Differentialgeometrie I [Lecture notes]

79 Pages·2004·0.614 MB·German

by  Dirk Ferus

Differentialgeometrie I
WS 1999/2000
Dirk Ferus
Inhaltsverzeichnis
1. Vorlesung: Einfu¨hrung 3
2. Vorlesung: Differentialrechnung, Kurven 3
3. Vorlesung: Gerahmte Kurven 5
4. Vorlesung: Normalform, Frenetrahmen 7
5. Vorlesung: Existenz- und Eindeutigkeit, Isoperimetrische Ungleichung 10
6. Vorlesung: Isoperimetrische Ungleichung, Umlaufzahl 11
7. Vorlesung: Umlaufsatz von Hopf 15
8. Vorlesung: Mannigfaltigkeiten 19
9. Vorlesung: Mannigfaltigkeiten, differenzierbare Abbildungen 20
10. Vorlesung: Tangentialraum, Differential 22
11. Vorlesung: Immersionen 25
12. Vorlesung: 1. Fundamentalform, Vektorfelder 27
13. Vorlesung: Orientierte Hyper߬achen, 2. Fundamentalform 30
14. Vorlesung: Orientierte Hyper߬achen, 2. Fundamentalform 32
15. Vorlesung: Kru¨mmungsgr¨oßen 34
16. Vorlesung: Rotationsfl¨achen konstanter Kru¨mmung 37
17. Vorlesung: Kurven in Hyper߬achen 38
1
18. Vorlesung: Kurven auf Fl¨achen 40
19. Vorlesung: Regel߬achen 44
20. Vorlesung: Minimal߬achen 48
21. Vorlesung: Intermezzo: Komplexe Funktionentheorie 52
22. Vorlesung: Minimal߬achen und Funktionentheorie 56
23. Vorlesung: Lieklammer 59
24. Vorlesung: Levi-Civita-Ableitung 60
25. Vorlesung: Strukturgleichungen, Kru¨mmungstensor 66
26. Vorlesung: Eindeutigkeitssatz, Starrheit 69
27. Vorlesung: Kompakte Fl¨achen konstanter Kru¨mmung 72
28. Vorlesung: Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten 75
2
1 Einfu¨hrung
Themen der Differentialgeometrie
Kurven, Fl¨achen.
Kru¨mmung ebener und r¨aumlicher Kurven (Beschleunigung, Kru¨mmungsradius),
KurvenkonstanterKru¨mmung,KurvenvorgeschriebenerKru¨mmung.Totalkru¨mmung.
Gaußsche Kru¨mmung von Fl¨achen, von der Kugel. Fl¨achen konstanter Gaußscher
Kru¨mmung.
Hauptkru¨mmungen, mittlere Kru¨mmung.
Berechnung der Gaußschen Kru¨mmung aus inneren Gr¨oßen:
π
F =2πr2(1−cosθ)=π(rθ)2− (rθ)4K+...
12
Innere und A¨ußere Differentialgeometrie, intrinsisch, extrinsisch.
R
Satz von Gauß-Bonnet: K =2πχ=2π(E−K+F).
Willmore߬achen: R H2 =min
Literatur zur Vorlesung:
Do Carmo, M.: Differentialgeometrie von Kurven und Fl¨achen, vieweg
Ku¨hnel, W.: Differentialgeometrie, vieweg
Klingenberg, W. : Eine Vorlesung u¨ber Differentialgeometrie, Springer
