¶@?;=5?X .0. b
.0.0/(cid:132)I,/cƒ(cid:215)X08Q5?8(cid:13)KED(cid:25)W=;H(cid:136)gDF:G;H305(cid:142)30rˆ:<\?8u¡ˆ305[B28(cid:13)R?d(cid:143)D(cid:25)5?5[(cid:127)LK<X03#n?;=p˛(cid:130)S\?8NM
3(cid:25)K<8(cid:13)d .0.(cid:17)_
.0.0/b /C(cid:130)i\?8^>–T(cid:140)8Qp(cid:13):VKED(cid:25)W-6#;H8(cid:13)˘ST(cid:140)30;=57: .0.(cid:17)(cid:150)
.0.0/(cid:129)k#/(cid:134)l§T(cid:28)8Qp(cid:13):GKED(cid:25)W(cid:21)pE\]DFKED(cid:25)p(cid:13):G8(cid:13)K<;H(cid:136)QDF:<;H305e30r-˘48gDF(cid:147)~df;¶@?;H5?X .(cid:19)A(cid:25)†
.0.0/(cid:132)_,/(cid:134)l§:GKG305?X(cid:2)df;¶@?;H5?X .(cid:19)A0A
.0.0/(cid:129)j#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8 .(cid:19)A(cid:25)I
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)(cid:7)x?(cid:151)(cid:28)y (cid:9) (cid:14)(cid:17)(?(cid:14)(cid:19)(cid:26)$+(cid:13)(cid:14)(cid:19)(cid:26)&(cid:24)0(z"*v(cid:23)(cid:16)(cid:19)(cid:18)zvL #(cid:16)(cid:17)(cid:14)(cid:19)(cid:26)& #+C(cid:26)&(cid:12)‚ §(cid:16)!(cid:160)*(cid:18)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:26)&(cid:24)(cid:146)(cid:14) t #(cid:18)*(cid:16)(cid:17)“ x](cid:151)*`
.(cid:19)A#/=.0/c(cid:127)(cid:128)@]D(cid:25)p(cid:13):S8Q5?n?30df3(cid:25)KVT]\?;H>Gdf> .(cid:19)A0k
.(cid:19)A#/(cid:129)A#/(cid:134)l§:EDF:G;H>V:<;=pgD(cid:25)W(cid:140)T?K<3(cid:25)T(cid:28)8(cid:13)KG:<;=8Q>C30r)8N@,T*D(cid:25)5?n?;=5?Xf(cid:141)‚DFKG(cid:147)93(cid:19)6~d(cid:143)DFT]> .(cid:19)A(cid:25)_
.(cid:19)A#/(cid:132)I,/cqc30\?WH;H5(cid:15)¥(cid:201)>c8(cid:13)57:GKG3(cid:25)T§YUrs3(cid:25)K<d(cid:149)R?W(cid:138)D .(cid:17)I9A
.(cid:19)A#/b /C(cid:130)i\?8(cid:7)l#\]D(cid:25)5?5?305#MO(cid:141)(cid:142)pQ(cid:141)(cid:142);HWHWHD(cid:25)5#M(cid:137)(cid:145)(cid:181)K<8Q;=d(cid:143)D(cid:25)5•:<\?8(cid:13)3(cid:25)K<8Qd .(cid:17)I b
.(cid:19)A#/(cid:129)k#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> .(cid:17)I0_
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)’x#'(cid:21)y(cid:153)(cid:216)c(cid:26)s(cid:29)(cid:21) ,(cid:20)(cid:217)vˆ(cid:18)z(cid:26)$(cid:12)(cid:140)(cid:14)(cid:19)+e(cid:157)‘(cid:18)*(cid:16) t (cid:18)(cid:28)%{ §(cid:18)(cid:28)%{(cid:18)*(cid:16)!v t (cid:26)$+g%’+(cid:5)(cid:18)*(cid:157)
(cid:14) t (cid:5)(*(cid:12)(cid:23)(cid:12)(cid:21)(cid:22)(cid:23)"&(cid:22)(cid:23)+ x,'(cid:28)˜
.(cid:17)I,/=.0/cfi(cid:155);¶@?8Qn~T(cid:140)30;H59:<>Srs3(cid:25)KC:<\?8^D(cid:25)5?57R?WHR?> .(cid:17)I9j
.(cid:17)I,/(cid:129)A#/(cid:134)(cid:133)2R,:<WH;=5?8ST?KG3#30r*30r(cid:140)(cid:145)(cid:181)K<30R9˘48(cid:13)Kg¥(cid:201)>LT]WHD(cid:25)5?8i:VKED(cid:25)5?>GW(cid:138)DF:G;H305(cid:149):<\?8Q3(cid:25)K<8Qd . b .
.(cid:17)I,/(cid:132)I,/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> . b I
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)Ux§‡-y (cid:4)ut (cid:5)·,(](cid:16)!(cid:26)&(?(cid:14)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:18)(cid:28)(cid:12))(z"Lv(cid:23)(cid:16)!(cid:26)$(cid:12)(cid:23)(cid:24)9(cid:26)(cid:27)v(cid:155)"(cid:27) x§‡(cid:15)`
. b /=.0/C(cid:130)i\?8(cid:31)6FDFK<;HDF:<;H305]D(cid:25)W(cid:140)T?K<;=5?pQ;=T]W=8(cid:146)rs3(cid:25)Kc8Q59:GK<3(cid:25)T7Y . b k
. b /(cid:129)A#/C(cid:130)i\?8(cid:31)T?KG3#30r(cid:23)30r-:<\?8^6FDFK<;(cid:138)DF:G;H305]D(cid:25)W(cid:140)T?K<;=5?pQ;=T]W=8 . b k
. b /(cid:132)I,/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> . b ›
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)(cid:8)x?`(cid:140)y(cid:134)(cid:11)(cid:13)(cid:12)(cid:15)·,(](cid:16)F(cid:26)(cid:27)(*(cid:12)(cid:15)(cid:14)4%{ #(*+g(cid:22)w(cid:16)(cid:19) ,+¢(cid:157)‘(cid:18)*(cid:16)(cid:134)(cid:24)0(cid:18)z%’%[(cid:22))(cid:14)(cid:19)(cid:26)&(cid:12)w(cid:160)˛(cid:14)(cid:17)(cid:16)!(*(cid:12)(cid:23)+ (cid:159)
(cid:157)‘(cid:18)*(cid:16)F%{(?(cid:14)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:18)(cid:28)(cid:12)w+ x]`(cid:28)x
.(cid:19)k#/=.0/cfi*R,K<>V:<8(cid:13)57m]R,K<X?¥(cid:201)>CpQ305!(cid:176)–8(cid:13)p(cid:13):<R,K<8uD(cid:25)5?n•qCR?n?30W=T]\(cid:15)¥(cid:201)>C:<\?8Q3(cid:25)KG8Qd .(cid:19)k#.
