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Herausgegeben von Gerd Fischer
Manfredo P. do Carmo
Differentialgeometrie von Kurven und Flachen
Wolfgang Fischer / Ingo Lieb
F u nktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Ernst Kunz
EinfOhrung in die kommutative Algebra
und algebraische Geometrie
Grundkurs Mathematik
Gerd Fischer Ernst Kunz
Lineare Algebra Ebene Geometrie
Gerd Fischer Joseph Maurer
Analytische Geometrie Mathemecum
Otto Forster R. Mennicken / E. WagenfOhrer
Analysis 1 Numerische Mathematik 1
Otto Forster R. Mennicken / E. WagenfOhrer
Analysis 2 Numerische Mathematik 2
Manfredo P. do Carmo
Differentialgeometrie
von Kurven und Flachen
Mit 170 Abbildungen
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig I Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Carmo, Manfredo P. do:
Differentiaigeometrie von Kurven und FHichen/
Manfredo P. do Carmo. [Vbers.: Michael GriiterJ.
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1983.
(Vieweg-Studium; Bd. 55: Aufbaukurs
Mathematik)
Einheitssacht.: Differential geometry of
curves and surfaces <dt.)
ISBN 978-3-528-07255-1 ISBN 978-3-322-85494-0 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-85494-0
NE:GT
Titel der englischen Originalausgabe:
Differential Geometry of Curves and Surfaces
© 1976 by Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
Ubersetzung: Dr. Michael Grtiter, Universitat Diisseldorf
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983
Die Vervielfliltigung und Vbertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch flir
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Umschlaggestaltung:
Buchbinderische Verarbeitung: W. Langeliiddecke, Braunschweig
v
Inhaltsverzeichnis
Vorwort des Herausgebers ...................................... VII
Aus dem Vorwort zur Originalausgabe .............................. VIII
Vorwort des Autors zur deutschen Ausgabe .......................... IX
1 Kurven
1.1 Einleitung .......................................... .
1.2 Parametrisierte Kurven .................................. .
1.3 ReguHire Kurven. Bogenlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Das Vektorprodukt in 1R3 ................................. 10
1.5 Die lokale Theorie von Kurven, die nach der BogenIange parametrisiert sind.. 14
1.6 Die lokale kanonische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
1.7 Globale Eigenschaften ebener Kurven ......................... 25
2 ReguUire Fli:ichen 42
2.1 Einleitung ........................................... 42
2.2 Regulare Flachen. Urbilder regularer Werte .. ;.. . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
2.3 Parameterwechsel. Differenzierbare Funktionen auf Flachen .......... 57
2.4 Die Tangentialebene. Das Differential einer Abbildung .............. 68
2.5 Die erste Fundamentalform. Flacheninhalt ...................... 76
2.6 Orientierung von Flachen ................................. 84
2.7 Eine Charakterisierung kompakter orientierbarer Flachen ............ 90
2.8 Eine geometrische Definition des Flacheninhalts .................. 94
3 Die Geometrie der GauB-Abbildung ......................... 98
3.1 Einleitung ........................................... 98
3.2 Die Definition der Gauil.-Abbildung und ihre fundamentalen Eigenschaften .. 98
3.3 Die Gauil.-Abbildung in lokalen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113
3.4 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
3.5 Regelflachen und Minimalflachen ............................ 142
4 Die innere Geometrie von Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164
4.1 Einleitung ........................................... 164
4.2 Isometrie. Konforme Abbildungen ........................... 165
4.3 Der Satz von Gauil. und die Vertraglichkeitsbedingungen ............. 175
VI In haltsverzeichnis
4.4 Paralleiverschiebung. Geodiitische ............................ 181
4.5 Der Satz von Gau6-Bonnet und seine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . .. 202
4.6 Die Exponentialabbildung. Geodiitische Polarkoordinaten ............ 219
4.7 Weitere Eigenschaften von Geodiitischen. Konvexe Umgebungen ....... 231
Anhang: Beweise der Fundamentalsatze der lokalen Kurven- und
F lachentheorie 241
Hinweise und Losungen ..................................... 246
Kommentiertes Literatu rverzeichn is 259
Namen- und Sachwortverzeichnis .............................. 261
VII
Vorwort des Herausgebers
Die elementare Differentialgeometrie ist ein besonders reizvolles Thema flir eine Vorlesung
im AnschluB an die einflihrenden Kurse in linearer Algebra und Analysis. Hier kann man
die geometrische Vorstellung entwickeln und die erlernten Techniken anwenden. Es ware
schon, wenn die vorliegende deutsche Dbersetzung aus der englischen Version (von ur
spriinglich auf portugiesisch verfaBten Vorlesungsausarbeitungen) mit dazu beitragen
konnte, die Beliebtheit der Theorie von Kurven und Flachen bei Dozenten und Studenten
so zu steigern, wie es ihr gebtihrt.
Die Dbersetzung ist dem Umfang einer einsemestrigen Vorlesung angepaBt. Mit den
klassischen Satzen der Flachentheorie in Kapitel 4 wird einerseits ein gewisser Hohe
punkt und AbschluB erreicht; andererseits wird durch die Art der Darstellung ein gutes
Fundament flir eine weiterftihrende Vorlesung Uber differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und Riemannsche Geometrie gelegt.
Dem Dbersetzer, Herrn Michael Griiter, ist es gelungen, in Zusammenarbeit mit dem
Autor manche Kleinigkeiten zu verbessern.
