Differentialgleichungen und ihre Anwendungen

608 Pages·1994·13.38 MB·German

by  Prof. Dr. Martin Braun (auth.)

Springer-Lehrbuch
Martin Braun
Differentialgleichungen
und ihre Anwendungen
Ubersetzt aus dem Englischen
von T. Tremmel
Dritte, unveranderte Auflage
Mit 65 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Prof. Dr. Martin Braun
Department of Mathematics, Queens College
The University of New York
65-30 Kissena Boulevard
Flushing, NY 11367-1597, USA
Die erste Auflage erschien in der Hochschultext-Reihe
AMS Subject Classification (1991): 34-01
Titel der englischsprachigen Ausgabe:
Differential Equations and Their Applications, 3rd edition
1983 [Applied Mathematical Sciences, Vol. 15]. New York,
Heidelberg, Berlin.
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Braun, Martin:
Differentialgleichungen und ibre Anwendungen I Martin
Braun. Obers. aus dem Eng\. von T. Tremmel-3. Auf!. -
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo;
Hong Kong; Barcelona; Budapest: Springer, 1994
(Springer-Lebrbuch)
Eng\. Ausg. u.d.T.: Braun, Martin: Differential equations and their
applications
ISBN-I 3 : 978-3-540-56886-5 e-ISBN-13: 978-3-642-97515-8
DOl: 10.1007/978-3-642-97515-8
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1979. 1991. 1994
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Vier sehr lieben Menschen gewidmet:
Zelda Lee
Adeena Rachelle, I. Nasanayl und Shularnit
Vorwort
Das vorliegende Buch behandelt die Theorie der gew6hnlichen Differen
tialgleichungen und ihre vielfaltigen Anwendungen auf Probleme aus
den unterschiedlichsten Bereichen des menschlichen Lebens. Folgende
Anwendungen werden ausfuhrlich behandelt:
1. Der Nachweis, daB es sich bei dem von der belgischen Rembrandtge
sellschaft fur $170 000,- gekauften Gemalde "Christus und die Junger
in Emmaus" urn eine moderne Falschung handelt.
2. Modelle fur populationswachsturn, wobei das wirkliche Wachstum der
verschiedenen Spezies mit den theoretischen Werten des Modells ver
glichen wird.
3. Der UbernahmeprozeB von technologischen Innovationen in Landwirt
schaft und Industrie mit konkreten Werten aus verschiedenen Indu
striezweigen.
4. Das Lagern von Atommull auf dem Meeresboden und die damit verbun
denen (sehr erheblichen) Risiken.
5. Ein Modell fur das Blutzuckerregulationssystem, aus dem sich ein
Kriterium fur die Diagnose von Diabetes ergibt.
6. Kriegstheorien und Stabilitatsprobleme im Rustungswettlauf. Kon
krete Anwendung auf die Schlacht von Iwo Jima im zweiten Weltkrieg.
7. Der ungew6hnliche Populationszuwachs von Raubfischen im Mittelmeer
wahrend des ersten Weltkriegs und die daraus folgenden Ergebnisse fur
die Verwendung von Insektiziden.
8. Das Ausleseprinzip in der Biologie.
9. Der Schwellensatz in der Epidemiologie.
10. Die Ausbreitungsgesetze fur Gonorrhoe.
Neben diesen vielfaltigen Anwendungsbeispielen gibt das Buch eine
solide, theoretisch fundierte Einfuhrung in die Theorie der gew6hn
lichen Differentialgleichungen, die sich nicht nur an !1athematiker,
VIII
sondern auch an Studierende der Anwendungsgebiete wendet. Einen be
sonderen Platz nehmen dabei numerische Uberlegungen ein, die bereits
im ersten Kapitel angestellt werden und besonders wichtig in Fallen
sind, die eine explizite Losung nicht zulassen. Zahlreiche Computer
programme (mit Erlauterungen) unterstreichen die Wichtigkeit dieser
Seite der Theorie.
New York City
Jul i 1991 Hartin Braun
In haltsverzeichnis
Kapite11. Differentialgleichungen erster Ordnung
1 . 1 Einfuhrung ............................................ .
1.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ......... 2
1.3 Die Kunstfalschungen des Van Meegeren .................. 12
1.4 Differentialgleichungen mit getrennten Veranderlichen .. 25
1 .5 Populationsmodelle ..................................... 33
1.6 Die Ausbreitung technologischer Innovationen ........... 45
1.7 Ein Problem der Atommullbeseitigung .................... 53
1.8 Die Dynamik des Tumorwachstums; Mischungsprobleme und
orthogonale Trajektorien ............................... 61
1.9 Exakte Differentialgleichungen; der Grund der Unlos-
barkei t vieler Gleichungen ............................. 67
1.10 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz; Picard-Iteration. 77
1.11 Iterationsverfahren ...... " ...... , .... . .. .. ............ 92
1 .11.1 Die Newtonsche Methode ................................. 99
1.12 Differenzengleichungen; Kredit und Zins ................ 104
1 .13 Numerische Approximationen; die Eulersche f.1ethode .... ',' 109
1.13.1 Fehlerabschatzung fur die Eulersche Methode ............ 114
1.14 Die drei-Term-Taylorreihen-Methode ..................... 122
1.15 Eine verbesserte Euler-Methode ......................... 125
1.16 Das Verfahren von Runge-Kutta .......................... 129
1.17 Einige Bemerkungen tiber die praktische Berechnung von
Naherungslosungen ...................................... 132
