Table Of ContentH.V\I. Schüßler
Digitale Systeme
zur
Signalverarbeitung
Mit Beiträgen von
D. Achilles, O. Herrmann, W. Winkelnkernper
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1973
o. Professor Dr.-Ing. HANS-WILHELM SCHOßLER
Univ.-Doz. Dr.-Ing. DIETMAR ACHILLES
Priv.-Doz. Dr.-Ing. OTTO HERRMANN
Or.-Ing. WOLFGANG WINKELNKEMPER
Institut für Nachrichtentechnik
der Universität Erlangen-Nürnberg
Mit 153 Abbildungen
ISBN 978-3-662-06746-8 ISBN 978-3-662-06745-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-06745-1
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(j"o) by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin . Heidelberg . New York 1973
Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1973
Library of Congress Catalog Card Number 72 -97199
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Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daf5 solche Namen
im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären
und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Vorwort
Die Theorie kontinuierlicher Systeme, die sowohl in der Analyse als auch in der
Synthese von Netzwerken mit vorgeschriebenen Eigenschaften so außerordentlich
wertvolle Ergebnisse brachte, hat eine gewisse Konsolidierung erreicht. Neben
ihr hat sich in den letzten Jahren eine Theorie von diskreten Systemen entwickelt,
die wegen der digitalen Realisierungsmöglichkeiten schnell Interesse fand. Ihre
Ausarbeitung wurde sehr dadurch begünstigt, daß Fragestellungen und zum Teil
auch Verfahren bei zweckmäßiger Abwandlung aus der Theorie kontinuierlicher
Systeme übernommen werden konnten. Das gilt vor allem für den Bereich, in
dem ein lineares Modellsystem den Betrachtungen zugrunde gelegt wird. Es
gilt im allgemeinen nicht mehr, wenn die mit der digitalen Realisierung zusam
menhängenden Probleme behandelt werden müssen.
Die für diskrete Systeme gewonnenen Ergebnisse finden sich in einer sehr schnell
wachsenden Zahl von verstreuten Publikationen. Mit dem vorliegenden Buch wird
eine zusammenfassende Darstellung für die sogenannten eindimensionalen Systeme
angestrebt. Dabei wird das Ziel verfolgt, neben der schon weit entwickelten Ana
lyse auch den Entwurf solcher Systeme mit vorgeschriebenen Eigenschaften bis
zum praktischen Aufbau zu behandeln.
Es wird zunächst ein durch lineare Differenzengleichungen beschriebenes Modell
system eingeführt, das dem realen System nur approximativ entspricht. Nach
einer Beschreibung der allgemeinen Eigenschaften wird das System im Zustands
raum behandelt. Mit Hilfe der Z-Transformation wird die Ubertragungsfunktion
zu seiner Kennzeichnung eingeführt und damit eine Darstellung im Frequenzbe
reich gegeben. Von den behandelten speziellen Systemen seien die mit streng
linearer Phase besonders erwähnt. Abschnitte über Frequenztransformationen
und über mögliche Strukturen schließen sich an.
Ein weiterer Abschnitt ist dem Entwurf von Systemen gewidmet, die Vorschriften
im Frequenzbereich genügen. Dabei bestehen bei rekursiven Systemen enge Be
ziehungen zur Synthese kontinuierlicher Filter. Neue Verfahren waren für nicht-
VVII VVoorrwwoorrtt
rreekkuurrssiivvee SSyysstteemmee zzuu eennttwwiicckkeellnn.. UUnntteerr BBeerrüücckkssiicchhttiigguunngg nneeuueerr AArrbbeeiitteenn wweerrddeenn
ddeerr ddeerrzzeeiittiiggee SSttaanndd ddeerr TThheeoorriiee ddaarrggeesstteelllltt uunndd HHiillffssmmiitttteell ffüürr ddeenn pprraakkttiisscchheenn
EEnnttwwuurrff aannggeeggeebbeenn..
