Table Of Content

DISCRETE WISKUNDE PhilippeCARAen Tom DENECKERE 7februari 2010 Voorwoord Ditzijn nota’sdienuttigkunnenzijn bijhetstuderenvanhetvak“DiscreteWiskunde”. Dit vakwordtaan deVUBgedoceerdinheteerstebachelorjaar WiskundeenInformatica. Voor informatici wordtdeze cursus gedoceerdin 39 uur. De wiskundigenvolgen slechts 26 uur. Eenanderenaamvoorditvakis“DiscreteStructuren”. Ophetexamenwordtvooralgepeildnaarhetbegripvan decursusendewiskundigetech- niekendie aan debasis liggen. Alle stellingen, lemma’s, gevolgen,... moetengekendzijn, metbewijs. Debewijzendienietindecursusstaanzoudegemiddeldestudentzelfmoeten kunnenvinden. Erwordtdusverwachtdatdezebewijzenookgekendzijn. Meerinformatievindjeopmijnhomepage: http://homepages.vub.ac.be/~pcara Ikverwijsooknaardecursusfichevoormeertechnischeinformatie. Achteraandezenota’svindjeookeenbibliografiemetreferentiewerkendienaastdezetekst kunnengeraadpleegdworden. Zijbevattennogmeervoorbeeldenenoefeningen. Hierbijwensikookdestudentenvande1steBachelorWiskundevanhetacademiejaar2005– 2006tebedankenvoordetalrijkeverbeteringendiezijaanbrachtenindetekst. PhilippeCara 7februari2010 i Inhoudsopgave 1 Eenbeetjebrugcursus 1 1.1 Logica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Kwantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Meerderekwantorenennegaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Deelverzamelingenengelijkeverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.6 Bewerkingenmetverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7 Oneindigeuniesendoorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.8 Cartesischproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.9 Relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.10 Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.11 Beeldeninversbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.12 Ge¨ınduceerdefuncties,restrictieencorestrictie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.13 Injectiesensurjecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.14 Desamenstellingvanfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.15 Inversefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.16 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Stelselsenmatrices 15 2.1 Stelselsvanlineairevergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Matrixnotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Matricesinechelonvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Oplossenvanstelselsmetdespilmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Intermezzo: vectorenenvectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Matrixrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Lineaireafbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8 Enkelevoorbeeldenvanlineaireafbeeldingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ii INHOUDSOPGAVE iii 2.9 Bepalenvandeinversevaneenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Eenvoudigeprincipesvandiscretewiskunde 49 3.1 Deduiventil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Eenvoudigeteltechnieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Tellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Somprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.1 Dubbeltellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2 Woorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.3 Injectiestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.4 Bijectiestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.5 Deelverzamelingentellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.6 DedriehoekvanPascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.7 Herhalingscombinaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 HetbinomiumvanNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Inclusieenexclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Gehelegetallen 66 4.1 Gekendeeigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.1 Anderevoorbeeldenvanringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Welorde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Bewijsperinductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Quotie¨ntenrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5 Grootstegemenedeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Priemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.7 De ϕ-functievanEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.8 Congruenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.9 Equivalentierelatiesenpartities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.10 Modulairrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.11 DeChinesereststelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.12 Publickeycryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.13 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 INHOUDSOPGAVE iv 5 Inleidingtotdegraffentheorie 96 5.1 Definitiesenterminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2 Belangrijkevoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.3 Verderedefinitieseneigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4 Eulerpaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5 Hamiltonpaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.6 Gerichtegraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.7 Isomorfismentussengraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.8 Bomenenbossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.9 Opspannendebomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.10 Tellenvanopspannendebomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.10.1 Matricesalsvoorstellingvangraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.10.2 Hetaantalopspannendebomenineengegevengraf . . . . . . . . . . 