Die technische Mechanik des Maschineningenieurs mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungen: Dritter Band Bewegungslehre und Dynamik fester Körper

259 Pages·1922·17.78 MB·German

by  Dipl.-Ing. P. Stephan (auth.)

Die technische Mechanik
des Maschineningenieurs
mit besonderer Beriicksichtigung
der Anwendungen
Von
Dipl.-Ing. P. Stephan
Regierungs-Baumeister l'rofessc·r
Dritter Band
Bewegungslehre und Dynamik
fester Korper
Mit 264 Textfiguren
Berlin
Verlag von Julius Springer
1922
ISBN-13: 978-3-642-90433-2 e-ISBN- 13: 978-3-642-92290-9
DOl: 10.1007/978-3-642-92290-9
AIle Rechte, insbesondere das del' Ubersetzung
in fremde Sprachen, vorbehaIten.
Oopyright 1922 by Julius Springer in Berlin.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1922
Vorwort.
Das vorliegende Heft will dem Maschineningenieur die Hilfsmittel
an die Hand geben, die zur Lasung del' in del' technischen Praxis vor
kommenden Au£gaben aus del' Bewegungslehre und Dynamik erforder
lich sind. Dazu geniigen allerdings, wie sich zeigt, verhiiltnismiiBig
wenige Grundsiitze und Formeln. Die von Mathematikern und Er
kenntnistheoretikern beigebrachten Untersuchungen iiber die Prinzipe
und Grundlagen del' Mechanik sind also nicht Gegenstiinde diesel'
Arbeit.
Auch fUr Er6rterungen iiber den Gegensatz des physikalischen und
technischen Mailsyt'Jtems war kein Platz. AIlerdings ist dem Ingenieur
die Kraft das Wesentliche, und es wurde deshalb von dem Begriff
Masse so wenig Gebrauch wie maglich gemacht. DaB die Masse auch
in del' technischen Dynamik oft in den V ordergrund tritt, ist ent
sohieden ein Dberbleibsel aus del' Zeit, wo die Entwicklung dieses
Zweiges del' Mechanik fast ausschlieBIich in den Handen von Mathe
matikern und Physikern lag.
Hervorheben'machte del' Verfasser, daB die Formeln so geschrieben
worden sind, wie sie fiir die Zahlenrechnung am bequemsten sind.
Man wird also manche sogenannte elegante Lasung del' :illgemeinen
Rechnung nicht find en, wenn sie fill' die zahlenmaBige Bearbeitung
doch erst wieder auf die hier von vornherein gegebene Form zuriick
gefilhrt werden muB. Aus demselben Grunde wurde von del' allge
meinen Anwendung del' Vektorenrechnung abgesehen. Sie bietet frei
lich gewisse Vorteile fill' die Herleitung und besonders Schreibung del'
Endformeln, verlangt jedoch fUr die Zahlenrechnung erst wieder eine
Umformung, wenn man nicht ausschlieBlich die zeichnerische Beharid
lung del' betreffenden Aufgabe erstrebt. 1m allgemeinen zieht nun die
Praxis rechnerische Lasungen VOl', neuerdings sogar in del' Statik,
vielfach nur deshalb, weil die reine Rechnung nach einigen wenigen,
leicht zu beherrschenden Methoden erfolgt, wahrend die geometrischen
Untersuchungen und Lasungen gegebener Aufgaben viel mannigfaltiger
sind und erst eine besondere Vertiefung in die geometl'ischen Eigen
heiten diesel' odeI' jener Sonderaufgabe erfordern. Tatsachlich haben
fast aIle vom Verfassel' beriicksichtigten Originalabhandlungen, die ein
bestimmtes praktisches Beispiel beal'beiten, anscheinend aus dem an
gefiihl'ten Grunde, von del' Vektorenrechnung keinen Gebrauch gemacht.
IV Vorwort.
AuBerdem sind fast aIle hier gebrachten Fcrmelrechnungen so iiber
sichtlich und klar, daB sie durch die Vektorenrechnung, die iibrigens
an die Aufmerksamkeit des Rechners gewisse, nicht zu unterschatzende
~.-\nforderungen stellt, auch nicht weiter vereinfacht werden konnen.
