Table Of ContentDie Lehre von der
zusammengesetzten Festigkeit
nebst Aufgaben 'aus dem Oebiete des Maschinenbaues
und der Baukonstruktion.
Ein Lehrbuch
fUr Maschinenbauschulen und andere technische Lehranstalten
sowie zum Selbstunterricht und fUr. die Praxis.
Von
Ernst Wehnert,
Ingenienr und Oberiebrer an cler Stid\. GeW'erbe' und Maschinenbauschule in Lelpr.ig.
Mit 142 Textfiguren.
Anastatischer Neudruck 1920.
Berlin.
Ve r I a g von J u) ius S p r i n g e r.
1908.
ISBN- 13:978-3-642-90529-2 e-ISBN-13:978-3-642-92386-9
DOl: 10.1007/978-3-642-92386-9
Alle Rechte, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1908
Vorwort.
Die gute Aufnahme meines fur Maschinenbauschulen und I1hnIiche
Lehranstalten hesiimmien, die seehs Grundfestigkeiten umfassenden Ws rkes
"Einfilhrung in die 1festigkeitslehre" in den Kreisen der Schule und der Praxis,
sowie die vielseitige N achfrage nach der Erweiterung und FOi'tsetzung der Ein
fiihrung hat mich zur Herausgabe des vorllegenden War-kes fiber zusammenge
setzte Festigkeit veranla.Gt~ das sieh sowohl als ein Lehr- oder. Beibuch zum
Unterricbte an hOheren technischen Lehranstalten wie aiich ffu- den in
der Praxis stehenden Techniker als em lejcht v:erstindIiches und schnell
zu fibersehendes Himd- und Naehschlagebuch eignen dfirfte .. Zul11 groaeren
Teile umfaBt das Buch den Lehrstoff, den ioh selh-at im ·dritten Semester
meines Unterrichtes in der Festigkeitslehre an der seit etwa. zwei Jahren
als Mhere technische Lehranstalt ausgebauten 8tidtischen Masehinenbau-
schule in. Leipzig zugrunde. lege. , .
Da das vorliegende Buch gleieh der genannten ~infilhrung nur ein
Lehrbuch sein soll, das ohne Kenntnis der hOheren Analysis durchans
verstanden und verfolgt werden kann, habe ich im Interesse der leichteren
Obersichtlichkeit des Werkes auiet den Gleichungen der elastiachen Linien.
die den einzelnen Belastungsfallen zugehOren, alles das fortgelllSsen, 'WaS
Dur einfaehen Formel- und Tabellenwert lIat, \voriiber ja die BUtte oder
jeder technisehe Kalender genugsam Aufscltlua gibt. Dagegen habe ich
dem nach Abschllitten und Paragraphen geol'lineten Lehrbuche in leieht
zu iibersebender Weisa, ,vorauf besonderer Wert gelegt worden ist, eine
aus 46 praktischen Beispielen hestehende Aufgabensammlung aus dem
Gebiete der Maschinen- und der Baukonstruktion zugefiigt, die den Stu
dierenden bei diesbeziiglichen Rechnungen als zweekentsprechende Unter
lage dienen und ibn zu selbsmndigen Arbeiten anregen soIl. Hierbei habe
jch, wie bei den Aufgaben im ersten Werke. mit Ahsicht die auf ver
schiedene . Querschnittseinheiten bezogenen Materialspannungen gewahlt,
damit der angehende Techniker sioh frUhzeitig mit den fortgesetzt weohseli:lden
Rechnungen der Praxis, fUr welche die technische Schule entsprechend
vorbereiten soll, unter der Anleitung des Lebrers genugend vertraut ruachen
kann. Auch babe ich bei den vollstiindig durchgefiibrren LOsungen der
IV VorWol't,
Aufgaben, den man von Anfang his Ende leicht folgen kann, \Vert. auf
die· algebraischen Entwickelungen gelegt, auf die an dieser Stelle der Stu
dierende besonders aufmerksam gemacht sei. Man kann natiirlich auch
ohne das .exakte Losen zum Ziele gelangen, wenn man sich der zumeist
sehr· umstii.ndlichen und zeittaubenden Probiermethode bedienen will, deren