.(cid:19)k#/(cid:129)A#/C(cid:130)i\?8(cid:31)T?KG3#30r(cid:23)30r)qCR?n?30W=T]\(cid:15)¥(cid:201)>C:<\?8Q3(cid:25)KG8Qd .(cid:19)k#.
.(cid:19)k#/(cid:132)I,/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> .(cid:19)k(cid:25)_
(cid:0)ut (]vw(cid:14)(cid:17) #(cid:16)⁄x#˙(cid:21)y(cid:218)(cid:204)(cid:213)(cid:22)(cid:23)"s(cid:14)(cid:19)(cid:26)&v(cid:23)"& (cid:219)(cid:16)! #(cid:24)9(cid:22)w(cid:16)!(cid:16)(cid:19) ,(cid:12)w(cid:24)9 (cid:219)(*(cid:12)(cid:23)(cid:20) (cid:9)(cid:21)(cid:220) #%{ #(cid:16)(cid:19) ,(cid:20)(cid:23)(cid:26)(cid:137)(cid:221)H+
(cid:14) t §(cid:18)z(cid:16)(cid:19) ,% x]`?«
.(cid:17)_,/=.0/(cid:134)l#(cid:136)Q8(cid:13)df8(cid:13)K<n?;$¥(cid:132)>i:<\?8Q3(cid:25)K<8Qd(cid:222)305eDFKG;=:<\?df8N:<;Hp2T?K<30X(cid:25)K<8(cid:13)>G>G;H305?> .(cid:19)k(cid:25)›
.(cid:17)_,/(cid:129)A#/cƒ25U8(cid:13)K<X03#n?;=p(cid:31)T?KG3#30r(cid:23)30r(cid:23)l#(cid:136)Q8Qdf8(cid:13)KGn?;(cid:223)¥(cid:132)>i:<\?8Q3(cid:25)KG8Qd .(cid:17)_0†
.(cid:17)_,/(cid:132)I,/C(cid:130)i\?8(cid:31)T?KG3#30r(cid:23)30rw(cid:130)S\?8Q3(cid:25)KG8Qd(cid:224).(cid:17)_,/(cid:129)A .(cid:17)_,.
.(cid:17)_,/(cid:132)I,/H.0/=Z$Æ2(cid:141)(cid:142)q2a(cid:155)rs3(cid:25)K¢˘48QDF(cid:147)§M‘d(cid:2);o@?;=5?X^>–Y,>V:<8(cid:13)df>Q(cid:226)0˘48gDF(cid:147)7M‘df;¶@?;H5?X
8N@,:G8Q5?>G;H305?>CD(cid:25)5?nepQ30d(cid:2)T*D(cid:25)pN:c>–Y,>V:<8(cid:13)df> .(cid:17)_,.
.(cid:17)_,/(cid:132)I,/¤A#/ª(cid:130)S\?8^5?305#MO˘48QDF(cid:147)§M‘d(cid:2);o@?;=5?X(cid:10)pQD(cid:25)>G8 .(cid:17)_9A
.(cid:17)_,/(cid:132)I,/(cid:129)I,/=Z$Æ2(cid:141)(cid:142)q2a4rs3(cid:25)K(cid:134)pQ30d(cid:10)T*D(cid:25)p(cid:13):S8N@,:<8(cid:13)5?>G;H305?> .(cid:17)_0I
.(cid:17)_,/(cid:132)I,/b /ª(cid:130)S\?8^W(cid:138)D(cid:25)>V:c>V:<8NT .(cid:17)_0I
.(cid:17)_,/b /(cid:128)ƒ(cid:134)T?T(cid:140)8Q5?n?;¶@•:G3(cid:2)>G8QpN:<;H305[.(cid:17)_,/(cid:129)I .(cid:17)_ b
.(cid:17)_,/b /H.0/ª(cid:130)S\?8(cid:31)T?K<3#30rs>S30r(cid:23)JLK<3(cid:25)T(cid:140)30>G;o:<;H305?>(cid:31).(cid:17)_,/(cid:129)I˛D(cid:25)5?n{.(cid:17)_,/b .(cid:17)_ b
.(cid:17)_,/b /¤A#/ª(cid:130)S\?8(cid:31)T?K<3#30r)30r(cid:23)JˆKG3(cid:25)T(cid:140)30>G;o:<;H305‚.(cid:17)_,/¤k .(cid:17)_0(cid:150)
.(cid:17)_,/b /(cid:129)I,/ª(cid:130)S\?8(cid:31)T?K<3#30r)30r(cid:23)JˆKG3(cid:25)T(cid:140)30>G;o:<;H305‚.(cid:17)_,/(cid:129)_ .(cid:17)_0›
„(cid:17)”(cid:132)”(cid:201)” »(cid:21)…(cid:23)‰w(cid:190)(cid:21)¿z‰w(cid:190))(cid:192)
.(cid:17)_,/b /H/b (cid:130)S/ \?8(cid:31)T?K<3#30r)30r(cid:23)JˆKG3(cid:25)T(cid:140)30>G;o:<;H305‚.(cid:17)_,/¤j .(cid:19)j(cid:25)†
.(cid:17)_,/b /¤k#/ª(cid:130)S\?8(cid:31)T?K<3#30r)30r(cid:23)JˆKG3(cid:25)T(cid:140)30>G;o:<;H305‚.(cid:17)_,/(cid:129)(cid:150) .(cid:19)j#.