Den in neueren Biichern ofter wiederkehrenden Vermerk, daB die
Bezeichnungen usw. sich den vom AusschuB fUr Formelzeichen usw.
vorgeschriebenen vollig anschlieBen, kann der Verfasser nicht machen.
Dazu sind einzelne der vorgeschriebenen Bezeichnungen zu ungliicklich
gewahlt. Wollte man beispielsweise die im Kranbau gebrauchlichste
Angabe der Geschwindigkeit in m/min nach den Vorschriften dieses
Ausschusses schreiben, so lautete die Bezeichnung m/m, was wohl
manche Leser nicht fiir ganz klar halten diirften. Auch die Abkiirzung
h fUr Stunde kann nur Lesern verstandlich sein, die gewohnt sind, in
englischer odeI' franzosischer Sprache zu denken. Ferner ist nicht
einzusehen, weshalb bei Rechnungen wie den vorliegenden nicht die
100 Jahre lang ganz allgemein fUr das Tragheitsmoment gebrauchte
Bezeichnung J verwendet werden soIl, die auch Elektrotechniker an dEf
Stelle nicht mit Stromstarke verwechseln diirften. Es ist eben bei del'
begrenzten Zahl von Buchstaben nicht zu vermeiden, daB verschiedene
Dinge dasselbe Buchstabenzeichen haben, wie z. B. im vorliegenden
Band Durchmesser und Drall des Kreisels. Das schadet auch nichts,
wenn die Bezeichnmlgen nur so gewahlt sind, daB sie nicht in derselben
Rechnung zugleich vorkommen.
Ausdriicklich sei noch bemerkt, daB nur in wenigen Fallen die ge
gebenen Beispiele reine Zahlenrechnungen bieten, sondern fast immer
so ausgesucht sind, daB Rie die in der Praxis gebrauchlichen Zahlen
werte beibringen. Um aIle wichtigeren, hier in Betracht kommenden
Zahlenarigaben auch fUr andere Aufgaben als die gerade behandelte
zur Verfiigung zu stellen, wurden oft auch solche aufgefiihrt, die fUr
die Zwecke der betreffenden Einzelaufgabe nicht notig waren.
Altona, im September 1921.
P. Stephan.
Inbaltsverzeichnis.
8eite
I. Die Bewegungslehre 1
1. Weg und Zeit . . . 1
2. ~ Die gleichformige :Bswegung 3
3.1 Die gleichformig ~veranderte Bewegung . 9
4. Die Bewegung mit veranderlicher Beschleunigung 17
5. Schwingungsbewegungen . . . . . . . 28
6. Die Zusammensetzung von Bewegungen 48
7. Die Drehbewegung ...... . 68
II. Die Grundlehren del' Dynamik 82
8. Masse, Kraft, Beschleunigung • 82
9. Die mechanische Arbeit und Leistung 114
10. Das Arbeitsvermogen. . . . . . . . 133
ll. Die Bewegungsgl'oBe, del' Schwerpunktsatz 141
12. Die Momente zweiter Ordnung 147
13. Die Drehbewegung. . . . 156
III. Besondere Anwendungen 176
14. Del' StoB< . . . . . . . . 176
15. Das Pendel . . . . . . . 184
16. Schwingungen fester Korpcr 200
17. Del' Kreisel . . . . . . . . 233
IV. Eingescho bene mathematische Erlauterungen
a) Die Fouriersche Reihenentwicklung . 53
b) Das Rechnen mit imaginaren Zahlen 210
Sachvcrzeichnis ........... .
I. Die Bewegungslehre.
Die Bewegungslehre untersucht die Beziehungen, die bei bewegten
Karpern zwischen den beiden GrundgraBen Weg und Zeit und lien
daraus abgeleiteten GraBen Geschwindigkeit und Beschleunigung bzw.
Verzagerung bestehen.