DDiiee ddiisskkrreettee FFoouurriieerrttrraannssffoorrmmaattiioonn hhaatt sseeiitt ddeerr EEiinnffüühhrruunngg sscchhnneelllleerr AAllggoorriitthh
mmeenn zzuu iihhrreerr nnuummeerriisscchheenn DDuurrcchhffüühhrruunngg eeiinn aauußßeerroorrddeennttlliicchh rraasscchh wwaacchhsseennddeess
IInntteerreessssee ggeeffuunnddeenn.. DDeerr ddiieesseemm VVeerrffaahhrreenn ggeewwiiddmmeettee AAbbsscchhnniitttt bbeehhaannddeelltt zzuu
nnääcchhsstt ddiiee EEiiggeennsscchhaafftteenn ddeerr TTrraannssffoorrmmaattiioonn,, lleeiitteett ddiiee MMeetthhooddee zzuu iihhrreerr sscchhnneell
lleenn DDuurrcchhffüühhrruunngg hheerr uunndd bbeesscchhrreeiibbtt ddiiee AAnnwweenndduunngg ssoowwoohhll ffüürr ddiiee SSppeekkttrraallaannaa
llyyssee aallss aauucchh ffüürr ddiiee RReeaalliissiieerruunngg nniicchhttrreekkuurrssiivveerr uunndd rreekkuurrssiivveerr SSyysstteemmee dduurrcchh
sscchhnneellllee FFaallttuunngg..
WWäähhrreenndd bbiiss hhiieerrhheerr ddeerr DDaarrsstteelllluunngg sstteettss eeiinn lliinneeaarreess MMooddeellllssyysstteemm zzuuggrruunnddee
llaagg,, wweerrddeenn iimm 55.. uunndd 66.. AAbbsscchhnniitttt ddiiee ssiicchh aauuss ddeerr ddiiggiittaalleenn RReeaalliissiieerruunngg eerr
ggeebbeennddeenn PPrroobblleemmee bbeehhaannddeelltt.. DDiiee nnoottwweennddiigg bbeeggrreennzzttee WWoorrttlläännggee ddeerr PPaarraa
mmeetteerr uunndd ddeerr ZZuussttaannddssvvaarriiaabblleenn ffüühhrrtt uunntteerr UUmmssttäännddeenn zzuu eerrhheebblliicchheenn AAbbwweeii
cchhuunnggeenn vvoorrnn VVeerrhhaalltteenn ddeess MMooddeellllss.. DDiieessee FFeehhlleerr kköönnnneenn zzwwaarr dduurrcchh VVeerrggrröö
ßßeerruunngg ddeerr WWoorrttlläännggee bbeelliieebbiigg kklleeiinn ggeemmaacchhtt wweerrddeenn,, jjeeddoocchh iinntteerreessssiieerreenn VVeerr
ffaahhrreenn,, mmiitt ddeenneenn iimm EEiinnzzeellffaallll eeiinnee LLöössuunngg mmiinniimmaalleenn AAuuffwwaannddeess ggeeffuunnddeenn wweerr
ddeenn kkaannnn.. DDaabbeeii ssiinndd ddaannnn aalllleerrddiinnggss wweeiitteerree GGeessiicchhttssppuunnkkttee zzuu bbeerrüücckkssiicchhttiiggeenn,,
ddiiee sseehhrr ssttaarrkk dduurrcchh ddeenn pprraakkttiisscchheenn AAuuffbbaauu bbeessttiimmmmtt ssiinndd.. EEss eerrsscchhiieenn ddaahheerr
wweesseennttlliicchh,, iinn eeiinneemm aabbsscchhlliieeßßeennddeenn AAbbsscchhnniitttt aauuff ddiieessee PPrroobblleemmee eeiinnzzuuggeehheenn..