.(cid:17)_,/b /(cid:129)_,/ª(cid:130)S\?8(cid:31)T?K<3#30r)30r(cid:23)JˆKG3(cid:25)T(cid:140)30>G;o:<;H305‚.(cid:17)_,/(cid:129)› .(cid:19)j(cid:25)I
.(cid:17)_,/(cid:129)k#/(cid:134)1430dfdf8Q59:<>SD(cid:25)5?nUKG8Qrs8(cid:13)K<8Q5?p(cid:13)8Q> .(cid:19)k0A
(cid:11)(cid:13)(cid:12)(cid:23)(cid:20)w §(cid:29) x]˜*˜
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:12)(cid:11)(cid:4)(cid:13)(cid:14)(cid:3)(cid:15)(cid:0)(cid:16)(cid:7)(cid:10)(cid:1)
(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:22)(cid:25)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:26)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:20)(cid:23)(cid:22)(cid:25)(cid:20)(cid:23) "!$#% (cid:21)&(cid:21)#%&(’(cid:30)(cid:22))’(cid:30) *(cid:20)(cid:23) "!,+$(cid:26)-&(cid:21).(cid:21)/(cid:2)!$(cid:20)(cid:23)(cid:26)0 *!,(cid:26)1(cid:24)2(cid:26)(cid:30)!,(cid:18)*&434 5’(cid:30)67(cid:20)8/9’(cid:30):;(cid:22)<34(cid:22)=!$#%67(cid:22))’(cid:30) (cid:21)&
#(cid:2)+$>0(cid:26)-&(cid:21)(cid:20)(cid:23)/(cid:4)!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+<3"[email protected]+(cid:12)’(cid:30)(cid:20)(cid:23)6 (cid:20)8(cid:22)C!$(cid:26)D>0(cid:20)FE"#(’G&(cid:21)(cid:20)F+$#%/(cid:2)!(cid:12)’(cid:30) (cid:21)&H&(cid:21)#(cid:2)!$’(cid:30)(cid:20)(cid:23):(cid:23)#(cid:2)&I(cid:20)8 J!,+,(cid:26)(cid:28)&(cid:21).(cid:21)/(cid:2)!$(cid:20)8(cid:26)0 I!$(cid:26)
!$(cid:18)(cid:21)#(cid:15)(cid:24)K’(cid:30)(cid:22),(cid:20)8/(cid:6)!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+,3"L2(cid:22)<.(cid:21)(cid:20)8!M’N(cid:24)5:8#(cid:14)’(cid:30)(cid:22)B’C!,#PO4!RQS(cid:26)(cid:30)+T’(cid:30)&4EN’(cid:30) (cid:21)/%#%&(.(cid:21) (cid:21)&(cid:21)#(cid:2)+$>(cid:30)+M’(cid:30)&(cid:21).5’N!,#1(cid:22)<!,.(cid:21)&(cid:21)#% J!,(cid:22)U(cid:26)(cid:30)+
(cid:24)2#(cid:2)>0(cid:20)(cid:23) (cid:21) (cid:21)(cid:20)(cid:23) (cid:21)>(cid:10)>(cid:30)+M’(cid:30)&(cid:21).5’N!$#U(cid:22)<!$.(cid:21)&(cid:21)#% "!$(cid:22)V(cid:20)8 (cid:12)6C’N!$(cid:18)(cid:21)#(cid:2)6C’N!$(cid:20)(cid:23)/(cid:2)(cid:22)%?
(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)#W (cid:21)(cid:26)(cid:30)!$#%(cid:22))&(cid:21)(cid:20)8E4(cid:20)8&(cid:21)#W 5’N!$.4+$’(cid:30):(cid:23):83(cid:31)(cid:20)8 J!$(cid:26)1!$(cid:18)4+$#%#WXK’N+<!$(cid:22)%?(cid:19)(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)#WY(cid:21)+$(cid:22)<!(cid:25)XK’N+,!(cid:14)Z[/M(cid:18)5’NX(cid:21)!$#P+$(cid:22)(cid:6)\(cid:2)]_^"‘
/%(cid:26)0 (cid:21)/%#(cid:2) J!,+$’N!$#%(cid:22)a(cid:26)0 (cid:10)!,(cid:26)(cid:30)X2(cid:26)0:(cid:23)(cid:26)0>0(cid:20)8/9’(cid:30):4&43(cid:28) 5’(cid:30)67(cid:20)(cid:23)/%(cid:22)(cid:2)?b(cid:17)c(cid:18)(cid:21)#(cid:25)(cid:22),#%/%(cid:26)0 (cid:21)&7XK’N+,!VZ[/M(cid:18)5’NX(cid:21)!$#(cid:2)+,(cid:22)(cid:19)d(cid:16)]$\(cid:16)e0‘f&(cid:21)#9’(cid:30):(cid:23)(cid:22)
g (cid:20)8!$(cid:18)(cid:31)#(cid:2)+$>0(cid:26)-&(cid:21)(cid:20)(cid:23)/R!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+,3C’(cid:30) (cid:21)&(cid:12)67#9’(cid:30)(cid:22)<.4+M’N(cid:24)5:(cid:23)#B&434 5’(cid:30)6(cid:10)(cid:20)(cid:23)/%(cid:22)%?h(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)#R!$(cid:18)(cid:21)(cid:20)8+$&(cid:8)XK’N+,!WZ[/M(cid:18)5’NX(cid:21)!$#(cid:2)+,(cid:22)T\jik]
\j^"‘l/%(cid:26)0 (cid:21)(cid:22),(cid:20)(cid:23)(cid:22)=!$(cid:22))(cid:26)0Qm67(cid:26)(cid:30)+$#U’(cid:30)&4E(cid:30)’(cid:30) (cid:21)/(cid:2)#%&(cid:4)6C’N!$#(cid:2)+,(cid:20)n’(cid:30):(cid:27)!$(cid:26)1(cid:22),.4X(cid:21)X5:(cid:23)#(cid:2)67#% "!)!$(cid:18)(cid:21)#U! g (cid:26)(cid:10)#9’N+$:8(cid:20)(cid:23)#(cid:2)+cXK’N+,!$(cid:22)(cid:2)?