DUsseldorf, 1982 Gerd Fischer
VIII
Aus dem Vorwort zur Originalausgabe
Dieses Buch gibt eine Einfiihrung in die Differentialgeometrie von Kurven und Flachen
sowohl yom lokalen als auch yom globalen Standpunkt. 1m Gegensatz zu manchen
anderen Darstellungen werden ausgiebiger Hilfsmittel der linearen Algebra verwendet und
es wird mehr Wert auf die grundlegenden geometrischen Tatsachen als auf den Formalis
mus gelegt.
Wir haben versucht, in jedem Kapitel des Buches einige einfache und grundlegende Ideen
in den Mittelpunkt zu stellen. So entwickelt sich Kapitel 2 anhand des Begriffs einer
regularen Flache in 1R3 als Modell fur den allgemeineren Begriff einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit.
Kapitel 4 zeigt, wie sich die innere Geometrie der Flachen aus dem Begriff der kovarianten
Ableitung entwickeln l~t; auch hier war es unsere Absicht, den Leser auf den allge
meineren Begriff eines Zusarnmenhangs in der Riemannschen Geometrie vorzubereiten.
Urn ein angemessenes Gleichgewicht zwischen Ideen und Tatsachen zu erreichen, haben
wir eine gro~e Zahl von Beispielen ausgeftihrt und durchgerechnet. Zahlreiche Aufgaben
geben dem Leser dartiber hinaus Gelegenheit zur Obung. Manche Tatsachen der klassischen
Differentialgeometrie sind in diesen Obungsaufgaben enthalten. FUr die mit einem Stern
versehenen Aufgaben werden am Ende des Buches Hinweise oder LOsungen gegeben.
Kenntnisse in linearer Algebra und Analysis werden vorausgesetzt. Wiihrend in der linearen
Algebra die Grundbegriffe geniigen, ist in der Analysis eine Vertrautheit mit der Differen
tialrechnung mehrerer Veranderlichen (einschlie~lich des Satzes iiber implizite Funk
tionen) erforderlich. Kenntnisse iiber Differentialgleichungen sind niitzlich, aber nicht
unbedingt erforderlich.
Rio de Janeiro Manfredo P. do Carmo
IX
Vorwort des Autors zur deutschen Ausgabe
The present book is a translation of "Differential Geometry of Curves and Surfaces"
published originally by Prentice-Hall, Inc. in 1976. The German publishers felt it convenient
to shorten somewhat the present edition by omitting Chap. 5 (Global Differential
Geometry) and the Appendices to Chaps. 2 and 3 of the original edition. A few other
changes were made to adapt the book to the needs of German students; in particular the
"Bibliography and Comments" was entirely revised and updated.
The hard task of the translation was done by Dr. M. Gri.iter from the Mathematisches
Institut der Universitat Di.isseldorf. I want to thank him for pointing out a number of
corrections and suggesting some improvements to the text. Thanks are also due to the
German Editor, Ulrike Schmickler-Hirzebruch, whose suggestions often anticipated my
wishes.
I would like to use this opportunity to express my deep appreciation to various people,
students and colleagues alike, who have throughout the years produced the long list of
corrections that I incorporated in the present edition.
Rio de Janeiro, 1982
1 Kurven
1.1 Einleitung
Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und FJachen zwei Betrachtungsweisen.
Die eine, die man klassische Differentialgeometrie nennen konnte, entstand zusammen mit
den Anfangen der Differential-und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische
Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und FHichen. Dabei verstehen wir
unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Flache in der
Umgebung eines Punktes abhiingen. Die Methoden, die sich als fUr das Studium solcher
Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus
diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flachen
durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind.
Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei
untersucht man den EinfluB lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve
oder Flache.
Der interessanteste und reprasentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl
die Untersuchung von Flachen. Beim Studium von Flachen treten jedoch in nattirlicher
Weise einige 10k ale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapi
tel, urn kurz auf Kurven einzugehen.
Das Kapitel ist so eingeteilt, daB ein Leser, der hauptsachlich an Flachen interessiert ist,
nur die Abschnitte 1.2 bis 1.5 zu lesen braucht. Die Abschnitte 1.2 bis 1.4 enthalten im
wesentlichen einfUhrendes Material (parametrisierte Kurven, Bogenlange, Vektorprodukt),
das wahrscheinlich bereits aus anderen Kursen bekannt ist und der Vollstandigkeit wegen
hier aufgenommen wurde. Abschnitt 1.5 stellt den Kern des Kapitels dar und enthiilt die
Ergebnisse iiber Kurven, die beim Studium von Flachen benotigt werden. Fiir diejenigen,
die sich ein wenig mehr flir Kurven interessieren, haben wir die Abschnitte 1.6 und 1.7 auf
genommen.
1.2 Parametrisierte Kurven
Mit 1R3 bezeichnen wir die Menge der Tripel (x, y, z) von reellen Zahlen. Es ist unser Ziel,
bestimmte Teilmengen des 1R3 zu charakterisieren (Kurven genannt), die in einem gewissen
Sinn eindimensional sind und auf die die Methoden der Differentialrechnung angewandt
werden konnen. In natiirlicher Weise definiert man solche Teilmengen durch differenzier
bare Funktionen. Wir nennen eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen differen
zierbar (oder glatt), wenn sie in jedem Punkt Ableitungen beliebiger Ordnung besitzt (die
dann automatisch stetig sind). Eine erste Definition von Kurve, die zwar nicht ganz zu
friedenstellend ist, aber fiir die Zwecke in diesem Kapitel geniigt, ist die folgende.