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Meinen umfangreichen V erlag auf dem Gebiete der Mathematischen,
der Technischen und Naturwissenschaften nach allen Richtungen hin
weiter auszubauen, ist mein stetes durch das Vertrauen und Wohlwollen
zahlreicher hervorragender Vertreter obiger Gebiete von Erfolg begleitetes
Bemühen, wie mein Verlagskatalog zeigt, und ich hoffe, daß bei gleicher
Unterstützung seitens der Gelehrten und Schulmänner des In- und Auslandes
auch meine weiteren Unternehmungen Lehrenden und Lernenden in Wissen
Sl:haft und Schule jederzeit förderlich sein werden. Verlagsanerbieten ge
diegener Arbeiten auf einschlägigem Gebiete werden mir deshalb, wenn
auch schon gleiche oder ähnliche Werke über denselben Gegenstand in
meinem Verlage erschienen sind, stets sehr willkommen sein.
Unter meinen zahlreichen Unternehmungen mache ich ganz besonders
auf die von den Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig,
München und Wien heransgegebene Encyklopädie der Mathematischen
Wissenschaften aufmerksam, die in 7 Bänden die Arithmetik und Algebra,
die Analysis,. die Geometrie, die Mechanik, die Physik, die Geodäsie und
Geophysik und die Astronomie liehandelt und in einem Schlußband
historische, philosophische und didaktische Fragen besprechen wird. Eine
französische Ausgabe, von französischen Mathematikern besorgt, hat zu
erscheinen begonnen.
Weitester Verbreitung erfreuen sich die mathematischen und natur
wissenschaftlichen Zeitschriften meines Verlags, als da sind: Die Mathe
matischen Annalen, die Bibliotheca Mathematica (Zeitschrift für Ge
schichte der Mathematischen Wissenschaften), das Archiv der Mathematik
und Physik, der .Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereini
gung, die Zeitschrift für Mathematik und Physik (Organ für
augewandte Mathematik), die Zeitschrift für mathematischen und natur
wissenschaftlichen Unterricht, die Mathematisch-naturwissenschaft
lichen Blätter, ferner Natur und Schule (Zeitschrift für den gesamten natur
kundlichen Unterricht aller Schulen), die Geographische Zeitschrift u. a.
Seit 1868 veröffentliche ich: "Mitteilungen der Verlagsbuchhandlung
B. G. Teubner". Diese jährlich zweimal erscheinenden "Mitteilungen", die
unentgeltlich in 30 000 Exemplaren sowohl im In- als auch im Auslande
von mir verbreitet werden, sollen das Publikum, das meinem Verlage
Aufmerksamkeit schenkt, von den erschienenen, unter der Presse befindlichen
und von den vorbereiteten Unternehmungen des Teubnerschen Verlags in
Kenntnis setzen und sind ebenso wie das bis auf die Jüngstzeit fortgeführte
Ausführliche Verzeichnis des Verlags von B. G. Teubner auf dem
Gebiete der Mathematik, der Technischen und Naturwissenschaften
nebst Grenzgebieten, 100. Ausgabe [XLVIII u. 272 S. gr. 8], in allen Buch
handlungen unentgeltlich zu haben, werden auf Wunsch aber auch unter
Kreuzband von mir unmittelbar an die BestAller übersandt.
Lt1IPZIG, Poststraße 3. B. G. Teubner.
MATHEMATISCHE VORLESUNGEN AN DER UNIVERSITÄT GÖTIINGEN:II
DIOPHANTISCHE APPROXIMATIONEN
EINE EINFÜHRUNG IN DIE
ZAHLENTHEORIE
V0::\1
HERMANN MINKOWSKI
0 PROF.I!E:SOR A D. UNIY:ERSITA'l' (JÜT'riNGEN
MIT 82 IN DEN TEXT GEDIWCKTEN FIGUREN
SPRINGERFACHMEDIEN WIESBADEN GMBH 1907
ISBN 978-3-663-15483-9 ISBN 978-3-663-16055-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-16055-7
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER IST EDITION 1907
ALI,E RBCHTE,
EINSCHJ,JESSLICH DES ÜBER8ETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
HERRN
HEINRICH WEBER
I'HOFERSOH Z"C STRASSBCHG BI ELSAHH
IN HERZLICHER VEHEHHUNG
GEWIDMET
\,_onvort.
