Table Of ContentDihedral homologi på skjemaer
og étale descent
av
Arthur Mårtensson
MASTEROPPGAVE
for graden
Master i Matematikk
(Master of Science)
Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet
Universitetet i Oslo
November 2012
Faculty of Mathematics and Natural Sciences
University of Oslo
Sammendrag
Formålet med denne teksten er å innføre nødvendig teori og utvide
definisjonen av dihedral homologi av en k-algebra A til å gjelde generelle
skjemaer over k, tilsvarende det Weibel har gjort for syklisk homologi.
Geller-Weibels om étale descent for syklisk homologi tilpasses også til
dihedral homologi.
Innledning
I første kapittel kommer jeg med de algebraiske definisjonene som er nødven-
dige. Jeg begynner med å gjengi Hochschild-homologi og syklisk homologi for
en algebra A etter Loday [Lod], og følger opp med dihedral homologi. Etter et
avsnitt om spektralsekvenser fra [Wei] gjengir jeg resultatet on étale descent
for syklisk homologi fra Geller-Weibel ([GW]) og viser at det samme holder for
dihedral homologi.
Ikapittel2innførerjegdenskjemateoriensomtrengsforkapittel3og4.De
første to avsnittene er hentet fra Hartshorne ([Hart, II.1-2]). Avsnittet om étale
avbildninger er fra Milne ([Mil, I.2-3]). Kohomologiteorien til slutt er hentet fra
Weibel ([Wei, 5.7]) og Hartshorne.
Kapittel3startermedgjengivelseavnoenavdefinisjonenei[W],førjegdefi-
nerer dihedral homologi HD (X),HD(cid:48)(X) for et vilkårlig skjema X, og beviser
∗ ∗
følgende teorem.
Teorem 0.1. Dersom X =SpecA er et affint skjema, har vi en isomorfi:
HD (X)≈HD (A)
∗ ∗
og tilsvarende for HD(cid:48)(X).
∗
Tilsluttharjegetlitekapittelhvormåleteråtilpassenoenavresultatenei
[GW,§4]tildihedralhomologi.Geller-Weibelbrukerdettetilåbevisealgebraisk
étaledescentforsykliskhomologi.Herbrukerjegdettilågietalternativtbevis
avétaledescent,medindirektebrukavGeller-Weibelsresultathellerenndirekte
som i kapittel 1.
1 Dihedral homologi
Stående antagelser
Idettekapitteletjobbervioverenunital,kommutativgrunnringk.k-algebraer
er unitale med mindre annet er spesifisert, og med unntak av avsnitt 1.1 og 1.2
skal k-algebraer også være kommutative. Vi setter ⊗=⊗ .
k
1.1 Hochschild- og syklisk homologi
Gitt en k-algebra A, består Hochschild-komplekset av A-moduler C (A) =
n
A⊗n+1 hvor A⊗n+1 betyr A⊗...⊗A, med n+1 faktorer.
Definisjon (Hochschild-kantavbildningen). Kantavbildningen b i Hochschild-
komplekset
C (A): ···→−b C (A)→−b ···→−b C (A)→−b C (A)→0 (1)
∗ n 1 0
2
er definert som
n−1
(cid:88)
b(a ,a ,...,a )= (−1)i(a ,a ,...,a a ,...a )
0 1 n 0 1 i i+1 n
i=0
+(−1)n(a a ,a ,...,a )
n 0 1 n
Deterhensiktsmessigådeleoppbideleddenesomdukkeroppidefinisjonen
over, slik:
d (a ,a ,...,a )=(a ,a ,...,a a ,...a ) 0≤i<n
i 0 1 n 0 1 i i+1 n
d (a ,a ,...,a )=(a a ,a ,...,a )
n 0 1 n n 0 1 n
Vi har da at b=(cid:80)n (−1)id .
i=0 i
I og med at b◦b = 0, kan vi ta homologi på komplekset, og vi får følgende
definisjon:
Definisjon (Hochschild-homologi). Hochschild-homologien til A, HH (A), er
∗
definert som homologien på kjedekomplekset (1).
Definisjon. Om man bytter ut b med b(cid:48) =(cid:80)n−1(−1)id (legg merke til indek-
i=0 i
sen) i Hochschild-komplekset, får man barkomplekset Cbar(A).
