Table Of ContentAlbrecht Beutelspacher
Marc-Alexander Zschiegner
Diskrete
Mathematik
für Einsteiger
Bachelor und Lehramt
. Aufl age
Diskrete Mathematik für Einsteiger
⋅
Albrecht Beutelspacher
Marc-Alexander Zschiegner
Diskrete Mathematik für
Einsteiger
Bachelor und Lehramt
5., erweiterte Auflage
Prof.Dr.Dr.h.c.AlbrechtBeutelspacher Dr.Marc-AlexanderZschiegner
MathematischesInstitut Christian-Wirth-Schule
Justus-Liebig-UniversitätGießen Usingen,Deutschland
Gießen,Deutschland
ISBN978-3-658-05780-0 ISBN978-3-658-05781-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-05781-7
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Vorwort zur fünften Auflage
DiskreteMathematikinderSchule?InDeutschlandimmernocheinFremdwort.
WährendinanderenLänderndiediskreteMathematikfestindenLehrplänenver-
ankertist,fristetsieinDeutschlandeinSchattendasein.Dasistschade,dennesgibt
vieleArgumente,diskreteMathematikinderSchulezubehandeln:
DiskreteMathematikistvoraussetzungsarm:EinegroßeSchwierigkeitdesübli-
chenMathematikunterrichts ist, dass die Inhalte kontinuierlich aufeinander auf-
bauen. Schüler, die einmal den Anschluss verloren haben, haben es sehr schwer
wieder„einzusteigen“.VieleGebietederdiskretenMathematikdagegenkommen
ohnegroßeVoraussetzungenaus.OftisteinspielerischerEinstiegohnegroßenFor-
malismusmöglich.
DiskreteMathematikistreineMathematik:DiskreteMathematikzeigtanvielen
StellenbesseralsderherkömmlicheSchulstoffdaseigentlicheWesenderMathe-
matikauf.AnStelledesinderSchuleoftpraktiziertenkalkülhaftenAusrechnens
tritthierdasproblemorientierteDenkenundArgumentierenindenVordergrund.
DadurchkönnenauchüberfachlicheKompetenzengeschultwerden.
DiskreteMathematikistangewandteMathematik:ImherkömmlichenMathema-
tikunterrichtwerdenAnwendungenoftsehrkünstlicherzeugt.MancheAufgaben
wirkendadurcheheralbernalsmotivierend.DiediskreteMathematikdagegenlie-
fertechte,lebensnaheAnwendungen.SchülerinnenundSchülerkönnenProbleme
lösen,diesiewirklichinteressieren.
DiskreteMathematikzeigtZusammenhängeauf:VieleInhaltederdiskretenMa-
thematikhabenEntsprechungeninderkontinuierlichenMathematik.DieseAna-
logienkönnenimUnterrichtaufgezeigtwerden,umsoeintieferesVerständnisder
mathematischenStrukturenzuerzeugen.
Um zu zeigen, wie Elemente der diskreten Mathematik auch Eingang in den
Schulunterrichtfindenkönnen,habenwirjedesKapitelumeinenAbschnitt„Di-
daktischeAnmerkungen“erweitert.HierfindensichVorschläge,wieundwannman
mitdenjeweiligenInhaltendenUnterrichtbereichernkann.MancheThemener-
V
VI VorwortzurfünftenAuflage
gänzendentraditionellenMathematik-oderInformatikunterricht, andereeignen
sich gut für Projektwochen oder Arbeitsgemeinschaftenfür mathematisch inter-
essierteSchülerinnenundSchüler.AlleIdeensind vonunsinderPraxiserprobt
worden.WirwünschenvielSpaßbeimAusprobieren!
Gießen,imMärz2014 AlbrechtBeutelspacher
Marc-A.Zschiegner
Vorwort
WasistdiskreteMathematik?
DiskreteMathematikisteinjungesGebietderMathematik,dasineinzigartiger
Weisesogenannte„reineMathematik“mit„Anwendungen“verbindet.
UmdieseAntwortzuverstehen,müssenwiretwasweiterausholen.Bisvorwe-
nigen Jahrzehnten hatte nach allgemeiner Meinung die angewandte Mathematik
ausschließlichdieAufgabe,diephysikalischeWeltmöglichstgutundaussagekräf-
tigzubeschreiben.TypischeFragenwarendabei:
WiemodelliertmandenRaum?
WiemisstmandenRaum?
WiebeschreibtmanBewegungen?
DiemathematischenDisziplinen,diesichmitsolchenFragestellungenbeschäf-
tigen,sinddieGeometrieunddieAnalysis,sowieallesichdarausableitendenTeil-
disziplinen.DiessindvorallemTeilgebietederMathematik,diesichmitkontinu-
ierlichen,„stetigen“Phänomenenbeschäftigen.
Im 20. Jahrhundert, insbesondere seit der Einführung des Computers in der
MittedesJahrhunderts,drängte sicheinandererTypvonFragenindenVorder-
grund. Die Herausforderung besteht darin, Modelle zum Verständnis und zur
Beherrschung von endlichen, eventuell allerdings sehr großen Phänomenen und
Strukturenzuentwickeln.SolcheStrukturenkönnensein:
EineGesellschaftalsMengeihrerendlichvielenMitglieder,
einökonomischerProzessmitnurendlichvielenmöglichenZuständen,
einComputer,dernurZahlenbiszueinergewissenGrößeverarbeitenkann,
usw.