Der Urquell aller Mathematik sind die ganzen Zahlen. Dies
verstehe ich nicht bloß in dem althergebrachten Sinne, daß auch der
Begriff des Kontinuums sich aus der Betrachtung diskreter Mengen
ableitet. Vielmehr denke ich bei diesen \V orten an Ergehnisse neueren
Datums. Die Beherrschung der Exponentialfunktion YOn der Kreis
teilung aus, die Erfassung der elliptischen Funktionen mittels der
Modulargleichungen lassen znversichtlich glauben, daß die tiefsten Zu
sammenhiinge in der Analysis arithmetischer Natur sind. Diese Zu
versicht hat heute schon Erfolge gezeitigt. ~ichtsdestoweniger sind
die Theorien, die eines '.L'ages solche Ahnungen in Gewißheit um
wandeln sollen, noch weit daYon entfernt, Gerneingut zu sein. Außer
halb eines engen Kreises deutscher Mathematiker ist die Zahlentheorie
in den letzten Dezennien wenig gepflegt, wenig gefördert worden.
~Wie mag es zugehen, daß so Viele von den eigenartigen, durch
die Zahlentheorie ausgeliisten Stimmungen kaum einen Haut.:h ver
spüren? Die Schiipfungen eines Gauß und anderer Großen sind zu
erhaben. Für diejenigen, rlie nicht nur erbaut, auch ergötzt sein
mögen, liegen zu wenig leicht einschmeichelnde Melodien in dieser
gewaltigen Musik. Vielleicht ließen sich da Anhänger für die reinen
Lehren der Arithmetik eher nach der Methode der ~alutisten werben.
Von solchen Erwiigungen her kam ich zu einer Art Metamor
phose des klassischen Lehrgangs der Zahlentheorie. In einer durchaus
elementar gehaltenen kleineren Vorlesung, die ich im ~Wintersemester
Hlü3;-± hielt, rückte ich geometrische und analytische Prohlemstellungrn
in den Vordergruml und drang rlahei doch ziemlich weit in die Theorie
der algebraischen Zahlkiirper ein. Es \Yar von vornherein meine Ab
sicht gewesen, die V orlesnng, die auch vieles neue hraehte, zu Yer
öffentlichen. Die Publikation zog sich 1ngen anderer Arbeiten hinaus.
Herr Dr. A. Axer, einer meiner damaligen Zuhörer, hat seinerzeit mit
großer Sorgfalt die Vorlesung ansgearbeitet und noch ein letztes Kapitel
nach Aufzeichnungen in einem Mannskript von mir angefügt. Für
seine wertvolle und h·eue ~Iitarbeit hin ieh ihm zu großem Danke
Yerpflich tet.
Inhaltsverzeichnis.
Erstes Kapitel.
Anwendungen eines elementaren Prinzips.
~ 1. Begriff der näehsten ganzen Zahl. . . . . . . . . 1
§ 2. Anniiherung an eine beliebige reelle Größe . . . 2
§ 3. Anwendung auf linenre Diophantische Gleichungen 3
§ 4. Zirkulare Anordnung von Intervallen . . 4
§ r). Angeniiberte Dar;tellung zweier Größen . li
\i G. Satz über drei ternäre lineare Formen . 9
\i 7. Das Minimum eines Formensystems. . . 10
\i 8. Variation und Transformation linearer }'orruen 12
~ \l. Ausführung besonderer Variationen . . . . . . 16
§ 10. G-renzf;ille des Satzes über drei ternlire lineare Formen 18
Zweites Kapitel.
Zahlengitter in zwei Dimensionen.
