Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise

503 Pages·2007·7.707 MB·German

by  Professor Dr. Jiří Matoušek, Professor Dr. Jaroslav Nešetřil (auth.)

Springer-Lehrbuch
,,NurMathematikerwusstendiesesWerkzuwürdigen...“
IllustrationvonG.RouxausdertschechischenAusgabevonSansdessusdessousvonJulesVerne,
erschienenbeiJ.R.Vilimek,Prag,1931(DeutscherTitel:DerSchussamKilimandscharo).
Jiˇrí Matouˇsek · Jaroslav Neˇsetˇril
Diskrete
Mathematik
Eine Entdeckungsreise
Übersetztvon HansMielke
123
ProfessorDr.JiˇríMatouˇsek Übersetzer
ProfessorDr.JaroslavNeˇsetˇril
Dr.HansMielke
Karls-Universität FreieUniversitätBerlin
InstitutfürAngewandteMathematik E-mail:[email protected]
und
InstitutfürTheoretischeInformatik
Malostranskénám.25
11800Prag,Tschechien
E-mail:[email protected]
E-mail:[email protected]
©JiˇríMatouˇsekandJaroslavNeˇsetˇril1998,2007
This2ndeditionoftheGermantranslationofInvitationtoDiscreteMathematicsispublishedbyarrangement
withOxfordUniversityPress.
Diese2.AuflagederdeutschenÜbersetzungvonInvitationtoDiscreteMathematicserscheintmitfreundlicher
GenehmigungvonOxfordUniversityPress.
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MathematicsSubjectClassification(2000):05-01,68-01,68Rxx
ISBN 978-3-540-30150-9 2.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN 978-3-540-42386-7 1.Aufl.Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort zur zweiten Auflage
in deutscher Sprache
Dies ist die zweite Auflage der Entdeckungsreise“. Zum Stoff der
”
ersten Auflage hinzugekommen sind Kapitel 2 u¨ber Halbordnungen,
Abschnitt 4.7 u¨ber den Satz von Tura´n, zwei Beweise der Cauchy–
Schwarzschen Ungleichung in Abschnitt 7.3, ein weiterer Beweis der
Determinantenformel fu¨r die Anzahl der aufspannenden B¨aume in
Abschnitt8.5,einegeometrischeInterpretationderKonstruktionder
reellenprojektivenEbeneinAbschnitt9.2sowiedaskurzeKapitel11
u¨berdenSatzvonRamsey. AußerdemhabenwireinigeKleinigkeiten
ge¨andert undnatu¨rlich eineReihe von Fehlern korrigiert, auf dieuns
freundliche Leser aufmerksam gemacht haben (einige dieser Fehler
sindbereitsindenNachdrucken dererstenAuflagebehoben). Siese-
hen, es lohnt sich diezweite Auflagezu erwerben anstatt verbilligten
Restexemplaren der ersten Auflage nachzujagen...
Prag J. M.
Juni 2007 J. N.
Ein Wort zur deutschen
¨
Ubersetzung
Das Buch, das Sie in H¨anden halten, basiert auf der englischen Aus-
gabe, die bei Oxford University Press erschienen ist. Wir haben
eine Reihe von (wie wir meinen) Verbesserungen vorgenommen: Ei-
nige Stellen sind ge¨andert, verschiedene Fehler korrigiert, manche
Lu¨cke geschlossen. Das Kapitel u¨ber die Cayley–Formel fu¨r die An-
zahlderaufspannendenB¨aumeistumeinenweiteren Beweis erg¨anzt
(der ganz neu ist und vielleicht der einfachste u¨berhaupt); der An-
hang mit den algebraischen Grundbegriffen ist um geometrische In-
terpretationen einiger Begriffe der linearen Algebra bereichert. Un-
ser U¨bersetzer Hans Mielke von der FU Berlin hat hervorragende
Arbeit geleistet. Einige der Verbesserungsvorschl¨age stammen von
ihm, und wir glauben, dass seine U¨bersetzung den Geist unseres Bu-
ches widergibt.
Ziel und Zweck dieses Buches sind im Vorwort ausfu¨hrlich dar-
gelegt; an dieser Stelle m¨ochten wir noch hinzufu¨gen, dass wir das
Buch vor dem Hintergrund der Tradition der europ¨aischen Univer-
sit¨at konzipiert und geschrieben haben. Aus diesem Grunde finden
wir eine U¨bersetzung ins Deutsche besonders passend.
