Diskrete Mathematik erleben: Anwendungsbasierte und verstehensorientierte Zugänge

361 Pages·2015·6.66 MB·German

by  Stephan Hußmann

Stephan Hußmann
Brigitte Lutz-Westphal Hrsg.
Diskrete
Mathematik
erleben
Anwendungsbasierte
und verstehensorientierte Zugänge
2. Aufl age
Diskrete Mathematik erleben
(cid:2)
Stephan Hußmann Brigitte Lutz-Westphal
Herausgeber
Diskrete Mathematik
erleben
Anwendungsbasierte und
verstehensorientierte Zugänge
2., erweiterte Auflage
Herausgeber
Prof.Dr.StephanHußmann Prof.Dr.BrigitteLutz-Westphal
FakultätfürMathematik,Institutfür InstitutfürMathematik
EntwicklungundErforschungdes FreieUniversitätBerlin
Mathematikunterrichts Berlin,Deutschland
TechnischeUniversitätDortmund
Dortmund,Deutschland
ISBN978-3-658-06992-6 ISBN978-3-658-06993-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-06993-3
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Inhalt
42–einGeleitwortvonPeterGritzmann xi
Vorwort xiii
VorwortzurergänztenNeuauflage xvii
1
BrigitteLutz-Westphal
OptimalzumZiel:DasKürzeste-Wege-Problem 1
1 U-Bahn-Fahrten,SchulwegeunddieReisevonDatenpaketen . . 1
Problem1–U-Bahnfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Problem2–DenSchulwegoderdenWegzurArbeitoptimieren 2
Problem3–Datenpaketeverschicken . . . . . . . . . . . . . 3
2 DieQualderWahl:Wassolloptimiertwerden? . . . . . . . . . . 3
3 AlleMöglichkeitenprobieren:Enumeration . . . . . . . . . . . . 4
4 GraphenundGraphenisomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
GraphenundWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
DasGraphenlabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Graphenisomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 DieBreitensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ErsteIdeenfüreinen»Weg-mit-minimaler-Anzahl-von-Kanten-
Algorithmus« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
DieFroschperspektiveunddieLochblende . . . . . . . . . . 18
FormulierungderBreitensuche . . . . . . . . . . . . . . . . 20
BlättertauschundRollenspiel:ÜberprüfenderFormulierung 24
6 DerAlgorithmusvonDijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
GewichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
DenAlgorithmusvonDijkstranacherfinden . . . . . . . . . 28
vi Inhalt
7 MehrüberoptimaleWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 Vertiefung:Korrektheitsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KorrektheitsbeweisfürdieBreitensuche . . . . . . . . . . . . 35
KorrektheitsbeweisfürdenAlgorithmusvonDijkstra . . . . 37
2
BrigitteLutz-Westphal
Günstigverbunden:MinimaleaufspannendeBäume 39
1 Leitungsnetzeplanen,StraßenerneuernundComputerverkabeln 39
Problem1–Leitungenerneuern. . . . . . . . . . . . . . . . 39
Problem2–Straßenbelägekostengünstigverbessern . . . . . 41
Problem3–Telefonleitungenmieten . . . . . . . . . . . . . 41
Problem4–Computernetzwerkeverkabeln . . . . . . . . . . 42
2 DasProblemmodellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
EindeutigkeitderWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
DieAnzahlderBaumkanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
DieAnzahlderaufspannendenBäume . . . . . . . . . . . . 50
4 DieTiefensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
DerAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Korrektheitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DasDaumenkinoundnocheinmaldieLochblende . . . . . 56
Exkurs:Ariadne–dieersteInformatikerin . . . . . . . . . . 58
EngeVerwandte:TiefensucheundBreitensuche . . . . . . . 60
5 DieAlgorithmenvonKruskalundPrim . . . . . . . . . . . . . . 62
KostenkommeninsSpiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Zwei»gierige«Vorgehensweisen . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Steinerbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Vertiefung:Korrektheitsbeweise fürdieAlgorithmenvonKruskal
undPrim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
BrigitteLutz-Westphal
MathematikfürdieMüllabfuhr:DaschinesischePostbotenproblem 69
1 TourenplanungfürMüllabfuhr,PostzustellungundMuseen . . . 69
Problem1–Müllabfuhroptimieren . . . . . . . . . . . . . . 69
Problem2–DaschinesischePostbotenproblem . . . . . . . 70
Problem3–EinMuseumplanen . . . . . . . . . . . . . . . 71
Inhalt vii
2 ModellierungdurchGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
WelcheInformationenwerdenzurLösungderAufgabe
benötigt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
WiegenausolldasModellwerden? . . . . . . . . . . . . . . 74
3 DaschinesischePostbotenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 EulergraphenundEulertouren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
DieMüllabfuhr,dieKönigsbergerBrückenundLeonhardEuler 77
AlgorithmenfürEulertouren . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
FigurenineinemZugzeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Knotengrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
DieAnzahlderungeradenKnoten . . . . . . . . . . . . . . . 85
EinweitererBeweisfürdieAnzahlderBlätterimBaum . . . 87
MehrüberKnotengrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Matchings:WasdieMüllabfuhrmitPartnerwahlzutunhat . . . 89
7 DieLösungfürMüllautosundandereAnwendungen . . . . . . . 91
8 ThemamitVariationen:AnderePostbotenprobleme . . . . . . . 93
4
MartinGrötschel
SchnelleRundreisen:DasTravelling-Salesman-Problem 95
1 Problem1–Städtereisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
DieModellierungalsGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2 Problem2–DasBohrenvonLeiterplatten . . . . . . . . . . . . . 98
3 Löcherbohren:DieZielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 DerUrsprungdesTravelling-Salesman-Problems . . . . . . . . . 106
5 Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ExakteAlgorithmen:Enumeration . . . . . . . . . . . . . . 109
ExakteAlgorithmen:GanzzahligeProgrammierung . . . . . 111