Die auf die bewegten Karpel' einw'irkenden Krafte wprden hierbei
auBer acht gelassen. Infolgedessen ist die Bewegungslebre eigentlich
kein Gebiet del' Mechanik (vgl. Bd. I, S. 1); sie ist jedoch als Ein
leitung in die Dynamik von hohem Wert.
1. Weg und Zeit.
Ein Karpel' bewegt sich, wenn aIle odeI' einzelne seiner Punkte
ihren Ort in bezug auf andere, als festliegend angesehene Punkte ver
andern.
Die Linie, die irgendein Punkt eines bewegten Karpel's im Raum
zuriicklegt, heiBt die Bahn oder del' Weg des betreffenden Punktes.
Je nach der Form diesel' Linie unterscheidet man einen geraden oder
gekriimmten Weg des Punktes. Die gebrochene Linie irgendeines
Zickzackweges setzt sich aus mehreren geraden odeI' gekriimmten Teil
strecken zusammen. Del' gekriimmte odeI' gebrochen!=l Weg wird haufig
durchweg in derselben Ebene liegen, kann abel' auch beliebig im Raum
verlaufen.
Die Lage aIleI'· Punkte eines starren Karpel's ist vollstandig be
stimmt durch die Lage von drei Punkten desselben, die sich nicht in
einer Geraden befinden, denn jeder andere Punkt ist als Schnittpunkt
del' mit den drei Abstanden von den herausgegriffenen Grundpunkten
geschlagenen Kugeln festgelegt. Infolgedessen ist auch die Bewegung
eines starren Karpel's durch die Bewegung von drei nicht in derselben
Geraden liegenden Punkten vollkommen bestimmt.
In vielen Fallen weichen die Wege del' einzelnen Punkte eines
Karpers so wenig voneinander ab, daB man abkiirzungsweise den Weg
des Schwerpunktes als Weg des ganzen Karpers bezeichnet; der Karper
macht eine fortschreitende Bewegung. Sic wird als Schiebung
bezeichnet, wenn zwei belicbigc sich schneidende Geraden des Korpers
in allen Lagen parallel blpiben. In anderen Fallen liegen aIle Punkte
eines bewegten Karpel's, mit Ausnabme del' auf einer einzigen Geraden,
der Drchachse, befindlichen, auf kreisfarmigen, wenn auch verschiedellen
s t e p han. Technische Mechanik. III. I
2 Die Bewegungslehre.
Bahnen; derKorper macht eine Drehbewegung. Es ist jedoch nicht
notig, daB die Drehachse im Korper eine unveranderliche Lage hat,
sie kann sich vielmehr unter Umstanden darin verschieben oder drehen.
Auch sonst ~onnen die beiden beschriebenen Arten der Bewegung
gleichzeitig vorkommen; die entstehende Gesamtbewegung des Korpers
wird als Schraubung bezeichnet.
Gemessen werden die Wege in dem LangenmaB Meter (m) bzw.
seinen Vielfachen oder auch Unterteilen, wenn man dadurch bequeme
ZahlengroBen erhalt (Bd. I, S.1).
Durch die Bahnlinie ist die Bewegung des Korpers oder eines seiner
Punkte noch nicht ausreichend bestimmt; es muB auch die Richtung
Binder Bahn angegeben werden. Denn es besteht
g, ein wesentlicher Unterschied, ob ein Korper in
/ Punkt C die Bahnlinie der Fig. 1 von dem Punkt A
A nach dem Punkt B durchlauft oder umgekehrt. Be-
F. zeichnet man willkiirlich die Richtung AB als posi-
19. 1. tiv, so ist die Richtung BA als negativ zu rechnen.
Zur vollstandigen Beschreibung der Bewegung ist femer noch ihre
Abhangigkeit von der Zeit anzugeben. Zu jeder Bewegung ist Zeit
erforderlich. Der Ablauf der Zeit hat nur eine Richtung. Natiirlich
konnen von dem gegenwartigen Zeitpunkt aus vergangene und zu
kiinftige Zeiten unterschieden werden.