Prag J. M.
Dezember 2001 J. N.
Vorwort
Wozu hat eine Einfu¨hrung in die diskrete Mathematik ein so langes
Vorwort? Was wollen wir u¨berhaupt sagen? Es gibt viele Wege zur
diskreten Mathematik. Zun¨achst wollen wir Wegweiser aufstellen,
denen wir beim Schreiben zu folgen versucht haben; der Leser mag
dann u¨ber unseren Erfolg entscheiden. Außerdem geben wir einige
eher technische Hinweise, wie man nach diesem Buch eine Vorlesung
halten kann, zu den U¨bungsaufgaben, zur Literatur usw.
Hier nun also einige Leitgedanken, die dieses Buch vielleicht von
anderen mit ¨ahnlichem Titel und Inhalt unterscheiden.
• Mathematisches Denken entwickeln. Unser Hauptziel, wichti-
ger als das Vermitteln mathematischer Fakten, ist beim Studen-
ten Verst¨andnis fu¨r mathematische Begriffe, Definitionen und
Beweise zu wecken und ihn (oder sie!) zu bef¨ahigen, Proble-
me zu l¨osen, die mehr als nur Standardrezepte erfordern, sowie
mathematischeGedankenpr¨aziseauszudru¨cken. Mathematische
Denkgewohnheiten sind in vielen Lebensbereichen von Vorteil,
z.B. beim Programmieren oder bei der Entwicklung komplexer
Anlagen.1 Viele private (gut zahlende) Firmen scheinen das zu
wissen. Sie interessieren sich nicht wirklich dafu¨r, ob der Bewer-
ber vollst¨andige Induktion im Schlaf kann, aber sie wu¨nschen
sich, dass er gewohnt ist, sich komplexe Konzepte in kurzer Zeit
anzueignen — mathematische S¨atze sind dafu¨r offenbar ein her-
vorragendes Training. DieWahldesspeziellenGebiets fu¨rdieses
Training ist dabei nebens¨achlich — wenn Sie sich fu¨r Algebra
begeistern, werden wir sicher nicht versuchen Sie fu¨r Kombina-
torik abzuwerben! Aber wir glauben, dass diskrete Mathematik
fu¨r eine erste Ann¨aherung an die Mathematik besonders geeig-
netist, denndieProblemeundBegriffesindelementarer alszum
Beispiel in der Analysis, die von Anfang an mit tiefliegenderen
Ideen startet.
1Man sollte aber auch nicht vergessen, dass es in anderen Lebensbereichen
besser ist, typischeVerhaltensweisen eines Mathematikers abzulegen.
viii Vorwort
• Methoden, Techniken, Prinzipien. In modernen universit¨aren
Lehrpl¨anen versteht man unter diskreter Mathematik gew¨ohn-
lich die Mathematik endlicher Mengen, oft einschließlich ver-
schiedenerGebiete wieLogik, endlicheAutomaten, lineares Pro-
grammieren oder Rechnerarchitektur. Wir haben den Rahmen
eher enggesteckt; dasBuch istim Wesentlichen eineEinfu¨hrung
in die Kombinatorik und Graphentheorie. Wir konzentrieren
uns auf relativ wenige grundlegende Methoden und Prinzipien,
um den Reichtum mathematischer Techniken schon auf dieser
elementaren Ebene vorzufu¨hren; die Wahl der Themen ist dem
untergeordnet.
• Genuss. Wir haben dieses Buch fu¨r Leser geschrieben, die
Mathematik genießen k¨onnen, doch unser ku¨hnster Wunsch ist,
dem einen oder anderen Leser, dem dieser Genuss bisher nicht
zug¨anglich war, dabei zu helfen, gegenu¨ber der Mathematik po-
sitive Gefu¨hlezuentwickeln. UnsererAnsicht nachistdiesu¨ber-
haupt der Schlu¨ssel: Wohlgefallen an einer eleganten mathema-
tischenIdeeundmanchmaldasGefu¨hldesTriumphs,wenndiese
Idee schwierig zu verstehen oder zu entdecken war. Nicht alle
Menschen haben diese Gabe, so wie nicht jeder Musik genießen
kann, aber ohne sie ist das Studium der Mathematik wohl eher
langweilig.
