Table Of ContentKonrad Hoyer
Gerhard Schnell
Differentialgleichungen
der Elektrotechnik
Losung mittels Theorie der Differentialgleichungen,
Laplace-Transformation
und programmierbarer Taschenrechner
Vieweg
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hoyer, Konrad
Differentialgleichungen der Elektrotechnik: Losung
mittels Theorie d. Differentialgleichungen, Laplace
Transformation u. programmierbarer Taschenrechner/
Konrad Hoyer; Gerhard Schnell. - 1. Auf!. - Braun
schweig: Vieweg, 1978.
ISBN-13:978-3-528-04092-5 e-ISBN-13:978-3-322-84336-4
DOl: 10.1007/978-3-322-84336-4
NE: Schnell, Gerhard:
1978
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1978
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ISBN-13:978-3-528-04092-5
VOnNort
Die Berechnung elektrischer Ausgleichsvorgange ist sowohl bei
Studenten als auch bei ausgebildeten Praktikern eine meist un
beliebte Beschaftigung. Der Grund dafur ist wohl, daB die dazu
notwendige Mathematik nicht ganz anspruchslos ist.
Dazu kommt, daB Grundlagenlehrbucher diesen Stoff notgedrungen
sehr knapp anbieten und die einschlagigen Monographien fur An
fanger viel zu schwierig sind.
Urn hier Abhilfe zu schaffen, haben sich ein Mathematiker und
ein Elektrotechniker zusammengetan und, gestutzt auf langjah
rige Vorlesungserfahrung, eine wirklich elementare EinfUhrung
verfaBt. Es werden in diesem Buch parallel
- die klassische Methode der Losung von Differentialgleichungen,
- die elegante Methode der Laplace-Transformation und
- die moderne Methode der numerischen, digitalelektronischen
Berechnung dargestellt. Insbesondere von der letzten Methode
erwarten wir bei dem heutigen Stand der Technik der program
mierbaren Taschenrechner eine stetig steigende Bedeutung fur
die Praxis. Es wurden aber aIle drei Methoden soweit behandelt,
wie sie ein Student der Elektrotechnik an Hoch- und Fachhoch
schule beherrschen muB. Auch Studenten verwandter Fachrichtun
gen wollen wir ansprechen.
Das letzte Kapitel bringt einen Ausgleichsvorgang aus der Re
gelungstechnik, der unter Mithilfe und mit dem Verfahren von
Prof. K. Schneider berechnet wurde.
Fur Hinweise auf Fehler, die wir trotz aller Sorgfalt nicht
fanden, sind wir genauso dankbar wie fur Kritik und Anregungen
fur Verbesserungen und Erweiterungen.
Frankfurt am Main, 1978
K. Hoyer Dr. G. Schnell
III
Inhaltsverzeichnis
Berechnung von Ausgleichsvorgangen mit Differential-
gleichungen 1
1.1 Differentielle Beziehungen
1.2 Anfangswerte
1.3 Aus- und Einschaltvorgange 2
2 Berechnungsbeispiele von Schaltungen mit einem
Energiespeicher mittels Differentialgleichung 3
2.1 Das RC-Glied 3
2.1.1 Ausschaltvorgang 3
2.1.2 Einschaltvorgang 5
2.1.2.1 Gleichspannung 5
2.1.2.2 Rampenspannung 6
2.1.2.3 Wechselspannung 7
2.1.2.4 Rechteckspannung 9
2.1.3 Das belastete RC-Glied 9
2.1.4 Das CR-Glied 10
2.2 Das RL-Glied 12
