Table Of ContentDie Methode der Festpunkte
Ernst Suter
Die Methode der Festpunkte
Vereinfachtes Verfahren
zur Berechnung statisch unbestimmter Konstruktionen
mit Beispielen aus der Praxis, insbesondere von
Stahlbetontragwerken
D ritte, neu bearbeitete Auflage
von
Dipl.-Ing. Ernst Traub
Mit 232 Abbildungen und 7 Tafeln
Springer-Ver lag
Ber linjGöttingen jRei delberg
1951
ISBN 978-3-642-49012-5 ISBN 978-3-642-92565-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-92565-8
Alle Rechte,
insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1932 and 1951 by Springer-Verlag ORG., BerlinjGöttingen/Reidelberg.
Softcover reprint of the hardcover 3nd edition 1951
Vorwort zur dritten Auflage.
Die Grundlagen für die "Methode der Festpunkte" wurden im
U1. Band des von Professor W. RITTER im Jahre 1888-1900 heraus
gegebenen Werkes "Die Anwendungen der graphischen Statik" ge
schaffen. Dieses Werk bildete die Fortsetzung des im Jahre 1875
erschienenen 1. Bandes der "Graphischen Statik" von Professor Dr.
G. OULMANN, der leider mitten in seiner Arbeit verstorben ist und sein
Werk nicht abschließen konnte. Schon in diesem 1. Band zeigte OUL
MANN, in welch klarer, anschaulicher und leicht verständlicher Weise
die vielen Aufgaben der Statik und Festigkeitslehre auf graphischem
Wege gelöst werden können. Die grundlegenden Gedanken und Me
thoden OULMANNS stehen auch heute noch größtenteils unübertroffen
da. Der IH. Band von RITTER enthält in ausführlicher Darlegung die
Anwendung der Festpunkte für die Berechnung des kontinuierlichen
Balkens. Dabei stützt SIch RITTER vor' allem noch auf die Arbeiten
von Professor Dr. O. MOHR über die einfache graphische Ermittlung
der elastischen Linie und der Formänderungswinkel.
Unter Benutzung dieser grundlegenden Arbeiten hat Privatdozent
Dr. E. SUTER in seiner 1916 veröffentlichten Dissertation "Über die
Berechnung des kontinuierlichen Balkens mit veränderlichem Träg
heitsmoment auf elastisch drehbaren Stützen" gezeigt, wie besonders
geeignet diese Methode für die Berechnung der vor allem im Stahl
betonbau vorkommenden vielfach statisch unbestimmtenRahmentrag
werke ist. In dem von ihm im Jahre 1921 in erster Auflc,ge und nach
seinem Tode von Dr. O. BAuMANN und Dipl.-Ing. F, HÄUSSLER im
Jahre 1932 inzweiterAuflage herausgegebenen Werk "Die Methode der
Festpunkte" wird eine vollständige Darstellung des Verfahrens gegeben
und durch eine Anzahl praktischer Beispiele seine vielseitige Anwen
dung gezeigt. Es ist das große Verdienst SUTERS, die Methode der
Festpunkte so vervollkommnet zu haben, daß sie vielseitig und um
fassend für die Berechnung fast sämtlicher statisch unbestimmter
Konstruktionen, Stockwerkrahmen, Rahmen mit schräg und bogen
förmigen Stäben u. a. m. angewendet werden kann. Die Methode der
Festpunkte kann deshalb mit gutem Recht als die klassische Methode
für die Berechnung von Rahmentragwerken bezeichnet werden.
Wenn man nun noch an Stelle der bisherigen etwas zeitraubenden
Ermittlung der Festpunkte und Verteilungsmasse das von GULDAN in
VI Vorwort zur dritten Auflage.
seinem Buchl hierfür veröffentlichte vereinfachte Verfahren anwendet,
so wird die Rechenarbeit derart abgekürzt, daß die Anwendung der Fest
punktmethode stets von Vorteil sein wird. Die Methode ist so einfach
und übersichtlich, daß in jedem Stadium der Berechnung der Verlauf
der Kräfte verfolgt werden kann. Sie ist deshalb auch besonders leicht
nachprüfbar. Die Berechnung kann teils rechnerisch, teils graphisch
durchgeführt werden. Es empfiehlt sich aber stets, bei rechnerischer
Ermittlung die Momente der einzelnen Belastungsfälle noch graphisch
aufzutragen.