Das q.rundmaB der Zeit ist der Tag, diejenige Zeit, die die Erde
zu einer einmaligen Umdrehung um ihre Achse braucht. Der Tag
wird eingeteilt in 24 Stund en (st), die Stunde in 60 Minuten (min),
die Minute ill 60 Sekunden (sk). In der Mechanik ist die Sekunde die
gebrauchliche Einheit.
1st =60·60=3600sk,
1 Tag = 24 . 60 = 1440 min,
= 1440 . 60 = 86 400 sk.
Da der Schwerpunkt der Erde sich in einer elliptischen Bahn um die Sonne
bewegt, so ergibt sich fiir den .Ablauf eines Tages das Bild der Fig. 2: Die Erde
hat sich an einem Sonnentag um mehr als 3600 ge-
J' dreht. Nun sind die Sonnentage je nach der Stellung
der Erde in ihrer Bahn noch verschieden lang (der
groBte Unterschied betragt etwa 1 min), so daB man
~'t' der obigen Erklarung den mittleren Sonnentag zu
i-~' grunde legt, um sich dem gleichformigen Gang der
\. Uhren anzupassen. Wird die Drehung der Erde, statt
auf den Mittelpunkt der Sonne, auf einen sehr weit
entfernten Fixstern bezogen, so erhiUt man den stets
gleichen Sterntag von nur 86164,1 sk Dauer. Eine
Uhr geht also richtig, wenn sie in einem Sterntage
86164,1 sk anzeigt. Bemerkt sei, daB die Astro-
~ nomen auch den Sterntag in 86400 sk teilen, also
Fig. 2. ein anderes MaB der Sekunde benutzen als die iibri
gen Wissenschaften.
Man kann die etwa bei einer Wettfahrt von den auf der Strecke
verteilten Beobachtem festgestellten Zeiten neben den Ortspunkten
der Beobachtung einschreiben und erhalt so eine Darstellung des Ver-
Die gleichfOrmige Bewegung. 3
laufes der Fahrt eines Wagens (Fig. 3), die jedoch ganzlich unfiber
sichtlich ist. Der Verlauf wird anschaulich dargestellt, wenn man auf
einer Achse die Zeiten t und senkrecht dazu die zuruckgelegten Wege s
Fig. 3.
auftragt (Fig. 4). Der so erhaltene gebrochene Linienzug geht bei hin
reichend kleinen Zeitabschnitten in die Zeit-Wegkurve fiber, die das
Gesetz der Bewegung angibt.
Beispiel 1. Aus den Angaben der
Fig. 3 ist die Fig. 4 entstanden durch
Auftragung der Zeiten im MaBstabe s
1 min = 0,78 mm und der Wege im MaB
stabe 1 km = 0,395 mm. Die MaBstabe,
die man der unbequemen Auftragung
wegen nicht wahlen wiirde, sind durch
die Verkleinerung der urspriinglichen Figur
entstanden.
Man bemerkt sofort, daB die Fahrt in
der fiinften Teilstrecke am schnellsten er-
folgte, denn dort ist der Linienzug am 0
steilsten, dagegen am langsamsten in der 6! fa .fJ
sechsten Teilstrecke, wo der Linienzug am I 2
flachsten verlauft. Fig. 4.
2. Die gleichformige Bewegung.
Der einfachste Fall der Bewegung ist der,
daB die Zeit-Weglirne eine G~rade ist. as
Die Fig. 5 ergibt dann
s ds
t
=(j t = tg <X = V . (1) s
Das Verhaltnis von Weg und zugehoriger Zeit
a:
ist stets dasselbe. EsheiBtdie Geschwindig- --co¥-'c....-----I~I:--
keit des betreffenden Korpers oder Punktes; J------"'-------tr-
sie wird gemessen in m/sk. Die dargestellte
Fig. 5.
Bewegung wird als gleichformige bezeichnet.
Beispiel 2. Ein FuBganger macht in der Sekunde 2 Schritte von durch-
schnittlich 0,8 m Lange. Wieviel km legt er in der Stunde zuriick?
Die Ganggeschwindigkeit betragt .
2·08
v = --1-'- = 1,6 m/sk.
