Dijkstra's Shortest Path Algorithm

240 Pages·2014·20.57 MB·German

by  Rolf Möhring

Graphen- und Netzwerkalgorithmen
(ADM I)
Skript
Rolf Möhring
SS 2010
Stand 13 September 2010
Contents 1-1

1. Einführung
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM) ............................................................................................................................ 3
1.2 Inhalt von ADM I ...................................................................................................................................................................... 4
1.3 Inhalt von ADM II ..................................................................................................................................................................... 5
1.4 Anwendungen und Industrie Kooperationen............................................................................................................................ 6
VL im SS 2010 ............................................................................................................................................................................... 7
2. Graphen
2.1 Grundbegriffe............................................................................................................................................................................ 9
2.2 Zusammenhang, Bäume, Kreise und Schnitte ...................................................................................................................... 10
2.3 Graphensuche und Zusammenhang ...................................................................................................................................... 11
2.4 Eulersche, Hamiltonische und bipartite Graphen ................................................................................................................... 12
3. Minimal spannende Bäume
3.1 Problemstellung und Optimalitätskriterien ............................................................................................................................. 14
3.2 Ein allgemeiner Algorithmus................................................................................................................................................... 15
3.3 Die Spezialisierungen von Kruskal und Prim ......................................................................................................................... 16
4. Kürzeste Wege
4.1 Einführung und Kürzeste-Wege-Baum................................................................................................................................... 18
4.2 Labeling und Scanning........................................................................................................................................................... 19
4.3 Die Spezialisierungen für azkyklische Graphen, c(e) ≥ 0 und beliebige c(e) ......................................................................... 20
4.4 Kürzeste Wege zwischen je zwei Knoten .............................................................................................................................. 21
4.5 Negative Zykel und Zykel mit minimalem mittleren Gewicht ................................................................................................. 22
5. Flüsse in Netzwerken
5.1 Einführung .............................................................................................................................................................................. 24
5.2 Der Max-Fluss Min-Schnitt Satz ............................................................................................................................................ 25
5.3 Sätze vom Menger Typ .......................................................................................................................................................... 26
5.4 Der Edmonds-Karp Algorithmus und blockierende Flüsse..................................................................................................... 27
5.5 Der Goldberg-Tarjan Algorithmus ........................................................................................................................................... 28
6. Kostenminimale Flüsse
6.1 Problemformulierung .............................................................................................................................................................. 30
6.2 Ein Optimalitätskriterium ........................................................................................................................................................ 31
Contents 1-2

6.3 Der Minimum-Mean-Cycle-Canceling Algorithmus................................................................................................................. 32
6.4 Der Successive-Shortest-Path Algorithmus .......................................................................................................................... 33
7. Maximale Matchings
7.1 Einführung und das Chinese Postman Problem .................................................................................................................... 35
7.2 Matchings in bipartiten Graphen ............................................................................................................................................ 36
7.3 Edmonds Matching Algorithmus ............................................................................................................................................ 37
8. NP-Vollständigkeit
8.1 Kodierungen und Rechnermodelle.......................................................................................................................................... 39
8.2 Die Klassen P und NP ........................................................................................................................................................... 40
8.3 Einige NP-vollständige Probleme........................................................................................................................................... 41
8.4 Die Klasse coNP .................................................................................................................................................................... 42
8.5 NP-schwere und stark NP-vollständige Probleme ................................................................................................................. 43
9. Approximationsalgorithmen
9.1 Einführung am Metrischen TSP ............................................................................................................................................. 45
9.2 Absolute Approximationsalgorithmen ..................................................................................................................................... 46
9.3 Approximationsschemata ....................................................................................................................................................... 47
9.4 Approximationsalgorithmen mit konstanter Gütegarantie ...................................................................................................... 48
9.5 Problemklassen ohne konstante Approximationsgüte ........................................................................................................... 49
Symbole
mathematisch ............................................................................................................................................................................... 51
griechisch ..................................................................................................................................................................................... 52
Indizes .......................................................................................................................................................................................... 53
Other............................................................................................................................................................................................. 54
1. Einführung 2

