Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1949
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 539.1 :537.1 :537:5
Prof. Dr. rer. nato Günter Ecker
Dipl.-Phys. Klaus-Gotthard Fischer
Institut für theoretische Pf!ysik der Ruhr-Universität Bochum
»Dressed Partic1es« - Modelle in der Mikrofeldtheorie
WESTDEUTSCHER VERLAG KÖLN UND OPLADEN 1968
ISBN 978-3-322-98237-7 ISBN 978-3-322-98928-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-98928-4
Verlags-Nr.011949
© 1968 by Westdeutscher Verlag GmbH, Köln und Opladen
GesamthersteIlung : Westdeutscher Verlag·
Vorwort
Die exakte Berechnung der Wahrscheinlichkeits verteilung des Mikrofeldes in einem
Plasma unter Einschluß der Wechselwirkung scheitert an dem bekannten Problem des
Vielkörpersystems. Demzufolge sind vereinfachende Modellvorstellungen entwickelt
worden, die jedoch allgemein der rigorosen Begründung entbehren. Die vorliegende
Arbeit beschäftigt sich mit den »Dressed Particles«-Modellen. Die von BARANGER und
MOZER angegebene Näherung kann innerhalb des linearen Bereiches der Spektralfunktion
gerechtfertigt werden, im nichtlinearen Bereich bleibt seine Verwendung problematisch.
Ein numerischer Vergleich der Ergebnisse eines unkorrelierten »Dressed Ions«-Modells
mit DEBYEscher Abschirmung, wie es von ECKER verwendet wurde, mit den Ergeb
nissen von BARANGER und MOZER, läßt erkennen, daß der Abschirmparameter eines
solclien unkorrelierten Modells dichte-und temperaturabhängig ist und im interessieren
den Bereich um etwa 10% variiert. Die numerischen Rechnungen haben gleichzeitig
Zweifel an der Gültigkeit der MOZER- und BARANGERschen Auswertungen aufkommen
lassen. Lediglich für den Fall eines Einkomponentensystems gelingt die Begründung
des ALYAMOVSKIJschen »Dressed Particles«-Modells im Rahmen der DEBYE-HüCKEL
Näherung.
3
Inhalt
I. Einleitung ........................................................ 7
11. Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III. Allgemeiner Formalismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Grundgleichungen der Mikrofeldverteilung ............... : . . . . . . . . . 8
2. Theorie der Cluster und der molekularen Verteilungsfunktionen in ihrer
Anwendung auf die Feldverteilung ................................ 9
IV. Kritische Analyse der vorliegenden Mikrofeldtheorien .................. 15
1. Unkorreliertes System mit CouLOMBschen Feldbeiträgen . . . . . . . . . . . . .. 16
2. Unkorreliertes System mit DEBYEscher Feldwirkung ................. 17
3. Korreliertes System mit CouLOMBscher Feldwirkung .. . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Korreliertes System mit DEBYEschen Feldbeiträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
V. Zur Begründung der »Dressed Particles«-Modelle ..................... 22
1. Feldbeiträge der »Dressed Ions« nach BARANGER und MOZER . . . . . . . .. 22
2. Dipol-Plasma-Verteilungsfunktion nach ALYAMOVSKIJ ... ..... . . . . .... 27
3. Unkorreliertes »Dressed Ions«-Modell
- Numerischer Vergleich. . . . . . . .... . . . . . . .. . . . . . . . . . ..... . . . . . ... 28
VI. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
VII. Abbildungen...................................................... 31
VIII. Literaturverzeichnis ................................................ 33
5
1. Einleitung
Die Kenntnis des elektrischen Mikrofeldes in einem Plasma ist von Bedeutung für Trans
portvorgänge, Relaxationsphänomene, Streuungen und Strahlungsemissionen. Bei
spielsweise verschiebt die Feldwirkung der Träger des Systems die Energieniveaus eines
Emitters oder spaltet sie auf, was zu Frequenzänderungen der emittierten Strahlung
führt. Die Statistik dieser Änderungen, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stör
felder liefert eine direkte Aussage über das Linienprofil der emittierten Strahlung.