Unsicherheit in der mehr odar weniger willkiirlicben Resultatschii.tzung
liegt. Wenn auch in manchen Fillien ein schatzungsweises Vorgehen
bequeni und zweckmii.Gig sein mag. so darf doch ein soleh inkorrektes Ver
fabren ebensowenig zur Regel erboben werden, als es mit del' unter normalell
Verhiiltnissen nur zur Kontrolle der exakten Rechnung dienenden grapbisehen
Losung geschehen soIl, die eben nur ein zeichnerisehes Verfahren bedeutet,
1m allgell:leinen gilt fUr den Techniker der irrtumlose, mathematische
Reehnungsgang, den anzueignen sich jeder Studierende um so mehr be
fleiiigen sollte, als eine gute m.athematisehe Grundlage in Verbindung mit
einer guten Werkstattpraxis nicht nur zum liickenlosen Studium technischer
Werke gehOrt, s9ndern auch unstreitig den Sehliissel zum wirkliehen teeh
niseben Denken darstellt.. .
1m iibrigen moebte ieh noeh darauf hinweisen, daG meines Wissens
nach das vorliegende Buch das ·erste ist, das auf nur e~ementarer Grund
lage fu.Gend, in moglichst systematischem Aufbau das fiir jeden teehnischen
Mittelseh~absolventen Wissenswerteste aus dem Gehiete der zusammenge
setztEm Festigkeit enthli.lt, ohne deren Kenntnis und Verwertung da;! volle
Versteberi imd die selbstii.ndige Dureharbeitung einer Konstruktionsaufgabe,
falls diese nicht nur einzig und allein ein Bild darstellen soIl, wobl aus
geschlossen· sein diirfte. Vor allem werden dem Studierenden die mit dem
Lehrbuehe in ergiinzendem Zusammenhang stehenden Anwendungen sehr
willkommen sein.
leb hoffe deshalb, daG aueb weses Werk innerhalb der gedacbten
Kreise auf eine gleieh gute Aufnahme reehnen darf, wie sie mein erstes
Werk bereits erfabren. hat.
Leipzig, im November 1908.
Ernst Wehnert.
Inhaltsverzeichnis.
Einleitnng.
Erster Abschnitt. Seite
§ 1. Allgemeine8 iiber SpannungeD •.•••... 3
§ 2. Der Spannungszustand fiir einen K6rperpunkt. 4
§ 3. Der ebene Spannungszustand •..... 8
a) Die Normalspannung uo. . . . . . . • . 9
b) Die Schubspannung TO • • • • • • • • • 10
§ 4. Die idealen odef reduzierten Spannungen 14
§ 5. Spannungsellipse, Spannungsellipsoid 17
a) Die SpannungseUipse. .. . . . . . . 17
b) Das Spannungsellipsoid. . . . . . . 18
Zweiter Abschnitt.
§ 6. Die TraghEiitsmomente ebener Flii.chen, die sich auf ver·
schieden gerichtete Schwerpunktsachsen beziehen. . . 20
a) Die Tragheitsmomente • . . . . . • . . . . . . . . . 20
b) Die Zentrifugalmomente. . . . • . . . . • • • • • • • 22
1. Die direkte En~wickelung des Zentrifugalmomentes fIlr den fecht
eckigen Querschnitt, der mit einer Achse eines beliebig gelegeDen
Koordinatensystems gleichgerichtet ist • . • . . . . • • 23
2. Berechnung des Zentrifugalmomentes Jxy direkt aus den Trag
heitsmomenten ex, 8y und ez . . • . . • . • • • • • 25
3. Berechnung des Zentrifugalmomentes L1xy ditekt aus dem Quer
sehnitt und den Schwerpunktsabstanden. • • . • . . . . 25
4. Berecbnung des Zentrifugalmomentos Axy und der Tragheits
e
momente 8x, y ohne Kenntnis del' Lage des Schwerpunktes S
der Flaehe. • . • • • . . . . 26
§ 7. Tragheitsellipse, Zentralellipse . . . . . . 28
a) Die Tragheitsellipse . . • . . . . . . . . . 28
b) Die Zentralellipse. . • . . . • • . • • . . 29
§ 8. Die unsymmetrisehe oder schiefe Belastung . 31
a) Die Lage der neutralen Achse . • 32
b) Die groJlte Materialspannung. . . . . 34
c) Die Zentralellipse. . . . . . . . . 35
Drittel' Abschnitt.
