Domande e riposte di teoria di fisica matematica

52 Pages·2019·0.535 MB·Italian

by  Alessio Miscioscia, Andrea Scanu, Alessandro Manta

SCHEDE DI VALUTAZIONE IFM
Massiccio Assai Eclisso
[email protected]
Ananas Maldestro
[email protected]
Ananas Crude
[email protected]
15 giugno 2019
Indice
1 Quesiti di teoria 2
1.1 Soluzioni scheda di valutazione prima settimana . . . . . . . . . . . 2
1.2 Soluzioni scheda di valutazione seconda settimana . . . . . . . . . . 8
1.3 Soluzione scheda di valutazione terza settimana . . . . . . . . . . . 10
1.4 Soluzioni scheda di valutazione quarta settimana . . . . . . . . . . . 12
1.5 Soluzioni scheda di valutazione quinta settimana . . . . . . . . . . . 14
1.6 Soluzioni scheda di valutazione sesta settimana . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Soluzioni scheda di valutazione settima settimana . . . . . . . . . . 21
1.8 Soluzioni scheda di valutazione ottava settimana . . . . . . . . . . . 24
1.9 Soluzioni scheda di valutazione nona settimana . . . . . . . . . . . . 26
1.10 Soluzioni scheda di valutazione decima settimana . . . . . . . . . . 29
1.11 Soluzioni scheda di valutazione undicesima settimana . . . . . . . . 33
1.12 Soluzioni scheda di valutazione dodicesima settimana . . . . . . . . 37
1.13 Soluzioni scheda di valutazione tredicesima settimana . . . . . . . . 40
1.14 Soluzione scheda di valutazione quattordicesima settima . . . . . . 44
1.15 Soluzioni scheda di valutazione quindicesima settimana . . . . . . . 49
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1 Quesiti di teoria
1.1 Soluzioni scheda di valutazione prima settimana
1. Quale differenza vi `e fra soluzione ed orbita di un’equazione diffe-
renziale?
La soluzione di un’equazione differenziale `e una curva ϕ : J → Ω con J
intervallo di R. Invece l’orbita `e una curva che vive nello spazio delle fasi, in
particolare `e l’immagine di ϕ in Ω.
2. In cosa differiscono due soluzioni che hanno la stessa orbita?
Due soluzioni della stessa equazione differenziale che hanno la stessa orbita
devono coincidere localmente in ogni punto, quindi al massimo una delle
due soluzioni puo` avere dominio piu` esteso della seconda soluzione (se sono
entrambe soluzioni massimali allora devono coincidere).
3. A quante orbite appartiene un punto dello spazio delle fasi?
Per ogni punto nello spazio delle fasi passa una e una sola orbita.
4. Cosa si pu`o dire di due orbite che hanno un punto in comune?
Se due orbite hanno un punto in comune allora le orbite coincidono (a meno
di restrizioni di dominio, ovvero le due orbite coincidono dove sono definite
entrambi).
5. Cosa sono e come si trovano gli equilibri di un’equazione differen-
ziale?
Un punto z¯`e un equilibrio di un’equazione differenziale se`e soluzione costan-
te della stessa. Data un’equazione differenziale ordinaria del tipo z˙ = X(z)
allora gli equilibri sono gli zeri del campo X(z).
6. Assicurarsi di saper tracciare il ritratto in fase di un’equazione
differenziale in dimensione d = 1.
Sara` semplicemente l’immagine del campo (in questo caso scalare X(z)).
7. Quale `e la definizione di equilibrio attrattivo? Assincerarsi di aver
compreso i criteri (= condizioni sufficienti) di attrattivit`a e repul-
sivit`a in dimensione d = 1.
Un punto z¯`e un’equilibrio attrattivo di un’equazione differenziale se ∃V ⊂ R
intorno del punto in cui ogni soluzione ha limite in z¯a +∞ (ovvero ∀ϕ solu-
zione lim ϕ = z¯). Un equilibrio in dimensione uno `e attrattivo se la derivata
t→∞
del campo nel punto `e minore di zero, repulsivo se la derivata `e maggiore di
zero.
2
8. Cosa `e la linearizzazione di un’equazione differenziale ad un equi-
librio?
`
E l’approssimazione del campo X ad un campo lineare con uno sviluppo al
prim’ordine attorno all’equilibrio.
9. E` garantito che, localmente, vicino ad un equilibrio, il ritratto in
fase di un’equazione sia ‘simile’ a quello della sua linearizzazione?
Fare esempi e controesempi in dimensione d = 1.
Nulla `e garantito, si prenda ad esempio l’equazione z˙ = z2 (z ∈ R) allora un
equilibrio `e z = 0, linerizzata l’equazione diventa del tipo z˙ = 0 che ha per
soluzione le rette z = c, c ∈ R, che non `e per nulla informativo, tuttavia ci
sono casi piu` interessati che per il teorema di Grobman-Hartman sono i casi
in cui gli autovalori della matrice Jacobiana nell’equilibrio hanno tutti parte
reale non nulla.