Zur Berechnung der Feldverteilung muß, neben der Feldwirkung der Träger des Sy
stems am Aufpunkt, die innere Wechselwirkungsenergie der Störteilchen untereinander
berücksichtigt werden. Für den Fall, daß sich das betrachtete System im thermody
namischen Gleichgewicht befindet, wurden in einer Reihe von Arbeiten [1-4] Modelle
entwickelt, die im Rahmen bestimmter Näherungen die Wechselwirkungsenergie be
rücksichtigen. Diese Arbeiten schlagen Verfahren zur systematischen Korrektur der
HOLTsMARKsehen Feldverteilung [1] vor. Die verwendeten Methoden zur Erfassung der
inneren Wechselwirkung erscheinen generell nicht befriedigend begründet. Insbeson
dere werden ohne weitere Rechtfertigung »Dressed Particles«-Modelle benutzt. Die
vorliegende Arbeit soll die Brauchbarkeit solcher »Dressed Particles«-Modelle zur Er
fassung der inneren Wechselwirkung bei der Theorie des Mikrofeldes untersuchen.
H. Konzept
Wir betrachten ein quasineutrales System von N Teilchen (Ni einfach geladene Ionen,
Ne Elektronen) in einem Volumen V ohne Einwirkung äußerer Felder. Das System
befinde sich im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur T. Die Feld
verteilung wird untersucht in der Grenze N --+ =, V --+ = bei konstanter Dichte
n = NI V = const. Dichte und Temperatur sind so gewählt, daß die Paarnäherung an
wendbar ist: alle höheren Korrelationen sind vernachlässigbar; die Paar korrelation
selbst ist klein gegen 1.
Im folgenden Abschnitt III stellen wir die allgemeinen Beziehungen für die Mikrofeld
verteilung unter Verwendung von Cluster-Entwicklungen und molekularen Verteilungs
funktionen zusammen. Im Abschnitt IV führen wir dann mit Hilfe dieser allgemeinen
Beziehungen eine kritische Analyse der HOLTSMARK-Näherung (keine innere Wechsel
wirkung) [1] und der verschiedenen »Dressed Particles«-Näherungen in den Theorien
von ECKER [2], ALYAMOVSKIJ [3] und BARANGER und MOZER [4] durch. Im ersten Teil
des Abschnitts V untersuchen wir die Feldwirkung auf ein Aufpunktteilchen und die
Korrelationsverhältnisse im System nach Mitteilung über alle Elektronenpositionen.
Für die auftretenden molekularen Verteilungsfunktio?en machen wir einen Super
positionsansatz. Die mittlere Feldwirkung ist dann die Summe von effektiven, abge
schirmten Feldwirkungen einzelner Ionen (» Dressed Ions«). Die Paar korrelation der
Ionen wird mit der effektiven Wechselwirkung der »Dressed Ions« berechnet. In der
linearen Näherung der Spektralfunktion läßt sich auf diese Weise das zur Berechnung der
niederfrequenten Komponente der Feldverteilung von BARANGER und MOZER verwen-
7
dete Modell rechtfertigen. Im zweiten Teil begründen wir mit diagrammtechnischen
Methoden im Rahmen der DEBYE-HücKEL-Näherung die von ALYAMOVSKIJ benutzte
Paarverteilungsfunktion eines Dipols und eines »Dressed Particle«. Im dritten Teil des
Abschnitts V untersuchen wir die Brauchbarkeit eines Modells von unkorrelierten
»Dressed Ions«. Dabei soll die innere Wechselwirkung in gleichem Umfang wie beim
Modell von korrelierten »Dressed Ions« berücksichtigt werden. Dazu führen wir einen
numerischen Vergleich der Feldverteilung von ECKER mit der niederfrequenten Kompo
nente der Feldverteilung von BARANGER und MozER durch.
IH. Allgemeiner Formalismus
1. Grundgleichungen der Mikrofeldverteilung
Die Mikrofeldverteilung WN(E.) ist die Verteilung der Wahrscheinlichkeit WN(E.)dE.,
E. E. + E.
eine Feldstärke zwischen und dE. am Aufpunkt vorzufinden. ist dabei im be
trachteten System die Summe der Einzelfelder der Ladungsträger
F = L P(r.) (1)
- . -J -J
J. Cf.
und hängt demgemäß von den Lagekoordinaten ~l, ... , ~N aller N Teilchen ab*. Stellt
GN(~l, ... , ~N,P1, .. ·,PN) die normierte Wahrscheinlichkeitsdichte des GIBBsschen
- -
Ensembles im r-Raum dar, so ist die Feldverteilung W N(E.) gegeben durch
J -?