DDaabbeeii wweerrddeenn iinnssbbeessoonnddeerree FFrraaggeenn ddeerr CCooddiiüürruunngg,, ddeerr RReecchheennwweerrkkee uunndd SSppeeii
cchheerr ssoowwiiee ddiiee MMuullttiipplleexxtteecchhnniikk bbeehhaannddeelltt.. DDiiee DDaarrsstteelllluunngg bbeerruuhhtt aauuff pprraakk
ttiisscchheenn EErrffaahhrruunnggeenn,, ddiiee bbeeiimm BBaauu vvoonn vvaarriiaabblleenn ddiiggiittaalleenn FFiilltteerrnn ggeessaammmmeelltt
wweerrddeenn kkoonnnntteenn..
WWiirr ddaannkkeenn ddeenn MMiittaarrbbeeiitteerrnn ddeess IInnssttiittuuttss ffüürr NNaacchhrriicchhtteenntteecchhnniikk ddeerr UUnniivveerrssii--
ttäätt EErrllaannggeenn--NNüürrnnbbeerrgg,, ddiiee iinn vviieelleenn DDiisskkuussssiioonneenn,, bbeeii ddeerr DDuurrcchhrreecchhnnuunngg vvoonn
BBeeiissppiieelleenn,, bbeeii pprraakkttiisscchheenn VVeerrssuucchheenn uunndd dduurrcchh iihhrree HHiillffee bbeeii mm LLeesseenn ddeerr KKoorr
rreekkttuurr aamm EEnnttsstteehheenn ddeess BBuucchheess AAnntteeiill ggeennoommmmeenn hhaabbeenn.. DDiiee DDeeuuttsscchhee FFoorrsscchhuunnggss
ggeemmeeiinnsscchhaafftt hhaatt ddiiee AArrbbeeiitteenn aann ddiiggiittaalleenn SSyysstteemmeenn iinn ddaannkkeennsswweerrtteerr WWeeiissee uunn
tteerrssttüüttzztt.. UUnnsseerr bbeessoonnddeerreerr DDaannkk ggiilltt FFrraauu RR.. FFrriizzlleenn,, FFrraauu UU.. GGoorriillllee uunndd
FFrraauu EE.. FFeellsskkee ffüürr ddiiee ssoorrggffäällttiiggee RReeiinnsscchhrriifftt ddeess MMaannuusskkrriipptteess uunndd ddiiee AAnnffeerr
ttiigguunngg ddeerr zzaahhllrreeiicchheenn ZZeeiicchhnnuunnggeenn.. WWeeiitteerrhhiinn ddaannkkeenn wwiirr ddeemm SSpprriinnggeerr--VVeerrllaagg
ffüürr ddiiee gguuttee ZZuussaammmmeennaarrbbeeiitt..
FFeebbrruuaarr 11997733 DDiiee VVeerrffaasssseerr
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Diskrete lineare Systeme. 7
2.1. System eigenschaften 7
2.2. Struktur und Systemgleichung 12
2.3. Die Lösung der Systemgleichung . 16
2.4. Die Z-Transformation •........ 19
2.4.1. Definition und Eigenschaften 19
2.4.2. Rücktransformation .....• 24
2.4.3. Zweiseitige Z-Transformation. 27
2.5. Behandlung von Differenzengleichungen • 29
2.5.1. Differenzengleichung zweiter Ordnung 29
2.5.2. Behandlung des allgemeinen Falles 31
2.6. Eigenschaften der Ubertragungsfunktion •. 33
2.6. 1. Allgemeines .....•.. 33
2.6.2. Kausalität und Stabilität 35
2. 6 . 3. Frequenzgang. . • . . .. 39
2.6.4. Beziehungen zwischen den Komponenten des Frequenz-
ganges ........ 45
2.6.5. Spezielle Systeme. 49
2.6.5.1. Allpässe 49
2.6.5.2. Minimalphasige Systeme. 52
2.6.5.3. Nichtrekursive Systeme 53
2.6.5.4. Systeme linearer Phase 55
2.6.6. Frequenztransformationen . . . 58
2.7. Strukturen diskreter linearer Systeme 61
2.7.1. Einführung. . . . . . . . . 61
2.7.2. Kanonische Strukturen . 62
2.7.3. Nichtkanonische Strukturen. 69
2.8. Literatur. . . . . • . • . . . . . . . . . . . 73
VIII Inhal tsverzeichnis
3. Entwurf diskreter Systeme 75
3.1. Allgemeines .... 75
3.2. Entwurf von Systemen bei Vorschriften im Zeitbereich 82
3.2.1. Systeme mit vorgeschriebener Impulsantwort 82
3.2.2. Spezielle Systeme mit vorgeschriebenem ZeitverhaI ten 84
