Diskrete Mathematik

324 Pages·2001·11.12 MB·German

by  Prof. Dr. Martin Aigner (auth.)

Martin Aigner
Diskrete Mathematik
vieweg studium _______ _...
Autbaukurs Mathematik
Herausgegeben von Martin Aigner, Michael Grüter, Rudolf Scharlau, Gisbert Wüstholz
Martin Aigner
Diskrete Mathematik
Albrecht BeutelspacherjUte Rosenbaum
Projektive Geometrie
Manfredo P. do Carmo
Differentialgeometrie von Kurven und Fliehen
Gerd Fischer
Ebene alpbralsche Kurven
Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
Funktionentheorie
Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
Au.,ewählte Kapitel aus der Funktionentheorie
OUo Forster
Analysis 3
Klaus Hulek
Elementare Algebraische Geometrie
Horst Knörrer
Geometrie
Ulrich Krengel
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und StatIstik
Helmut Koch
Zahlentheorie
Wolfgang Kühnel
Dlfferentlalpometrle
Ernst Kunz
Einführung in die alpbralsche Geometrie
Reinhold Meise und Dietmar Vogt
Einführung In die Funktionalanalysis
Erich Ossa
Topologie
Jochen Werner
Numerische Mathematik I und 11
Jürgen Wolfart
Einführung In die Zahlentheorie und Alpbra
Grundkurs Mathematik
Gerd Fischer OUo Forster / Rüdiger Wessoly
Lineare Algebra Übungsbuch zur Analysis 1
Hannes Stoppelj Birgit Griese Otto Forster
Übungsbuch zur Linearen Alpbra Analysis 2
Gerd Fischer OUo Forster/Thomas Szymczak
Analytische Geometrie Übungsbuch zur Analysis 2
OUo Forster Gerhard Opfer
Analysis 1 Numerische Mathematik
für Anfänger
vieweg _________________ _
Martin Aigner
Diskrete
Mathematik
Mit über 500 Übungs aufgaben
4., durchgesehene Auflage
11
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich
Prof. Dr. Martin Aigner
Freie Universität Berlin
Institut für Mathematik II (WE 2)
Arnimallee 3
14195 Berlin
E-Mail: aigner®math.fu-berlin.de
1. Auflage 1993
2. durchgesehene Auflage 1996
3. durchgesehene Auflage 1999
4. durchgesehene Auflage Mai 2001
Alle Rechte vorbehalten
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Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-37268-2 ISBN 978-3-322-92838-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92838-2
v
Vorwort
Vor 50 Jahren gab es den Begriff "Diskrete Mathematik" nicht, und er ist auch heute
im deutschen Sprachraum keineswegs gebräuchlich. Vorlesungen dazu werden nicht
überall und schon gar nicht mit einem einheitlichen Themenkatalog angeboten (im
Gegensatz zum Beispiel zu den USA, wo sie seit langem einen festen Platz haben).
Die Mathematiker verstehen unter Diskreter Mathematik meist Kombinatorik oder
Graphentheorie, die Informatiker Diskrete Strukturen oder Boolesche Algebren. Das
Hauptanliegen dieses Buches ist daher, solch einen Themenkatalog zu präsentieren,
der alle Grundlagen für ein weiterführendes Studium enthält.
Die Diskrete Mathematik beschäftigt sich vor allem mit endlichen Mengen. Was
kann man in endlichen Mengen studieren? Als allererstes kann man sie abzählen,
dies ist das klassische Thema der Kombinatorik - in Teil I werden wir die wich
tigsten Ideen und Methoden zur Abzählung kennenlernen. Auf endlichen Mengen
ist je nach AufgabensteIlung meist eine einfache Struktur in Form von Relationen
gegeben, von denen die anwendungsreichsten die Graphen sind. Diese Aspekte fas
sen wir in Teil II unter dem Titel Graphen und Algorithmen zusammen. Und
schließlich existiert auf endlichen Mengen oft eine algebraische Struktur (oder man
kann eine solche auf natürliche Weise erklären). Algebraische Systeme sind der
Inhalt von Teil III.
Diese drei Gesichtspunkte bilden den roten Faden des Buches. Ein weiterer
Aspekt, der die Darstellung durchgehend prägt, betrifft den Begriff der Optimierung.