o ’(cid:30)/M(cid:18)(cid:4)(cid:26)0Qp!$(cid:18)(cid:21)#(cid:15)Y(cid:21)+,(cid:22)<!V! g (cid:26)7XK’N+,!$(cid:22))(cid:20)(cid:23)(cid:22)V(cid:20)8 J!$#(cid:2) (cid:21)&(cid:21)#%&(cid:4)!$(cid:26)7(cid:24)2#(cid:15)#(cid:2)(cid:22),(cid:22),#% "!$(cid:20)n’(cid:30):8:83(cid:12)(cid:22),#%:(cid:23)Q(cid:23)]q/%(cid:26)0 "!M’(cid:30)(cid:20)(cid:23) (cid:21)#%&rL;’(cid:30)(cid:22)
(cid:20)(cid:23)(cid:22)s(cid:20)(cid:23):(cid:23):8.(cid:21)(cid:22)<!,+M’N!,#%&7(cid:24)-31!$(cid:18)(cid:21)#VQS(cid:26)0:8:(cid:23)(cid:26) g (cid:20)8 (cid:21)>(cid:6)&(cid:21)(cid:20)n’(cid:30)>(cid:30)+M’(cid:30)6t(cid:26)0Qr!$(cid:18)(cid:21)#)+$#%:(cid:23)’N!$(cid:20)(cid:23)(cid:26)0 (cid:21)(cid:22)<(cid:18)(cid:21)(cid:20)8X5(cid:22)a(cid:24)2#P! g #%#% (cid:8)/M(cid:18)5’NX(cid:21)!$#(cid:2)+$(cid:22)%u
^ v \ji
w
\ v e x
y w
i v z v \(cid:16)e
{ |
\9z \(cid:16)x \0\ v \j^
| w w
} \j~
w w
d v (cid:127)
(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)#(cid:25)’N+,#9’(cid:30)(cid:22)b(cid:26)0Q(cid:128)&43(cid:28) 5’(cid:30)67(cid:20)(cid:23)/9’(cid:30):-(cid:22)<34(cid:22)=!$#%67(cid:22)b’(cid:30) (cid:21)&1#(cid:2)+$>0(cid:26)(cid:28)&(cid:21)(cid:20)8/a!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+,3(cid:129)’N+,#(cid:19)+,(cid:20)(cid:23)/M(cid:18)1(cid:20)8 1/(cid:2)(cid:26)0 (cid:21) (cid:21)#%/(cid:2)!$(cid:20)8(cid:26)0 (cid:21)(cid:22)
g (cid:20)8!$(cid:18)*(cid:26)(cid:30)!,(cid:18)(cid:21)#(cid:2)+R(cid:22),.4(cid:24)4(cid:130)=#%/(cid:2)!,(cid:22)(cid:129)Z[#(cid:30)?(cid:131)>(cid:21)?(cid:19) J.(cid:21)6(cid:6)(cid:24)2#(cid:2)+R!$(cid:18)(cid:21)#(cid:2)(cid:26)(cid:30)+,3"L(cid:128)>0#(cid:2)(cid:26)067#(cid:2)!,+,3"L5(cid:22)<!$’N!$(cid:20)(cid:23)(cid:22)<!,(cid:20)(cid:23)/%(cid:22)%LK6C’N!$(cid:18)(cid:21)#(cid:2)6C’N!$(cid:20)(cid:23)/%’(cid:30):
X5(cid:18)"34(cid:22),(cid:20)8/%(cid:22)%L(cid:28)(cid:24)5(cid:20)8(cid:26)0:(cid:23)(cid:26)0>(cid:30)3"LJ#(cid:2)!$/(cid:30)?(cid:132)‘P?p(cid:133)(cid:134) 7!$(cid:18)(cid:21)#V/%(cid:26)0.4+$(cid:22)<#R(cid:26)0Q2!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:22),#V (cid:21)(cid:26)(cid:30)!,#%(cid:22) g #V(cid:18)5’9E"#)!,+$(cid:20)8#%&7!$(cid:26)(cid:15)6(cid:10)(cid:26)(cid:30)!$(cid:20)8EN’N!$#
!$(cid:18)(cid:21)#c>0#% (cid:21)#(cid:2)+M’(cid:30):4!,(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+,3 g (cid:20)8!$(cid:18)1(cid:22),(cid:26)067#l(cid:20)(cid:23)61X2(cid:26)(cid:30)+,!M’(cid:30) "!h’NX(cid:21)X5:(cid:23)(cid:20)8/9’N!$(cid:20)8(cid:26)0 (cid:21)(cid:22))Z(cid:135)XK’N+,!$(cid:20)(cid:23)/(cid:2).(cid:21):n’N+$:F3(cid:6)!$(cid:26)B -.(cid:21)6(cid:6)(cid:24)2#P+
!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+<3"L(cid:21)(cid:20)(cid:23) */M(cid:18)5’NX(cid:21)!$#(cid:2)+Re1’(cid:30) (cid:21)&*/M(cid:18)5’NX(cid:21)!$#P+(cid:15)\j^"‘P?