10. Cosa significa che una equazione differenziale del secondo ordine (in
forma normale) `e equivalente ad un sistema di equazioni differen-
ziali del primo ordine? Quali sono i vantaggi di questa procedura?
Un’equazione differenziale del secondo ordine puo` essere vista come un’e-
quazione differenziale di ordine uno, ma di dimensione superiore (1 ordine
superiore) ponendo z˙ = p da cui il sistema al prim’ordine:
(z˙,p˙) = (p,X)
Dal punto di vista teorico cio` `e vantaggioso perch´e posso studiare equazioni
differenziali del solo primo ordine e di cui sono noti teoremi vari di esistenza,
unicita`, ecc.
11. Quale `e la relazione fra lo “spazio delle configurazioni” e lo “spazio
delle fasi” di un sistema del secondo ordine?
Per un’equazione differenziale del secondo ordine lo spazio delle fasi `e lo spa-
zio (x,x˙), cio`e Ω×Rd mentre lo spazio delle configurazioni (spazio delle (x))
`e Ω. Quindi lo spazio delle configurazioni `e un sottospazio dello spazio delle
fasi in cui la velocita` non `e messa in evidenza, in questo spazio vivono le tra-
iettorie dell’equazione del secondo ordine (ma non dell’equivalente equazione
del primo rodine ;)).
12. Qual `e la differenza fra orbita (nello spazio delle fasi) e traietto-
ria (nello spazio delle configurazioni) per un’equazione del secondo
ordine? Per quale di esse vale un risultato di unicit`a?
L’orbita `e la curva che vive nello spazio delle fasi, la traiettoria vive nel-
lo spazio delle configurazioni e non tiene quindi conto delle velocita`, `e in
3
particolare l’immagine delle soluzioni, mentre le orbite sono le immagini del-
le soluzioni del problema al prim’ordine equivalente; le orbite non possono
intersecarsi (sono uniche) mentre le traiettorie potrebbero intersecarsi a pat-
to di avere velocita` diverse nel punto di intersezione (se il problema `e del
secondo ordine).
13. Qual `e la differenza fra equilibrio e configurazione di equilibrio
per un’equazione del secondo ordine? Come si caratterizzano gli
equilibri di tali equazioni?
L’equilibrio `e la coppia (x¯,0) t.c. X(x¯,0) = 0, la configurazione di equilibrio
`e semplicemente x¯ t.c. X(x¯,0) = 0.
14. Qual `e la linearizzazione di un’equazione differenziale ad un equi-
librio? Come la si determina, nel caso di un’equazione del secondo
ordine?
La linearizzazione `e gi`a stata definita in precedenza; si determina nel caso
di equazioni differenziali del secondo ordine sviluppando al prim’ordine con
Taylor il campo o passando attraverso il sistema del primo ordine associato.
15. Spiegare l’origine delle equazioni dell’oscillatore armonico (x¨ =
−ω2x), del repulsore armonico (x¨ = ω2x) e della particella libera
(x¨ = 0) con un processo di linearizzazione
Linearizzando un campo X(z) in un intorno di una configurazione di equili-
brio z ∈ Ω si ha un campo del tipo
0
∂X
z¨= X(z )+ (z −z )+...
0 0
∂z
Dove pero` essendo z un equilibrio si ha X(z ) = 0, inoltre si pone
0 0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)∂X(cid:12)
(cid:12) (cid:12) = ω2
(cid:12) ∂z (cid:12)
e quindi a seconda del segno della derivata del campo si avra`
z¨= ±ω2(z −z )+...
0
Se poi ω = 0 si avr`a l’equazione della particella libera.
16. Determinare il flusso di oscillatore e repulsore armonici e della par-
ticella libera e, a partire da esso, tracciare i relativi ritratti in fase.
Risolvendo l’equazione lineare del secondo ordine, con condizioni iniziali
z(0) = z , z˙(0) = z˙ si trova:
0 0
4
• Oscillatore:
z˙
0
Φ (z ,z˙ ,t) = z cos(ωt)+ sin(ωt)
X 0 0 0
ω
Ritratto in fase:
• Repulsore:
z˙
0
Φ (z ,z˙ ,t) = z cosh(ωt)+ sinh(ωt)
X 0 0 0
ω
Ritratto in fase:
• Particella libera
Φ (z ,z˙ ,t) = z +z˙ t
X 0 0 0 0
Ritratto in fase:
5
17. Cos’`e un insieme invariante di un’equazione differenziale?
Un sottoisieme Υ ⊂ Ω `e detto invariante per il flusso di X, campo vettoriale
su Ω se ogni soluzione con dato iniziale in Υ appartiene ad Υ per ogni t, cio`e:
x ∈ Υ =⇒ x(t,x ) ∈ Υ ∀t ∈ R
0 0
18. Quali sono gli insiemi invarianti minimali di un’equazione differen-
ziale?