WN(E.) = o(E. E.j(~j» GNd~l ... dpN, (2)
r hCf. -
wobei die Integration über den ganzen r-Raum erstreckt wird.
Der Beschreibung des abgeschlossenen Systems mit fester Teilchenzahl N und kon
stanter Temperatur T ist die kanonische Gesamtheit angepaßt, deren Wahrscheinlich
keitsdichte GN im r-Raum nach GIBBS durch
'I'-H(~l' ...• PN)
GN = const· e "T (3)
gegeben ist, wobei H(~l, ... , PN) die HAMILTON-Funktion des Systems, x die BOLTz
MANN-Konstante ist und 1p durch die Normierung entsprechend
J GN{rt, .. ·,PN) drl ... dpN = 1 (4)
r - - - -
festgelegt ist.
Damit folgt, wenn man die Beziehung (3) unter Berücksichtigung von GI. (4) in GI. (2)
einsetzt
(5)
* Die Summation über griechische Indizes läuft stets über die verschiedenen Komponenten;
die Summation über lateinische Indizes erstreckt sich über die Träger der einzelnen Kompo
nente.
8
Da wir geschwindigkeitsabhängige Kräfte ausschließen, kann die Integration über den
Impulsraum sofort ausgeführt werden und ergibt
WNCE) = J b(f. - L f.t") PN(':.l, ... , ':.N) d':.l ... d':.N, (6)
j, (X
wobei PN als Wahrscheinlichkeitsdichte des Systems im r-Konfigurationsraum gegeben
ist durch
(7)
(/> (':.1, ... , ':.N) ist die potentielle Energie des Systems, die sich als Summe von Paar
wechsel wirkungen darstellt
(/>(':.1, ... , ':.N ) -_ -1 L\.. '"L.. CfJIjXk ß (':.}, '.:.k)' (8)
2 j, k IX, ß
Bei der Berechnung der Feldverteilung GI. (6) unter Berücksichtigung des GIBBsschen
Faktors GI. (7) mit der potentiellen Energie GI. (8) treten ähnliche mathematische
Schwierigkeiten auf wie bei der Behandlung des Konfigurationsintegrals Q Auf Grund
r'
dieser Schwierigkeiten ist eine exakte Auswertung der Beziehung GI. (6) nicht möglich.
Jedoch läßt sich die Feldverteilung GI. (6) mit Hilfe der für die Berechnung von Qr
entwickelten CLUsTER-Methoden [5] und den aus der Kinetik bekannten Methoden der
molekularen Verteilungsfunktionen so umformen, daß eine Auswertung im Rahmen
der Paarnäherung möglich ist.
2. Theorie der Cluster und der molekularen Verteilungsfunktionen
in ihrer Anwendung auf die Feldverteilung
Für die Spektralfunktion W N(~) der Feldverteilung ergibt sich durch FOURIER-Trans
formation der GI. (6)
Führt man im Nachgang zu BARANGER und MOZER [4] die CLUSTER-Funktionen
-i (k·F.) +
e - -J = 1 6j (10)
ein, so ist
N
2: J ... J
WN@ = W~(~); W~@ =
j< ... <m
N ach Einführen der reduzierten spezifischen Verteilungsfunktionen
(12)
vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
wobei der kombinatorische Faktor aus der Tatsache folgt, daß wegen der Symmetrie
von PN bezüglich Teilchenvertauschungen jeder Term der Summe in GI. (11) denselben
9
Beitrag liefert. PM wird nun nach wachsendem Grad der Korrelation [6] entwickelt
1 Mi M. M.
II II II
PM = VM PI(I) [1 +g2(~j,~k)] [1 +g3(~j,~k,~e)] ... , (14)
j j, k j, k, e
wobei die Teilchensätze Mh, h = 1,2, ... keine Teilchen gemeinsam haben. Die
Funktionen gm, m ~ 2 sind Korrelationsfunktionen der Ordnung m. Der Teilchen
satz M ist also in Vh Untersätze mit mh Teilchen (h = 1,2, ... , M) so aufgeteilt, daß
stets die Nebenbedingung gilt
(15)
Die Anzahl der Möglichkeiten, den Satz in Untersätze dieser Art aufzuteilen, ist ge
geben durch
M!