Die Entwicklung, welche die Kombinatorik in den letzten 50 Jahren vollkommen re
volutionierte und sie erst zum heutigen Gebiet der Diskreten Mathematik machte,
war die Frage nach schnellen Algorithmen. Es genügte nicht mehr, ein kombinato
risches Problem theoretisch zu lösen, man wollte eine Lösung explizit konstruieren,
und dies wenn möglich anhand eines schnellen Algorithmus. Es ist sicher kein Zufall,
daß dieser Optimierungsgesichtspunkt gerade Ende der 40'er Jahre an Bedeutung
gewann, genau parallel zur Entwicklung der ersten schnellen Rechner. In diesem
Buch wird dementsprechend großer Wert auf den algorithmischen Standpunkt ge
legt, vor allem in Teil II, wie dies ja auch schon im Titel zum Ausdruck kommt.
Die Diskrete Mathematik ist heute eine Grundlagenwissenschaft auch der Informa
tik, und das Buch sollte durch die Stoffauswahl für Mathematiker und Informatiker
gleichermaßen interessant sein.
Die drei Teile sind so organisiert, daß sie weitgehend unabhängig voneinander
studiert werden können, mit Ausnahme der Kapitell und 5, welche die Grundlagen
der Abzählung und Graphen behandeln - sie sollten in jedem Fall gelesen werden.
Der gesamte Stoff kann in einer zweisemestrigen Vorlesung behandelt werden, die
Kapitel 1 - 3, 5 - 7 und 12 waren Inhalt einer einsemestrigen Veranstaltung. Es
ist üblich, in einem Vorwort auf den Nutzen der Übungen hinzuweisen. In einem
Buch über Diskrete Mathematik kann der Wert der Übungen gar nicht hoch genug
eingeschätzt werden, was man schon daraus erkennen kann, daß die Übungen (und
VI Vorwort
Lösungen) fast ein Viertel des Textes ausmachen. Diskrete Mathematik behandelt
vor allem konkrete Probleme, und ohne Praxis wird man sie trotz aller theoretischer
Kenntnisse nicht lösen können. Zusätzlich wird in den Übungen des öfteren auf
weiterführende Fragen hingewiesen. Die Übungen jedes Kapitels sind (durch einen
Strich) zweigeteilt. Der erste Teil sollte ohne große Mühe zu lösen sein, der zweite
Teil ist etwas schwieriger. Viele Übungen enthalten Hinweise, und für Übungen, die
*
mit bezeichnet sind, findet man im Anhang eine Lösung. Jeder Teil endet mit
einer knappen Literaturliste mit Hinweisen für ein weiterführendes Studium.
An Vorkenntnissen wird nur Vertrautheit mit den mathematischen Grundbegrif
fen vorausgesetzt und an manchen Stellen Kenntnisse aus der Linearen Algebra und
Analysis, wie sie üblicherweise im 1. Semester erworben werden. Die verwendeten
Bezeichnungen entsprechen durchwegs dem Standard, vielleicht mit den folgenden
Ausnahmen:
A = l:Ai Menge A ist disjunkte Vereinigung der Ai
A = TI Ai Menge A ist kartesisches Produkt der Ai
(t) Familie aller k-Untermengen von A.
Der Vorteil ist, daß sich die Bezeichnungen unmittelbar auf die Mengengrößen über
tragen:
= U
Sind die Mengen Ai nicht notwendig disjunkt, so setzen wir wie üblich A Ai. Die
TI
Elemente von Ai = Al X •.. x An sind wie gewohnt alle n-Tupel (al, ... , an), ai E
Ai. Eine k-Menge besteht aus k Elementen. B(8) ist die Familie aller Untermengen
von 8. Die Bezeichnungen rx l, lx Jf ür x E IR bedeuten x aufgerundet auf die nächste
ganze Zahl bzw. x abgerundet. 181 bezeichnet die Anzahl der Elemente in 8.
