Table Of ContentWISSENSCHAFT UND KULTUR
BAND I
Arnold Böcklin: Architectura et Pictura
ANDREAS SPEISER
DIE MATHEMATISCHE DENKWEISE
Qtllleris autem millesies dicta neque unqllllm
requiem habitura mea quidem opinione.
Proclus
Springer Basel AG
Dritte Auflage.
Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere
das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
ISBN 978-3-0348-4096-5 ISBN 978-3-0348-4171-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-4171-9
Copyright 1952 Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser AG., Basel1952.
Softcoverreprint ofthe bardeover 3rd edition 1952
Raoul La Roche
gewidmet
INHALTSVERZEICHNIS
Frontispiz
Vorwort 9
Abgrenzungen li
Über Symmetrien in der Ornamentik I7
Formfragen in der Musik .
Die Naturphilosophie von Dante
Proklus Diadochus über die Mathematik 59
Über die Zahlen und den Raum bei den Neu-
platonikern . 68
Goethes Farbenlehre 78
Über die Astrologie 86
Zusammenfassung . 9 5
Kepler und die Lehre von der Weltharmonie 96
Notenbeispiele . I I 7
Erläuterungen zu den Tafeln I23
Tafeln I-IX
VORWORT
Das Band, das die verschiedenen Gebiete zusammenfaßt, die in dem vor
liegenden Buch behandelt werden, bildet die antike Lehre von der mathe
matischen Natur der Seelenkräfte. Es liegt nicht in meiner Absicht, eine
alleingültige Lehre vorzutragen, denn ich weiß wohl, daß sich andere Seiten
hervorheben lassen; aber ich habe den Eindruck, daß der mathematische
Standpunkt in neuerer Zeit allzusehr in den Hintergrund gerückt ist und
daß es nottut, ihn wieder einmal energisch zu vertreten. Die Logik habe ich
absichtlich beiseite gelassen. Denn es scheint mir nicht, daß sie für das
mathematische Denken besonders charakteristisch ist. Unlogisches gibt es in
den Künsten und Wissenschaften nicht, oder, genauer gesagt, es ist dort
überall sinnlos und bedarf der Berichtigung.
Die erste Auflage dieses Buches erschien 1932, in der zweiten Auf
lage wurde es mir ermöglicht, den auf die Kunst bezüglichen Teil durch
Abbildungen zu ergänzen, die in der ersten fehlten. Das Titelbild ist die
Wiedergabe einer Zeichnung von Arnold Böcklin, welche die Malerei und
die Architektur in zwei edlen Frauengestalten darstellt. Die Architektur ist
hier als Mathematik gedacht, wie die hinzugefügten Embleme des Zirkels
und des rechten Winkels andeuten, und ich möchte dafür auf die Seite 14
dieses Buches hinweisen. Weitere Illustrationen findet man in einigen neueren
Werken, vor allem von E. Moessel (C. H. Becksche Verlagsbuchhandlung),
von Matila C. Ghika (Editions de la Nouvelle Revue Frans:aise) und von
W. Überwasser (J ahresbcricht der öffentlichen Kunstsammlung, Basel1928
bis 1930, sowie in dem Buch "Von Maß und Macht der alten Kunst", 1933).
Besonders in dem Jahresbericht sind wichtige Belege für den geometrischen
Ursprung gewisser Kunstformen enthalten. Ein in unserer Zeit einzigartiges
Werk ist das Buch von George D. Birkhoff: Aesthetic Measure (Cambridge,
Massachusetts, 1933 ). Der Verfasser, einer der bedeutendsten amerikanischen
Mathematiker, gibt eine eigene Methode der Bewertung ästhetischer Pro
dukte und hat den Mut, selber zu experimentieren, und es gelingt ihm, drei
ohne Zweifel sehr schöne Vasenformen aufzustellen. Wir möchten dieses
hervorragende Buch ganz besonders dem Leser zum weiteren Studium emp
fehlen.
An den Schluß des Bandes habe ich einen Vortrag gestellt, den ich zur
Feier des dreihundertsten Todestages von Kepler gehalten habe. In diesem
Manne scheint sich mir, trotz mancher Irrtümer, die mathematische Denk-
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weise besonders eindrucksvoll zu verkörpern. Aber auch bei andern Mathe
matikern, etwa bei Leonhard Euler, wäre der Gesamteindruck der Leistungen
nicht wesentlich verschieden.