(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)#(cid:2)+$#U’N+$#B’(cid:30):8+,#9’(cid:30)&43(cid:8)’(cid:6) -.(cid:21)6(cid:6)(cid:24)(cid:27)#(cid:2)+c(cid:26)0Qm#PO4/%#%:8:(cid:23)#% "!(cid:19)(cid:24)2(cid:26)(cid:28)(cid:26)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:22)a(cid:26)0 (cid:31)&434 5’(cid:30)67(cid:20)8/9’(cid:30):(cid:27)(cid:22)<3(cid:28)(cid:22)<!$#%6(cid:10)(cid:22)(cid:19)’(cid:30) (cid:21)&
#(cid:2)+$>0(cid:26)-&(cid:21)(cid:20)(cid:23)/U!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+,3(cid:136)Z[#(cid:30)?(cid:137)>(cid:21)?l(cid:138)U#PE(cid:30)’(cid:30) (cid:21)#(cid:2)3(cid:27)(cid:139)(cid:131)(cid:22)B(cid:140)M(cid:141)5(cid:142)(cid:144)(cid:143)$(cid:145)9(cid:146)(cid:30)(cid:147)5(cid:148)P(cid:142)(cid:144)(cid:149)q(cid:145)k(cid:141)(cid:150)(cid:142)(cid:134)(cid:145)(cid:4)(cid:151)p(cid:152)(cid:21)(cid:153)J(cid:145)k(cid:142)(cid:144)(cid:149)q(cid:148)B(cid:154)T(cid:155)N(cid:141)(cid:27)(cid:153)N(cid:156)(cid:14)(cid:149)(cid:157)(cid:148)$(cid:153)N(cid:158);(cid:159)(cid:128)(cid:155)(cid:16)(cid:160)¡(cid:142)(cid:134)¢P(cid:156)(cid:6)(cid:160)<‘
£ ’(cid:30):F!$#(cid:2)+$(cid:22)%(cid:139)0(cid:140)M(cid:141)5(cid:142)[(cid:143)M(cid:145)9(cid:146)N(cid:147)K(cid:148)P(cid:142)(cid:144)(cid:149)q(cid:145)k(cid:141)(cid:10)(cid:142)_(cid:145))⁄(cid:19)(cid:143)q¥J(cid:145)9(cid:146)(cid:30)(cid:149)q(cid:148)Uƒ§(cid:152)5¢M(cid:145)k(cid:143)¡(cid:155)¤’(cid:30) (cid:21)&(cid:10)(cid:140)$(cid:141)K(cid:142)[(cid:143)M(cid:145)9(cid:146)N(cid:147)K(cid:148)P(cid:142)[(cid:149)(cid:157)(cid:145)k(cid:141)1(cid:142)(cid:134)(cid:145)B(cid:142)'(cid:152)5¢¤“(cid:136)(cid:145)9(cid:146)J¢(cid:2)(cid:143)¡(cid:141)(ƒ§(cid:152)(cid:21)¢P«
(cid:145)k(cid:143)P(cid:155)(cid:31)(cid:145)=‹V(cid:154)T(cid:155)k(cid:141)2(cid:153)N(cid:156)(cid:14)(cid:149)q(cid:148)$(cid:153)(cid:30)(cid:158)r(cid:159)K(cid:155)k(cid:160)¡(cid:142)_¢(cid:2)(cid:156)(cid:6)(cid:160)a(cid:24)J3(cid:31)›W’N!$(cid:26)(cid:30)(cid:29)fi’(cid:30) (cid:21)&*flB’(cid:30)(cid:22)<(cid:22),#%:8(cid:24)5:(cid:23)’N!,!¡‘P?
(cid:176)†–
– ‡S·¶(cid:181);•§‚p„f”f»2(cid:181);‡'‚p·
(cid:17)¶(cid:26)(cid:8)X(cid:21)+$#P]q#%6(cid:10)X(cid:21)!W’(cid:30) J3(/%(cid:26)06(cid:10)XK’N+,(cid:20)(cid:23)(cid:22),(cid:26)0 g (cid:20)F!$(cid:18)(!,(cid:18)(cid:21)#%(cid:22),#1Y5 (cid:21)#(cid:129)!$#PO(cid:28)!$(cid:22)%L g #1(cid:22)<(cid:18)(cid:21)(cid:26)0.(cid:21):(cid:23)&(cid:136)#%61X5(cid:18)5’(cid:30)(cid:22),(cid:20)(cid:23)…%#
!$(cid:18)5’N!c!$(cid:18)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:22)c(cid:24)2(cid:26)-(cid:26)(cid:30)(cid:29)(cid:8)(cid:20)(cid:23)(cid:22)c(cid:20)(cid:23) "!$#% (cid:21)&(cid:21)#%&*!$(cid:26)(cid:129)(cid:24)2#W’(cid:10)67(cid:26)(cid:30)+$#B67(cid:26)-&(cid:21)#%(cid:22)<!(cid:25)(cid:20)(cid:23) "!,+$(cid:26)(cid:28)&(cid:21).(cid:21)/P!$(cid:20)(cid:23)(cid:26)0 (cid:31)!$(cid:26)1!$(cid:18)(cid:21)#T(cid:22),.4(cid:24)4(cid:130)=#%/(cid:2)!9?
(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:21)#(cid:10)+$#9’(cid:30)&(cid:21)#(cid:2)+ g (cid:18)(cid:21)(cid:26) g (cid:26)0.(cid:21):(cid:23)&‰:(cid:23)(cid:20)F(cid:29)"#(cid:129)!,(cid:26)(cid:12)Y5 (cid:21)&‰(cid:26)0.4!(cid:6)67(cid:26)(cid:30)+$#1’N(cid:24)2(cid:26)0.4!W&434 5’(cid:30)67(cid:20)8/9’(cid:30):b(cid:22)<34(cid:22)=!$#%67(cid:22)W’(cid:30) (cid:21)&
#(cid:2)+$>0(cid:26)-&(cid:21)(cid:20)(cid:23)/B!$(cid:18)(cid:21)#%(cid:26)(cid:30)+,3 g (cid:20)(cid:23):8:2Y5 (cid:21)&(cid:4)6(cid:129).(cid:21)/M(cid:18)fi67(cid:26)(cid:30)+$#U(cid:20)(cid:23) fi!,(cid:18)(cid:21)#%(cid:22),#T(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:26)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:22)%?