Le orbite delle soluzioni.
19. Come `e definita l’esponenziale di una matrice?
In serie di potenze, data una matrice A ∈ M (C):
n
(cid:88)∞ Ak
exp(A) =
k!
k=1
20. Quale `e la soluzione dell’equazione lineare z˙ = Az, z ∈ Rd , con
dato iniziale z ? Quale `e il suo intervallo di esistenza massimale?
0
(Senza dimostrazioni).
`
E
z(t) = z exp(At)
0
e il suo intervallo di esistenza massimale, essendo autonoma, `e tutto R.
21. Cosa significa che una matrice reale A `e diagonalizzabile su R?
E su C? Si conosce una condizione necessaria e sufficiente per la
diagonalizzabilit`a in termini di autovettori?
6
Una matrice A ∈ M (K) (K campo) `e diagonalizzabile su K se esiste una
d
matrice invertibile Q ∈ GL (K) t.c.:
d
QAQ−1 = D D = diag(λ ,··· ,λ ) λ ∈ K
1 d j
Una condizione necessaria e sufficiente `e che abbia d autovettori linearmente
indipendenti.
22. Come si sfrutta la diagonalizzabilit`a di A per integrare z˙ = Az?
Come si utilizza l’identit`a P exp(A)P−1 = exp(PAP−1)?
La soluzione dell’equazione differenziale `e nota (z(t) = exp(At)z ), ma puo`
0
essere complesso calcolare l’esponenziale di matrice; un modo semplice di
svolgere questo calcolo`e di calcolare l’esponenziale di una matrice diagonale,
infatti `e facile verificare che
exp(diag(λ ,λ ,··· ,λ )) = diag(eλ1,eλ2,··· ,eλn)
1 2 n
ma allora se la matrice `e diagonalizzabile si puo` con un cambio di base cal-
colare l’esponenziale di matrice della matrice diagonale e sfruttare l’identit`a
P exp(A)P−1 = exp(PAP−1) per riottenere l’esponenziale di matrice nella
base originaria.
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1.2 Soluzioni scheda di valutazione seconda settimana
• Sia A `e una matrice d×d diagonalizzabile. Come si costruisce una
decomposizione di Rd in somma diretta di autospazi invarianti uno
e due dimensionali, e quale `e la restrizione del flusso di z˙ = Az a
ciascuno di essi?
Abbiamo d autovettori (in generale complessi) linearmente indipendenti. Es-
sendo reali, c’`e un certo numero k ∈ N, 2k < d di coppie di autovalori
complessi coniugati:
α ±iβ ,...,α ±iβ
1 1 k k
E d un numero complementare d−2k di autovalori reali:
α ,...,α
2k+1 d
Ciascun autovalore ripetuto tante volte quante la sua molteplicit`a algebrica.
Sottintenderemo che gli autovalori del primo gruppo non siano reali, cio`e
β (cid:54)= 0, ∀j. Gli autovettori relativi agli autovalori reali possono essere scelti
j
reali, mentre quelli relativi agli autovalori complessi dovranno necessaria-
mente essere complessi. Pero` visto che A `e reale, se u = v+iw `e autovettore
di un autovalore λ, allora il coniugato u¯ `e autovettore del suo coniugato
¯
λ. Quindi per ciascuna coppia di autovalori complessi coniugati, possiamo
prendere autovettori complessi coniugati che formino una base:
{v +iw ,v −iw ,...,v +iw ,v −iw ,u ,...,u }
1 1 1 1 k k k k 2k+1 d
di Cd costituita da k coppie di autovettori complessi coniugati relativi agli
autovaloricomplessi, conv ,w ∈ Rd, ∀j, edad−2k autovettorirealirelativi
j j
agli autovalori reali.
Dall’indipendenza lineare su C dei vettori segue che i d vettori reali:
v ,w ,...,v ,w ,u ,...,u
1 1 k k 2k+1 d
Sono R-linearmente indipendente quindi formano una base per Rd. Abbiamo
quindi una decomposizione in somma diretta:
(cid:104)v ,w (cid:105)⊕···(cid:104)v ,w (cid:105)⊕(cid:104)u (cid:105)⊕···⊕(cid:104)u (cid:105)
1 1 k k 2k+1 d
nella quale ciascun sottospazio `e invariante sotto A. Infatti per i sottospazi
unidimensionali avremo Au = α u mentre per quelli bidimensionali, dall’u-
j j j
guaglianzaA(v+iw) = (α+iβ)(v+iw),uguagliandopartirealieimmaginarie
avremo:
Av = αv −βw, Aw = βv +αw
8
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 β α β
• Quanto vale l’esponenziale di ? E quella di ? Co-
−β 0 −β α
me si calcolano? Perch´e il risultato della prima si pu`o utilizzare
nel calcolo della seconda?
