Distributionen und ihre Anwendung in der Physik

145 Pages·1974·3.21 MB·German

by  Prof. Dr. math. Florin Constantinescu (auth.)

Teubner Studienbücher
Mathematik
Clegg: Variationsrechnung
138 Seiten. DM 12,80
Collatz: Differentialgleichungen
Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendun
gen. 5. Aufl. 226 Seiten. DM 18,80 (LAMM)
CollatziKrabs: Approximationstheorie
Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen. 208 Seiten.
DM 26,80
Constantinescu: Distributionen und Ihre Anwendung in der Physik
144 Seiten. DM 16,80
Grigorieff: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
Band 1: Einschrittverfahren. 202 Seiten. DM 12,80
Band 2: Mehrschrittverfahren
Hainzl: Mathematik für Naturwissenschaftler
311 Seiten. DM 29,- (LAMM)
Hilbert: Grundlagen der Geometrie
11. Aufl. VII, 271 Seiten. DM 16,80
Jaeger/Wenke: Lineare Wirtschaftsalgebra
Eine Einführung
Band 1: XVI, 174 Seiten. DM 16,- (LAMM)
Band 2: IV, 160 Seiten. DM 16,- (LAMM)
Kochendörffer: Determinanten und Matrizen
IV, 148 Seiten. DM 12,80 (Vertrieb nur in der BRD und West-Berlin)
Stiefel: Einführung in die numerische Mathematik
Eine Darstellung unter Betonung des algorithmischen Standpunktes.
4. Aufl. 257 Seiten. DM 18,80 (LAMM)
Stummel/Hainer: Praktische Mathematik
299 Seiten. DM 26,80
Hotz: Inf"rr ~ 'h,lagen
Struktur ,r' ; "'~'1. DM 12,80 (LAMM)
Kandzia/l '9
234 Seite' ."
Wirth: Sy!
Eine Einfi
Distributionen und ihre
Anwendung in der Physik
Von Dr. math. F. Constantinescu
Professor an der Universität Frankfurt/M.
1974. Mit 9 Figuren
EB
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Prof. Dr. math. Florin Constantinescu
Geboren 1938 in C1uj (Klausenburg), Siebenbürgen,
Rumänien. Von 1954 bis 1964 Studium der Mathematik,
Physik und des Maschinenbaus an der Universität C1uj,
Rumänien. 1964 Promotion. Von 1960 bis 1968 wissen
schaftlicher Assistent bzw. Dozent an der Universität C1uj.
Von 1968 bis 1970 A. v. Humbo1dt-Dozentenstipendium
am Institut für Theoretische Physik der Universität München.
1971 Habilitation auf dem Gebiet der Mathematischen
Physik an der Universität Mainz. Seit 1971 Professor an
der Universität Frankfurt am Main.
ISBN 978-3-519-02042-4 ISBN 978-3-322-93105-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93105-4
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Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den
Verlag gemäß § S4 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe
mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1974
Urspriinglich erschienen beiB. G. Teubner, Stuttgart 1974
Satz: Wm. Clowes & Sons Ltd., Colchester, Essex, England
Umschlaggestaltung: W. Koch, Stuttgart
Vorwort
Das vorliegende Buch stellt eine Einführung in die Theorie der Distributionen (verallge
meinerte Funktionen) und ihrer Anwendungen in der Physik dar.
Der zum Verständnis der Theorie notwendige topologische Apparat wurde auf ein
Minimum reduziert. Lediglich das erste Kapitel gibt eine Einführung in die Theorie der
abzählbar normierten Räume. Es wird angenommen, daß der Leser vertraut mit den
elementaren Begriffen der Funktionalanalysis (Hilbert-und Banachraum) ist.
Das Buch enthält die bereits klassisch gewordenen Kapitel der Theorie der Distributionen,
wie: Lokale Eigenschaften von Distributionen, Distributionen mit kompaktem Träger,
temperierte Distributionen, Regularisierung divergenter Integrale, Fourier-und Fourier
Laplace-Transformation, den Satz von Paley-Wiener-Schwartz, Distributionen als Rand
werte analytischer Funktionen usw. In Kapitel 11 werden Distributionen untersucht,
die auf Flächen konzentriert sind; insbesondere auf dem Lichtkegel konzentrierte Distri
butionen. In den Kapiteln 8, 9, 10 werden verschiedene Anwendungen der Theorie der
Distributionen in der relativistischen Physik (Feldtheorie) entwickelt. Kapitel 12
schließlich enthält Probleme der Theorie der Distributionen im Hilbertraum und ihre
Anwendungen in der Quantenphysik (Vertauschungsrelationen, Fock-Raum, Quanten
feldtheorie usw.).