∗
Avbildningen s:Cbar(A)→Cbar (A) gitt ved
n n+1
s(a ,a ,...,a )=(1,a ,a ,...,a ),
0 1 n 0 1 n
erensammentrekningshomotopiforbarkomplekset[Lod,1.1.12].Barkomplekset
er dermed asyklisk.
Definisjon (Dobbeltkompleks). Et (første kvadrants) dobbeltkompleks C er
∗∗
gitt ved et diagram
... ... ... ...
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
C ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− ···
02 12 22
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
C ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− ···
01 11 21
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
C ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− ···
00 10 20
av A-moduler C (A) og avbildninger d ,d slik at d d +d d = 0, d d = 0
pq v h h v v h v v
og d d =0. Modulene gitt ved
h h
(cid:77)
(Tot C ) = C
∗ ∗∗ n pq
p+q=n
med differensialet d +d danner da et kjedekompleks Tot C kalt totalkom-
v h ∗ ∗∗
plekset til C . Homologien til et dobbeltkompleks defineres ved H (Tot C )
∗∗ n ∗ ∗∗
3
La t :C (A)→C (A) gitt ved t(a ,a ,...,a )=(a ,a ,...,a ,a ) være
n n n 0 1 n 1 2 n 0
en syklisk permutasjon, og sett N = 1+t+t2+···+tn−1. Dette gir avbild-
n
ninger N : C (A) → Cbar(A) og (1−t) : Cbar → C , definert i hver grad, og
∗ ∗ ∗ ∗
diagrammet
A⊗n ←−1−−−t− A⊗n ←−N−−− A⊗n
(2)
(cid:121)b (cid:121)b(cid:48) (cid:121)b
A⊗n−1 ←−1−−−t− A⊗n−1 ←−N−−− A⊗n−1
kommuterer.
Siden(2)kommuterer,fårvietdobbeltkompleksomvibytterutb(cid:48) med−b(cid:48).
Definisjon (Syklisk homologi). Homologien til dobbeltkomplekset CC (A),
∗∗
gitt ved
... ... ... ...
(cid:121)b (cid:121)−b(cid:48) (cid:121)b
A⊗3 ←−1−−−t− A⊗3 ←−N−−− A⊗3 ←−1−−−t− ···
(cid:121)b (cid:121)−b(cid:48) (cid:121)b
A⊗2 ←−1−−−t− A⊗2 ←−N−−− A⊗2 ←−1−−−t− ···
(cid:121)b (cid:121)−b(cid:48) (cid:121)b
1−t N 1−t
A ←−−−− A ←−−−− A ←−−−− ···
kalles den sykliske homologien til A, og skrives HC (A).
∗
Sidenannenhverkolonnehar ensammentrekningshomotopi s,kanentrekke
sammen disse og lage et dobbeltkompleks B (A), kalt Connes’ kompleks, med
∗∗
bare Hochschild-komplekset som kolonner:
(cid:121)b (cid:121)b (cid:121)b
A⊗3 ←−B−−− A⊗2 ←−B−−− A
(cid:121)b (cid:121)b (3)
A⊗2 ←−B−−− A
(cid:121)b
A
hvor B =(1−t)sN. Homologien H (Tot B (A)) til dette dobbeltkomplekset
∗ ∗ ∗∗
er den samme som for det sykliske komplekset ([Lod, 2.1.7])
Vi ser at inklusjonen av den første kolonnen i (3) gir en kort eksakt sekvens
av komplekser
0→C (A)→Tot B (A)→Tot B (A)→0
n n ∗∗ n−2 ∗∗
og gjentatt bruk av slangelemmaet gir da en lang eksakt sekvens kalt SBI-
sekvensen til A [Lod, 2.2.1]
···→HH (A)−→I HC (A)−→S HC (A)−B→HH (A)→··· (4)
n n n−2 n−1
4
Denne sekvensen, sammen med 5-lemmaet og induksjon på n, gir at en k-
algebraavbildning f : A → A(cid:48) induserer en isomorfi på syklisk homologi hvis
og bare hvis den induserer en isomorfi på Hochschild-homologi. Sekvensen kan
også defineres fra inklusjonen av de to første kolonnene i det sykliske dobbelt-
komplekset CC (A).