(cid:190) ’N+,(cid:29)(cid:31)¿f(cid:26)0:(cid:23):8(cid:20)(cid:23)/%(cid:26)(cid:30)!,! (cid:190) (cid:20)(cid:23)/M(cid:18)(cid:21)(cid:20)F(cid:29)"(cid:26)(cid:129)(cid:192)s.4+$(cid:20)
(cid:138)B#(cid:2)XK’N+,!$6(cid:10)#% J!(cid:25)(cid:26)0Q (cid:190) ’N!$(cid:18)(cid:21)#%67’N!$(cid:20)(cid:23)/%(cid:22) (cid:138)B#(cid:2)XK’N+,!,67#% "!)(cid:26)0Q¶`(cid:19).(cid:21)(cid:22)<(cid:20)(cid:23) (cid:21)#%(cid:22),(cid:22)(cid:25)´R&(cid:21)67(cid:20)(cid:23) (cid:21)(cid:20)8(cid:22)<!,+M’N!,(cid:20)(cid:23)(cid:26)0
(cid:190) ’(cid:30) (cid:21)/M(cid:18)(cid:21)#%(cid:22)<!$#(cid:2)+VˆR (cid:21)(cid:20)8E"#(cid:2)+$(cid:22)<(cid:20)8!_3 ˜4’NX(cid:21)X(cid:27)(cid:26)(cid:30)+$(cid:26)(cid:10)ˆR (cid:21)(cid:20)FE"#(cid:2)+$(cid:22),(cid:20)F!(cid:134)3
PRELIMINARIES
1. Conventions. The book is divided into 16 chapters, each subdivided
intosectionsnumberedinorder(e.g. chapter12, section3isnumbered12.3).
Within each chapter results (Theorems, Propositions or Lemmas) are la-
belled by the chapter and then the order of occurrence (e.g. the fifth result
in chapter 3 is Proposition 3.5). The exceptions to this rule are: sublem-
mas which are presented within the context of the proof of a more important
result (e.g. the proof of Theorem 2.2 contains Sublemmas 2.2.1 and 2.2.2);
and corollaries (the corollary to Theorem 5.5 is Corollary 5.5.1).
We denote the end of a proof by (cid:4).
Finally, equations are numbered by the chapter and their order of occur-
rence (e.g. the fourth equation in chapter 5 is labelled (5.4))
2. Notation. We shall use the standard notation: R to denote the
real numbers; Q to denote the rational numbers; Z to denote the integer
numbers; N to denote the natural numbers; and Z+ to denote the non-
negative integers. We use the convenient convention that: R/Z = {x +
Z : x ∈ R} (which is homeomorphic to the standard unit circle); R2/Z2 =
{(x ,x ) + Z2 : (x ,x ) ∈ R2} (which is homeomorphic to the standard 2-
1 2 1 2
torus); etc. However, for x ∈ R we denote the corresponding element in R/Z
by x (mod 1) (and similarly for R2/Z2, etc.).
We denote the interior of a subset A of a metric space by int(A), and we
denote its closure by cl(A).
If T : X → X denotes a continuous map on a compact metric space then
Tn (n ≥ 1) denotes the composition with itself n times.
If T : I → I is a C1 map on the unit interval I = [0,1] then T(cid:48) denotes its
derivative.
3. Prerequisites in point set topology (chapters 1-6). The first six
chapters consist of various results in topological dynamics for which the only
prerequisite is a working knowledge of point set topology for metric spaces.
For example:
Theorem A (Baire). Let X be a compact metric space; then if {U }
n n∈N
is a countable family of open dense sets then U ⊂ X is dense.
n∈N n
(cid:84)
xi
xii PRELIMINARIES
Theorem B (sequential compactness). Let X be a metric space;
then X is compact if and only if every sequence (x ) in X contains a
n n∈N
convergent subsequence.
Theorem C (Zorn’s lemma). Let Z be a set with a partial ordering. If
every totally ordered chain has a lower bound in Z then there is a minimal
element in Z.
Two good references for this material are [4] and [5]
4. Pre-requisites in measure theory (chapters 7-12). Chapters 7-
12 form an introduction to ergodic theory, and suppose some familiarity (if
not expertise) with abstract measure theory and harmonic analysis. The
following results will be required.
Theorem D (Riesz representation). There is a bijection between
(1) probability measures µ on a compact metric space X (with the Borel
sigma algebra),
(2) Continuous linear functionals c : C0(X) → R,
given by c(f) = fdµ.
(cid:82)
Theorem E. Let (X,B,µ) be a measure space. For every linear func-
tional α : L1(X,B,µ) → L1(X,B,µ) there exists k ∈ L∞(X,B,µ) such that
α(f) = f ·kdµ, ∀f ∈ L1(X,B,µ) [3, p.121].
(cid:82)
In proving invariance of measures in examples the following basic result
will sometimes be assumed.
Theorem f (Kolmogorov extension). Let B be the Borel sigma-
algebra for a compact metric space X. If µ and µ are two measures for the
1 2
Borel sigma-algebra which agree on the open sets of X then m = m [3, p.
1 2
310].
Thefollowingterminologywillbeusedinthechapteronergodicmeasures.
Given two probability measures µ,ν we say that µ is absolutely continuous
with respect to ν if for every set B ∈ B for which ν(B) = 0 we have that
µ(B) = 0. We write µ << ν and then we have the following result.
Theorem G (Radon-Nikodym). If µ is absolutely continuous with re-
spect to µ then there exists a (unique) function f ∈ L1(X,B,dν) such that
for any A ∈ B we can write µ(A) = fdν.
(cid:82)A
We usually write f = dµ and call this the Radon-Nikodym derivative of µ
dν
with respect to ν.
We call two measures µ,ν mutually singular if there exists a set B ∈ B
such that µ(A) = 0 and ν(A) = 1. We then write µ ⊥ ν.
In chapter 8 we shall need a passing reference to Lebesgue spaces. A
Lebesgue space is a measure space which is measurably equivalent to the
PRELIMINARIES xiii
the union of unit intervals (with the usual Lebesgue measure) with at most
countably many points (with non-zero measure).
In chapter 11 we shall use the following result.
Theorem H (dominated convergence). Let h ∈ L1(X,B,µ) and let
(f )
n n∈Z+
⊂ L1(X,B,µ), with |f (x)| ≤ h(x), converge (almost everywhere) to f(x);
n
then f dµ → fdµ as n → +∞.
n
(cid:82) (cid:82)
Good general references for this material are [1], [2], [3].
5. Subadditive sequences. A simple result which proves its worth
several times in these notes is the following.