Kapitel 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
2.1 Algebraische Eigenschaften von Losungen ................ 144
2.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi-
zienten ................................................ 157
2.2.1 Komplexe Wurzeln ....................................... 160
2.2.2 Doppelwurzeln; Reduktion der Ordnung ................... 166
x
2.3 Die inhomogene Gleichung 172
2.4 Variation der Konstanten 175
2.5 Die Methode des gezielten Abschatzens ••••••••.•••••••••. 180
2.6 Mechanische Schwingungen ••••••••.••••••••••••..••.••.••. 1 89
2.6.1 Das BrUckenunglUck von Tacoma .•••••••••••.•••••••••••••. 199
2.6.2 Elektrische Netzwerke ••••••••••••••••••••••••••••..•.•.• 203
2.7 Ein Modell zur Erkennung von Diabetes •••.•••••••.•••.... 206
2.8 Reihenlosungen ••••••••••••••••••••••••••••••.••.•••...•• 216
2.8.1 Singulare Punkte; die Methode von Frobenius ••••••••.••.• 231
2.9 Die Laplacetransformation ••••••.••.••••.••••••••.•.••••. 240
2.10 Einige nUtzliche Eigenschaften der 'Laplacetransformation 250
2.11 Differentialgleichungen mit Unstetigkeitsstellen auf
der rechten Seite •••..••••••..•.•••..••...••...•.•.....• 256
2.12 Die Diracsche Deltafunktion •.•••.•..•.••.••••••••....... 262
2.13 Das Faltungsintegral •••••.•••.••••..•••••••••.••••..••.. 272
2.14 Die Eliminationsmethode fUr Systeme •.••••••••••••••••.•• 278
2.15 Einige Bemerkungen tiber Differentialgleichungen hoherer
Ordnung ••.•••••••••••••••...•••••••.•••..•••••••••••••.. 281
Kapitel 3. Systeme von Differentialgleichungen
3.1 Algebraische Eigenschaften von Losungen linearer Systeme 287
3.2 Vektorraume .•••••••••.••••••.•••••••..••••••.•••••.•••.• 297
3.3 Dimension eines Vektorraums •••••.••••••.••••••••••.••••. 304
3.4 Anwendung der linearen Algebra auf Differential-
gleichungen •..•••••.•••••••••••.••.••.•••••••••••••••••• 315
3.5 Determinantentheorie •••••••..•••••••••••••.••••••••••••• 322
3.6 Losungen von linearen Gleichungssystemen .••••.••...••.•. 336
3.7 Lineare Abbildungen •.••••...•.•.•.•.•.••.••••..•••.••... 347
3.8 Bestimmung von Losungen mit Hilfe von Eigenwerten und
Eigenvektoren ..••.•••.••.•••..••........•••.•.•...••.•.. 360
3.9 Komplexe Wurzeln •••••••••••.•.•.••.••••..•.•••••••.....• 368
3.10 Mehrfache Wurzeln ••••••••.••..•...••.••••.••••••...••••. 372
3.11 Fundamentale Matrixlosungen; eAt ...••...•••••.••••••••.. 382
3.12 Die inhomogene Gleichung; Variation der Konstanten 387
3.13 Losung von Differentialgleichungssystemen mittels
Laplacetransformation ••.••••••..•••.•.••.•.•..•.•.••.... 395
XI
Kapitel 4. Qualitative Theorie der Differentialgleichungen
4.1 Einflihrung' ....•....•........................•........ .•. 398
4.2 Stabilitat von linearen Systemen .......•....•........... 404
4.3 Stabilitat von Gleichgewichtslosungen ..........•........ 412
4.4 Die Phasenebene .......................•.....•........... 421
4.5 Mathematische Kriegstheorien ....•..........•......•.... 426
4.5.1 Die Konflikttheorie von L.F. Richardson .....•....•..•... 426
4.5.2 Die Schlachtmodelle von F.W. Lanchester; die Schlacht
von Iwo Jima .....•..............•..•.................... 434
4.6 Qualitative Eigenschaften von Bahnen .................•.. 445
4.7 Phasenportraits linearer Systeme ...............•........ 451
4.8 Langzeitverhalten von Losungen; der Satz von Poincare-
Bendixson ............................................... 462
4.9 Rauber-Opfer-Probleme; warum es wah rend des ersten Welt
kriegs prozentual zu einem dramatischen Anstieg des Hai-
fischfangs im Mittelmeer kam ............................ 473
4.10 Das prinzip der Auslese durch Wettbewerb in der Popula-
tionsbiologie ........................................... 483
4.11 Der Schwellensatz der Epidemiologie ..................... 492
4.12 Ein Modell flir die Ausbreitung der Gonorrhoe ............ 500
Kapitel 5. Separation der Variablen und Fourierreihen
5.1 Zwei-Punkt-Randwertprobleme ............................. 513
5.2 Einflihrung in die Theorie der partiellen Differential-
gleichungen ............................................. 518
5.3 Die Warmegleichung; Separation der Variablen ............ 521
5.4 Fourierreihen ........................................... 526
5.5 Gerade und ungerade Funktionen .......................... 533
5.6 Die Warmegleichung (Fortsetzung) ........................ 539
5.7 Die Wellengleichung ..................................... 545
5.8 Die Laplacesche Gleichung ...........................•... 551
Anhang A
Einfache Definitionen und Satze aus der Theorie der Funktionen
mehrerer Veranderlicher .........................•.............. 557
Anhang B
Folgen und Reihen .............................................. 559
XII
Anhang C
Einflihrung in APL 561
Losungen zu ungeradzahligen Aufgaben .•..••.....•............... 572
Namen- und Sachverzeichnis ....•....•.•.•...•............•.•.... 592