~ 1. Geometrisehe Darstellung des Zahlm1gith•rs ~0
§ 2. Ratz über zwei binäre lineare Formen ~o
~ 3. Strenge Begründung der oberen Grenze fiir das Minimum :!3
~ 4. Grenzfälle des Satzes über zwei binlire lineare Formen 24
~ 5. Allgemeiner Satz über konvexe Figuren mit l\Iittelpunkt 28
~ H. Das Produkt zweier binärer linearer }'ormen 31
§ 7. Verteilung der Uitterpnnkte in einem Parallelogramm vom Inhalt 4. 32
\; 8. Eigenschaften der Lösungen von i ~1), <}. 36
~ 9. Die Kette der primitiven Lösungen. 39
\i 10. Ketten mit Ende 40
~ 11. Kichthomogene zerlegbare (1 uadratische Ausdriieke. 42
\i 12. Paare primitiver Lösungen. 4li
~ 1:>. Potenzsummen 47
~ 14. Der .Maximalwert fiir das :\Iinimum von I~ P+ 11 P ill
Drittes Kapitel.
Zahlengitter in drei Dimensionen.
1. Definition des Z:ablengitters in drei Dimensionen. 59
2. Theorem über konvexe Körper mit Mittelpunkt 60
3. Urenzflille des letzteren Theorems . . . . . . . . . !\1
4. Chamkter der OberlEiche bei einem maximalen Jll/2-Körper 63
5. Die Anzahl der ~eitenfUtchen eines maximalen JI-Körpers (j[)
li. Die Anzahl der Gitterpunkte auf einem M-Körpcr . 66
7. Parallelepipede . . . 67
H. Elliptische Zylinder . . . . . . . . 7ö
Inhaltsverzeichnis. YII
Seite
§ 9. Oktaeder . . . . . . . . . . ..... . 77
§ 10. Doppelkegel . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 11. Dichteste Lagerung kongruenter homologer Körper 8:.!
§ 12. Analytischer Charakter der konvexen Körper . Si
§ 13. Relative Dichte zweier Gitter . . . . . . . . 87
§ 14. Adaption eines Zahlengitters in bezug auf eiu enthaltenes Gitter \JO
§ 15. Dreifache Stufen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \!5
§ 16. Gitteroktaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 17. Analytische Formulierung der Bedingungen für eine dichtt'ste gitter-
förmige Lagerung kongruenter Körper im Raume 101
§ 18. Dichteste Lagerung von Kugeln . . . . 105
§ 19. Arithmetische Folgerungen . . . . . . 111
§ 20. Anwendungen auf die Äf!uivalenztheorie der ternären f!uaclratisehen
Formen . . . . . . . 113
Viertes Kapitel.
Zur Theorie der algebraischen Zahlen.
s 1. Begriff der ganzen Zahl . . 118
§ 2. Der kubische Körper 121
§ 3. Diskriminante des Körper>. 125
§ 4. Eine Eigenschaft der Diskriminanten von Zahlkörpern 127
s 5. Endlichkeit der Anzahl der zu gegebener Diskriminante gehörigen
Körper ........ . 130
§ 6. Einheiten. . . . . . . ... . 133
§ 7. Einheitswurzeln in einem Zahlkörper 13i
§ 8. Existenz der von Einheitswurzeln verschiedenen B~inheiten in einem
Körper ............... . 136
§ fl. Zusammenhang zwischen den Einheiten eines Körpers 142
Fünftes Kapitel.
Zur Theorie der Ideale.
§ 1. Teilbarkeit der ganzen 7.ahlen. li9
§ 2. Ideale. 153
s& 3. Basis eines Ideals 156
§ 4. Norm eines Ideals 158
§ i). Äquivalente Ideale. Idealklassen 160
§ lL Endlichkeit der Anzahl der Idealklassen 162
§ 7. Beispiel. 16i
§ ~. ::\Iultiplikation von Idealen 167
§ \!. Reziproke Idealklassen . 171
,.,
§ 10. Teilbarkeit von Idealen. 1-"
§ 11. Zerlcgung von Idealen in Primideale 17G
§ 12. Eindeutigkeit der Zerlegung von Idealen in Primideale 178
§ 13. l~estensystem nach einem Ideal . 17\J
§ 14. Sätze über Normen von Idealen . 181
Sechstes Kapitel.