Theorem F (subadditive sequences). Let (a ) be a sequence of
n n∈N
real numbers such that a ≤ a + a , ∀n,m ∈ N (i.e. a subadditive
n+m n m
sequence); then a → a, as n → +∞, where a = inf{a /n: n ≥ 1}
n n
Proof. First note that a ≤ a +a ≤ ... ≤ na , and so a ≤ a For
n 1 n−1 1 1
(cid:15) > 0 we choose N > 0 with a < N(a + (cid:15)). For any n ≥ 1 we can write
N
n = kN +r, where k ≥ 0 and 1 ≤ r ≤ N −1. Then
a ≤ a +a ≤ ka +a ≤ ka + sup a
n kN r N r N r
1≤r≤N
and we see that
a ka +sup a a
limsup n ≤ limsup N 1≤r≤N r = N ≤ a+(cid:15).
n→+∞ n k→+∞ kN N
This shows that an → a, as required.
n
(cid:4)
References
1. P. Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, Princeton N.J., 1950.
2. K.Partasarathy,AnIntroductiontoProbabilityandMeasureTheory,Macmillan,New
Delhi, 1977.
3. H. Roydon, Real Analysis, Macmillan, New York, 1968.
4. G.Simmons,IntroductiontoTopologyandModernAnalysis,McGraw-Hill,NewYork,
1963.
5. W. Sutherland, Introduction to Topological and Metric spaces, Clarendon Press, Ox-
ford, 1975.
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:13)(cid:12)
(cid:14)(cid:16)(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:22)(cid:21)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:14)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:17)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:29) (cid:31) (cid:17)!(cid:26)(cid:10)"$# (cid:21)(cid:24)%’&((cid:21))(cid:14)(cid:16)%(cid:16)*+",(cid:14)(cid:24)(cid:26)
-/.(cid:20)02143658791;:=<402>,?A@B>C521;:EDFDG36.H02?JILK4M47N>C5OIQP(>(cid:16)IQRS0J14>(cid:16)TU:E523F7CKWVX.;:EP(367Y:EDU<4?JIE<(cid:2)>Z?20J36>,5
:E5252IL7N3[:=02>NK(cid:18)0JI\7NIQ.H0J36.]M4IQM45^P’:=<;5‘_baHcedfcgIQ.!7,IQPh<U:E7,08P(>,02?2367)5O<U:E7N>N5Ni
jlkmj (cid:14)^n(cid:10)oUprqtsmuXv
w Ix52>,0\0J14>y5O0J:EzQ>E{|@‘>}T(cid:2)>NzQ3F.~@A3F0J1(cid:127)52IQP(>(cid:20)5O0(cid:128):E.4K;:=?JK(cid:129)>9(cid:130);:EPh<;DF>N5\IQR(cid:131)7NIQ.]0236.]M4IQM45
P’:=<;5(cid:24)(cid:132)m02?(cid:128):E.45OR(cid:133)IE?JP’:=0J3FIQ.45(cid:128)(cid:134)|@(cid:131)143F791(cid:18)@(cid:131)3FD6D(cid:2)T(cid:2)>)M452>NK!02Ih36DFD6M45O0O?(cid:128):=0J>(cid:16)K43F(cid:135)(cid:8)>,?J>N.H0(cid:131)<4?JIE<(cid:8)>,?20J3F>N5Ni
(cid:136)A(cid:137)S(cid:138)S(cid:139)^(cid:140);(cid:141)H(cid:142)(cid:144)(cid:143)(cid:146)(cid:145)(cid:148)(cid:147)(cid:6)(cid:149)(cid:6)(cid:150)(cid:10)(cid:151)(cid:8)(cid:141)H(cid:152)(cid:133)(cid:153)(cid:10)(cid:154)(cid:155)(cid:139)(cid:131)(cid:138)S(cid:140)(cid:2)(cid:156)Y(cid:157) (cid:158)S>,0(cid:159)c K4>N.4IE0J>(0214>’M4.43F0(cid:160)36.H0J>,?O¡E:ED¢@(cid:131)3£0J1⁄3F0J5
>N.4KW<(cid:8)IQ36.H0J5\3FK4>N.H0J3F¥;>NKG{¢c ƒ(cid:13)§|¤='^ir“(cid:16)>,¥;.4>(cid:18):«7,IQ.]0J3F.LM4IQM45 P’:=<‹_›a(cid:4)c d c TLV
_+(cid:132)mfiG(cid:134)flƒ–(cid:176)†fi(cid:127)(cid:132)‡PhIXKx·$(cid:134)Z{;3(cid:181)i¶>=i
(cid:176)†fi 36Rt„(cid:160)”(cid:129)fi«»‰…
_Afi(cid:18)ƒ‚• (cid:190)4¿
(cid:176)†fi’(cid:192)`· 36R … ”(cid:129)fi«”–·Q´
(cid:190)
w 14365(cid:24)3F5+M452M;:EDFDFVˆ7Y:ED6DF>NK˜0J14>‹¯OK4IQMWT;DF36.4z(cid:30)P’:=<;˘4{(cid:6)5236.47,>(3F0(cid:24)K4IQMWT;D6>N5+K43F5O0(cid:128):E.47N>,5(cid:159)IQ.
c‹i¨˙(cid:201).h>,˚XM43F¡=:ED6>,.]0¢R(cid:133)IE?JP(cid:160)M4D[:=0236IQ.(cid:159)@‘IQM4D6K(cid:160)T(cid:2)>836R;@‘>8D6>,0¢c›ƒ(cid:204)¸˝a˛ƒ—ˇ$(cid:209) (cid:210)(cid:30)(cid:211)(cid:155)a)(cid:212)(cid:209)(cid:8)(cid:212)†ƒ(cid:213)·E(cid:214)
:E.4K(cid:30)0J14>N.«K4>,¥;.4>(cid:160)_(cid:22)a4cgd c T]V!_+(cid:132)(cid:181)(cid:215) (cid:190)O(cid:216)Q(cid:217)[(cid:218) (cid:134)(cid:219)ƒ(cid:213)(cid:215) (cid:190)O(cid:216)Q(cid:217)[(cid:190)2(cid:218) {(cid:8)@A14>,?J>(cid:160)„}»–(cid:220)’»(cid:22)·Qi w 14365(cid:201)365
>N˚LM43F¡=:ED6>N.H0)36.«0J14>(cid:160)52>N.452>(cid:160)0J1;:=0(cid:201)0J14>,?2>\3F5(cid:16):(cid:20)14IQP(>,IQP(IE?2<;14365OP›(cid:221)(cid:30)a4§B¤='—d ¸ zQ3F¡H>,.