Das Buch wendet sich sowohl an Mathematiker, die auch die Anwendungen der Theorie
der Distributionen in der Physik kennenlernen wollen; als auch an Physiker, die sich für
die Theorie der Distributionen als Teilgebiet der mathematischen und theoretischen
Physik interessieren.
Das vorliegende Buch entstand aus Vorlesungen, die ich im Jahre 1970 als Humboldt
Stipendiat an der Universität München gehalten habe. Mein besonderer Dank gilt daher
an dieser Stelle Herrn Prof. Dr. W. Güttinger für die Unterstützung in meinen ersten
Arbeitsjahren in Deutschland.
Meinen Kollegen an den Universitäten Mainz und Frankfurt a. Main danke ich für viele
wertvolle Hinweise, die zur Verbesserung dieser Arbeit beitrugen. Besonders möchte ich
mich bei Herrn W. Thalheimer, der mir bei der Fertigstellung dieses Buches ständig
geholfen hat, und bei Frau G. Hose für die sorgfältige Ausführung der mühsamen
Schreibarbeiten bedanken.
Frankfurt a. Main, Sommer 1973 F. Constantinescu
Inhalt
1. Normierte und abzählbar normierte Räume 9
1.1. Topologische Räume. . . 9
1.2. Metrische Räume . . . . 11
1.3. Topologische lineare Räume 11
1.4. Normierte Räume. . . . 13
1.5. Abzählbar normierte Räume 14
1.6. Stetige lineare Funktionale . 17
1.7. Der Satz von Hahn-Banach . 19
1.8. Der Dualraum. Starke und schwache Topologie im Dualraum. 20
1.9. Starke und schwache Topologie im Grundraum . . . . . 25
1.10. Die Vereinigung und die direkte Summe abzählbar normierter Räume. 27
1.10.1. Die Vereinigung abzählbar normierter Räume. . 27
1.10.2. Die direkte Summe abzählbar normierter Räume. 28
1.11. Lineare Operatoren 29
2. Die Testfunktionenräume 31
2.1. Bezeichnungen. . 31
2.2. Der Testraum!'P(K) 31
2.3. Der Testraum!'P 33
2.4. Der Testraum S . 34
2.5. Der Testraum C. 36
3. Die Distributionenräume . 36
3.1. Der Distributionenraum !W(K). 36
3.2. Der Distributionenraum !'P' . 37
3.3. Der Distributionenraum S' . . 38
3.4. Der Distributionenraum C'. . 38
4. Lokale Eigenschaften von Distributionen 39
4.1. Zerlegung der Einheit. . . . 39
4.2. Der Träger einer Distribution . 41
5. Einfache Beispiele von Distributionen 43
5.1. Das Diracsche Maß. . . . . 43
5.2. Der Hauptwert . . . . . . 44
5.3. Die Sokhotsky-Plemelj-Formeln 44
6. Das Rechnen mit Distributionen . . 45
6.1. Lineare Transformation der unabhängigen Variablen 45
6.2. Die Multiplikation von Distributionen mit unendlich oft
differenzierbaren Funktionen. . . . . . . . . 47
6 Inhalt
6.3. Die Multiplikation von Distributionen 48
6.4. Die Differentiation von Distributionen 48
6.5. Einige Anwendungen. . 49
7. Distributionen mit kompaktem Träger und die allgemeine Form der
temperierten Distributionen. . 52
7.1. Der Raum rff' als Raum der Distributionen mit kompaktem Träger. 52
7.2. Ein System von Integralnormen in S . 52
7.3. Die temperierten Distributionen als Ableitungen langsam wachsender
Funktionen . 54
7.4. Die Struktur der Distributionen, die in einem Punkt konzentriert sind. 56
8. Funktionen mit algebraischen nichtintegrierbaren Singularitäten. 58
8.1. Das Problem der Regularisierung divergenter Integrale . 58
8.2. Distributionen, die von einem Parameter abhängen . 59
8.3. Die Methode der Regularisierung durch analytische Fortsetzung. 64
8.3.1. Allgemeine Bemerkungen . 64
8.3.2. Die Distributionen x~ und x~. 65
8.3.3. Die Distribution l/xn, n = 1,2,. . . 67
iOi' . .