112 5.11 Bipartietegraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.12 Koppelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.13 Toewijzingenenhetlessenroosterprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.14 Planaire graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.14.1 Platonischelichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.15 Hetkleurenvanplanairegraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.16 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6 Genererendefuncties 136 6.1 Voorbeeldenendefinitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2 Veralgemeendebinomiaalcoe¨fficie¨nten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3 Partitiesvannatuurlijkegetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3.1 Youngtableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4 Beroemdegenererendefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7 Recurrentievergelijkingen 146 7.1 Homogeneeersteordelineairerecurrentievergelijkingen . . . . . . . . . . . . 146 7.2 Homogenetweedeordelineairerecurrentievergelijkingen . . . . . . . . . . . 148 7.2.1 Tweeree¨lewortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.2.2 Tweecomplextoegevoegdewortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.2.3 Ee´nree¨lewortelmetmultipliciteittwee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 INHOUDSOPGAVE v 7.3 Niet-homogenerecurrentievergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.4 Beroemdeparticuliereoplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.5 Eenmethodemetgenererendefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.6 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8 Aanvullingen 157 8.1 Booleaansealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1.1 EigenschappenvandeBooleaansebewerkingen . . . . . . . . . . . . . 159 8.1.2 Dualiteitsprincipe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.1.3 AbstractedefinitevaneenBooleaansealgebra . . . . . . . . . . . . . . 160 8.1.4 VoorschriftenvoorBooleaanseafbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.1.5 Schakelingenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.1.6 ReductievanBooleaansevoorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.2 Padeningraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.2.1 Kortstepadeningewogengraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.2.2 Stromeningewogengerichtegraffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.2.3 Enkeletoepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.3 Compressie: HuffmanenLempel-Ziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 A DestellingvanCauchy–Binet 184 A.1 Herhalingennotatievoordeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A.2 Destelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.3 Deheldenvanditverhaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 B Decomplexegetallen 188 B.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 B.2 Meetkundigeinterpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 B.3 Decomplexeexponentie¨lefunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 B.4 Delogaritmischefunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 B.5 Decomplexetrigonometrischefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 B.6 Decomplexen-demachtswortel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 B.7 Complexeveeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Bibliografie 196 Index 197 Hoofdstuk 1 Een beetje brugcursus Dit hoofdstukis gebaseerdopdebrugcursus“WiskundeI”(VUBuitgaven)enhoofdstuk0 vandecursus“MeetkundeenLineaireAlgebra”vanProf. Kieboom. 1.1 Logica Dewiskundeisopgebouwduit“logischeredeneringen”. Dezeredeneringenwordeninhet algemeenbestudeerdindewiskundigedisciplinedie“logica”heet. Logicakomtuitgebreid aan bod in de cursus “Grondslagen van de informatica I” (Prof. De Troyer). Wij zullen detaalen notatievan dezogenaamdepredikatenlogicagebruikenomredeneringenneerte schrijven. Weherhalenhierenkelenotatiesenbegrippen: • deimplicatie: p q(“Als pdanq”). ñ Voorbeeld. “xisdeelbaardoor10 xiseven”. ñ • denegatie: p. Voorbeeld. “Hetregentniet”. • de contrapositie van de implicatie: p q is equivalent met q p. Dit is zeer ñ ñ belangrijk! Voorbeeld. Omtebewijzendat“n2 even neven”ishetgemakkelijker tebewijzendat“n oneven n2 oneven”. ñ ñ • de equivalentie: p q (“p is equivalent met q”). p q is equivalent met p   p ñ q q p of p q p q q^p ñ q p ñ q^p ñ q Voorbeeld. “n2even neven”.  • negatievandeimplicatie: p q isequivalentmet p q. p ñ q ^ Opmerking. Denegatievandeimplicatieisniethetzelfdealscontrapositie! 1 HOOFDSTUK1. EENBEETJEBRUGCURSUS 2 1.2 Verzamelingen Een fundamenteel begrip in de wiskunde is verzameling. Het is echter moeilijk dit begrip preciestedefinie¨ren. Verzamelingen laten toealle (wiskundige)objectenmetdezelfdeken- merkentegroeperenofteverzamelen. Voorbeeld. De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee verschillendedelersbezitten. Eenobjectuiteengegevenverzamelingheeteenelement. Wenoterenverzamelingenmeest- al met Latijnse hoofdletters: A,B,C,...,X,Y,Z. Sommige verzamelingen verdienen een speciaalsymbool: • N 0,1,2,... : denatuurlijkegetallen (cid:16)t u • Z ..., 3, 2, 1,0,1,2,... : degehelegetallen (cid:16)t (cid:1) (cid:1) (cid:1) u • Q a a,b Z b 0 : derationalegetallen (cid:16)tb ~ P ^ (cid:127)(cid:16) u • R: deree¨legetallen • C a bi a,b R : decomplexegetallen (cid:16)t (cid:0) ~ P u Merk op: Een verzameling kan gedefinieerd worden door haar elementen op te sommen tussen accolades. We kunnen ook een algemene beschrijving geven van haar elementen zoals in hetvoorbeeldvan Q. Hierbijmoetjehetverticale streepje“ ”lezenals “waarvoor ~ geldt”. Hetsymbool“ ”betekent“iselementvan”of“behoorttot”. Meervoorbeelden: P • R x R x 0 0 (cid:16)t P ~ (cid:127)(cid:16) u • R x R x 0 (cid:0) (cid:16)t P ~ ¥ u • R x R x 0 (cid:0)0 (cid:16)t P ~ ¡ u ∅ Delegeverzameling bevatgeenelementen. x A kortenweaftotx A,“xbehoortniettot A”. p P q R 1.3 Kwantoren Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven verza- meling. Omdittenoterengebruikenwedekwantor“vooralle”: .  Voorbeeld. x R : x2 0.  P ¥ Hetdubbelpunt“:” betekentineenlogischeuitspraak“geldt”. Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor minstense´e´nelementineengegevenverzameling. Voorbeeld. x R : x2 x. D P (cid:16) HOOFDSTUK1. EENBEETJEBRUGCURSUS 3 Somswilmenbenadrukkendaterslechtse´e´nelementbestaatmetdegegeveneigenschap. Voorbeeld. D!x PR(cid:0)0 : x2 (cid:16)x. 1.4 Meerdere kwantoren en negaties Devolgordevankwantorenheeftbelang! Bijvoorbeeld x R : y R : x2 y (cid:0)  P D P (cid:16) iswaar,terwijl y R : x R : x2 y (cid:0) D P  P (cid:16) onwaaris. Opmerking. Delettersdiewegebruikenalsvariabelen hebbenuiteraardgeenbelang: β R : b R : β2 b (cid:0)  P D P (cid:16) isdezelfdeuitspraakalsdeeerste,maarandersgeschreven. Negatiesvanuitsprakenzijnzeerbelangrijk. Denkbijvoorbeeldaanhetbewijsdoorcontra- positie. De negatie van x X : p x is x X : p x en de negatie van x X : p x is  P p q D P p q D P p q x X : p x .  P p q Voorbeeld. Denegatievan εPR(cid:0)0 :DδPR(cid:0)0 :x PX :p|x(cid:1)a| δqñp|fpxq(cid:1) fpaq| εq is DεPR(cid:0)0 :δPR(cid:0)0 :Dx PX :p|x(cid:1)a| δq^p|fpxq(cid:1) fpaq|¥εq 1.5 Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat Aeendeelverzameling isvan Bofdat Bdeverzameling Aomvat. Symbolisch: A B a A : a B €  P P ∅ Voor A B schrijven we ook B A. We hebben steeds B B en B. Alle andere € (cid:129) € € deelverzamelingenhetenechtedeelverzamelingen van B. Voorbeelden. • 1,2,3 N Z Q R C. t u€ € € € € HOOFDSTUK1. EENBEETJEBRUGCURSUS 4 • Z R (cid:0) ‚ Tweeverzamelingen AenBzijngelijkindienzedezelfdeelementenhebben. Ditishetgeval als enslechts als A B B A . We noteren(uiteraard) A B. Gevolg: A B indien p € q^p € q (cid:16) (cid:127)(cid:16) A B B A ,d.w.z. a A : a B b B : b A . p ‚ q_p ‚ q pD P R q_pD P R q De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we P X . Ergeldtdus p q P X Sverzameling S X p q (cid:16)t ~ € u 1.6 Bewerkingen met verzamelingen Dedoorsnedevan AenBisdeverzameling A B x A x B . Tweeverzamelingen A ∅ X (cid:16)t P ~ P u enBhetendisjunctindien A B ,d.w.z.zehebbengeenelementengemeenschappelijk. X (cid:16) De unie van A en B is A B x x A x B . Het verschil van A en B is de Y (cid:16) t ~p P q_p P qu verzameling A B x x A x B . z (cid:16)t ~p P q^p R qu Voorbeeld. Stel A 1,2,3 en B 2,3,4,5 . Dan geldt: A B 2,3 , A B 1,2,3,4,5 , (cid:16) t u (cid:16) t u X (cid:16) t u Y (cid:16) t u A B 1 enB A 4,5 z (cid:16)t u z (cid:16)t u AlsA B,danheetB Ahetcomplementvan At.o.v.B. Somsspeelteenwiskundigetheorie € z zich volledig af in een gegeven verzameling U. In dat geval worden alle complementen berekendt.o.v. U (tenzij anders vermeld natuurlijk). Voor A U noteertmen dan kort Ac, € A¯ of A voor het complement U A. De verzameling U noemt men het universum van de A z theorie. 1.7 Oneindige unies en doorsneden Zij I een verzameling. Onderstel dat voor elke i I een verzameling A gegeven is. Zo i bekomenweeenverzamelingA A i I vanvPerzamelingengeı¨ndexeerddoor I. i (cid:16)t ~ P u Voorbeeld. Stel I 3,4,5,6,7 en A 1,2,3,...,i . Dan is A 1,2,3 , A 1,2,3,4 enz. i 3 4 Stel J N ,B 0(cid:16),1t,eengeslouteninter(cid:16)vatlinR. DanuisB 0,1 ,(cid:16)B t 0,u1 enz(cid:16). t u (cid:16) 0 j (cid:16)r js 1 (cid:16)r s 2 (cid:16)r 2s Dedoorsnedevanalleverzamelingenge¨ındexeerddoor I definie¨renweals £A £A x i I : x A i i (cid:16) (cid:16)t ~ P P u i I P enanaloogdefinie¨renwedeunie ¤A ¤A x i I : x A . i i (cid:16) (cid:16)t ~D P P u i I P