§ 9. Exz entrische Zug- oder Dru ckbelastun g. K ernCI ach e 37
1. Di~ exzentrisehe Belastimg. 37
2. Die Kernflache • • . • . ; . . . . . • • . . " 39
VI lnhaltsverzeichnis.
Seite
§ 10. Bestimmung des Kernes einigar Querschnitte 41
a) Mit Hilfe des Gesctzes zwischen Pol und Polare . 41
1. Fiir den Kreisquerschnitt ." 41
2. FUr den Kreisringquerschnitt . 42
3. Flir das Quadrat 42
4a. FUr das Rechteck. ." . 4 3
b) Mit Hilte der Zentralellipse 45
4b. Fiir das Rechteck. ., . 45
5. Flir das gleichachenklige Dreieck 46
6. Flir das allgemeine Dreieck . .". 41
. Einflihrung schiefwinkliger KoordiDaf4!n 48
7. Flit' den I-Querschnitt' . . . . . . 48
8. Flir die Ellipse. . • • . . . . . 49
§ 11. Berechnung der Biegungsspannung .mit Hilfe des Kernes 50
Vierter Abschnitt.
§ 12. Die Schubspannungen imgebogeneli Balken 52
a) Der Querscbnitt des auf Biegung beanspruchten Klll'perssei ein
Rechteck • . . . . . . . . . . . . . . . 53
b) Der Querschnitt sei von beliebiger Form. . . . . 55
c) Die Schubspannungen einiger einfachen Querschnitte 57
1. Fiir den rechteckigen Quersehnitt 57
2. FUr den kreisformigen Quersehl)itt. . 58
3. Flir den kreisringformigen Quersehnitt 58
b'linftel' Abschnitt.
Die verschiedenen BelastungsfiUle 59
Erste Gruppe.
§ 13. Das Zusa.mmenwirken verschiedenartiger Normalspan-
nungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00
1. Der an einer Beite eingespannte Kilrper wird am freien Ende
mit einer achsial gerichteten, exzentrisch wirkendan Kraft P auf
Zug beansprucht • . . . . . . . . . . . .' . • . . 60
2. Der an einer Seite eingespannte Klirper wird am t'reien Ende .
mit einer belieoig gerichteten Kraft" P auf Zug bennsprucht. . 62
3. Der an einer Beite eingespannteKorper wltd am freien Ende
mit einer achsial gerichteten, exzeiitrlsch wirkenden Kraft P auf
Druck beaosprucht. . . . . '. . . . • . • . . • 64
a) Pie Lange des Korpers liegt aufierhalb der KIiicklange . •
b) Die Lange des Kiirpers .liegt inilerhalb der Knicklange ". .