3.3. Entwurf nichtrekursiver diskreter Systeme mit linearer Phase
bei Vorschriften im Frequenzbereich von Otto Herrmann 92
3.3.1. Aufgabenstellung. . ..... .. ...... ..... 92
3.3.2. Frequenztransformationen für nichtrekursive Systeme 97
3.:3. :3. Einige Beziehungen zwischen Polynomen und trigonome-
trischen Summen .... 99
3.3.4. Fourier-Approximation.... . . . 102
3.3.5. Modifizierte Fourier-Approximation 105
3.3.6. Frequenzabtastverfahren .. .. 109
3.3.7. A pproxi mation auf PotenzverhaI ten 110
3. 3.8. Tschebyscheff -A pproxi mation 114
3.3.9. Abschließende Bemerkungen 127
3.3.9.1. Vergleich verschiedener Entwurfsmethoden für
nichtrekursive Filter. ........ 127
3.3.9.2. Vergleich mit rekursiven Systemen ........ 129
3.4. Entwurf rekursiver Systeme bei Vorschriften im Frequenzbereich 132
3.4.1. Einleitung.... ..........•.... ....... 132
3.4.2. Entwurf digitaler Filter mit Hilfe einer Transformation
kontinuierlicher Systeme . . . . . . . . . . 133
3.4.2.1. Die bilineare Transformation. 133
3.4.2.2. Wahl des Abtastintervalls T.. 136
3.4.2.3. Allgemeines zum Entwurf kontinuierlicher
Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4.2.4. Standardlösungen für den Entwurf normierter
Tiefpässe . . . 141
3.4.2.5. Entwurfsablauf . . . . . 151
3.4.3. Entwurf digitaler Filter im z-Bereich 154
3.4.3.1. Allgemeines .... 154
3. 4. 3.2. Allpaßtransformation 156
3.4.3.3. Entwurf eines Tiefpasses mit Potenzverhalten. 159
3.4.3.4. Abschließende Bemerkungen 160
3.5. Literatur ..... 161
4. Die diskrete Fourier-Transformation und ihre Anwendungen
von Dietmar Achilles ...... . 165
4.1. Einleitung und Ubersicht . . .. .. 165
4.2. Die diskrete Fourier-Transformation 167
Inhaltsverzeichnis IX
4.2.1. Definition...... 167
4.2.2. Abbildungsgesetze. 170
4.2.3. Trigonometrische Interpolation 178
4.2.4. Beziehungen zur Fourier-Transformation stetiger Funk-
tionen • . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . • • . . . 180
4.2.5. Uberlagerungssatz und Abtasttheorem ......•.... 188
4.3. Numerische Ausführung der diskreten Fourier-Transformation 192
4.3.1. Kurzer Uberblick • • . . • . • . . . . . . • • . . . . . . • 192
4.3.2. Prinzip der schnellen Fourier-Transformation. • • 194
4.3.3. Anwendung des Uberlagerungssatzes ••. 199
4.4. Schnelle Faltung •....•....... 203
4.4.1. Prinzipielle Wirkungsweise 203
4.4.2. Segmentierung bei nichtrekursiven Systemen. 207
4.4.3. Segmentierung bei rekursiven Systemen. 217
4.5. Literatur . . . . . • • . . • . . . . . . • • . . . . . • • . . 222
5. Verhalten realer digitaler Systeme. . 226
5.1. Einführung..... . . . . . . • . . 226
5.2. Begrenzte Wortlänge der Koeffizienten 228
5.2.1. Problemstellung.. • . . . . . . . . 228
5.2.2. Auswahl einer günstigen Struktur. . 232
5.2.3. Ermittlung der erforderlichen Wortlänge bei Rundung der
Koeffizienten • • . • . . . • . . • . . . . . • . . 233
5.2.4. Optimierung mit diskreten Parametern. . . . . . • . . . •. 237
5.3. Stabilitätsprobleme bei begrenzter Wortlänge der Zustandsvari-
ablen. .•..........•....••..••..•.•. ...... 241