1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM) ............................................................................................................................... 3
1.2 Inhalt von ADM I ......................................................................................................................................................................... 4
1.3 Inhalt von ADM II ........................................................................................................................................................................ 5
1.4 Anwendungen und Industrie Kooperationen............................................................................................................................... 6
VL im SS 2010 .................................................................................................................................................................................. 7
1. Einführung 3-1
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Zur Entstehung der ADM
Junges Gebiet, hat Wurzeln in
Algebra, Graphentheorie, Kombinatorik
Informatik (Algorithmik)
Optimierung
Behandelt Optimierungsfragen bei Diskreten Strukturen
Graphen, Netzwerke
endliche Lösungsmenge
Anwendungen
Telekommunikations- und Verkehrsnetze
Logistik, Produktionsplanung, Standortoptimierung
...
Beispiele von Optimierungsproblemen bei Diskreten Strukturen
Optimale Versorgungsnetze
Problembeschreibung
Gegeben: Orte in der Ebene
1. Einführung 3-2
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Gesucht: Versorgungsnetz minimaler Gesamtlänge
Erste Einsicht
Minimale Versorgungsnetze sind Bäume
1. Einführung 3-3
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Bestimme spannenden Baum minimaler Gesamtlänge
Optimaler Weg eines Laserbohrers
Problembeschreibung
Gegeben: Punkte für Bohrungen auf einem Werkstück
1. Einführung 3-4
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
z.B. bei Leiterplatinen
1. Einführung 3-5
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
1. Einführung 3-6
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Gesucht: Tour durch alle Punkte mit minimaler Gesamtlänge
Zufällige Reihenfolge
1. Einführung 3-7
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Länge 1.038.839
Optimierte Reihenfolge
1. Einführung 3-8
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Länge 113.887
Vorlesungszyklus ADM an der TU Berlin
Grundvorlesungen
Graphen- und Netzwerkalgorithmen (ADM I)
Lineare und Ganzzahlige Optimierung (ADM II)
1. Einführung 3-9
1.1 Algorithmische Diskrete Mathematik (ADM)
Lineare und Ganzzahlige Optimierung (ADM II)
Vertiefung (ADM III) eine Vorlesung aus Katalog
Scheduling Probleme
Angewandte Netzwerkoptimierung
Polyedertheorie
...
Seminar (teils bereits parallel zu ADM II oder ADM III), für BA keine Pflicht, aber empfohlen
Bachelorarbeit
1. Einführung 4
1.2 Inhalt von ADM I
Kombinatorik von Graphen und Netzwerken
mathematische Theorie
Grundlegende Algorithmen der Netzwerkoptimierung
minimal spannende Bäume
kürzeste Wege
kostenminimale Flüsse
optimale Zuordnungen
Komplexität von Problemklassen
was ist schwerer, “optimaler Baum” oder “optimale Tour” ?
Die Klassen P und NP
Methoden zur Lösung schwerer Probleme
Approximationsalgorithmen
Lokale Suche
Übungen mit Implementationsaufgaben
Ausgewählte Algorithmen der Vorlesung implementieren
1. Einführung 5-1
1.3 Inhalt von ADM II
Lineare Optimierungsprobleme
lineare Zielfunktion, lineare Ungleichungen als Nebenbedingungen
Lineare Optimierung: min cTx unter Ax ! b, x " 0
Simplexalgorithmus
Dualität
Geometrie linearer Optimierungsprobleme
Ax ! b, x " 0 definieren Polyeder
Optimum wird auf Ecke angenommen
Simplexalgorithmus durchläuft Ecken
1. Einführung 5-2
1.3 Inhalt von ADM II
Diskrete Probleme als Lineare Optimierungsprobleme
Polyedertheorie
diskrete Probleme als geometrische Probleme
minimal spannende Bäume als Vektoren
gegebener Graph G
1. Einführung 5-3
1.3 Inhalt von ADM II
3
1 2
minimal spannende Bäume von G als Vektoren (Inzidenzvektoren)
3 3
1 1 0
! 1 ! 0 ! 1
1 2 1 2
0 1 1
Konvexe Hülle der Inzidenzvektoren = Polytop (gelbe Menge)
Polytop = gelbe Menge
Ermittlung minimal spannender Baum = lineare Optimierung über diesem Polytop
1. Einführung 5-4
1.3 Inhalt von ADM II
Ganzzahlige lineare Optimierung
Variablen dürfen nur ganzzahlige Werte annehmen
viele Anwendungsprobleme sind von diesem Typ
deutlich schwierigere Probleme
Lösungsverfahren
Lagrange Relaxation
Schnittebenenverfahren
LP-basierte Approximationsalgorithmen
...
Übungen mit Implementationsaufgaben
11.. EEiinnffüühhrruunngg 66--11
11..44 AAnnwweenndduunnggeenn uunndd IInndduussttrriiee KKooooppeerraattiioonneenn
Telekommunikation
Kostenoptimale Einbettungen von VPNs in das Basisnetz der Telekom (T-Systems)
Verkehr
11.. EEiinnffüühhrruunngg 66--22
11..44 AAnnwweenndduunnggeenn uunndd IInndduussttrriiee KKooooppeerraattiioonneenn
Verkehrssteuerung (DaimlerChrysler)
Straßennetze und Graphen

Berlin Graph hat 10.000 Knoten und 30.000 Kanten
Staumodellierung