Si ha che
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 β cosβ sinβ
exp =
−β 0 −sinβ cosβ
Si calcola osservando lo sviluppo in serie di potenze, utilizzando il fatto che
la matrice:
(cid:18) (cid:19)
0 1
J =
−1 0
`e tale che J2 = −I, con I matrice identita`, e J3 = −J.
La si usa per calcolare il secondo esponenziale di matrice in quanto, se due
matrici A,B ∈ M (C) commutano, (AB = BA), vale:
n
exp(A+B) = exp(A)exp(B)
E visto che che le matrici
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 β α 0
,
−β 0 0 α
Commutano, abbiamo gratis:
(cid:18) (cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19) (cid:18) (cid:19)
α β α 0 0 β cosβ sinβ
exp = exp + = eα
−β α 0 α −β 0 −sinβ cosβ
• Quali sono i possibili ritratti in fase di z˙ = Az, z ∈ R2 , con A dia-
gonalizzabile?
I possibili ritratti in fase variano al variare degli autovalori λ ,λ . Se λ ,λ ∈
1 2 1 2
R\{0} allora avremo (a meno di riscalamento nelle direzioni degli autovet-
tori), se sono entrambi positivi avremo un nodo instabile nell’origine, con
parabole, se sono entrambi negativi un nodo stabile, sempre con parabole
con vertice sull’origine, se sono discordi avremo una sella, con iperboli i cui
asintoti sono gli autovettori.
Se abbiamo autovalori complessi (coniugati) con parte reale non nulla avre-
mo spirali con centro sull’origine, e se la parte reale `e nulla avremo ellissi.
Se abbiamo un autovalore nullo avremo rette parallele all’autovettore dell’al-
tro autovalore e punti sul suo autovettore.
• L’operatore di prodotto vettore in R3 per un assegnato vettore `e un
operatore lineare antisimmetrico? Spiegare l’esistenza di un cor-
rispondente isomorfismo fra R3 e lo spazio vettoriale delle matrici
9
antisimmetriche 3×3.
Assegnatounvettorea = (a ,a ,a )t ∈ R3, l’operatorediprodottovettoriale
1 2 3
con un un vettore b = (b ,b ,b )t ∈ R3 `e definita come:
1 2 3
   
a b −b a 0 −a a
2 3 2 3 3 2
a×b =  a3b1 −b3a1  =  a3 0 −a1b
a b −b a −a a 0
1 2 1 2 2 1
Si nota che la matrice `e antisimmetrica.
Inoltre la matrice rappresenta tutte e sole le matrici antisimmetriche, che
quindi per costruzione formano uno spazio vettoriale isomorfo ad R3.
1.3 Soluzione scheda di valutazione terza settimana
• Quale `e la struttura (a blocchi) della matrice del flusso dell’equa-
zione z˙ = Ax,z ∈ Rn, con matrice A diagonalizzabile? La matrice A `e
unamatricen×n, siscrivelamatriceP delcambiodibasedallabasecanoni-
ca alla base degli autovalori (`e noto che essi siano linearmente indipendenti)
di A. Allora la matrice
A(cid:48) = P−1AP
ha una forma a blocchi, dove il blocco corrispondente al j-esimo autovalore
λ = α +iβ `e
j j j
B = (cid:0) αj βj (cid:1)
j −βj αj
• Cosa sono i sottospazi stabile, instabile e centrale di un sistema
lineare? Cosa si pu`o dire della dinamica su di essi?
Data un’equzione differenziale z˙ = X(z) `e possibile, nell’intorno di un equi-
librio z¯ valutarne la linerizzazione
z˙ = J (z¯)z
X
Di questa equzione si conoscono le soluzioni ed in particolare si puo` decom-
porre lo spazio delle fasi in 3 sottospazi: il sottospazio stabile dato dalla
somma dagli autospazi corrispondenti agli autovalori con parte reale negati-
va, il sottospazio instabile dato dalla somma dagli autospazi corrispondenti
agli autovalori con parte reale positiva ed infine il sottospazio centrale da-
to dalla somma degli autospazi corrispondenti ad autovalori con parte reale
nulla. Il primo`e caratterizzato da moti che tendono asintoticamente all’equi-
librio, il secondo da moti che tendono all’infinito e il terzo`e composto da sole
soluzioni limitate. Caratteristica fondamentale di tali sottospazi `e che ogni
soluzioni con dato iniziale su uno di questi sottospazi resta nel sottospazio
ad ogni tempo.
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