Annäherung komplexer Größen durch Zahlen des Körpers
der dritten oder der vierten Einheitswurzeln.
s
1. Zahlengitter in vier Dimen~ionen und konvexe Körper in demselben. 18ll
§ 2. Einführung des Imaginliren . . . . . . . . . . . 188
nn Inhaltsverzeichnis.
Seite
'~ 3. Gitterpunkte auf einem JI-Körper . . . . . . . . . . . 18\:1
:;;; J. Genaue Ermittlung der zulässigen Werte von ]<) im Falle de~ Zahl-
körpers K(i). Charakter vierfacher ~?VI -Körper. . . . 192
~ 5. Satz über zwei bin}\re lineare Formen mit komplexen Variabeln für
den Zahlkörper K(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
~ ß. Genaue Beotimmung des l\Iinimums von zwei binären linearen For-
men im Falle von K(i') . . . . . . . . . . . . . . . . 20:J
~ 7. Endgültige Formulierung des Satzes über zwei binf\re lineare Formen
für K(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21ß
s 8. Bestimmung der zuHL,.;sigen ·werte von E im Falle von K (j). Charakter
vierfacher 11[-Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
s 9. Satz über zwei binllre lineare Formen mit komplexen Variabeln
für K(j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22ß
~ 10. Genaue Bestimmung des .Minimums von zwei bin}\ren linearen For-
men im Falle von K(j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
§ 11. Endgültige Formulierung des Satzes über zwei bin1lre lineare Formen
für ]( l,j\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2:l2
Erstes Kapitel.
Anwendungen eines elementaren Prinzips.
Die Betrachtungen dieses Kapitels werden sich auf ein einfaches
Prinzip stützen, von welchem Dirichlet seinerzeit mehrere tief
liegende .Anwendungen gemacht hat; dasselbe lautet:
+
lVenn n 1 Dinge auf' n Fächer irgendn·ie verteilt zcerden, so
muß es darunter mindestens ein J?ach geben, tcelches mehr als ein Ding
anf'nimmt.
§ 1. Begriff der nächsten ganzen Zahl.
vVir stellen uns das System der ganzen rationalen Zahlen in der
üblichen Weise durch eine Skala äquidistanter Punkte auf emer un
begrenzten Geraden dar (Fig. 1) und wollen festsetzen, daß zu jedem
der entstandenen Intervalle
YOn der absoluten Länge 1 a
-1 0 I
etwa bloß der linke End-
}'ig. 1.
punkt gerechnet werde;
dann wird jeder Punkt der Geraden in ein bestimmtes Intervall hinein
versetzt, so daß sich zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Größe a
+
zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen x und x 1 derart eindeutig
0 0
angeben lassen, daß
"? < + <
x0 a x0 1 oder 0 :'-:;_ a - J'0 1 (1)
wird. Die Zahl x. die nac/1 linl,os niicltsfc Zahl ron a. heißt die yriißte
ganze Zahl in n nnd wird nach Gauß mit [u] bezeichnet.
Zählt man dagegen zu jedem Intervalle dessen rechten Endpunkt
und den linken nicht, so gehören eindeutig zu jedem beliebigen a
zwe1 ganze Zahlen x1 - 1 und x1, derart, daß
(2)
ist; x ist dann die nach rcclds 11iid1ste yanzc Zahl ron n.
1
x0 und J'1 sind offenbar die Endpunkte chws Intenalles, den Fall
ausgenommen, wo a eine ganze Zahl ist und sonach J'0 und .1'1 in 11
zusammenfallen.
Jli11kuwski, di(Jphant. Appr(IXimah(Hl('Jl