8.3.4. Die Distributionen (x ± 69
8.3.5. Entwicklung der distributionswertigen Funktionen x~ in Taylor-
und Laurentreihen . 70
8.3.6. Die Distribution rA • • 74
9. Das Tensorprodukt und die Faltung von Distributionen. 76
9.1. Das Tensorprodukt von Distributionen 76
9.2. Die Faltung von Distributionen 79
9.3. Regularisierung von Distributionen . 81
9.4. Grundlösung linearer Differentialgleichungen. 82
10. Die Fouriertransformation . . 84
10.1. Die Fouriertransformation von Testfunktionen aus Sund
Distributionen aus S' . 84
10.2. Die Fouriertransformation VOn Testfunktionen aus ~und
Distributionen aus rff'. . 87
10.3. Der Faltungssatz . 90
10.4. Der Satz VOn Paley-Wiener-Schwartz 91
10.5. Die Methode der analytischen Fortsetzung für die Berechnung einiger
Fouriertransformierten von Distributionen 93
10.6. Ein grundlegendes Lemma in der Theorie der Fourier-Laplace-
Transformation von Distributionen . . 95
10.7. Fourier-Laplace-Transformierte von Distributionen. 97
10.8. Singularitäten der Fourier-Laplace-Transformierten in der Nähe der
reellen Punkte . 100
10.9. Das Produkt gewisser Klassen von Distributionen. . . 103
Inhalt 7
11. Mit dem Lichtkegel verknüpfte Distributionen. . . . . . . . 103
11.1. Distributionen, die auf einer glatten Fläche konzentriert sind. 103
11.1.1. DefInitionen. . . . . . . 103
11.1.2. Beispiele . . . . . . . . . . . . 106
11.1.3. Eigenschaften von o(P), 0 '(P), .... . . . 107
11.2. Distributionen, die auf einem Kegel konzentriert sind 109
11.3. Die Lösung des Cauchyproblems für die Wellengleichung 114
11.4. Die temperierten Distributionen O±(P2 - m2), O(p2 _ m2). 116
11.5. Einige Fouriertransformierte . . . . . . . . . 120
12. Hilbertraum und Distributionen. Anwendungen in der Physik. 122
12.1. Vorbereitung: Einige elementare Bemerkungen über lineare
Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . 122
12.2. Analytische Vektoren. Der Satz von Nelson . . . . . 127
12.3. Der Fock-Raum und die Vernichtungs-und Erzeugungsoperatoren . 129
12.3.1. Der Fock-Raum. . . . . . . . . . 129
12.3.2. Die Vernichtungs-und Erzeugungsoperatoren 130
12.3.3. Quantisierte Distributionen. . 132
12.4. Das freie skalare neutrale Feld. . . . 135
12.4.1. Der relativistische Fock-Raum. 135
12.4.2. Das freie skalare neutrale Feld 136
12.4.3. Die Zweipunktfunktion 138
Literatur 140
Sachverzeichnis 142
Symbolverzeichnis
(j) 1.1 vi( 8.1
T 1.1 x~ 8.3.2
<t> 1.1 I~I~ 8.3.3
<{i 1.1 IxlA sgn x 8.3.3
{<{iv} 1.1 1
\{I 1.1 xn 8.3.3
f:X -+ Y 1.1 (x ± iO)~ 8.3.4
[-I 1.1 In(x ± iO) 8.3.5
<i> 1.2 r~ 8.3.6
V(<{i) 1.3 @ 9.1
!?J 1.3 * 9.2
11'11 1.4 P(D) 9.2
IR 2.1 E 9.4
C 2.1 ~ 10.1,12.3
(XI" .. , xn) 2.1 ~-I 10.1
lxi 2.1 r 10.5
C(j \Q) 2.1 ffn 10.7
C(j ~(Q) 2.1 f 10.7
c
C(j~ 2.1
K 2.1 Os 11.1.1
!2(K) 2.2 V 11.1.1
!2p(K) 2.2 D(~) 11.1.1
!2 2.3
C(j'; 2.3 o(P) 11.1.3
0(k)(x2)
S 2.4 11.2
~p 2.4 0~k)(X2) 11.2
sp 2.4 0 11.2
C 2.5 D±(x) 11.3