Spivak, M.: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I-V, Pu-
blish or Perish
Differentialrechnung II
Differential von Abbildungen in endlich-dim. normierten Vektorr¨aumen.
Beispiel. det:M(n×n,R )⊃GL(n,R)→R
d det(B)=detASpur(A−1B).
A
C∞-Abbildungen.
Bemerkung: Differenzierbar wird bei uns h¨aufig fu¨r C∞ stehen.
2 Differentialrechnung, Kurven
Noch zur Differentialrechnung
”Differenzierbar”bedeutet in folgenden C∞.
3
Definition. Sei f : V ⊃ M → W eine differenzierbare Abbildung der (belie-
bigen) Teilmenge M des n-dimensionalen normierten Vektorraums V in den n-
dimensionalen normierten Vektorraum W. Gibt es zu jedem Punkt von M eine
offene Umgebung U in V und eine differenzierbare Abbildung F :U →W mit
F|U ∩M =f|U ∩M
so heißt f differenzierbar. (Differential aber i.a. nicht definiert!)
Definition. f : V ⊃ M → N ⊂ W heißt ein Diffeomorphismus von M auf N,
wenn f :M →N bijektiv und differenzierbar mit differenzierbarem Inversen ist.
Beispiel 1. Die Abbildung f : R2 → R,(x,y) 7→ x gibt einen Diffeomorphismus
von {(x,y)|y = x2} auf R. Als Abbildung von {(x,y)|y = |x|} auf R ist sie diffe-
renzierbar und bijektiv, aber kein Diffeomeorphismus.
Satz 1. (Rangsatz) Sei f : V ⊃ G → W eine differenzierbare Abbildung der of-
fenen Menge G des n-dimensionalen Vektorraums V in den n-dimensionalen Vek-
torraum W. Sei p∈G,k ∈N und fu¨r alle q in einer Umgebung von p
Rangd f =k.
q
Dann gibt es Umgebungen V˜ von p und W˜ von f(p) und Diffeomeorphismen v˜,w˜,
so daß mit
f :Rn →Rm,(x ,...,x )7→(x ,...,x ,0,...,0)
0 1 n 1 k
das folgende Diagramm kommutativ ist:
f
V ⊃G −→ W
∪ ∪
V˜ W˜
v˜↑ ↑w˜
Rn −f→0 Rm
Beweis: z.B. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis, Bd. I, Kap. X.3 oder
Br¨ocker/J¨anich, Einfu¨hrung in die Differentialtopologie, §5.
Beispiel 2. Ist das Differential von f lokal injektiv bzw. surjektiv, so ist auch f
lokal injektiv bzw. surjektiv.
Beispiel 3. Fu¨r k =m=n der folgt daraus der Umkehrsatz.
Kurven und ihre L¨ange
Definition. (i) Eine (parametrisierte) Kurve c in einem euklidischen Vektor-
raum V ist eine stetige Abbildung c:J →V eines Intervalls J ⊂R.
(ii) Eine differenzierbare Kurve c heißt regul¨ar, wenn c˙(t)6=0 fu¨r alle t.
(iii) Ist c:J →V eine stetig differenzierbare Kurve, t ∈J, so heißt die Funktion