5.3.1. Problemstellung und Stabilitätsdefinition . • . • . • • . • . 241
5.3.2. Stabilitätsprobleme in Folge einer Ubersteuerung... 245
5.3.3. Stabilitätsprobleme durch Rundung oder Abschneiden. 251
5.4. Rauschartige Fehler. . . . . • . . . . . . • . . . . • • . . . . . . . . • 263
5.4.1. Analyse............................... 263
5.4.2. Entwurf eines digitalen Systems mit günstigem Signal-
Störverhältnis ......•...•...•.•.. 271
5.5. Verlauf des Entwurfs eines digitalen Systems. . . . 276
5.6. Literatur • . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . . . • • . . . 277
6. Realisierung digitaler Filter von Wolfgang Winkelnkemper . 280
6.1. Einleitung •....... 280
6.2. Zur Auswahl der ZahlendarsteIlung und der Arithmetik 281
x Inhal tsverzeichnis
6.3. Die Komponenten eines digitalen Filters bei serieller Verarbei-
tung, Festkommaarithmetik und Zweierkomplement-Codierung. 283
6.3. 1. Allgemeine Entwurfsbetrachtungen .. 283
6.3.2. Multiplizierer •.....••••••.... 284
6.3.3. Addierer, Rundungsschaltung , Komplementer, Zustands-
variablenspeicher . . . . • • • . . . . . . . . . . . . 295
6.3.4. Realisierung einer stabilen Uberlaufkennlinie 297
6.4. Multiplextechnik .... 302
6.4.1. Grundgedanke. 302
6.4.2. Einige Entwurfsüberlegungen und Beispiele 303
6.5. Nichtrekursive Filter. 307
6.5.1. Allgemeines •. 307
6.5.2. Die zweite kanonische oder direkte Form 307
6.6. Eigenschaften der Wandler .... 310
6.7. Literatur ......••........ 313
Sachverzeichnis •...••••...........•......•............ 314
11.. EEiinnlleeiittuunngg
IInn ddeenn lleettzztteenn JJaahhrreenn hhaatt ddiiee ddiiggiittaallee VVeerraarrbbeeiittuunngg vvoonn SSiiggnnaalleenn eeiinn sscchhnneellll zzuu
nneehhmmeennddeess IInntteerreessssee ggeeffuunnddeenn.. DDiiee AAuuffggaabbeennsstteelllluunngg eerrggaabb ssiicchh zzuunnääcchhsstt ffoollggee
rriicchhttiigg bbeeii SSiiggnnaalleenn,, ddiiee vvoonn vvoorrnnhheerreeiinn iinn FFoorrmm vvoonn AAbbttaassttwweerrtteenn vvoorrlliieeggeenn,,
wwiiee ddaass zz..BB.. bbeeiimm IImmppuullssrraaddaarr ddeerr FFaallll iisstt.. WWeesseennttlliicchhee BBeeiittrrääggee kkaammeenn aabbeerr
aauucchh vvoonn ddeerr SSiimmuullaattiioonn kkoonnttiinnuuiieerrlliicchheerr SSyysstteemmee aauuff ddeemm DDiiggiittaallrreecchhnneerr,, ddiiee
wweeggeenn ddeerr ggrrooßßeenn FFlleexxiibbiilliittäätt ddeess RReecchhnneerrss uunndd ddeerr eerrrreeiicchhbbaarreenn GGeennaauuiiggkkeeiitt
sscchhnneellll VVeerrbbrreeiittuunngg ffaanndd.. DDiiee aauußßeerroorrddeennttlliicchh rraasscchhee EEnnttwwiicckklluunngg ddeerr ddiiggii
ttaalleenn SScchhaallttkkrreeiisstteecchhnniikk ffüühhrrttee ddaannnn zzuumm EEiinnssaattzz vvoonn ddiiggiittaalleenn SSyysstteemmeenn bbeeii
AAuuffggaabbeenn,, ddiiee bbiisshheerr aauusssscchhlliieeßßlliicchh kkoonnttiinnuuiieerrlliicchheenn vvoorrbbeehhaalltteenn wwaarreenn.. DDaass
bbeeddeeuutteett pprraakkttiisscchh ddiiee EEnnttwwiicckklluunngg vvoonn ddiiggiittaalleenn SSppeezziiaallrreecchhnneerrnn,, ddiiee iimm EEcchhtt
zzeeiittbbeettrriieebb eeiinnee SSiiggnnaall vveerraarrbbeeiittuunngg vvoorrnneehhmmeenn..