2.2.1 Ausschaltvorgang 12
2.2.2 Einschaltvorgang 13
2.2.2.1 Gleichspannung 13
2.2.2.2 Rampenspannung 13
2.2.2.3 Wechselspannung 14
3 Berechnung von Ausgleichsvorgangen mit Laplace
Transformation 16
3.1 Einschaltvorgang 16
3.1.1 Obertragungsfunktion 16
3.1.2 Spektralfunktion 17
3.1.3 Rticktransformation 17
3.2 Ausschaltvorgang 17
3.2.1 Integrodifferentialgleichung 17
3.2.2 Spektralbereich 17
3.2.3 Anfangswerte 18
3.2.4 Algebraische Gleichung 18
3.2.5 Rticktransformation 18
IV
4 Berechnungsbeispiele von Schaltungen mit einem
Energiespeicher mittels Laplace-Transformation 23
4.1 Das RC-Glied 23
4.1.1 Einschaltvorgang 23
4.1.1.1 Gleichspannung 23
4.1.1.2 Rampenspannung 24
4.1.1.3 Wechselspannung 24
4.1. 2 Ausschaltvorgang 25
4.2 Das RL-Glied 26
4.2.1 Einschaltvorgang 26
4.2.1.1 Gleichspannung 26
4.2.1.2 Rampenspannung 27
4.2.1.3 Wechselspannung 27
4.2.2 Ausschaltvorgang 28
5 Die numerische Berechnung von Ausgleichsvorgangen
mit einem Energiespeicher 29
5.1 Das Polygonzugverfahren 29
5.2 Das FluBdiagramm 31
5.3 Programmierung der Differentialgleichung 33
5.3.1 Taschenrechner hp 25 33
5.3.1.1 Bedienungsanweisung 33
5.3.1.2 Programm 34
5.3.1.3 Beispiel 35
5.3.2 Taschenrechner hp 67/Tischrechner hp 97 35
5.3.2.1 Bedienungsanweisung 36
5.3.2.2 Programm 36
5.3.2.3 Beispiel 37
5.3.3 Taschenrechner SR 56 38
5.3.3.1 Bedienungsanweisung 38
5.3.3.2 Programm 38
5.3.3.3 Beispiel 40
5.3.4 Taschenrechner SR 52 40
5.3.4.1 Bedienungsanweisung 40
5.3.4.2 Programm 41
5.3.4.3 Beispiel 42
v
6 Numerische Berechnungsbeispiele von Schaltungen mit'
einem Energiespeicher 43
6.1 Das RC-Glied 43
6.1. 1 Gleichspannung 45
6.1. 2 Rampenspannung 47
6.1 .3 Wechselspannung 47
6.1.3.1 Sinusspannung 47
6.1.3.2 Rechteckspannung 49
6.1 .4 Einweggleichrichtung 50
6.2 Das RL-Glied 52
6.2.1 Einschalten einer Gleichspannung 54
6.2.2 RL-Glied mit variablem R 55
6.2.2.1 Gltihlampe 57
6.2.2.2 Lichtbogen 59
6.2.3 RL-Glied mit variablem L (Eisendrossel) 61
7 Berechnung von Schaltungen mit zwei Energiespeichern
mittels Differentialgleichung 65
7.1 Schalten einer RLC-Reihenschaltung 65
7.1.1 Ausschaltvorgang 65
7.1. 2 Einschaltvorgang 68
7.1.2.1 Gleichspannung 68
7.2 Schalten einer RLC-Parallelschaltung 69
7.2.1 Ausschaltvorgang 70
7.2.2 Einschaltvorgang 71
7.2.2.1 Gleichspannung 71
7.2.2.2 Sinuswechselspannung 72
7.2.3 Erweiterte RLC-Parallelschaltung 73
8 Berechnung von Schaltungen mit zwei Energiespeichern
mi ttels Laplace-Transformation 75
8.1 Schalten einer RCRC-Schaltung (aktiver Tiefpass) 75
8. 1 .1 Einschalten einer Gleichspannung 75
8.2 Schalten einer RLC-Reihenschaltung 76
8.2.1 Ausschaltvorgang 76
8.3 Schalten einer RLC-Parallelschaltung 77
8.3.1 Einschaltvorgang 78
8.3.1.1 Gleichspanriung 78
8.3.1.2 Sinuswechselspannung 79
VI
9 Numerische Berechnung von Schaltungen mit zwei
Energiespeichern 81
9.1 FluBdiagramm 81