0
Z t
s(t):= ||c˙||
t0
die Bogenl¨ange der Kurve von t aus. Gilt s(t) = t−t fu¨r alle t, so heißt c
0 0
nach der Bogenl¨ange parametrisiert.
4
(
Beispiel 4. Die Funktion φ(t):= e−1t t>0 ist C∞. Die Kurve
0 sonst
c:[0,2]→R2,t7→(φ(1−t),φ(t−1))
ist in 1 nicht regul¨ar. Ihr Bild hat dort einen Winkel von π/2.
Bemerkungen
• Parameterinvarianz, Intervall-Additivit¨at.
• Die Voraussetzungen der Definition lassen sich erheblich abschw¨achen. Die
Bogenl¨angeistauchdefiniertfu¨rnurstu¨ckweisestetigdifferenzierbareKurven,
allgemeiner fu¨r rektifizierbare Kurven.
• c ist nach der Bogenl¨ange parametrisiert ⇔ ||c˙||=1.
Satz2. (ParametrisierungnachderBogenl¨ange)Seic:J →V eineregul¨are,
stetig differenzierbare Kurve mit der Bogenl¨angenfunktion s : J → R. Dann ist
s˙ =||c˙||>0, also existiert s−1 :s(J)→J, und c˜:=c◦s−1 ist nach der Bogenl¨ange
parametrisiert. Fu¨r beliebige differenzierbaren Funktionen f gilt:
1 df 1 df
(f ◦s−1)0(s(t))= (t)= (t).
s˙(t)dt ||c˙(t)||dt
Deshalb heißt fu¨r regul¨are Kurven c der Differentialoperator d = 1 d die Ablei-
ds ||c˙||dt
tung nach der Bogenl¨ange.
3 Gerahmte Kurven
c:J →Rn regul¨areC∞-Kurve,t ∈J, d =(.)0 diezugeh¨origeAbleitungnachder
0 ds
Bogenl¨ange.
Definition. 1. Ein (differenzierbarer orthogonaler) Rahmen fu¨r c ist eine differen-
zierbare Abbildung F = (F ,...,F ) : J → SO(n) mit c0 = F . Das Paar (c,F)
1 n 1
heißt dann eine gerahmte Kurve.
2. Ist (c,F) eine gerahmte Kurve, so heißt die durch
F0 =FA (1)
definiertematrixwertigeFunktionAdieAbleitungsmatrix oder Zusammenhangsma-
trix und (1) die Ableitungsgleichung von (c,F).
Beachte, daß A die A¨nderung von F bezu¨glich F beschreibt:
F0 =a F +...+a F .
i 1i 1 ni n
Lemma.
A:J →so(n).
5
Beispiele:1.n=2.DanngibteszucgenaueinenRahmenF =(c0,ic0),undesist
(cid:18) (cid:19)
0 −κ
A= .
κ 0
Die Funktion κ:J →R heißt die Kru¨mmung von c.
c00 =κic0 κ=<c00,ic0 >.
Geraden sind charakterisiert durch κ=0, Kreise vom Radius r durch κ=const=
1/r.
2. Ein Rahmen fu¨r die Schraubenlinie c(t)=(acost,asint,bt). (Frenet-Rahmen)
E.g. Fu¨r die Schraubenlinie (Helix) c : R → R3,t 7→ (acost,asint,bt) mit a > 0
sinddieAbleitungnachderBogenl¨ange,einRahmenF undseineAbleitungsmatrix
gegeben wie folgt:
p d 1 d
c˙=(−asint,acost,b), kc˙k= a2+b2 =:µ, = ,
ds µdt
 