T]V(cid:30)(cid:221)l(cid:132)(cid:181)(cid:220)^(cid:222)(cid:129)'(cid:219)(cid:134)¢ƒ(cid:213)(cid:215) (cid:190)O(cid:216)Q(cid:217)[(cid:218) @A14367(cid:128)1(cid:30)?J>ND6:=0J>N5(cid:131)0J14>+0(cid:148)@‘I(0O?(cid:128):E.452R(cid:133)IE?JP’:=0236IQ.45Ni8(cid:223)⁄>+521;:EDFD(cid:6)?J>,02MW?J.
0JI 0J143658.4IE0J36IQ.(cid:18)IQR(cid:4)>N˚LM43F¡=:ED6>N.47,>’(cid:132)‡IE?A7NIQ.†(cid:224)ÆM4zH:E7,V4(cid:134)836.(cid:18)7(cid:128)1;:=<40J>,?(cid:201)(cid:226)Wi
(cid:136)A(cid:137)S(cid:138)S(cid:139)^(cid:140);(cid:141)H(cid:142)(cid:228)ª(cid:13)(cid:145)/(cid:229)l(cid:149)(cid:6)(cid:230)](cid:138)W(cid:230)G(cid:152)(cid:133)(cid:149)(cid:4)(cid:153)(cid:10)(cid:231)Ł(cid:149)(cid:6)(cid:153)Ø(cid:230)GŒ(cid:10)(cid:142)(cid:236)º(cid:2)(cid:152)(cid:133)(cid:229)(cid:8)º(cid:2)(cid:141)H(cid:142)(cid:8)(cid:156)(cid:237)(cid:157)(cid:159)(cid:158)S>,0xc ƒ §|¤='f:E.4K(cid:144)¥W(cid:130)b:
.]M4P(cid:160)T(cid:8)>,?’(cid:238)(cid:236)(cid:210)(cid:236)(cid:239)(cid:240)„ ·$(cid:134)Zir(cid:223)r>(cid:18)K4>,¥;.4>!:x14IQP(>,IQP(IE?2<;14365OP˝_æa¢c d c TLV‹_+(cid:132)mfi(cid:2)(cid:134)hƒ
¿
fi (cid:222)(cid:129)(cid:238)(cid:242)(cid:132)‡P(ILKˆ·$(cid:134)(cid:128){U3‡i¶>Ei
fi(cid:160)(cid:222)~(cid:238)(cid:127)3FR¨„(cid:160)”(cid:243)fi(cid:160)(cid:222)~(cid:238)(cid:244)”–·
_8fi(cid:20)ƒ • ¿
fi(cid:160)(cid:222)~(cid:238)x(cid:192)~·(cid:24)36R(cid:6)fi (cid:222)~(cid:238)‹ı–·Q´
(cid:132)‡˙(cid:201).r>,˚XM43F¡=:ED6>,.]0(cid:24)R(cid:133)IE?JP(cid:160)M4D[:=0J3FIQ.˜@‘IQM4D6KˆT(cid:2)>(3FR|@‘>(DF>,0+c ƒ‚¸ :E.4Kr0214>N.⁄K4>,¥;.4>(_(cid:246)a
c d c T]Vr_(cid:159)(cid:132)‡(cid:215) (cid:190)O(cid:216)Q(cid:217)6(cid:218) (cid:134)(cid:159)ƒØ(cid:215) (cid:190)O(cid:216)Q(cid:217)(cid:181)(cid:247)£(cid:218)(cid:128)łGøXœ i w 14365(cid:160)365(cid:160)>N˚LM43F¡=:ED6>N.H0(cid:160)36.‹0J14>}52>N.452>}0J1;:=0(cid:159)0J14>
14IQP(>NIQPhIE?2<;143652P (cid:221)(cid:243)a(cid:25)§|¤='ed ¸ zQ3£¡H>N.~T]V(cid:129)(cid:221)l(cid:132)mß(cid:25)(cid:222)Ł'(cid:219)(cid:134) ƒæ(cid:215) (cid:190)O(cid:216)Q(cid:217)6(cid:252) ?2>ND[:=0J>,5\0J14>(cid:20)0/@BI
02?(cid:128):E.45OR(cid:133)IE?JP’:=0J3FIQ.45Ni˛(cid:134)
(cid:1)(cid:0)(cid:3)(cid:2) (cid:5)(cid:4) (cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:10)(cid:13)(cid:12) (cid:0)
(cid:136)A(cid:137)S(cid:138)S(cid:139)^(cid:140);(cid:141)H(cid:142)r(cid:253)`(cid:145)(cid:148)(cid:231)$Œ(cid:10)(cid:152)(cid:133)(cid:254)](cid:230)(cid:129)(cid:139)(cid:131)(cid:138)S(cid:140)(cid:8)(cid:156)(cid:237)(cid:157)(cid:159)(cid:255)lIE? (cid:204)(cid:176) DF>,0^c (cid:24)ƒ lˇH· (cid:176) ´Y´Y´ ;(cid:214)+K4>N.4IE02>
(cid:13)(cid:14) (cid:0) ¿ ¿ ¿ (cid:16)(cid:15)
0J14>’5O<U:E7,>’IQRA:EDFD(cid:25)5O>N˚XM4>N.47,>N5 0J: W36.4z(cid:18)¡E:EDFM4>N5(ˇH· (cid:176) ´Y´Y´ ;(cid:214)}3F.4K4>Z(cid:130)4>,K‹T]Vr'(cid:131)i}-/.‹IE?
¿ ¿ ¿ (cid:8) (cid:8)(cid:11)(cid:10)(cid:13)(cid:12)
K4>,?C0JI(cid:18)K4>Z¥;.4>’:(cid:20)Ph>,02?J3F7(cid:160)@B>\¥4?J5O0(cid:24):E5252IL7N3[:=02> 0JI}0(cid:148)@‘Iy5O>N˚XM4>N.47,>N5(cid:24)fi‹ƒ‰(cid:132)mfi (cid:134) :E.4K
(cid:12)