Die somit erzielbare wesentliche Vereinfachung der Methode hat eine
vollständige Neubearbeitung des Buches erforderlich gemacht, die zu
gleich eine straffere Zusammenfassung des Stoffes und eine nicht un
erhebliche Verringerung des Umfanges ermöglichte. Es wurde auch
im Gegensatz zu den früheren Auflagen bei der Darlegung der Methode
nicht vom allgemeinen Fall der Tragwerke mit auf Stablänge veränder
lichem Trägheitsmoment ausgegangen, sondern Zuerst die sehr ver
einfachte Methode für die Berechnung der in der Praxis am meisten
vorkommenden Tragwerke mit von Stab zu Stab veränderlichem, aber
auf Stablänge konstantem Trägheitsmoment behandelt. Dieses ver
einfachte sog. k-Verfahren erleichtert das rasche Verständnis für die
Anwendung der Methode sehr. Es wird deshalb das k-Verfahren ge-
nannt, weil mit Hilfe des Stabfestwertes k = ~ die sämtlichen Grund
größen des Tragsystems bestimmt werden können.
Im einzelnen ist in der Einleitung eine allgemeine Übersicht der
Festpunktmethode für die Berechnung der verschiedensten Trag
systeme gegeben, ferner sind einige grundlegende Sätze der Statik, die
für das Verständnis der Methode erforderlich sind, angeführt.
In den ersten beiden Abschnitten wird das vereinfachte k-Verfahren
für Tragwerke mit unverschieblichen (Rechnungsabschnitt I) und mit
verschieblichen Knotenpunkten (Rechnungsabschnitt II) dargelegt.
Im Abschnitt III wird dann der allgemeine Fall für Tragwerke mit
auf Stablänge veränderlichem Trägheitsmoment mit Hilfe der Dreh
winkelmethode, wie sie von SUTER in den früheren Auflagen entwickelt
wurde, behandelt, wobei noch gezeigt wird, wie in manchen Fällen zur
Vereinfachung auch das k-Verfahren zweckmäßig angewendet werden
kann.
Die Bestimmung der Grenzwerte der Momente und Querkräfte so
wie der Einfluß der Temperaturänderung und Stützensenkung sind
in Abschnitt IV angegeben.
Der V. Abschnitt enthält eine Anzahl Hilfstafeln, die die Anwen
dung des Verfahrens sehr erleichtern.
1 Gur,DAN: Rahmentragwerke und Durchlauft räger. 3. Auflage H!49.
Vorwort zur dritten Auflage. VII
Im VI. Abschnitt werden zunächst eingehende Richtlinien für die
zweckmäßigste Aufstellung der Berechnung gegeben. Anschließend
wird in einer Reihe von Beispielen die Anwendung der Festpunkt
methode gezeigt.
Die Berechnung von bogenförmigen Tragwerken ist in dieser Neu
bearbeitung nicht mit aufgenommen; sie bleibt einer späteren Ver
öffentlichung vorbehalten.
Besonderen Dank möchte ich Herrn Dipl.-Ing- HALTENHOFF aus
sprechen, der mich durch wertvolle Hinweise unterstützte und bei der
Aufstellung einiger Beispiele mitgewirkt hat.
Möge nun die vorliegende Neubearbeitung der Festpunktmethode
dazu beitragen, daß das Verfahren möglichst vielseitige Anwendung
findet und sich als fühlbare Erleichterung der statischen Berechnungen
auswirkt.
Berlin, im Oktober 1950.
ERNST TRAUB.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung 1
1. Allgemeines . . 1
2. Die MOHRschen Sätze 8
3. Graphische Bestimmung der Festpunkte für durchlaufende Träger 12
Erster Abschnitt.
Tragwerke mit unverschieblichl'n Knotenpunkten und mit von Stab
zu Stab veränderlichem, aber auf Stablänge konstantem Träg
heitsmoment.