Die vorliegende dritte Auflage ist im Text wiederum nicht verändert
worden, doch haben wir dem Bilderteil noch ein Gemälde Dürers bei
gegeben, das als schönes Beispiel für die Bedeutung der Geometrie in der
Kunst dienen kann. Ferner sei es uns gestattet, im Jubiläumsjahr Goethe
schon an dieser Stelle zu Worte kommen zu lassen. In dem Aufsatz von
1799 "über den sogenannten Dilettantismus oder die praktische Lieb
haberei in den Künsten" schreibt er:
"Weil der Dilettant seinen Beruf zum Selbstproduzieren erst aus den
Wirkungen der Kunstwerke auf sich empfängt, so verwechselt er diese
Wirkungen mit den objektiven Ursachen und Motiven und meint nun den
Empfindungszustand, in den er versetzt ist, auch produktiv und praktisch
zu machen; wie wenn man mit dem Geruch einer Blume die Blume selbst
hervorzubringen gedächte.
Das an das Gefühl Sprechende, die letzte Wirkung aller poetischen
Organisationen, welche aber den Aufwand der ganzen Kunst selbst voraus
setzt, sieht der Dilettant als das Wesen derselben an und will damit selbst
hervorbringen."
"überhaupt will der Dilettant in seiner Selbstverkennung das Passive
an die Stelle des Aktiven setzen, und weil er auf eine lebhafte Weise Wir
kungen erleidet, so glaubt er mit diesen erlittenen Wirkungen wirken zu
können." "Was dem Dilettanten eigentlich fehlt, ist Architektonik im
höchsten Sinne ... "
Was Gocthe als Architektonik bezeichnet, heißt bei uns mathematisches
Denken und ist hier kein Unterschied. Wie weite Kreise dagegen unter
Goethes Beschreibung der Dilettanten fallen, mag der Leser selber erfahren
und entscheiden.
Dem Verlag Birkhäuser in Basel spreche ich auch dieses Mal für die Her
ausgabe und die treffliche Ausstattung des Buches meinen besten Dank aus.
Basel, im Mai 1952
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ABGRENZUNGEN
Das Wesen des mathematischen Denkens unmittelbar in Worten zu be
schreiben ist nicht möglich. Was wir mitteilen können, sind seine Leistungen
und Resultate. Wir müssen daher versuchen, aus der Fülle der Hervor
bringungen menschlichen Denkens diejenigen abzugrenzen, welche wir der
Mathematik verdanken; auch wenn sie ihren Ursprung nicht unmittelbar
mehr erkennen lassen. Indem wir die Trennungslinien gegenüber den an
deren Wissenschaften festlegen, gewinnen wir gleichzeitig Definitionen für
das mathematische Denken selber. Voraussetzung dafür ist die Tatsache,
daß es Nicht-Mathematisches gibt.
Um Mißverständnisse zu beseitigen, beginnen wir bei der Abgrenzung
mit der Mathematik selber und scheiden zunächst einiges aus, was häufig
noch zu ihr gerechnet wird. Goethe verstand unter der Mathematik die
Meßkunst, unter dem Mathematiker den Meßkünstler. Er dachte in erster
Linie an die Meßmethoden' der experimentellen Physik Newtons und der
holländischen Physikerschule. Wenn er sagt, er habe die Farbenlehre ab
sichtlich von der Mathematik ferngehalten, so heißt das einfach, er habe die
Meßinstrumente der Newtonsehen Optik nicht verwendet. Dieser Identi
fizierung der Mathematik mit der Instrumentenkunde der experimentellen
Physik begegnet man häufig in der Philosophie des neunzehnten Jahr
hunderts. In seinem "Cours de philosophie positive" schreibt Auguste Comte:
a
"Nous sommes clone parvenus maintenant definir avec exactitude la
science mathematique, en lui assignant po~r but la mesure indirecte des
grandeurs, et disant qu'on s'y propose constamment de determiner les
grandeurs les unes par les autres d' apres les relations pn~cises qui existent
entr' elles."
Alles, was unter derartige Definitionen fällt, müssen wir aus der Mathe
matik ausscheiden. Schon Plato hat es so gehalten, und wir brauchen es
nidlt weiter zu begründen, da es für den Mathematiker so gut wie für den
Physiker selbstverständlich ist.
Für die Abgrenzungen gegenüber den anderen Gebieten beginnen w~r mit
den Naturwissenschaften von der experimentellen Physik bis zur Biologie.
Ihre Denkweise ist nicht-mathematisch, so groß auch teilweise die Wechsel
beziehungen zur Mathematik sind. Denn diese Wissenschaften sind em
pirisch; das für sie Entscheidende ist die Beobachtung und das Experiment.
In der Mathematik entscheidet aber der Beweis; so kann- um ein Beispiel
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