Das Buch ist aus einer Reihe von Vorlesungen für Mathematik- und Informa
tikstudenten hervorgegangen. Der Mitarbeit (und der Kritik) dieser Hörer gebührt
daher mein erster Dank. Besonderen Dank schulde ich meinem Kollegen G. Stroth
und meinen Studenten T. Biedl, A. Lawrenz und H. Mielke, die den gesamten Text
durchgesehen und an vielen Stellen verbessert haben. T. Thiele hat wesentlich zur
graphischen Gestaltung beigetragen. E. Greene, S. Hoemke und M. Barrett danke
ich herzlich für die kompetente Abfassung in lb\TEX, und dem Vieweg - Verlag für
die angenehme Zusammenarbeit.
Berlin, Ostern 1993 Martin Aigner
VII
Inhaltsverzeichnis
Teil I: Abzählung 1
1 Grundlagen 3
1.1 Elementare Zählprinzipien ..... . 3
1.2 Die fundamentalen Zählkoeffizienten 6
1.3 Permutationen .... . . . . . . . . 10
1.4 Rekursionen.............. 12
1.5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 18
1.6 Existenzaussagen 24
Übungen. 27
2 Summation 34
2.1 Direkte Methoden 34
2.2 Differenzenrechnung 39
2.3 Inversion....... 44
2.4 Inklusion-Exklusion. 48
Übungen ...... . 52
3 Erzeugende Funktionen 57
3.1 Definition und Beispiele ........... . 57
3.2 Lösung von Rekursionen . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Erzeugende Funktionen vom Exponentialtyp . 66
Übungen .................... . 69
4 Asymptotische Analyse 74
4.1 Wachstum von Funktionen. 74
4.2 Größenordnung von Rekursionen 78
4.3 Laufzeit von Algorithmen 81
Übungen ............. . 83
Literatur zu Teil I 87
Teil 11: Graphen und Algorithmen 88
5 Graphen 89
5.1 Definition und Beispiele 89
5.2 Darstellung von Graphen 93
5.3 Wege und Kreise . . 96
5.4 Gerichtete Graphen. 99
Übungen ...... . 102
VIII Inhaltsverzeichnis
6 Bäume 105
6.1 Begriff und Charakterisierung . 105
6.2 Breadth-First und Depth-First Suche 108
6.3 Minimale aufspannende Bäume 110
6.4 Kürzeste Wege in Graphen 113
Übungen. . . . . . . . . . 115
7 Matchings und Netzwerke 120
7.1 Matchings in bipartiten Graphen 120
7.2 Konstruktion von optimalen Matchings 124
7.3 Flüsse in Netzwerken. . . . . . . . . . . 130
7.4 Eulersche Graphen, das Traveling Salesman Problem. 136
7.5 Die Komplexitätsklassen P und NP . 144
Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 Suchen und Sortieren 152
8.1 Suchprobleme und Entscheidungsbäume 152
8.2 Der Hauptsatz der Suchtheorie 155
8.3 Sortieren von Listen 161
8.4 Binäre Suchbäume 167
Übungen. . . . . . . 173
9 Allgemeine Optimierungsmethoden 178
9.1 Backtrack . . . . . . . . . . . 178
9.2 Dynamisches Programmieren 182
9.3 Der Greedy Algorithmus. 188
Übungen. . . . . . . . . . . . 191
Literatur zu Teil 11 195
Teil 111: Algebraische Systeme 196
10 Boolesche Algebren 197
10.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . 197
10.2 Aussagenlogik und Boolesche Funktionen 199
10.3 Logische Netze . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.4 Boolesche Verbände, Ordnungen, Hypergraphen . 207
Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11 Modulare Arithmetik 216
11.1 Rechnen mit Kongruenzen . 216
11.2 Endliche Körper ..... 219
11.3 Lateinische Quadrate. . . 221
11.4 Kombinatorische Designs 225
Übungen. . . . . . . . . . 232
IX
12 Codes und Kryptographie 236
12.1 Problemstellung ............. . 236
12.2 Quellencodierung . . . . . . . . . . . . . 237
12.3 Entdecken und Korrigieren von Fehlern 239
12.4 Lineare Codes . 243
12.5 Kryptographie 247
Übungen .... 252
13 Lineare Optimierung 256
13.1 Beispiele und Definitionen 256
13.2 Dualität . . . . . . . . . . 258
13.3 Der Hauptsatz der linearen Optimierung. 263
13.4 Zulässige Lösungen und optimale Lösungen 268
13.5 Der Simplexalgorithmus . . . . . . 272
13.6 Ganzzahlige lineare Optimierung 278
Übungen .............. . 281
Literatur zu Teil 111 285
Lösungen zu ausgewählten Übungen 286
Sachwortverzeichnis 311
1
Teil I: Abzählung
Die Diskrete Mathematik studiert endliche Mengen, und als erstes wollen wir uns
fragen, wieviele Elemente eine gegebene Menge besitzt. Zum Beispiel können wir
fragen, wieviele Paare die Menge {1, 2, 3, 4} enthält. Die Antwort ist 6, wie jeder weiß
- sehr aufregend ist das Ergebnis aber nicht, da wir daraus nicht erkennen, wieviele
Paare {1, 2, ... , 6} oder {1, 2, ... , 1000} enthalten. Interessant wird die Sache erst,
wenn wir die Anzahl der Paare in {1, ... ,n} für beliebiges n bestimmen können.
