Die trigonometrische Parametrisierung von Kompetenzen: Zur Methodologie der probabilistischen Bildungsforschung

373 Pages·2018·7.598 MB·German

by  Christoph Fuhrmann (auth.)

Christoph Fuhrmann
Die trigonometrische
Parametrisierung
von Kompetenzen
Zur Methodologie der
probabilistischen Bildungsforschung
Die trigonometrische Parametrisierung
von Kompetenzen
Christoph Fuhrmann
Die trigonometrische
Parametrisierung
von Kompetenzen
Zur Methodologie der
probabilistischen Bildungsforschung
Christoph Fuhrmann
Wuppertal, Deutschland
ISBN 978-3-658-19240-2 ISBN 978-3-658-19241-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-19241-9
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Danksagung
Die Entwicklung eines neuen Messinstruments und die grundlagentheoretische
Erforschung seiner Eigenschaften ist ein faszinierendes und von Konstruktion
und Dekonstruktion gekennzeichnetes Fortschreiten, das ich miterleben und mit-
gestalten durfte.
Die Einladung, diesen Weg mitgehen zu dürfen, erhielt ich von meinem
Doktorvater Prof. Dr. Klaus Harney, dem ich hierfür zu tiefem Dank verpflichtet
bin. Die wissenschaftliche Hilfe und der menschlich wie familiäre Beistand, den
ich durch Klaus Harney, wie auch durch meinen Zweitgutachter Andreas Müller
und Hanns Ludwig Harney erfahren habe, ließen mich letztlich meine Disserta-
tion erfolgreich beenden.
Der durch die Interdisziplinarität der Beteiligten sich immer wieder einstel-
lende Perspektivwechsel, führte zu wechselseitig überraschenden Erkenntnissen
und Fragen über den Gegenstand unserer Forschung, die im Ausblick der vorlie-
genden Arbeit angesprochen werden und die wir auch weiterhin gemeinsam
beantworten wollen.
Inhalt
Abbildungsverzeichnis ....................................................................................... 11
Tabellenverzeichnis ............................................................................................ 16
Notationstabelle .................................................................................................. 19
Zusammenfassung ............................................................................................ 23
1 Die Kontingenz des Rasch-Modells:
Erkenntnisproblem der Bildungsforschung ....................................... 29
1.1 Die Item-Response-Theorie – formales Kalkül und
domänenspezifische Anwendung ................................................ 29
1.2 Die Zugänglichkeit der Empirie:
Form und Domäne im Rasch-Modell .......................................... 35
1.3 Die strukturbildende Funktion des Rasch-Modells:
Kompetenzfällen .......................................................................... 48
1.4 Die Indikatorisierung latenter Eigenschaften im Rasch-Modell . 57
1.5 Formdifferenzen zwischen klassischer Testtheorie und
Item-Response-Theorie ............................................................... 66
1.6 Das trigonometrische Item-Response-Verfahren:
Modell, Parametrisierung, Fallbezug ........................................... 85
2 Item-Response-Theorie ....................................................................... 105
2.1 Idee der Item-Response-Theorie in Abgrenzung zur
klassischen Testtheorie .............................................................. 106
2.2 Item-Response-Funktion ........................................................... 109
2.3 Modelle der Item-Response-Theorie ......................................... 113
2.3.1 Kritik der dargestellten Modelle der Item-Response-Theorie 120
2.4 Lokale stochastische Unabhängigkeit ....................................... 121
2.5 Unidimensionalität ..................................................................... 125
2.6 Maximum-Likelihood: Parameterschätzung in der
Item-Response-Theorie ............................................................ 126
2.6.1 Ein einfaches Beispiel zur Illustration der Maximum-
Likelihood-Methode ............................................................... 127
8 Inhalt
2.6.2 Konsistenz der Parameterschätzung der Maximum-
Likelihood-Methode ............................................................... 131
2.6.3 Der Standardfehler des Maximum-Likelihood-Parameter-
schätzers .................................................................................. 132
2.6.4 Darstellung der Maximum-Likelihood-Methode für in
einem Test zusammengefasste Items ..................................... 134
2.6.5 Maximum-Likelihood-Schätzungen für Modelle mit