C(M) = ----.-;M;----- (16)
L
vh!(mh!YI!
h~1
wobei der erste Faktor im Nenner die Fehlpermutationen durch Vertauschungen ganzer
Untersätze, der zweite Faktor die Fehlpermutationen durch Vertauschungen von
Teilchen innerhalb desselben Untersatzes berücksichtigt. Wir erhalten damit in der
Näherung
-(,-N------M::N---)!- :!:- :V:-:M:-: -~ nM , (17)
die bei festem M mit wachsendem N immer besser erfüllt ist, unter Benutzung der Ab
kürzung
(18)
für die Spektralfunktion
(19)
Die innere Summe läuft über alle Zerfällungen = Einteilungen des Satzes M in kleinere
Sätze mit mh Teilchen, die die Vielfachheit Vh haben, unter Berücksichtigung der Neben
bedingung GI. (15).
Nun läßt sich in der Grenze N ---+ =, V ---+ = bei konstanter Dichte n = NI V die
Doppelsumme in GI. (19) in der folgenden Form darstellen
[n
W@=limW @=00I I0L0 -1, -,mhh (6:] )Vh· (20)
N mh
N-->oo "'h ~ 1 vI! ~ 0 VI!' mh'
v-->oo
Für endliches N enthält GI. (20) stets eine Anzahl Terme, die in GI. (19) nicht vor
kommen, denn auf Grund der Produktbildung über alle möglichen Teilchensätze m
von N werden nämlich Teilchen im selben Term der Reihe in GI. (20) mehrfach berück
sichtigt. Die Anzahl der auf diese Weise in GI. (20) zuviel angeschriebenen Terme ist
im Vergleich zur Anzahl der sowohl in GI. (19) als auch in GI. (20) auftretenden Terme
10
von der Ordnung 11N [4]. In der Grenze N ---+ 00 ist damit die Umformung der GI. (19)
in GI. (20) gerechtfertigt, und es folgt die Spektralfunktion
(21)
Durch Anwendung der inversen FouRIER-Transformation gelangt man zur Feldver
teilung.
Die Spektralfunktion GI. (21) enthält die Vielteilchenfunktionen hm sämtlicher Ord
nungen. Der Vorteil der Beziehung (21) vor der Beziehung (6), in der nur die kompli
zierte N-Teilchen Verteilungsfunktion P auftritt, besteht darin, daß durch die Potenz
N
reihe im Exponenten von GI. (21) der Ansatz zu einer Näherung gegeben ist. Bricht
man nämlich diese Reihe nach dem Glied s-ter Ordnung ab, so hat man Korrelations
muster, die bis zu s Teilchen enthalten, berücksichtigt. Im folgenden beschränken wir
uns in Übereinstimmung mit der Literatur auf die Näherung s = 2. Da wir zur Be
stimmung der Zweiteilchenfunktion hz® die Paarkorrelationsfunktion gz(&, ':.lc) be
nötigen, geben wir eine Methode zu ihrer Berechnung an. Aus den verschiedenen be
kannten Verfahren [7] wählen wir die Darstellung mit diagrammtechnischen Mitteln.
Die Anwendung der diagrammtechnischen Methoden ist in der Gleichgewichtstheorie
der klassischen Flüssigkeiten [8] fundiert worden. Unter anderem versucht man dort,
Gleichungen für die radiale Verteilungsfunktion g(&, ':.lc) zu gewinnen, die im betrach
teten homogenen System auf einfache Weise mit der in GI. (14) definierten Paarkorre
lationsfunktion g2 (&, ':.lc) zusammenhängt
(22)
Zur Berechnung der radialen Verteilungsfunktiong(':..1, ':.lc) kann man das Paarpotential
der Durchschnittskraft W(&, ':.lc) verwenden, das als Potential der bei festgehaltenen
Teilchen} und k über alle Positionen der Restteilchen des Systems gemittelten Kraft.!!