Ein typisches diskretes Abzählproblem sieht demnach folgendermaßen aus: Ge
geben sei eine unendliche Familie von endlichen Mengen Sn (wobei n eine Index
menge I durchläuft, z.B. die natürlichen Zahlen), und die Aufgabe besteht darin,
die Zählfunktion f : I No, f(n) = ISn!, n E I, zu bestimmen. Meist sind die
-jo
Mengen Sn durch einfache kombinatorische Bedingungen gegeben.
Als erstes, mehr philosophisches Problem, stellt sich die Frage, was man unter
einer "Bestimmung" von f zu verstehen hat. Am befriedigendsten ist natürlich eine
geschlossene Formel. Ist z.B. Sn die Menge der Permutationen einer n-Menge, so
haben wir f(n) = n!, und jeder wird dies als ausreichende Bestimmung akzeptieren.
Leider ist in den allermeisten Fällen solch eine Formel nicht zu erreichen. Was macht
man dann?
1. Summation. Angenommen, wir wollen nicht alle Permutationen von
{1, ... ,n} abzählen, sondern nur die fixpunktfreien, d.h. jene Permutationen, bei
denen i nicht an i-ter Stelle auftritt, für alle i. Sei Dn die Anzahl dieser Permuta
tionen. Zum Beispiel sind 231, 312 die einzigen fixpunktfreien Permutationen für
En 4(_" k
n = 3, also ist D3 = 2. Wir werden später beweisen, daß Dn = n! für alle
k=o
n gilt. Hier liegt also eine Summationsformel vor.
2. Rekursion. Aus kombinatorischen Erwägungen folgt, wie wir sehen werden,
= =
die Beziehung Dn (n-1)(Dn_1 +Dn-2) für n ~ 3. Aus den Anfangswerten D1
= =
0, D2 1 folgt daraus die allgemeine Formel. Beispielsweise erhalten wir D3 2,
= =
D4 9, Ds 44. Eine Rekursion ist manchmal einer geschlossenen Formel durchaus
vorzuziehen. Die Fibonacci Zahlen Fn sind definiert durch Fo = 0, F1 = 1, Fn =
Fn-1 + Fn-2 (n ~ 2). Später werden wir daraus die Formel Fn = 7s((~)n-
e-/
5 )n) ableiten, aber wahrscheinlich wird jeder (oder zumindest jeder Computer
aufgrund der Irrationalität von y'5) die Rekursion bevorzugen.
3. Erzeugende Funktionen. Eine Methode, die sich als besonders fruchtbar
erwiesen hat, besteht darin, die Werte f(n) der Zählfunktion als Koeffizienten einer
= E
Potenzreihe aufzufassen, F(z) f(n)zn. F(z) heißt dann die Erzeugende Funk-
n~O
tion der Zählfunktion f. Fragen wir z.B. nach der Anzahl der n-Untermengen einer
r-Menge für festes r, so ist f(n) = (~) (Binomialkoeffizient), und wir wissen aus
dem Binomialsatz, daß E (~)zn = (1 + Z)T gilt. Wir werden sehen, wie sich dar-
n~O