„incidental“ und „structural“ Parametern .............................. 139
3 Das Rasch-Modell ............................................................................... 143
3.1 Spezifische Objektivität – die Separierbarkeit der Parameter ... 147
3.1.1 Spezifische Objektivität anhand des Beispiels des
zweiten Newtonschen Axioms ................................................ 148
3.1.2 Latente Subtraktivität .............................................................. 149
3.1.3 Suffizienz im Rasch-Modell ................................................... 150
3.1.4 Andersens Conditional-Maximum-Likelihood-Methode
für „incidental“ und „structural“ Parameter ............................ 152
3.1.5 Der Standardfehler der Parameterschätzung im
Rasch-Modell .......................................................................... 156
3.1.6 Das Problem der uniformen Antwortmuster im
Rasch-Modell .......................................................................... 160
3.2 Folgerungen für die vom Rasch-Modell analysierbaren
latenten Konstrukte ................................................................... 161
4 Die trigonometrische Parametrisierung ........................................... 167
4.1 Die trigonometrische Item-Response-Funktion ......................... 167
4.2 Die in einer Parameterschätzung enthaltene Information .......... 173
4.2.1 Bestimmung der Schätzfehlervarianz/Fisher Information
von mittels Maximum-Likelihood-Verfahren berechneter
Parameter ................................................................................ 174
4.2.2 Die trigonometrische Parametrisierung als ein Modell mit
konstanter Schätzfehlervarianz/Fisher Information ............... 176
4.3 Parameterschätzung des trigonometrischen Verfahrens ............ 177
4.3.1 Der Standardfehler der Parameterschätzung im
trigonometrischen Verfahren ................................................... 180
4.4 Der Parameterschätzfehler von Rasch-Modell und
trigonometrischem Verfahren .................................................... 182
4.5 Fehleranalysekonzepte von Item-Response-Modellen .............. 189
Inhalt 9
4.6 Das Guttman Schemas im trigonometrischem Verfahrens
und im Rasch-Modell ................................................................ 191
4.7 Eine Variation des Guttman Schemas im Vergleich
der Verfahren ............................................................................. 196
4.8 Lage und Verteilungsverhalten der Parameter des
trigonometrischen Verfahrens .................................................... 199
4.8.1 Die lineare Näherung der Parameter der trigonometrischen
Parametrisierung ..................................................................... 201
4.8.2 Bestimmung der exakten Lösungen der Parameter des
trigonometrischen Verfahrens für ein Guttman Schema ......... 206
4.8.3 Startwerte zur Bestimmung von Parametern eines
Leistungstests .......................................................................... 211
4.9 Trigonometrische Parameter für ein Guttman Schema
und dessen Variation ................................................................. 213
4.9.1 Weitergehende Analyse der Variation eines
Guttman Schemas ................................................................... 217
4.9.2 Analyse eines Binomialmodells .............................................. 220
4.10 Satz von Bayes und Form Invarianz für „structural“ und
„incidental“ Parameter ............................................................... 223
4.10.1 Die a priori Verteilung und die Idee der Form Invarianz ....... 224
4.11 Die Anwendbarkeit des trigonometrischen Verfahrens
auf gegebene Daten .................................................................. 226
4.12 Das Konzept der mittleren Lösungswahrscheinlichkeiten
– die Testcharakteristik ............................................................. 231
4.12.1 Mittlere Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert des Scores 232
4.12.2 Monotonie der mittleren Wahrscheinlichkeiten ...................... 234
4.12.3 Zusammenhang von Testcharakteristik und mittlerer
Wahrscheinlichkeit .................................................................. 236
4.13 Die spezifische Objektivität des trigonometrischen Verfahrens 241
4.14 Das trigonometrische Verfahren und das Rasch-Modell ........... 244
5 Eine Fallanwendung: Vergleich der Analysemöglichkeiten ............ 247