I. Das k-Verfahren zur Bestimmung der Festpunkte, Verteilungsmaße
und Übergangszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II. Das k-Verfahren zur Bestimmung der Kreuzlinienabschnitte und
Momente infolge beliebiger Belastung des Tragwerks . . . 31
III. Rechnungsabschnitt I.
Übersichtliche Zusammenstellung des Rechnungsvorgangps 35
1. Bestimmung der Grundgrößen . . . ... . . . . 36
2. Bestimmung der Momente infolge der äußeren Belastung. 37
Konsolbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
IV. Bestimmung der Querkräfte, Normalkräfte und Auflagerkräfte 42
1. Querkräfte . 42
a) Analytisch 43
b) Graphisch 44
2. Normalkräfte 47
3. Fundamentkräfte 48
V. Bestimmung der Festhaltekräfte 49
Zweiter Abschnitt.
Rechnungsabschnitt II.
Tragwerke mit verschiebbaren Knotenpunkten und mit von Stab
zu Stab veränderlichem, aber auf Stablänge konstantem Träg
heitsmoment.
VI. Biegungsmomente infolge gegenseitiger Verschiebung der beiden End-
punkte eines Stabes und die zugehörige Erzeugungskraft . 57
VII. Tragwerke mit senkrechten Stielen und waagerechten Balken 62
1. Einstöckige Tragwerke ...... 62
2. Mehrstöckige Tragwerke . . . . . . . . . . . . 67
3. Rahmenträger oder Vierendeelträger ...... 74
VIII. Tragwerke mit schiefen Stielen oder schrägen Balken 78
1. Einstöckige Tragwerke 78
2. Mehrstöckige Tragwerke . . . . . . . . . . . . 83
Inhaltsverzeichnis. IX
Dritter Abschnitt.
Seite
Tragwerke mit auf Stablänge veränderlichem Trägheitsmoment.
IX. Das k-Verfahren zur Bestimmung der Festpunkte und Kreuzlinien
abschnitte .. . . . . . . . . . . . . 87
1. Bestimmung der Drehwinkel . . . . . 87
2. Bestimmung der Festpunkte ..... 88
3. Bestimmung der Kreuzlinienabschnitte für Stäbe mit beliebig
veränderlichem Trägheitsmoment ... 90
X. Das Drehwinkel-Verfahren zur Bestimmung der Festpunkte, Über
gangszahlen und Kreuzlinienabschnitte . . . . . . . . . . . . . 91
Vierter Abschnitt.
Grenzwerte der Momente und Querkräfte.
XI. Grenzwerte der Momente und Querkräfte für ständige Last und
Nutzlast . . . . . . . . . 95
1. Grenzwerte der Momente 97
a) Ständige Last . . . . 97
b) Nutzlast •..... 98
2. Grenzwerte der Querkräfte 101
a) Ständige Last . . . . . 101
b) Nutzlast •...... 102
XII. Einflußlinien der Momente und Querkräfte für bewegliche Lasten 105
1. Einflußlinien der Momente 105
2. Einflußlinien der Querkräfte . . . . . . . . . . . . . 108
3. Einflußlinien der Stützendrücke . . . . . . . . . . . HO
XIII. Momente infolge Temperaturänderung und Stützensenkung IU
1. Momente infolge Temperaturänderung IU
2. Momente infolge Stützensenkung . • . . . . . . . . . H5
Fünfter Abschnitt. U6
Hilfstafeln zur Bestimmung der Festpunkte und Kreuzlinienabschnitte.
Tafel 1. Tabelle für n = { zur Bestimmung der Festpunktabstände. 117
Tafel la Graphische Tabelle für n = ~ ............... U8
1-L
Tafel 2. Tabelle für n' = I f zur Bestimmung der Winkelfestwerte
1-1,5-
I
w= n'· k und für die Übergangszahlen z = 1 ~lf/l • . .. 119
Tafel 3. Momentenflächen für häufig vorkommende Belastungsfälle und
Kreuzlinienabschnitte. . . . . . . . . . 119
Tafel 4. Mo-Momente und Kreuzl.inienabschnitte. . . . . . . . .. 126
Tafel 5. Einflußlinien der Kreuzlinienabschnitte . . . . . . .. 130
Tafel 5a. Graphische Tabelle für die Einflußlinie der Kreuzlinienabschnitte. l30
Tafel 6. Kreuzlinienabschnitte für Konsolmoment. . . . . . . . • . . 131
Tafel 7. Tabellen der Drehwinkel und E:nflußlinien für die Kreuzlinien-
abschnitte von Balken mit Vouten. . . • • . . . . . . . .. '132
x
Inhaltsverzeichnis.