∗∗
Merknad 1.1.1. Dersom A ikke er unital kan man også definere Hochschild-
og syklisk homologi, men barkomplekset er da ikke lenger sammentreknings-
bart. For at SBI-sekvensen skal eksistere og være eksakt, defineres Hochschild-
homologi da som homologien på totalkomplekset av de første to kolonnene til
CC (A) ([Lod, 1.4.5]).
∗∗
1.2 Dihedral homologi
Dihedral homologi er en variant av syklisk homologi, og er definert i [Lod, 5.2].
Jeggjentarherdefinisjonenegittder.Idetteavsnittetantarviat2erinvertibel
i k, og at A har en involusjon ι:A→A, hvor vi skriver ι(a)=a. En involusjon
skal oppfylle
• a=a
• ab=ba
• ι er triviell på k. Spesielt er 1=1
Eksempel 1.2.1. Om A er kommutativ er identitetsavbildningen på A en in-
volusjon. Vi kaller dette den trivielle involusjonen.
Dersomk erenkroppogAerenendeligkroppsutvidelse,vilethvertelement
i galiosgruppen Gal(A/k) av orden 2 gi en involusjon.
Ringen av kvadratiske matriser over k i en gitt dimensjon med konjugat-
transponering er en involutiv algebra. Merk at invertering ikke kan være en
involusjon da bildet av k ikke er bevart.
Dersom 1 ∈k,vileninvolusjoniAhatoegenromA+ogA−medegenverdier
2
1 respektive −1, og vi har:
A≈A+⊕A−
For å se dette, observer at
(cid:18) (cid:19)
a+a a−a
a(cid:55)→ ,
2 2
er en bijeksjon med invers (a,b)(cid:55)→a+b.
Dersom A har en involusjon, kan vi definere en involusjon ω på C (A):
n n
ω (a ,a ,a ,...,a ,a )=(a ,a ,a ,...,a ,a )
n 0 1 2 n−1 n 0 n n−1 2 1
Denneinvolusjonenbeståriåkonjugerealleelementene,ogpermutereallebort-
sett fra det første. Fortegnet til denne permutasjonen er (−1)n(n−1)/2. Det vil
vise seg hensiktsmessig å innføre notasjonen
y =(−1)n(n−1)/2ω
n n
5
Proposisjon 1.2.2. Dersom k-algebraen A har en involusjon og 1 ∈k, vil y
2 n
splitte Hochschild-komplekset til A i en direkte sum
C (A)=C+(A)⊕C−(A).
∗ ∗ ∗
Homologienpåhvertavdissekompleksenegirved[Lod,5.2.3]splittetHochschild-
homologi H (A)=H+(A)⊕H−(A)
∗ ∗ ∗
For å definere en tilsvarende splitting for syklisk homologi, må vi i tillegg til
y ha en involusjon z på Cbar(A) som stemmer overens med kantavbildningen
n n n
b(cid:48). Vi har involusjonen
τ (a ,a ,a ,...,a ,a )=(a ,a ,a ,...,a ,a )
n 0 1 2 n−1 n n n−1 n−1 2 1
altsåsammesomω ,bortsettfraatnåeralleelementenemedipermutasjonen.
n
Fortegnet til denne permutasjonen er (−1)(n+1)(n+2)/2, og vi setter
z =(−1)(n+1)(n+2)/2τ
n n
Ved [Lod, 5.2.6] stemmer y og z overens med også de horisontale kantavbild-
n n
ningenetilCC (A)påenslikmåteatomvilary virkepåpartallskolonnerog
∗∗ ∗
−z på oddetallskolonner, splitter dobbeltkomplekset til CC+(A)⊕CC−(A).
∗ ∗∗ ∗∗
Komplekset CC+(A) er gitt ved
∗∗
... ... ... ... ...