ebook img

Discrete Wiskunde PDF

54 Pages·2010·0.377 MB·Dutch
by  Philippe Cara, Tom Deneckere
#
Save to my drive
Quick download
Download

Download Discrete Wiskunde PDF Free - Full Version

by Philippe Cara, Tom Deneckere| 2010| 54 pages| 0.377| Dutch

Download Discrete Wiskunde by Philippe Cara, Tom Deneckere in PDF format completely FREE. No registration required, no payment needed. Get instant access to this valuable resource on PDFdrive.to!

Free Download PDF

About Discrete Wiskunde

No description available for this book.

Detailed Information

Author:Philippe Cara, Tom Deneckere
Publication Year:2010
ISBN:2248946
Pages:54
Language:Dutch
File Size:0.377
Format:PDF
Price:FREE
Download Free PDF

Safe & Secure Download - No registration required

Why Choose PDFdrive for Your Free Discrete Wiskunde Download?

  • 100% Free: No hidden fees or subscriptions required for one book every day.
  • No Registration: Immediate access is available without creating accounts for one book every day.
  • Safe and Secure: Clean downloads without malware or viruses
  • Multiple Formats: PDF, MOBI, Mpub,... optimized for all devices
  • Educational Resource: Supporting knowledge sharing and learning

Free Books Similar to Discrete Wiskunde

Frequently Asked Questions

Is it really free to download Discrete Wiskunde PDF?

Yes, on https://PDFdrive.to you can download Discrete Wiskunde by Philippe Cara, Tom Deneckere completely free. We don't require any payment, subscription, or registration to access this PDF file. For 3 books every day.

How can I read Discrete Wiskunde on my mobile device?

After downloading Discrete Wiskunde PDF, you can open it with any PDF reader app on your phone or tablet. We recommend using Adobe Acrobat Reader, Apple Books, or Google Play Books for the best reading experience.

Is this the full version of Discrete Wiskunde?

Yes, this is the complete PDF version of Discrete Wiskunde by Philippe Cara, Tom Deneckere. You will be able to read the entire content as in the printed version without missing any pages.

Is it legal to download Discrete Wiskunde PDF for free?

https://PDFdrive.to provides links to free educational resources available online. We do not store any files on our servers. Please be aware of copyright laws in your country before downloading.

The materials shared are intended for research, educational, and personal use in accordance with fair use principles.

We use cookies

We use cookies to ensure you get the best browsing experience on our website. By clicking "Accept Cookies", you agree that we can store cookies on your device in accordance with our Terms and Privacy.