Die mathematischenDisziplinen,diesichmitsolchendiskretenPhänomenen
beschäftigen,sindKombinatorik,Graphentheorie,Algebra,Zahlentheorie,Codie-
rungstheorie,Kryptographie,Algorithmentheorieusw.ManfasstdieseDisziplinen
oftunterdemBegriffdiskreteMathematikzusammen.DiskreteMathematikschafft
eineVerbindungvonderreinenMathematikzudenAnwendungenundinsbeson-
VII
VIII Vorwort
derezurInformatik.DasWort„diskret“hatalsoindiesemZusammenhangnichts
zutunmit„heimlich“,„verborgen“o.ä.,sondernbeziehtsichdarauf,dassendliche,
dasheißtdiskretePhänomeneuntersuchtwerden.
DasZieldiesesBuchesbestehtdarin,SieinmöglichstelementarerWeisemitden
GrundzügeneinigerderobengenanntenGebietevertrautzumachen.Dasbeginnt
inKap.1mitdemSchubfachprinzip,einerfasttrivialenAussagemitunglaublichen
Folgerungen.InKap.2werdenFärbungsmethodeneingesetzt,undzwarkonstruk-
tivundfürNichtexistenzbeweise.DievollständigeInduktion,einunentbehrliches
mathematisches Werkzeug wird in Kap. 3 eingeführt und an Beispielenklar ge-
macht.Kapitel4isteinemzentralenAspektderdiskretenMathematikgewidmet,
nämlichdemZählen;wirwerdeneineganzeReihevonFormelnerarbeiten,diees
unsermöglichen,MengenmitkomplexenElementenabzuzählen.Daranschließt
sichdasKapitelan,indemdieZahlenderUntersuchungsgegenstandsind;esgeht
hauptsächlichumdieTeilbarkeitganzerZahlen.
Der zweite Teil des Buches ist ausgesprochen angewandten Themen gewid-
met.ImsechstenKapitelwerdenCodesbehandelt;dazugehörenzumBeispieldie
StrichcodesderLebensmittelund die ISBN-Codesder Bücher.In Kap. 7geht es
um Datensicherheit, das heißt Kryptographie; insbesondere werden die Themen
„Verschlüsselung“und„Authentifizierung“behandelt,undzwarsowohlinderklas-
sischen Kryptographie als auch in der modernen Public-Key-Kryptographie. Im
achten Kapitel werden Graphen behandelt,ein außerordentlich wichtiges Gebiet
derdiskretenMathematik.DieswirdinKap.9durchdieBehandlungvongerichte-
tenGraphenfortgeführt.DasletzteKapitelwidmetsichschließlichderBooleschen
AlgebraundderEntwicklungelektronischerSchaltkreise.
AnmathematischenVorkenntnissenwirdnichtvielvorausgesetzt.Siekommen
mitSchulkenntnissengutaus.InsbesonderewirdkeineAnalysisundkeinelineare
Algebragebraucht.Allerdingsmüssenwir,wieinderMathematikunumgänglich,
IhreBereitschaftvoraussetzen,sicheinStückweitaufvergleichsweiseabstrakteAr-
gumentationeinzulassen,beidermannichtimmersofortsieht,woraufsiehinaus
soll.
DasBucheignetsichzurBegleitungderentsprechendenVorlesungenanFach-
hochschulenund Universitäten. Es eignetsichbesondersgutzum Selbststudium
undkanninArbeitsgemeinschaftenanGymnasieneingesetztwerden.BeimSchrei-
benhabenwirbesondersandie„Einsteiger“gedacht.IndenerstenKapitelngehen
wirsehrbehutsamvorundlegenkeinenWertaufübertriebenenFormalismus.In
denspäterenKapitelnwirddieArgumentationsdichtedanngrößer.
DasBuchenthälteineFüllevonÜbungsaufgaben,insgesamtüber200.Wirsind
derÜberzeugung,dassallelösbarsind,manchesogarsehreinfach.Siedienennicht
nurdazu,denStoffzufestigen,sondernerschließenoftauchneueAspekte.Imletz-
Vorwort IX
tenKapitelfindenSieausführlicheLösungenzuallenÜbungsaufgaben.Siedürfen
gernenachschauen−abererst,wennSieselbstprobierthaben!
WennSie,liebeLeserin,lieberLeser,AnregungenhabenodergarDruck-oder
andereFehlergefundenhaben,bittenwirSie,unsdiesemitzuteilen.
Wir danken den Hörern unserer Vorlesungen und unseren Kolleginnen und
KollegenfürzahlreicheAnregungenunddemVerlagVieweg+Teubnerfürdieun-
endlicheGeduldmitdiesemProjekt.
Gießen,imJanuar2011 AlbrechtBeutelspacher
Marc-A.Zschiegner
Inhaltsverzeichnis
1 DasSchubfachprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 WasistdasSchubfachprinzip?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 EinfacheAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 CliquenundAnticliquen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 EntferntePunkteimQuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 DifferenzenvonZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Teilenodernichtteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 DasverallgemeinerteSchubfachprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 DasunendlicheSchubfachprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Färbungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 ÜberdeckungdesSchachbrettsmitDominosteinen . . . . . . . 13
2.2 ÜberdeckungdesSchachbrettsmitgrößerenSteinen . . . . . . 18
2.3 MonochromatischeRechtecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 EineGewinnverhinderungsstrategie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 DasMuseumsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 PunkteinderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 DasPrinzipdervollständigenInduktion. . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 AnwendungendesPrinzipsdervollständigenInduktion . . . . 35
3.3 Landkartenschwarz-weiß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
XI