auf eines der Teilchen} oder k definiert ist:
Danach gilt der Zusammenhang
W(':..1, rlc) }
g(':..1,':.lc)=exp { - "T- . (24)
Nach MEERoN [9] erhält man für das Paarpotential der Durchschnittskraft W(&, ':.lc)
und für die radiale Verteilungsfunktion g(':..1, ':.lc) folgende Reihenentwicklungen nach
der Dichte
(25)
und
{;{iii }
g(&, ':.lc) = e- "'PTjk 1 + ~ --=r J P(':." ':.lclm) dem) . (26)
m m.
11
Dabei ist fi = (ni, ne) der Satz der Teilchendichten; fii sind Teilchensätze von m Teilchen
nämlich mi Ionen und me Elektronen mit mi + me = m; firn = nii • n::'e; fii! = mi! me!;
tritt im Integranden das Teilchensatzsymbol fii auf, so sind alle Koordinaten der in fii
enthaltenen Teilchen zu berücksichtigen; d(fii) bedeutet die Integration über die Ko
ordinaten der Teilchen des Satzes fii; das Summenzeichen mit dem Symbol fii bedeutet
die Summation über alle m und für jedes m die Summe über alle Zerfällungen in Ionen
und Elektronenanteile. Cf!1k ist die Paarwechselwirkung der Teilchen j und k. Die im
Integranden auftretenden Funktionen Q und P sind Summen von bestimmten Pro
dukten der J-Funktionen
'Pjk
hk
= e---;;y - 1. (27)
Diese Produkte veranschaulicht man durch Diagramme, indem man jedem auftretenden
Teilchen einen kleinen Kreis, jederJ-Funktion den entsprechenden Verbindungs strich
zwischen den bei den auftretenden Teilchen zuordnet (f-Bindung). Ein Weg sei dann eine
stetige Aufeinanderfolge von Bindungen und Teilchen. Zwei Teilchen heißen direkt ver
bunden, wenn der Weg zwischen ihnen aus einer Bindung besteht. Zwei Wege heißen
unabhängig, wenn sie kein Teilchen gemeinsam haben.
Die Produkte aus P (':.1, ':.k! fii) undQ (':.}, ':.k! fii) sind charakterisiert durch die Feststellung,
daß in
P(':.}, ':.k!fii) a) jedes Teilchen von fii durch unabhängige Wege mit beiden Teilchenj
und k verbunden ist;
b) das Teilchenj nicht direkt mit dem Teilchen k verbunden ist;
Q(':.f, ':.k!fii) a) und b) erfüllt sind und
+
c) die Teilchen des Satzes (fii j, k) auch nach Herausnahme von j und k
untereinander verbunden sind.
In der Anwendung der Dichteentwicklung GI. (25) auf ein System mit CouLOMBseher
Wechselwirkung zeigt sich, daß Integrale über J-Funktionen GI. (27) in der Grenze
großer Teilchenabstände divergieren. MAYER [10] fand eine Methode zur Vermeidung
dieser Divergenz.
Er führte in den charakteristischen Reihenentwicklungen eine Teilsummation aus über
Diagramme mit Kettenbindungen zwischen den Teilchen. Dadurch ersetzte er COULOMB
Bindungen der Diagramme durch effektive Bindungen mit einer abgeschirmten Wechsel
wirkung und behob damit die langreichweitige Divergenz.
Formal erzwang MAYER die Konvergenz der auftretenden Integrale durch Einführung
eines Faktors exp(-ar) zur CouLOMBsehen Wechselwirkung. Dann entwickelte er die
J",-Funktionen
'Pjke" ",r
!Jk(a) = e---;:;Y--1 (28)
in eine Potenzreihe. Bei der Darstellung durch Diagramme entspricht das einer Reprä
sentation eines Diagramms durch eine unendliche Reihe von Diagrammen, die an Stelle
der ursprünglichen J",-Bindung Bindungen in allen Vielfachheiten haben, deren funk
tionale Form dem ersten Term der Entwicklung von GI. (28) entspricht (linearisierte
J",
-Bindung), also:
12