4. Der an einer Seite eingespannte Korper wird am t'reien Ende
mit einer beliebig gerichteten Kraft P auf Druck beansprucht. 67
5. Der exzentrisch belastete PleHer aus Mauerwerk oder iihnlichen
Matel'ialien . . . . . . . . . . . . ., .... 69
a) Die Pfeilerlast beansprucht die ganze Grundfiache des Bodens
auf Druck. • . . . . ; . . . . . . . . . . . . 70
b) Die Pfeilerlast beansprucht' nur ainen Teil cler Grundfiache
des Bodens auf Druck . . . • . . . . . . • . • • 71
Tn haltsverzeichnis. VII
Seite
6. Der gespannte Freitrager mit Endhelastung 73
a) Die Achsialkraft beanspr!lcht den Trager au.f Jg . 73
b) Die Aehsialkraft beansprucht den Trager au.! ruck 74
7. Der gespannte Freitrager mit gleichmiLflig vert, er Belastung 74
a) Die Achsialkraft beansprucht den Triiger al :>ruck 74
b) Die Achsialkraft beansprucht den Trager al lug, 75
8. Der gespannte Zweistiitzentrager bei Mittelbell IDg • 76
a) Die Achsialkraft beansprucht den Trager E Zug '. 76
b) Die Achsialkraft beansprucht den Trager Druck 76
9. Der gespannte Zweistiitzentrager bei gleie itsig verteilter
Belast.ung . . . , , , , , , ., • . . 78
a) Die Achsialkraft beaneprucht den Trager f Druck 78
b) Die Achsialkraft beansprucht den Trager If Zug . 79
10. Der stabfijrmige Korper mit gekrummter Mi !linie 81
a} Die Normalkraft N beansprl1cht den Que hnittallein 82
b) Das Biegungsmoment Mb beansprucht de •. <)uerschnitt aUein 83
e) Die Normalkraft N und das Biegungsmoment Mb wirken
gleichzeitig auf den Querschnitt ein 85
1. Bei nllr Biegungabeanspruchung 85
'.
2. Bei. Normal- nnd Biegungsbeanspruchnng 86
d) Spezielle Spannungswerte . . . . • . . 88
ej Angaben tiber die Hilfsgril.6e x. . . . . 90
1. Fur den rechteckigen QuerschniU . . . 90
2. Flir die Querschnitte yom Kreis und Ellipse 93
3. Fur den gleicbscbenkligen, trapeztOrmigenQuerschnitt 93
ZWElite Gruppe.
,§ l4. Das Zusammenwirken verschiEidenartdger Schubspan-
nungen ........... , . 93
Schub und Drehnng 94
1. Der Kreisquerschnitt . . . . . . .. 94
2. Der Kreisringquerschnitt von geringer Wand starke . 95
3. Der rechteckig~ Quel'schnitt . . . . . . 96
Dritte Gruppe.
§ 15, Das Zusammenwirken verschieden&l'tiger Normal- und
Schnbspannungen . . . . 96
1. Zug oder Druck mit Schub 96
2. Zug odeI' Druck mit Torsion 97
3. Biegung mit Schub 98
a) Der beanspruchte Querschnitt sei ein Kreis 99
b) Der beanspruehte Querschnitt sei ein Rechteck 101
4. Biegung mit Torsion . . . . 102
a) Der Kreisquersehnitt. . . , . . , . . . 103
bj' Der Kreisringquerschnitt . • . . .. . . . 104
c) Der elliptiscbe Querschnitt . . . . . . . . 105
1. Die Ebene des Biegnngsmomentes geht durch die kleine.
Achse . . . • . • • . . . . . . • . . . , • 105
2. Die Ebene des Biegungsmomentes gebt durch die groBe
Achse , . . . • . . . . , . . . , . . . . . 106
VIII Inhaltsverzeichnis.
Sette
d) Der rechteckige Qnerscbnitt . .. ...... 107
1. Die Ebene des Biegungsmomentes liuft parallel zur
kurzen Achse . . . . . . . • . • . . ., 107
'2. Die Ebene des Biegnngsmomentes lauft parallel ,zur
langen Seite .'. . . . . . . . . . , . ., 108
Anwendungen.
Erste Aufgabengruppe.
Zu §§ 6 bis 8. Auf verschieden gerichtete Schwerpunktsacbsen bezogene
Tragbeits· und ZentriCugalmomente ebener FIlchen. Trag
heitsellipse. Schiefe Belastung.
1. bis 8. Aufgabe . . . . . . . . . . 109
Zweite Aufgabengruppe.
Zu §§ 9 bis 11. hzentrische Zug- oder Druckbelastung. KernHaehe.