uu (( tt )) ~~ ----......>>--------------ii yy ((tt))
AAbbttaassttuunngg
BBiilldd 11..11.. SScchheemmaa eeiinneerr ddiiggiittaalleenn SSiiggnnaall vveerraarrbbeeiittuunngg
EErrffoorrddeerrlliicchh iisstt ddaaffüürr ddiiee AAbbttaassttuunngg ddeess uurrsspprrüünngglliicchh aannaallooggeenn SSiiggnnaallss uu((tt)) uunndd
ddiiee WWaannddlluunngg ddeerr AAbbttaassttwweerrttee iinn eeiinnee ffüürr ddiiee ddiiggiittaallee VVeerraarrbbeeiittuunngg ggeeeeiiggnneettee
FFoorrmm uu((kk)) ssoowwiiee ggeeggeebbeenneennffaallllss ddiiee RRüücckkwwaannddlluunngg ddeerr AAuussggaannggsswweerrttee yy((kk)) iinn
eeiinn aannaallooggeess SSiiggnnaall ((BBiilldd 11.. 11)).. DDaass ddiiggiittaallee SSyysstteemm llääßßtt ssiicchh ddaannnn iinn aallllggeemmeeii
nneerr FFoorrmm dduurrcchh ddiiee AAnnggaabbee ddeess AAllggoorriitthhmmuuss bbeesscchhrreeiibbeenn,, mmiitt ddeemm aauuss ddeerr
WWeerrtteeffoollggee ll uu((kk))}} ddiiee FFoollggee ttyy((kk))}} eerrrreecchhnneett wwiirrdd..
AAuuffggaabbeennsstteelllluunnggeenn ddiieesseerr AArrtt ssiinndd iinn ddeerr nnuummeerriisscchheenn MMaatthheemmaattiikk sseeiitt sseehhrr
llaannggeerr ZZeeiitt bbeekkaannnntt.. VVeerrffaahhrreenn zzuurr nnuummeerriisscchheenn DDiiffffeerreennttiiaattiioonn ooddeerr IInntteeggrraa
ttiioonn eebbeennssoo wwiiee zzuurr IInntteerrppoollaattiioonn uunndd EExxttrraappoollaattiioonn llaasssseenn ssiicchh hhiieerr eeiinnoorrddnneenn..
AAbbeerr aauucchh ddiiee ffüürr vviieellee AAnnwweenndduunnggeenn wwiicchhttiiggeenn AAuuffggaabbeenn ddeerr FFiilltteerruunngg vvoonn SSiigg
nnaalleenn,, ddiiee pprriimmäärr dduurrcchh AAnnggaabbeenn iimm FFrreeqquueennzzbbeerreeiicchh bbeesscchhrriieebbeenn wweerrddeenn,,
llaasssseenn ssiicchh dduurrcchh ggeeeeiiggnneettee WWaahhll ddeerr BBeezziieehhuunngg zzwwiisscchheenn [[uu((kk))}} uunndd [[yy((kk))}}
bbeehhaannddeellnn..