−asint −cost b sint
µ µ
F = a cost −sint −bcost
 µ µ 
b 0 a
µ µ
 
0 −a 0
d µ2
F =F  a 0 −b.
ds µ2 µ2
0 b 0
µ2
3. n>2. Dann ist die Richtungs¨anderung in Abh¨angigkeit von der Bogenl¨ange
(F )0 =F a +...+F a . (2)
1 2 21 n n1
p
Der Betrag κ = ||(F )0|| = a2 +...+a2 = 1 d( 1 dc) heißt die Kru¨mmung
1 21 n1 ||c˙||dt ||c˙||dt
von c.
4. Eichtransformationen F˜ = FG mit G : J → SO(n) und Ge = e . Dann
1 1
A˜=AG+G0.
5. Paralleler Rahmen:
 
0 −a ... −a
21 n1
 a21 0 ... 0 
A= . . .  (3)
 . . . 
 . . . 
a 0 ... 0
n1
Fu¨r n=2 ist der einzige existierende Rahmen parallel.
ImFalln=3definiertmandiekomplexeKru¨mmungψ :=a +ia .Dannist|ψ|=
21 31
κ, und man definiert τ := d arg ψ als die Torsion von c. (Nur definiert, wo κ6=0.
ds
Unah¨angigvomparallelenRahmen.Achtung:BeidoCarmohatτ entgegengesetztes
Vorzeichen!).
6. Paralleler Rahmen fu¨r die Schraubenlinie. ⇒κ= a , τ = b .
a2+b2 a2+b2
6
Beweis. Wir betrachten die Schraubenlinie
c=(acost,asint,bt)
mit dem obigen Rahmen F =(F ,F ,F ). Fu¨r diesen gilt
1 2 3
−a b −b
F0 = F + F , F0 = F .
2 µ2 1 µ2 3 3 µ2 2
Um einen parallelen Rahmen zu finden, untersuchen wir
M =cosφF +sinφF .
2 3
Dann ist
M0 =−φ0sinφF +cosφF0 +φ0cosφF +sinφF0
2 2 3 3
−b b −a
=(−φ0sinφ+ sinφ)F +(φ0cosφ+ cosφ)F + cosφF
µ2 2 µ2 3 µ2 1
Ist also φ0+ b =0, d.h. φ˙ =−b, so hat M0 nur eine c0-Komponente. Wir w¨ahlen
µ2 µ
b
φ(t)=− t
µ
und erhalten mit
f =c0
1
bt bt
f =cos F −sin F
2 µ 2 µ 3
bt bt
f =sin F +cos F
3 µ 2 µ 3
einen parallelen Rahmen. Fu¨r diesen gilt:
−a −a bt bt
c00 =F0 = F = (cos f +sin f ).
1 µ2 2 µ2 µ 2 µ 3
Die komplexe Kru¨mmung ist
−a
ψ = eibµt,
µ2
und wir erhalten
a d bt 1 b b
κ=|ψ|= , τ = ( )= = .
a2+b2 ds µ µµ a2+b2
4 Normalform, Frenetrahmen
Satz 3. (Lokale Normalform) Sei (c : J → R3,F) eine nach der Bogenl¨ange
parametrisierte, gerahmte Kurve. Sei 0∈J und F so gew¨ahlt, daß
F0(0)=a (0)F (0),a (0)≥0
1 21 2 21
(konstante Eichtransformation). Weiter sei κ(0)6=0. Dann gilt
κ2(0)
c(s)=c(0)+F (0)(s− s3)
1 6
κ(0) κ0(0) κ(0)τ(0)
+F (0)( s2+ s3)+F (0) s3+Rest h¨oherer Ordnung.
2 2 6 3 6
7
Beweis. Sei o.E. F = (F ,F ,F ) ein paralleler Rahmen, vgl. n¨achste Vorlesung.
1 2 3
Wir bezeichnen die Ableitungsmatrix so, daß
F0 =k F +k F .
1 2 2 3 3
Dann gilt
F00 =k0F +k F0 +k0F +k F0
1 2 2 2 2 3 3 3 3
und in 0 folgt wegen k +ik =κeiRτ,k (0)=0
2 3 3
F00(0)=κ0F +κ(−κF )+k0F | .
1 2 1 3 3 0
Nun ist
k0 +ik0 =κ0eiRτ +iκτeiRτ
2 3
k0 +ik0 κ0
2 3 = +iτ,
k +ik κ
2 3
also
k0(0)=κτ,
3
und damit
F00(0)=κ0(0)F (0)−κ2(0)F (0)+κ(0)τ(0)F (0).
1 2 1 3
Damit folgt
s2 s3
c(s)=c(0)+c0(0)s+c00(0) +c000(0) +...
2 6
s2 s3
=c(0)+F (0)s+F0(0) +F00(0) +...
1 1 2 1 6
κ2(0) κ(0) κ0(0) κ(0)τ(0)
=c(0)+F (0)(s− s3)+F (0)( s2+ s3)+F (0) s3
1 6 2 2 6 3 6
+Rest h¨oherer Ordnung.
Definition. Sei (c,F) gerahmte Kurve. F heißt Frenetrahmen, wenn fu¨r alle j <n
(j)
Spann(F ,...,F )=Spann(c˙,..., c)
1 j
bei gleicher Orientierung. Dann
 
0 −κ 0 ... 0
1
 κ1 0 −κ2 ... 0 
 
A= ... ... ... . (4)
 