9. bis 14. Aufgabe. • . . . . . . ~ . . . . . • • . 124
Dritte Aufgabengruppe.
Zu § 12. Sehnbspannungen im gebogenen Balken.
15. bis 20. Aufgabe, • . . . . . . . . • • . . . . . 130
..
Vierh Aufgabengruppe.
Zu § 13. Das Zusammenwirken verschiedenartiger Normalspannungen.
21. bis 33. Aufgabe '. . . . . • . . . . . . . . . . 136
FUnfte Aufgabengruppe.
Zu § 14. Das Zueammenwirken verschiedenartiger Sehubspannungen.
34. bis 35. Aufgabe . ; , . . . . . . . . . . 168
Sechste Aufgabengruppe.
Zu § 15. Das Zusammenwirken verscbiedenartiger Normal- und Sehub·
spannungen.
36. bis 45. Aufgabe . , . • . . • . . . • 170
Ei-nleitIDg.
Naehd,em in den znr ~ in die Festigkeitslehre dienendem
ersten Banda des vorliegenden Wetbs 4tie 6 Grundfestigkeiten ibre Er
ledigung gefundml haben, sollen ill. <Iliesem zweiten Bande diefiir die
Praxis notwendFn Sitze nnd Rep aus dem Gebiete der zusammen
gesetzten F~gkeit besprocben werdim..
Wenn mm mreng genoJimlen die heteiIB im ersten Teile behandelten
Festigkeiten der Biegung, der· Kriirlamg und der Torsion aucb schon
KombinaticmeD der einfacben Festigleiten - Zug, Druck und Schub -
daxstellen, so \Wel'Ilhm sie fUr gewo1mlieh dooh nicht unter die zusammen
gesetzten Festigkedlen gerechnet, mit denen die praktische Tecbnik zu tun
hat. Je nadulem es sicb a1so urn Biegung, Knickung und Torsion oder
urn Zusammensetzqen der sechs Grnndfestigkeiten handelt, kann man
die zosammengesetztell Festigkeiten in zwei Arlen einteiIen,
1. in cine n atiirliche' kombinierte Festigkeit oder komb. Festig
keit Un engeren Sinne und
2. in eine kiinstliche kombinierte Festigkeit oder komb. Festig
keit im weiteren Sinne.
Zu der letzteren Art sind alIe sonstigen zwischen den seehs Grund
festigkeiten moglichen Verbindungen zu zahlen, die allerdings praktisch
nieht alIe gleiche Bedeutung bilben.
In allen Fillen handelt es sieh nun lediglich um die Feststellung
der gro.aten Anstrengungen der Materialien, wozu es von vornherein
zweckmRaig ist, 'zu unterseheiden, ob bei einer eben gedachten Scbnitt
fur
niiche eines zu untersuchenden Korpers, deren Punkte die Anstrengung
bestimmt werden soll,
a) nur verscbiedenartige Normalspannungen,
b) nur verscbiedenartige Schubspannungen oder
c) Normal- und ScbubspanDungen gleichzeitig
'Wehnert, Festigkeitslehre II. 1
Etnleitung.
zu beriicksicbtigen sind. Auf diese Weise gliedert sich der zu bebandelnde
Stoff in 3 Gruppen, deren jede slch wiederum mit Riicksicht auf die
Kombinationell der Grundfestigkeiten, soweit sie praktischen Wert haben,
in die folgenden ~n zerlegen lait, womit gleichzeitig 'die Richt
schnur fUr die Stoffverteilung des vorliegenden zweiten Bandes gegeben
sein solI.
Arten fUr a): Nur verschiedenartige Normalspannungen.
Zug oder Druck mit Biegung.
Arten fUr b): Nur verscbiedenartige Schubspannungen.
Schub mit Torsion.
Arten fiir c): Normal- und Schubspannungen.
1. Zug oder Druck mit Schub.
2. Zug oder Druck. mit Torsion.
S. Biegung mit Schub.
4. Biegungmit Torsion.