Sechster Abschnitt.
Beispiele aus der Praxis.
Seite
Richtlinien für die Aufstellung der Berechnung . 138
Beispiel Gegenstand und Systemski:zze: Behandelte Lastfälle :
.. .. ..
1 Ständige Last und Nutz-
Durchlaufender Träger lasten . . . . 142
.. .. ..
2
Durchlaufender Träger mit feld weise Ständige Last und Nutz-
veränderlichem Trägheitsmoment lasten 144
1 1 1 1. Ständige Last und lot
3 rechte Einzellasten . . 148
H. Seitlicher Winddruck . 153
IH. Kranlast auf Konsole 155
Unsymmetrischer Rechteckrahmen IV. Temperaturänderung 158
mit 2 Öffnungen. V. Stützensenkung . . . 161
r f l
4
Grundgrößen. . . . . . . 162
1. Ständige Last . . . . 167
H. Kranlast auf Konsolen 169
Dreistieliger Hallenbinder (nach der IH. Winddruck . . . . 174
Seite zweistöckig). IV. Temperaturänderung . 177
5
FÜllfstöckiger Rahmen. Horizontale Windbelastung 179
6
Rahmenbinder mit und ohne Ständige Last, Schnee- und
Zugband. Wind belastung . . . . . 194
..
I I
7
Symmetrischer Rahmen mit stark
veränderlichem Trägheitsmoment
und zum Vergleich mit durchgehend
gleichem Trägheitsmoment. Ständige Lasten ..... 208
Abkürzungsverzeichnis der Symbole.
1,2,3,4 ... Bezeichnung der Stäbe des Tragsystems.
I, U, IU, IV ... Bezeichnung der einzelnen Verschiebungszustände.
A, B, C, D ... Bezeichnung der Knotenpunkte des Tragsystems.
a, b,c,d ... Koeffizienten der Gleichungen für die Bestimmung der Momente
mehrstöckiger Rahmen aus den einzelnen Verschiebungszuständen.
A Auflagerkraft.
cl' c Koeffizienten der Tabellen für die Drehwinkel und Kreuzlinien.
2
abschnitte.
E Elastizitätsmodul.
E Erzeugungskraft.
e Hebelarm des Konsolmoments bei Kranbahnstützen.
F Festhaltungskraft.
Fo Inhalt der Momentenfläche des frei aufliegenden Balkens.
LlF Inhalt einer Teilmomentenfläche.
J Festpunktabstand, z. B. fi' = Festpunktabstand des Stabes 1
vom Stabende A.
G Eigengewicht.
g Belastungseinheit für ständige Last.
H Horizontalkraft .
J Trägheitsmoment.
J u. K Bezeichnung der Festpunkte links und rechts.
Trägheitsradius.
K Kreuzlinienabschnitte, z. B. Kf = Kreuzlinienabschnitt am Stab 1
vom Stabende A.
k=~ Stabfestwert, z. B. k = Stabfestwert des Stabes 1 (Steifigkeit).
I 1
L Teil des Kreuzlinienabschnitts.
I Stablänge.
M Biegungsmoment .
M Biegungsmoment des Rechnungsabschnitts II (Zusatzmomente).
W1 Biegungsmomente der einzelnen Verschiebungszustände.
m Momentenabschnitt für die Momentenschlußlinie auf der Senk.
rechten durch die Festpunkte.
m* Momente für die Verschiebekraft V = 1.
m', m", m"' ... reduzierte Momentenflächen bei Konsolbelastung.
mlYo, m{J Momentenflächen.
m Momente infolge gegenseitiger Knotenpunktverschiebung eines
Stabes.
N Normalkraft.
n Koeffizient für den Festpunktabstand n = .{.
f
, I--
n Koeffizient für den Winkelfestwert n' = ~ = I
k f"
1- 15-
p äußere Belastung. ' I
p Belastungseinheit für die Nutzlast.
Q Querkraft des Tragsystems.
u Querkraft des frei aufliegenden Tlägers.
R Resultierende.
Ra u. Rb Auflagerdrücke
S Schwerpunkt.
s Schwerpunktsabstand .
T Temperatur.