Nun ist
v 1
v m/sk = 1000: 3600 km/st,
also
V = 3,6 . v km/st (2a)
= 3,6' 1,6 = 5,76 kmfst.
1*
4 Die Bewegungslehre.
Beispiel 3. Ein Pferd legt durchschnittlich im Schritt am Lastwagen 1 m/sk
zuruck, unter dem Reiter It m/sk, im Mitteltrab etwa 4 m/sk, im Galopp rund
6t m/sk. Anzugeben ist die Anzahl km, die in jedem Fall in 15 min zuriickgelegt
werden.
Es ist
6~
v m/sk = 1;00 : km/min,
also
V' = 0,06 . v km/min. (3)
Damit erhalt man aus 8 = v' t (Formel I) fiir
Schritt am Lastwagen: 8 = 15· 0,06' 1 = 0,9 km,
" unter dem Reiter: 8 = 0,9 . 5/3 = 1,5 " ,
Mitteltrab: 8 = 0,9 . 4 = 3,6 ",
Galopp: 8 = 0,9 .20/S = 6,0 " •
Beispiel 4. Die Fahrtgeschwindigkeit eines Giiterzuges betragt etwa
V = 30-;.-40 km/st, die eines Personenzuges schwankt zwischen 45 bis 65 km/st,
die eines Schnellzuges zwischen 70 bis 90 km/st. Anzugeben ist die Geschwindig
keit in m/sk.
Es ist
1000
v = 3600 . V = 0,278 • V m/sk. (2b)
DemgemaB ist fiir den
Giiterzug: v = 8,3 -;.- 11,1 m/sk,
Personenzug: v = 12,5 -;.- 18,1 "
Schnellzug: v = 19,5 -;.-25,0 "
Beispiel 5. Die Fahrtgeschwindigkeit eines Postdampfers betragt
VI = 12 -;.- 15 Seemeilen/st, die eines Schnelldampfers 16 -;.- 24 Seemeilen/st (die
hiiheren Zahlen gelten fast ausschlieBlich fur die Fahrt nach Nordamerika). Ein
Linienschiff macht 16. -;.- 22 Seemeilen/st, ein Torpedoboot 30 -;.- 35 Seemeilen/st.
Anzugeben ist die Geschwindigkeit in m/sk.
Es' ist
1852
v = j{JOO • VI = 0,514 • VI m/sk. (4)
Man erhalt so fiir
Postdampfer: v = 6,2 -;.- 7,7 m/sk,
Schnelldampfer: v = 8,2 -;.- 12,3
Linienschiff : v = 8,2 -;.- 11,3
Torpedoboot: v = 15,4 -;.- 18,0 " .
Beispiel 6. In den fiir den inneren Dienst hauptsachlich benntzten zeichne
rischen Fahrplanen del' Eisenbahn, wovon Fig. 6 einen auf die Hiilfte verkleinClten
Ausschnitt gibt, sind die Achsen gegenuber del' Fig. 5 um 90° gedreht derart,
daB die 8-Achse wagerecht liegt und die t-Achse senkrecht nach unten geht. Die
nach rechts fallenden Linien stell en somit die Zuge dar, die von Fiirstenwalde
nach Frankfurt a. O. fahren, die nach links fallenden Linien die del' umgekehrten
Richtung. Die Doppellinien sind Schnell· und Personenziige, die stark ausgezogenen
ebenfalls Personenziige, die ubrigen Giiterziige, die.!n Wirklichkeit blan eingetragen
sind, die gestrichelten Linien sind Bedarfsziige. Dber dem eigt'ntlichen Fahrplan
befindet sich eine Zusammenstellnng der Stationsabstiinde bzw. del' Lage del'
Stationen vom Anfang del' Bahnstrecke an gerechnt't, ferner ein Langsprofil. einc
Angabe del' starkeren Kriimmungen del' Bahnlinie und Skizzen del' einzelnen
Bahnhiife, die hie~. nicht wiedergegeben sind.
Del' besseren Ubersichtlichkeit halber bringt del' Ausschnitt die Nachtzeiten
mit geringem Verkehr.
Die gleichformige Bewegung.
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