!2'(K) 2.6 D(x) 11.3
!2' 2.7 0±(p2 _ m2) 11.4
0 2.7 0(p2 _ m2) 11.4
s' 2.7 Ll\x) 11.5
C' 2.7 Ll(x) 11.5
P 5.2 yt> 12.1
Pv 5.2 D(A) 12.1
1 R(A) 12.1
x ± iO 5.3 EB,EB' 12.3
det A 6.1 a(f) 12.3
e
6.5 a*(f) 12.3
1::0. 6.5 a# (f) 12.3
LI 7.3 #' 12.4.1
ess. sup 7.3 "Ir n(XI ,. .. , xJ 12.4.2
1. Normierte und abzähl bar normierte Räume
1.1. Topologische Räume
Sei <I> eine Menge und sei T ein System von Untermengen von <I> mit folgenden Eigen
schaften:
1. Die Nullmenge (/) und die Menge <I> gehört zu T
2. Die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus T gehört zu T
3. Der Durchschnitt endlich vieler Mengen aus T gehört zu T.
Wir sagen, daß T eine Topologie auf <I> definiert, und wir nennen das Paar (<I>,T) einen
topologischen Raum. Wenn die Topologie T auf <I> einmal festgelegt wurde, schreiben
wir <I> statt (<I>,T). Die Elemente (Mengen) aus T heißen offene Mengen. Seien nun Tl
und T2 zwei Topologien auf <1>. Wir sagen, daß die Topologie Tl schwächer als die
Topologie T2 ist, oder mit anderen Worten, daß die Topologie T2 stärker als Tl ist, wenn
jede Menge aus Tl eine Menge von T2 enthält. Die Topologie Tl heißt gröber als die
Topologie T2 (bzw. T2 feiner als Tl), wenn jede Menge aus Tl auch in T2liegt. Wenn
die Topologie Tl gleichzeitig schwächer und stärker als T2 ist, dann sagen wir, daß die
beiden Topologien Tl und T2 äquivalent sind.
Ein System von offenen Mengen heißt eine Basis einer Topologie, wenn sich jede offene
Menge als Vereinigung von Mengen dieses Systems darstellen läßt.
Sei<p E <I> und A C <1>. Eine Teilmenge von <1>, die eine offene Menge enthält, die
ihrerseits den Punkt <p (bzw. die Menge A) enthält, heißt eine Umgebung des Punktes
<p (bzw. der Menge A). Ein System w von Umbegungen eines Punktes <p heißt eine B asi s
von Umgebungen von <p, wenn jede Umgebung von <p eine Menge aus w enthält. Zwei
Basen von Umgebungen von <p heißen äquivale nt, wenn jede Umgebung aus der ersten
Basis eine Umgebung aus der zweiten Basis enthält und umgekehrt. Eine ähnliche
Definition gilt für Basen einer Topologie. Wir erhalten eine Basis der Topologie auf <1>,
indem wir zu jedem Punkt von <I> eine Basis von Umgebungen auswählen und die Menge
aller Umgebungen dieser Basen betrachten. Man sagt, daß <I> dem ersten Abzähl
barkeitsaxiom genügt, wenn es in jedem Punkt aus <I> eine Basis von Umgebungen
gibt, die nur abzählbar viele Umgebungen enthält.
Das Komplement in <I> einer offenen Menge heißt eine abgeschlossene Menge. Ein
Punkt<p heißt in nerer Punkt einer Menge M, wenn eine Umgebung von <p existiert, die
in M enthalten ist. Ein Punkt <p heißt Häufungspunkt einer Menge M, wenn für jede
Umgebung V von <p gilt (V - {<p}) nM.*-(/) Die Gesamtheit aller Punkte aus M zusammen
mit den Häufungspunkten von M bildet die abgesc hlossene Hülle M von M. Mist
eine abgeschlossene Menge, und M ist abgeschlossen dann und nur dann, wenn M = M.