(cid:121)b (cid:121)−b(cid:48) (cid:121)b (cid:121)−b(cid:48)
C− ←−1−−−t− C+ ←−N−−− C− ←−1−−−t− C+ ←−N−−− ···
2 2 2 2
(cid:121)b (cid:121)−b(cid:48) (cid:121)b (cid:121)−b(cid:48)
C− ←−1−−−t− C+ ←−N−−− C− ←−1−−−t− C+ ←−N−−− ···
1 1 1 1
(cid:121)b (cid:121)−b(cid:48) (cid:121)b (cid:121)−b(cid:48)
C− ←−1−−−t− C+ ←−N−−− C− ←−1−−−t− C+ ←−N−−− ···
0 0 0 0
Legg merke til at kolonne 0 er det negative Hochschild-komplekset.
Definisjon. ([Lod, 5.2.7]) La A være en involutiv algebra over k (med 1 ∈k).
2
Den dihedrale homologien (respektive skakkdihedrale homologien) til A er da
gitt ved
HD (A)=H (Tot CC+(A)) (respektive HD(cid:48)(A)=H (Tot CC−(A)))
n n ∗ ∗∗ n n ∗ ∗∗
Ved dette tidspunktet ville det vært naturlig å definere et triangulært kom-
pleks tilsvarende (3) for dihedral homologi. Problemet er at den resulterende
horisontale kantavbildningen B ikke går så godt overens med involusjonen, da
homotopien s ikke respekterer egenrommene til Cbar. For å løse dette må vi
∗
innføre en ny homotopi på Cbar, s(cid:48) = 1(s +(−1)ns ) hvor
∗ 2 0 1
s (a ,a ,...,a )=(1,a ,a ,...,a )
0 0 1 n 0 1 n
s (a ,a ,...,a )=(a ,a ,...,a ,1)
1 0 1 n 0 1 n
6
Proposisjon 1.2.3. Avbildningen s(cid:48) er en sammentrekningshomotopi av Cbar
∗
som respekterer egenrommene til z , altså at s(cid:48)(C±) ⊆ C± . Eventuelt, gitt
n n n+1
z (a)=(−1)ja for en vilkårlig a∈C , så er z (s(cid:48)(a))=(−1)js(cid:48)(a).
n n n+1
Bevis. Avbildningen s(cid:48) er per definisjon en sammentrekningshomotopi dersom
1(cid:16) (cid:17)
b(cid:48)s(cid:48)+s(cid:48)b(cid:48) = b(cid:48)s +s b(cid:48)+b(cid:48)(−1)ns +(−1)n−1s b(cid:48)
2 0 0 1 1
n n−1
1(cid:16)(cid:88) (cid:88)
= (−1)id s +s (−1)id
2 i 0 0 i
i=0 i=0
n n−1
(cid:88) (cid:88) (cid:17)
+ (−1)i+nd s +s (−1)i+n−1d
i 1 1 i
i=0 i=0
er identitetsavbildningen. Vi har 1(d s +d s )=id og ser at
2 0 0 n 1
n n−1 n−1
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
(−1)id s +s (−1)id = (−1)i+1d s +s (−1)id =0
i 0 0 i i+1 0 0 i
i=1 i=0 i=0
n−1 n−1 n−1
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
(−1)n+id s +s (−1)n−1+id = (−1)n+id s +(−1)n−1+is d =0
i 1 1 i i 1 1 i
i=0 i=0 i=0
så s(cid:48) er en sammentrekningshomotopi.
For å se at s(cid:48) respekterer egenrommene, anta at
z (a ,a ,...,a )=(−1)xn(a ,...,a ,a )=(−1)j(a ,a ,...,a )
n 0 1 n n 1 0 0 1 n
hvor x = (n+1)(n+2) og j = 0 eller j = 1 avhengig av om vi er i C+ eller C−.
n 2 n n
Vi har da at zn er multiplikasjon med (−1)xn+j.
z (s(cid:48)(a ,a ,...,a ))= 1z (cid:0)(1,a ,a ,...,a )+(−1)n(a ,a ,...,a ,1)(cid:1)
n+1 0 1 n 2 n+1 0 1 n 0 1 n
= (−1)xn+1(cid:0)(a ,...,a ,a ,1)+(−1)n(1,a ,...,a ,a )(cid:1)
2 n 1 0 n 1 0
= (−1)xn+1(cid:0)(−1)xn+j(a ,a ,...,a ,1)+(−1)xn+j+n(1,a ,a ,...,a )
2 0 1 n 0 1 n
= (−1)xn+xn+1+j−n(cid:0)(1,a ,a ,...,a )+(−1)n(a ,a ,...,a ,1)
2 0 1 n 0 1 n
Detteerlik(−1)js(cid:48)(a ,a ,...,a )hvisogbarehvisx +x −neretpartall.
