Table Of ContentD
istributions
E S
spaces de obolev
Applications
Marie-Thérèse
Lacroix-Sonrier
Professeur à l'Université de Franche-Comté
Agrégée de Mathématiques
lliD s e
Dans la même collection Mathématiques pour le 2e cycle
► Intégration et théorie de la mesure - Une approche géométrique, Paul Krée,
240 pages.
► Topologie, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 192 pages.
► Théorie de Galois, Ivan Gozard, 224 pages.
► Calcul différentiel, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 224 pages.
► Éléments d'analyse convexe et variationnelle, Dominique Azé, 240 pages.
► Quelques aspects des mathématiques actuelles, ouvrage collectif, 256 pages.
ISBN 2-7298-6823-2
© ellipses / édition marketing S. A., 1998
32 rue Bargue, Paris (15e).
La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’Article 41, d’une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». (Alinéa 1er de
l'Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l'éditeur ou du Centre français d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.
À
Philippe
Jean-Marc et Anne-Juliette
pour qui les espaces de Sobolev
et les problèmes de traces
n’ont plus de mystère
Présentation de la Collection
Mathématiques pour le deuxième cycle
Cette collection se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et
de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes
actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles
aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l’agrégation, ainsi qu’aux élèves
des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont
présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement
la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des
démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices
corrigés.
Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l’enseignement des
mathématiques au niveau supérieur.
Nous avons apporté le plus grand soin à la présentation et à la mise en page des
textes de ces livres; le choix du logiciel TpjK de Donald E. Knuth s’est imposé pour
ce travail.
La théorie des distributions a été créée par le mathématicien français Laurent
Schwartz, lauréat de la médaille Fields en 1950. Le mathématicien russe Sergeï
Sobolev a indépendamment introduit, pour l’étude des équations aux dérivées par
tielles, les espaces de distributions qui portent aujoujd’hui son nom. La théorie des
distributions a permis de donner des bases rigoureuses à des méthodes employées
auparavant, souvent sans justification, par les physiciens et les ingénieurs. Cette
théorie est vite devenue une branche importante de l’Analyse mathématique. Les
espaces de distributions, et en particulier les espaces de Sobolev, sont actuellement
indispensables pour la résolution de nombreux problèmes portant sur les équations
aux dérivées partielles, notamment celles rencontrées en Mécanique et en Physique.
Dans le présent ouvrage, Madame Marie-Thérèse Lacroix-Sonrier présente les
bases de la théorie et surtout développe de nombreux exemples d’applications. Ce
livre rendra sûrement de grands services tant aux étudiants qu’aux enseignants de
mathématiques. Il sera également précieux aux autres scientifiques qui souhaitent
utiliser la théorie des distributions.
Charles-Michel Marie Philippe Pilibossian
Avant-propos
Les enseignements de 2 e cycle de Mathématiques doivent permettre aux étudiants
d’étendre leurs connaissances théoriques et de développer leur rigueur de raisonnement,
et aussi les conduire à une utilisation concrète de leurs acquis.
Le présent volume ne peut être abordé que si l’on a assimilé les notions d’analyse
concernant la compacité, les grands théorèmes (de Hahn-Banach, Banach-Steinhaus,...),
ainsi que la dualité des espaces de Banach. On utilise également des espaces vectoriels
topologiques non normés, et il est utile d’avoir des notions sur la topologie de dualité.
Il est également indispensable d’avoir des connaissances en théorie de la mesure; en
particulier on fait souvent appel au théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Certaines propriétés sont à revoir en cours de lecture; il en est ainsi de la convolution et
de la transformation de Fourier.
L’introduction des distributions permet d’obtenir un espace vectoriel dont tous les éléments
sont indéfiniment dérivables en un sens qui généralise les dérivations partielles des
fonctions numériques de classe C1 sur un ouvert de R", qui contient de nombreux espaces
de fonctions. La topologie de l’espace des distributions étant délicate à mettre en oeuvre,
on se contente d’introduire la convergence des suites, convergence pour laquelle la dérivée
de la limite d’une suite est la limite de la suite des dérivées.
La résolution numérique de nombreux problèmes issus de la physique (équations de la
chaleur, de l’élasticité, des ondes, de l’électrostatique, ...) peut conduire à la recherche
de “solutions approchées”; la méthode de Galerkin débouche directement sur celle des
éléments finis. Par ailleurs, tous les problèmes posés nécessitent une interprétation des
conditions au bord du domaine sur lequel on travaille, ainsi que des conditions initiales
dans le cas de problèmes dépendant du temps. L’utilisation des espaces de Sobolev ainsi
que des théorèmes de trace peuvent apporter des réponses à ces questions.
Pour aborder les théorèmes d’existence de solutions, on a été amené à introduire de
nouveaux théorèmes (Brouwer, Gronwall, ...) et de nouvelles propriétés (coercivité,
monotonie,...) dont l’utilisation est bien détaillée. On complète certains résultats par des
propriétés de régularité des solutions trouvées.
Certains théorèmes utilisés sont cités avec les références précises permettant d’en retrouver
aisément la démonstration. D’autres, plus directement liés à l’ouvrage, sont présentés
avec une démonstration détaillée. Chaque chapitre est illustré par des exercices, parfois
nombreux. Il est conseillé au lecteur d’essayer de les résoudre avant d’en regarder la
solution (donnée en fin d’ouvrage). La résolution de ces exercices nécessite toutefois une
bonne maîtrise du cours et un effort de réflexion.
Je tiens particulièrement à remercier les différentes personnes qui ont eu le mérite et
la gentillesse de m’initier à l’usage de TgK, Mesdames C. Pagani et C. Vuillemenot,
Messieurs B. Oriat, J. D. Tissot et M. Weil, ainsi que mon fils J. M. Lacroix pour son
soutien en informatique. Sans eux, ce livre n’aurait pas pu être réalisé; qu’ils trouvent ici
l’expression de ma sincère reconnaissance.
Marie-Thérèse Lacroix-Sonrier
Table des matières
Chapitre premier. LES DISTRIBUTIONS 1
1 Support d’une fonction, suites régularisantes..................................................... 1
2 Espace vectoriel T>k(Q) 3
3 Espace des fonctions “test” T>(ü)...................................................................... 4
4 Densité de V(Çï) dans l’espace de Lebesgue Lp(fl)......................................... 5
5 Espace des distributions V{i2), exemples de distributions................................. 6
6 Support des distributions, distributions de support compact 10
7 Limite des suites, des séries dans V (fi)............................................................ 14
8 Dérivation des distributions................................................................................. 17
9 Pseudo-produit ou produit multiplicatif............................................................... 19
10 Théorèmes de structure 21
11 Énoncés d’exercices................................................................................................23
Chapitre II. CONVOLUTION. FOURIER. APPLICATIONS................................... 28
1 Produit tensoriel des distributions...................................................................... 28
2 Produit de convolution des distributions 30
3 Algèbre et équations de convolution.................................................................. 35
4 Transformation de Fourier.................................................................................... 39
5 Solutions élémentaires du Laplacien.......................................................................46
6 Énoncés d’exercices 48
Chapitre III. ESPACES DE SOBOLEV...................................................................... 53
1 Rappel sur les espaces de Lebesgue 53
2 Espaces de Sobolev d’ordre 1 54
3 Les espaces de Sobolev d’ordre m ...................................................................... 65
4 Traces et formule de Green 67
5 Énoncés d’exercices 75