• AlleKarten auf denTisch. WirversuchenkeinArgumentunter
den Tisch fallen zu lassen und gegenu¨ber dem Leser mathema-
tisch ehrlich zu sein. Wenn wir schreiben etwas sei leicht zu
sehen, meinen wir das auch, und wenn der Leser es nicht sehen
kann, ist irgendetwas falsch — vielleicht haben wir die Schwie-
rigkeit falsch eingesch¨atzt, aber das Problem k¨onnte auch beim
Leser liegen, dervielleicht denvorangegangenen Text noch nicht
ganz verstanden hat. Wann immer m¨oglich versuchen wir alles
zu beweisen und nicht auf Ergebnisse anderer Gebiete zuru¨ck-
zugreifen (manchmal finden sich Beweise zu Hilfss¨atzen in den
U¨bungsaufgaben, dann aber mit L¨osungshinweisen), und wenn
wir einen Beweis einmal nicht vollst¨andig fu¨hren k¨onnen (wie
z.B. einige Ergebnisse u¨ber ebene Graphen), betonen wir dies
und gestehen, welche Schritte wir nicht begru¨nden.
• Informatik. Heutzutage spezialisieren sich viele Studenten der
diskreten Mathematik zugleich in Informatik. Wir glauben den-
noch,dassauchMenschen,dienichtsu¨berComputerwissenoder
Vorwort ix
garComputerhassersind,freienZugangzurdiskretenMathema-
tik haben sollten. Wir haben es deshalb vermieden, das Buch
mit Begriffen und Beispielen aus der Informatik zu u¨berfrach-
ten. Wir haben aber auch die Informatiker nicht vergessen und
deshalb Abschnitte u¨ber effiziente Algorithmen und ihre Lauf-
zeitanalyse sowie einige Aufgaben (siehe unten) eingefu¨gt.
• Blick ¨uber den Tellerrand. Der ausgew¨ahlte Stoff bietet an
mehreren Stellen die M¨oglichkeit, Konzepte anderer Zweige der
Mathematik an Beispielen vorzufu¨hren. Indem wir einerseits
darauf achten, nicht zu viel Stoff aufzunehmen, haben wir an-
dererseits den Raum, auf solche Querverbindungenhinzuweisen.
Unserer Erfahrungnach m¨ogen Studenten solche Anwendungen,
vorausgesetztsiewerdensorgf¨altiggenugdurchgefu¨hrtundnicht
nur in einem Satz abgehandelt.
Voraussetzungen und Zielgruppe. In den meisten Teilen des
Buches setzen wir nicht viel mehr als das gew¨ohnliche mathema-
tische Schulwissen voraus. Einige etwas abstraktere Begriffe, die
zwar in der gesamten Mathematik gebr¨auchlich sind, aber u¨ber das
Schulwissen hinausgehen, erkl¨aren wir im ersten Kapitel. An eini-
gen Stellen ben¨otigen wir etwas Algebra, wie sie im Grundstudium
vermittelt wird. Die fu¨r uns wichtigsten Ergebnisse aus der Alge-
bra haben wir in einem Anhang zusammengetragen. Es gibt zwar
auch einige wenige Ausflu¨ge in die Analysis (wobei uns Begriffe wie
Grenzwert, Ableitung, Stetigkeit usw. begegnen), aber wir denken,
dass die meisten Studenten, die eine Vorlesung u¨ber diskrete Mathe-
matik besuchen, u¨ber Grundkenntnisse in Analysis verfu¨gen.
DerLeserkreiskannsowohlStudienanf¨angerderMathematikoder
Informatik mit dem u¨blichen Schulwissen umfassen als auch fortge-
schrittenere Studenten bis zum Hauptstudium. Auch fu¨r gebildete
Nichtmathematiker wie Biologen oder Chemiker kann dieses Buch
eine nu¨tzliche Quelle sein. Dem mathematisch fortgeschrittenen Le-
ser mag dieses Buch als schnelle Einfu¨hrung in die Kombinatorik
dienen.
Lehre. Dieses Buch basiert auf einer Vorlesung im Grundstudi-
um Mathematik und Informatik, die wir seit vielen Semestern an
der Karls–Universit¨at in Prag halten. Der zweite Autor hat Teile
der Vorlesung auch schon an der Universit¨at Chicago, an der Uni-
versit¨at Bonn und an der Simon–Fraser–Universit¨at in Vancouver