9.2 Programmierung der Differentialgleichung 82
9.2.1 Taschenrechner hp 25 82
9.2.1.1 Bedienungsanweisung 82
9.2.1.2 Programm 83
9.2.1.3 Beispiel 84
9.2.2 Taschenrechner hp 67/Tischrechner hp 97 84
9.2.2.1 Bedienungsanweisung 84
9.2.2.2 Programm 85
9.2.2.3 Beispiel 86
9.2.3 Taschenrechner SR 56 86
9.2.3.1 Bedienungsanweisung 86
9.2.3.2 Programm 87
9.2.3.3 Beispiel 88
9.2.4 Taschenrechner SR 52 89
9.2.4.1 Bedienungsanweisung 89
9.2.4.2 Programm 89
9.2.4.3 Beispiel 91
10 Numerische Berechnungsbeispiele von Schaltungen mit
zwei Energiespeichern 93
10.1 Das RCRC-Glied 93
10.1.1 Aktiver Tiefpass 93
10.1.2 Aktiver Hochpass 98
10.2 RLC-Reihenschaltung 101
10.3 RLC-Parallelschaltung 103
11 Numerische Berechnung dynamischer Regelsysteme 107
11. 1 Grundlagen des Programms 107
11.2 Regelstrecke zweiter Ordnung mit PI-RegIer 108
11.2.1 Signalf1uBplan 108
11.2.2 Programmierung 109
11.2.2.1 Bedienungsanweisung 110
11.2.2.2 Programm 110
11.2.3 Beispiel 112
VII
12 Hinweise fur die Taschenrechner hp 19C, hp 29C
und TI 58, TI 59 114
12.1 Taschenrechner hp 19C und hp 29C 114
12.2 Taschenrechner TI 58 und TI 59 117
Literatur 121
VIII
Berechnung yon AusgleichsYorgangen mit Differentialgleichungen
1.1 Differentielle Beziehungen
Die Grundlage der Berechnung yon elektrischen AusgleichsYor
gang en sind - wie bei Berechnung des stationaren Zustandes -
die Kirchhoffschen Regeln (Knoten- und Maschenregel).
Sie ergeben zusammen mit den differentiellen Beziehungen zwi
schen u und i an Loder C die Differentialgleichung (Dgl.).
Diese Beziehungen zeigt Tabelle 1.
R L C
t
u R·i L·i' Jidt+U(O)
u
i R t!Udt+I (0) C·u'
du
hier und im FOlgenden bedeutet u'
crt·
Tabelle 1
1.2 Anfangswerte
Zur Bestimmung der Konstanten in der geschlossenen Losung der
Dgl. sind noch die Anfangswerte notwendig, das sind die u- bzw.
i-Werte zum Zeitpunkt des Schaltens, also bei t ~ O.
Kirchhoff + Tab. 1 '9 D 1 ---r-: -+ allgemeine --t-, -. endgul tige
g. Losung Losung
Ansatz Anfangs-
werte
u(O); i(O)
(Fur die numerische Losung yon Dgl. ist kein Losungsansatz er
forderlich. )
1.3 Aus- und Einschaltvorgange
Bei den mathematisch einfacheren Ausschaltvorgangen hat man es
stets mit einer homogenen Dgl. zu tun, d.h. das "Storglied"
auf der rechten Seite der Dgl. ist = O.
Bei den Einschaltvorgangen ist das Storglied gerade gleich der
eingeschalteten treibenden Spannung. Bei der Berechnung der
geschlossenen Losung geht man so vor, daB man zunachst die
allgemeine Losung der homogenen Dgl. bestimmt. Dann sucht man
mittels eines geschickten Ansatzes eine Losung der inhomogenen
Dgl •• Beide Losungen werden addiert und durch die Anfangswerte
einander angepasst.
Ausschaltvorgang: homo gene Dgl. + Anfangswerte--. Losung
Einschaltvorgang:
allgemeine Lo-
<
:~~~n d~~l ~omo-)
Anfangs-
inhomogene Dgl. werte --'Losung
eine L:sUng +
der inhomo-
genen Dgl.
2