0 1 n n n+1
Dette er ekvivalent med at (n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)−2n er delelig med
4, og vi ser at dette er tilfelle for alle n.
7
Vi får dermed er ny avbildning, D =(1−t)s(cid:48)N, og to triangulære dobbelt-
komplekser D+
∗∗
(cid:121)b (cid:121)b (cid:121)b
C− ←−D−−− C− ←−D−−− C−
2 1 0
(cid:121)b (cid:121)b
C− ←−D−−− C−
1 0
(cid:121)b
C−
0
og D− tilsvarende.
∗∗
SBI-sekvensen (4) splitter i de to eksakte sekvensene
···→HH+ →HD(cid:48) →HD →HH− →HD
n n n−2 n−1 n−1
→HD(cid:48) →HH+ →···
n−3 n−2
(5)
···→HH− →HD →HD(cid:48) →HH+ →HD(cid:48)
n n n−2 n−1 n−1
→HD →HH− →···
n−3 n−2
ved [Lod, 5.2.7.2, 5.2.7.3].
1.3 Glatte algebraer, differensialmoduler
I dette avsnittet skal jeg definere glatte algebraer, og den dihedrale homologien
på disse. Alle utregningene finnes i [Lod], men ikke samlet. Jeg forutsetter at
Q⊆k.
La Ω1 være A-modulen av differensialer over k. Den er generert av k-
A|k
lineære symboler da for a∈A med relasjonen
d(ab)=a(db)+b(da).
Gitt idealet I ⊂ A⊗A generert av (x⊗1−1⊗x),x ∈ A. Da er Ω1 isomorf
A|k
som A-modul med I/I2 ved avbildningen dx(cid:55)→(x⊗1−1⊗x).
Vi får nå en kjede Ωn av differensialformer over A gitt ved
A|k
Ωn =Ω1 ∧ ···∧ Ω1
A|k A|k A A A|k
med n faktorer. Vi definerer Ω0 =A. Avbildningen d:Ωn →Ωn+1 er gitt ved
A|k A|k
d(a·da ∧da ∧···∧da )=da∧da ∧da ∧···∧da
1 2 n 1 2 n
Sidend(1)=0,serviatdettedanneretkompleks.Kohomologienavdettekalles
for de Rham-kohomologien til A og skrives H∗ (A).
DR
Definisjon. La S være en kommutativ algebra over k med enhet. En sekvens
(x ,x ,...,x ) ∈ S er regulær dersom multiplikasjon med x gir en injektiv
0 1 n i
avbildning i S/(x ,...,x ) for alle i.
0 i−1
8
ForAenunital,kommutativk-algebra,laµ:A⊗A→Aværeavbildningen
gitt ved produktet i A. Dersom A er flat over k og kjernen J i den avledede
m
avbildningen
µ :(A⊗A) →A
m µ−1(m) m
ertriviellellergenerertavenregulærsekvensi(A⊗A) forallemaksima-
µ−1(m)
lidealer m⊂A, sier vi at A er glatt over k.
Eksempel 1.3.1. Fra[Lod,3.4.3].Lak væreenalgebraisklukketkroppogsett
A til å være koordinatringen til en varieté over k. Da korresponderer singulære
punkter på varietéen til akkurat de maksimalidealene i A hvor kriteriet over
ikke holder. Altså er A glatt over k dersom varietéen er ikke-singulær.
Ved [Lod, 3.4] er Hochschild-homologien til glatte algebraer gitt ved
HH (A)=Ωn
n A|k
og den sykliske homologien ved
HC (A)=Ωn /dΩn−1⊕Hn−2(A)⊕Hn−4(A)⊕···
n A|k A|k DR DR
hvor graden til det siste leddet er 1 eller 0 avhengig av pariteten til n.