5.1 Beschreibung des Testinstruments ............................................. 247
5.2 Detaillierte Analyse der Daten mit dem Rasch-Modell ............. 250
5.2.1 „Einfache Informationsverarbeitung“ ..................................... 250
5.2.2 „Komplexe Informationsverarbeitung“ .................................. 255
5.2.3 „Wortbedeutung“ .................................................................... 260
5.3 Analyse der Daten mit dem trigonometrischen Verfahren ........ 267
10 Inhalt
5.3.1 Parameterberechnung des trigonometrischen Verfahrens
für die Dimension „Komplexe Informationsverarbeitung“ ... 267
5.3.2 Parameterberechnung des trigonometrischen Verfahrens
für die Dimension „Wortbedeutung“ ..................................... 273
5.3.3 Parameterberechnung der trigonometrischen Verfahrens
für die Dimension „Einfache Informationsverarbeitung“ ...... 278
5.4 Strukturanalyse der Faktoren mittels
trigonometrischem Modell ........................................................ 279
5.4.1 Strukturanalyse des Faktors „Komplexe Informations-
verarbeitung“ .......................................................................... 280
5.4.2 Strukturanalyse des Faktors Wortbedeutung .......................... 284
5.4.3 Strukturanalyse des Faktors „Einfache
Informationsverarbeitung“ ...................................................... 288
6 Fazit und Diskussion:
Der Ertrag des trigonometrischen Verfahrens ................................. 291
Anhänge ........................................................................................................... 305
A Manual zur trigonometrischen Parameterschätzung
mittels open source Software .................................................... 305
B Erläuterung der verwendeten Euler Math Toolbox Syntax ....... 329
C Makrocode zur Berechnung der trigonometrischen Parameter . 333
D Qualifizierende Beschreibung des Testinstruments ................... 353
E Überprüfung der Faktorstruktur der Daten ................................ 359
F Einstellungs-/Parallelogramm- und Klassendaten im
trigonometrischen Verfahren ..................................................... 365
Literaturverzeichnis ....................................................................................... 371
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Fehlerraten und Probitverteilung Lesetest Rasch ..................... 37
Abbildung 2: Guttman Schema für 7 Personen und 7 Aufgaben. Gelöste
Aufgaben werden durch schwarze Quadrate, nicht gelöste
durch weiße Quadrate symbolisiert. ......................................... 45
Abbildung 3: allgemeines Guttman Schema mit N = N = N . ....................... 46
I P
Abbildung 4: Items mit unterschiedlich "steilen" Item-Response-
Funktionen, x als der zu Grunde liegenden Fähigkeit und
p(1| x) als der Lösungswahrscheinlichkeit der Items. ............... 54
Abbildung 5: Schematischer Vergleich der Aufgabenkonstruktion und
Aufgabenverwendung in der klassischen Testtheorie und
der Item-Response-Theorie ....................................................... 69
Abbildung 6: Rangordnung von Spalten und Zeilen. ..................................... 88
Abbildung 7: Guttman Schema für 2 Personen A, B und zwei
Aufgaben X, Y .......................................................................... 93
Abbildung 8: Die Möglichkeiten der Umsetzung des empirischen
Relativs mittels der Item-Response-Theorie ........................... 102
Abbildung 9: L.L. Thurstone, A Method of Scaling Psychological and
Educational Tests, Journal of Educational Psychology. 1925 . 110
Abbildung 10: Visualisierung von Gl. (13), Darstellung der kumulativen
Gaußschen Dichtefunktion/Häufigkeitsverteilung als
Item-Response-Funktion in Abhängigkeit der Differenz
von θ und σ .............................................................................. 114
Abbildung 11: Darstellung des Verlaufs einer Item-Response-Funktion
des 3-pl-Modells mit dem Rateparameter c = 0,2, dem
Diskriminationskoeffizienten a = 1 und der
Itemschwierigkeit σ = 0 .......................................................... 116
Abbildung 12: Exemplarische Darstellung zweier Normal-Ogiven
3-pl-Item-Response-Funktionen mit unterschiedlichen
Rate- und Diskriminationsparametern:
Item-Response-Funktion a) stellt einen Funktionsverlauf
mit c = 0,2, a = 4,3 und Schwierigkeitsparameter Null,
Item-Response-Funktion b) einen mit Funktionsverlauf
mit c = 0,1, b = 1,9 und Aufgabenschwierigkeit Eins. ........... 117