Greedy-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ApproximationsalgorithmenfürdasSTSP . . . . . . . . . . 118
Verbesserungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
DieNichtapproximierbarkeitdesTSP . . . . . . . . . . . . . 124
ZufallunddasTSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7 LösungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
viii Inhalt
5
TimoLeuders
WennesMathematikernzubuntwird:Färbeprobleme 131
1 Landkarten,Fische,HandysundBotschafter. . . . . . . . . . . . 131
Problem1–Landkartenfärbung . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Problem2–Fischgesellschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Problem3–Handynetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Problem4–Diplomatenkarussell . . . . . . . . . . . . . . . 135
Wiepasstdasalleszusammen?. . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2 Ideen,BegriffeundZusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . 137
GraphenalsModelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
EinkleinerAbstecheroder:»Dabistduplatt« . . . . . . . . . 142
ReichenvierFarbendennnunimmer?Plättbarkeitund
Färbbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Wiesiehtesabernunmit4Farbenaus? . . . . . . . . . . . . 153
3 WieknacktmandieFärbungsproblemepraktisch? . . . . . . . . 154
Fingerübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Jetztwirdeshandgreiflicher:Färbealgorithmen . . . . . . . . 157
VonderHeuristikzumAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . 164
»Vorwärts,undnichtvergessen!« . . . . . . . . . . . . . . . 165
WieauseinemBeweiseinAlgorithmuswird . . . . . . . . . 168
6
StephanHußmann
MitMathematikspielendgewinnen:KombinatorischeSpiele 171
1 MitMathematikspielendgewinnen . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Spiel1–Bridg-It . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Spiel2–Shannon-Switching-Game . . . . . . . . . . . . . . 172
Spiel3–Trianguli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Spiel4–Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2 SpielemitmathematischerStrategiegewinnen . . . . . . . . . . 174
Bridg-It–ZugängezurGraphentheorie . . . . . . . . . . . . 175
KanndasSpieljemalsunentschiedenenden? . . . . . . . . . 176
WiekanneinegeeigneteGewinnstrategieaussehen? . . . . . 180
Werbeginnt,dergewinnt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3 Shannon-Switching-Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4 Trianguli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5 Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Inhalt ix
7
StephanHußmann
Werpasstzuwem?Matchings 203
1 JobsundTanzkurse–immereineFragederrichtigenZuordnung 203
Problem1–Jobverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Problem2–Tanzkurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2 EineEntdeckungsreisedurchdieWeltderMatchings . . . . . . . 205
AufwelcherSeitestehstdu?–ZweigeteilteGraphen . . . . . 206
3 StellenundBewerber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Jetzteinmalgierig! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Perfektmatchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
GuteNachbarschaftsverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . 214
Jetztwirdgeheiratet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Immerabwechselnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
KnotenstattKanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
EineDeckevollerKnoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4 EinkurzerAusblick:MatchingsaufgewichtetenGraphen . . . . . 228
8
StephanHußmann
WievielpasstnochindieLeitung?FlüsseundNetzwerke 233
1 VonFlüssenundGewinnchancen . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Problem1–Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Problem2–Handballmeisterschaft . . . . . . . . . . . . . . 236
2 WievielWasserpasstindenFluss? . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
VieleWegeführenzumZiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
FlussundKapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
WelcheWegegibtesüberhaupt? . . . . . . . . . . . . . . . . 244
VonverschiedenenStandortenaufdasProblemschauen . . . 246
Alltagserfahrungennutzbarmachen . . . . . . . . . . . . . . 246
Netzwerkschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
VorwärtsoderRückwärts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
WielässtsicheinFlussmaximieren? . . . . . . . . . . . . . . 251
KleinsterSchnitttrifftgrößtenFluss . . . . . . . . . . . . . . 253
AufderSuchenacheinemAlgorithmus . . . . . . . . . . . . 254
3 Werwirderster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
SpieleundMannschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
x Inhalt
9
MartinGrötschel
DasProblemmitderKomplexität:P D NP? 265
10
AndreasBriedenundPeterGritzmann
VonAckerbauund polytopalenHalbnormen:Diskrete Optimierungfür
dieLandwirtschaft 275
1 Problem–Flurbereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2 LösungdurchcomputergestützeEnumeration? . . . . . . . . . . 278
3 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
DieNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Geometrisch/zahlentheoretischeInterpretationderzulässigen
Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
WahlderZielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Abstandsmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
PolytopaleHalbnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
ZusammenfassungdesAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . 299
4 UmsetzunginderPraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Optimierungsvorschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
PostoptimierungvorOrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
AusgewählteAufgaben 305
Lösungshinweise 325
Literatur 341
Index 345