SBI-sekvensen (4) splitter opp i en direkte sum av en kopi av den eksakte
sekvensen
0→Hn (cid:44)→Ωn/dΩn−1 −→d Ωn+1 →Ωn+1/dΩn →0
DR
for hvert naturlig tall n, samt isomorfier 0→Hi →Hi →0 [Lod, 3.4.13].
DR DR
Ved [Lod, 4.6.10] og diskusjonen etter [Lod, 5.2.7] har vi at den dihedrale
homologien for en glatt algebra over k er gitt ved
Hn−2⊕Hn−6⊕Hn−10⊕··· n>0,n partall
DR DR DR
HD =
n
Ωn/dΩn−1⊕Hn−4⊕Hn−8⊕··· n>0,n odde
DR DR
og den skakkdihedrale ved
Ωn/dΩn−1⊕Hn−4⊕Hn−8⊕··· n>0,n partall
DR DR
HD(cid:48) =
n
Hn−2⊕Hn−6⊕Hn−10⊕··· n>0,n odde
DR DR DR
hvor hver av følgene slutter med grad 0, 1, 2, eller 3, avhengig av resten til n
mod 4.
1.4 Spektralsekvenser
Jeg gjengir her definisjonen av spektralsekvenser i [Wei, 5.1, 5.2].
9
Gitt et dobbeltkompleks C med abelske grupper:
∗∗
. . .
. . .
. . .
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
··· ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− ···
(p−1)(q+1) p(q+1) (p+1)(q+1)
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
··· ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− ···
(p−1)q pq (p+1)q
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
··· ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− C ←−d−h−− ···
(p−1)(q−1) p(q−1) (p+1)(q−1)
(cid:121)dv (cid:121)dv (cid:121)dv
. . .
. . .
. . .
er det generelt vanskelig å regne ut homologien til totalkomplekset. Men det
skal ikke mye til for å komme til konklusjonen at H (Tot C ) bør ha en sam-
n ∗ ∗∗
menhengmeddenhorisontalehomologienHh(C ),ogdenvertikalehomologien
i ∗j
Hv(C ) for i+j =n. Spektralsekvenser er redskapet som kobler dem.
j i∗
Om vi skriver E0 for C , og ignorerer de horisontale differensialene, får vi
pq pq
en familie med komplekser {E0 }. La E1 være homologien H (E0 ). Vi kan nå
p∗ pq q p∗
dannehorisontalekomplekserE1 medavbildningeneavledetavd .Homologien
∗q h
H (E1 ) på disse kaller vi E2
p ∗q pq
Det kan vises at vi har en kantavbildning d2 : E2 → E2 med
pq (p−2)(q+1)
d2 ◦d2 = 0. Vi kan da igjen ta homologi og få E3 , og slik fortsetter det til
pq
generelle Er med kantavbildning dr : Er → Er . En slik samling
pq pq pq (p−r)(q+r−1)
{Er } kalles for en spektralsekvens.
pq
Gitt en spektralsekvens Er , dersom dr =0 for alle store r, kalles spektral-
∗∗ pq
sekvensen regulær. For alle slike r er da Er =Er+1, og vi kaller denne stabile
pq pq
verdien for E∞.
pq
Vi sier at en spektralsekvens konvergerer svakt til H dersom vi får en sam-
∗
ling abelske grupper H , hver med en filtrasjon
n
···⊆F H ⊆F H ⊆···⊆H
p−1 n p n n
og isomorfier E∞ ≈ F H /F H . Vi sier den nærmer seg H dersom
pq p p+q p−1 p+q ∗
∪F H =H og ∩F H =0.
p n n p n
Visieratspektralsekvensenkonvergerer mot H dersomdenerregulær,den
∗
nærmer seg H , og vi har H =lim(H /F H ). Notasjonen for å angi en H er
∗ n ←− n p n ∗
Er ⇒H
pq p+q
hvor vi som regel lar r =2.
Merknad 1.4.1. En spektralsekvens konvergerer bare mot én H , men hva
∗
H er kan være vanskelig å se kun ut fra gruppene i spektralsekvensen. Ta for
∗
eksempel en spektralsekvens som har E∞ =Z/2 for p,q ≥0 og 0 ellers. Da kan
pq
H være Z , men også Z ×Z eller Z3.
3 8 2 4 2
10