 0 ... κn−2 0 −κn−1 
0 ... 0 κ 0
n−1
Eine Kurve heißt Frenetkurve, wenn sie einen Frenetrahmen besitzt, d.h. wenn ihre
ersten n−1 Ableitungen nach der Bogenl¨ange linear unabh¨angig sind. Der Frenet-
rahmenist dann eindeutig bestimmt:Bis auf denletztenVektoristerdas Ergebnis
des Schmidtschen Orthonormalisierungsprozesses.
Die κ heißen die Frenetkru¨mmungen von c. Es ist κ = κ und κ > 0 fu¨r alle
i 1 j
j <n−1. Die letzte: κ kann auch nicht-positiv sein.
n−1
8
Beweis fu¨r (4). Nach der Definition ist fu¨r alle j <n
j
X (i)
F = λ c mit λ >0.
j ij jj
i=1
Wir setzen fu¨r j <n
(j)
L :=Spann(F ,...,F )=Spann(c˙,..., c).
j 1 j
Es folgt fu¨r alle j <n
(j) 1
c = F mod L ,
λ j j−1
jj
und daher fu¨r alle j <n−1
F0 = λjj (j+c1) mod L
j kc˙k j
λ 1
= jj F mod L .
kc˙kλ j+1 j
j+1,j+1
| {z }
=:κj>0
Daher ist in A=(a )
ij
a >0 fu¨r j <n−1
j+1,j
a =0 fu¨r alle i>j+1<n.
ij
Aus der Schiefsymmetrie folgt die Behauptung.
Lemma. Ist F ein Frenetrahmen fu¨r c : J → Rn und c˜ = c◦h : J˜ → Rn eine
Umparametrisierung von c mit dh >0, so ist F˜ =F◦h ein Frenetrahmen fu¨r c˜mit
dt
Ableitungsmatrix A˜=A◦h.
Beweis. Wie oben zeigt man durch Induktion, daß fu¨r j <n
Spann(c˜˙,...,(c˜j))=Spann(c˙◦h,...,(cj)◦h)
mit gleicher Orientierung. Daraus folgt, daß F˜ =F ◦h ein Frenetrahmen fu¨r c˜ist.
Aus der Invarianz der Bogenl¨ange, d.h. aus
d 1 d 1 1 df
(f˜)= (f ◦h)= (f˙◦h)h˙ = (f˙◦h)= ◦h
ds˜ k(c◦h)˙kdt k(c˙◦h)h˙k k(c˙◦h)k ds
folgt die Behauptung u¨ber A:
d dF
F˜A˜ = F˜ = ◦h=(FA)◦h=(F ◦h)(A◦h).
|{z} ds˜ ds
=(F◦h)A˜
Beispiele. 1. Im Fall n=2 ist der einzige existierende Rahmen ein Frenetrahmen.
2. n=3. Dann ist
 
0 −κ 0
A=κ 0 −τ, (5)
0 τ 0
9
wobei κ,τ die Kru¨mmung und Torsion sind.
Beweis. Nach dem Lemma du¨rfen wir annehmen, daß c nach der Bogenl¨ange pa-
rametrisiert ist. Dann ist
c0 =F
1
c00 =F0 =κF
1 2
c000 =κ0F +κF0 =κ0F −κF +τF ,
2 2 2 1 3
wobeiκ,τ dieGr¨oßenaus(5)sind.DieTaylorentwicklungvoncsiehtdahergenauso
aus wie in Satz 1. Daraus folgt die Behauptung.
5 Existenz- und Eindeutigkeit, Isoperimetrische Un-
gleichung
Satz 4. (Lineare Differentialgleichungen) Seien V ein endlich-dimensionaler
normierter Vektorraum, t ∈ J,y ∈ V und seien L : J → L(V,V) und b : J →
0 0
V differenzierbare Abbildungen. Dann gibt es genau eine L¨osung y : J → V des
Anfangswertproblems
y˙ =Ly+b, y(t )=y . (6)
0 0
Fu¨r den Beweis vgl. z.B. W. Walter, Gew¨ohnliche Differentialgleichungen, §14.
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
x −y
Beispiel. Seien J = R,V = R2 und L(t) = ,b(t) = 0. Dann gibt es
y x
genau ein Funktionenpaar (x,y), definiert auf ganz R, so daß
x(0)=1, y(0)=0
x0 =−y, y0 =x.
Welches wohl?
Satz 5. (Hauptsatz u¨ber gerahmte Kurven)SeienA:J →so(n)differenzier-
bar, t ∈J,p ∈V und F ∈SO(n). Dann gibt es genau eine nach der Bogenl¨ange
0 0 0
parametrisierte gerahmte Kurve (c,F) mit
F0 =FA (7)
c(t )=p F(t )=F . (8)
0 0 0 0
Ohne die Anfangsbedingungen ist (c,F) bis auf eine orientierungstreue Bewegung
desRn eindeutigbestimmt:JedeL¨osungistvonderFormc˜(t)=Bc(t)+b, F˜ =BF
mit b∈Rn, B ∈SO(n).
Korollar 1. Zu vorgegebener Kru¨mmungsfunktion κ : J → R gibt es eine bis auf
orientierungstreueBewegungeindeutigenachderBogenl¨angeparametrisierteKurve
in R2 mit dieser Kru¨mmung.
Korollar 2. Zu vorgegebener Kru¨mmungs- und Torsionsfunktion κ : J → R+,τ :
J → R gibt es eine bis auf orientierungstreue Bewegung eindeutige nach der Bo-
genl¨ange parametrisierte Kurve in R3 mit dieser Kru¨mmung und Torsion.
10