Eine Folge {<Pv}heißt konvergent gegen <p (wir schreiben <Pv --> <p oder lim <Pv = <p) wenn
v->~
jede Umgebung von <p alle <Pv mit v;;' Vo enthält (wobei Vo von der Umgebung abhängig
ist).
10 1. Normierte und abzählbar normierte Räume
Bemerkung: In einem topologischen Raum, in dem das erste Abzählbarkeitsaxiom
erflillt ist, ist jeder Häufungspunkt einer Menge stets Grenzwert einer gewissen Folge
von Punkten dieser Menge. Man kann also in einem Raum, in dem das erste Abzähl
barkeitsaxiom erflillt ist, die Topologie mit Hilfe konvergenter Folgen charakterisieren.
Eine Menge M heißt dicht in <1>, wenn M = <1>. M heißt nirgendwo dicht, wenn M
keine inneren Punkte enthält. Der Raum <I> heißt separabel, wenn eine in <I> dichte
abzählbare Menge existiert. Der Raum <I> heißt Hausdorffsch, wenn je zwei
verschiedene Punkte von <I> stets disjunkte Umgebungen besitzen. In einem Hausdorff
Raum kann eine Folge nicht gegen zwei verschiedene Punkte konvergieren.
In diesem Kapitel werden wir annehmen, daß alle topologischen Räume, die wir
untersuchen, Hausdorffsch sind.
Der Raum <I> heißt kompakt, wenn jede Familie von offenen Mengen, die <I> überdeckt,
eine endliche Teilfamilie enthält, die <I> überdeckt. <I> heißt folg e nkom pakt, wenn jede
(unendliche) Folge aus <I> eine konvergente Teilfolge enthält.
Eine Untermenge 'It von <I> heißt ein topologischer Unterraum von <1>, wenn auf 'It
die Topologie folgendermaßen definiert wird: Eine Teilmenge M C 'It ist genau dann
offen, wenn M der Durchschnitt von 'It mit einer offenen Menge aus <I> ist. Die so
erzeugte Topologie auf 'It heißt die induzierte Topologie. Eine Teilmenge 'It C <I>
heißt kompakt, wenn jede Überdeckung von 'It durch offene Teilmengen von <I> eine
endliche Teilüberdeckung enthält. 'It C <I> heißt folgenkompakt, wenn jede Folge von
Elementen aus 'It eine gegen ein Element von 'It konvergente Teilfolge enthält. 'It heißt
rela tiv kompakt (bzw. relativ folgenkompakt), wenn \ji kompakt (bzw.
folgenkompakt) ist. Eine Teilmenge 'It C <I> ist genau dann kompakt (folgenkompakt),
wenn'lt als topologischer Unterraum kompakt (folgenkompakt) ist.
Sei f: X -> Y eine Abbildung aus einem topologischen Raum X in einen topologischen
Raum Y (x i-+ fex); x E X, fex) E Y). Wir definieren: f(A) = {y E Y; Y = f(x), x E A},
r-I(B) = {x EX; fex) E B} und nennen f(A) das Bild von A C X, f-I(B) das Urbild von
Bey unter der Abbildung f. Man nennt f eineindeutig (injektiv), wenn aus
fex) = f(xo) stets x = Xo folgt. fheißt eine Abbildung von X aufY (surjektive
Abbildung), wenn f(X) = Y gilt. Die Abbildung f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und
surjektiv ist. Weiter heißt f stetig im Punkte x E X, wenn das Urbild jeder Umgebung
von fex) eine Umgebung von x ist. f heißt stetig auf X, wenn f stetig in jedem Punkt
von X ist. fist genau dann auf X stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge aus Y
eine offene Menge aus X ist.
Ist f: X -> Y eine injektive Abbildung, so existiert die inverse Ab bild ung, die wir mit
r-I bezeichnen; f-1 ordnet jedem y aus dem Bild von X das (eindeutig bestimmte)
x E X mit fex) = y zu.
Wenn f eine injektive Abbildung von X auf Y ist, und wenn fund f-1 stetig sind, heißt
feine topologische Abbildung (oder Homöomorphismus) von X auf Y.