Die Impulsstreuungsmomente in kollektiven Gesamtheiten

51 Pages·1960·2.226 MB·German

by  Prof. Dr. Günter Ecker, Dietrich Voslamber (auth.)

DK 519.2
531.19
FORSCH U NGS BE R ICHTE
DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Herausgegeben durch das Kultusministerium
Nr.832
Prof. Dr. Günter Ecker
Dietrich Voslamber
Institut für Theoretische Physik der Universität Bonn
Die Impulsstreuungsmomente in kollektiven Gesamtheiten
Als Manuskript gedruckt
WESTDEUTSCHER VERLAG / KOLN UND OPLADEN
1960
ISBN 978-3-663-03447-6 ISBN 978-3-663-04636-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-04636-3
G 1 i e d e ~ u n g
I. Einführung • S. 5
11. Objekt und Modellbereiche • • S. 8
111. Stochastische Methoden • • S. 10
IV. Das äußere Modell s. 15
1. Die Methode der Unterteilung in
Einheitsbereiche ••••••••••••••••••• s. 15
2. Stochastische Überlagerung der durch die
einzelnen Individuen bedingten Impulsän-
derungen • • S. 21
V. Das innere Modell · . s. 30
VI. Die Streuung des Gesamtimpulses bei
ruhendem Auf teilchen • S. 36
VII. Gültigkeitsbedingungen · s. 36
VIII. Ergebnisse. • S. 41
1. Vergleich mit den Resultaten der
'cut-off-Methode' •.•••••• • • S. 41
2. Die Abhängigkeit der Impulsstreuung von 6t • S. 41
3. Numerische Auswertung ••.••••••••• • S. 42
4. Die Impulsstreuung im Einkomponenten-
system . . . . . s. 44
5. Die Impulsstreuung im Zweikomponentensystem • · . s. 45
6. Die Streuung als Funktion des maximalen
Stoßparameters • • • • • • • • S. 46
IX. Literaturverzeichnis • · . s. 49
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I. Einführung
Der Zustand einer Gesamtheit von Individuen kann durch ihre Verteilung
im Phasenraum gekennzeichnet werden. Zur Ableitung statistischer Aus
sagen über das vergangene oder zukünftige Verhalten des Systems werden
im allgemeinen Ge~etzmäßigkeiten verwendet, die sich aus dem Liouville
sehen Satz herleiten. Wenn man von den durch die endliche Begrenzung
bedingten Randschichteffekten absieht, so ist es im allgemeinen nicht
schwierig, den äußeren Einflüssen Rechnung zu tragen. Das Problem liegt
vielmehr in der Erfassung der inneren Wechselwirkung und der hiermit
verbundenen Impulsstreuung begründet. Hinsichtlich der mathematischen
Erfassung dieses Fragenkomplexes ist es wesentlich, zwischen dem Fall
der kurzreichweitigen und dem Fall der langreichweitigen Wechselwir
kungen zu unte~scheiden.
Als kurzreichweitig können alle Wechselwirkungen behandelt werden, die
mit einer hohen Potenz des Abstandes der Wechselwirkungspartner abneh
men. In diesem Fall ist die Einwirkung auf ein herausgegriffenes Auf
oder Testteilchen im wesentlichen immer durch den nächsten Nachbarn
bestimmt. Zum mindesten muß dies für alle Wechselwirkungen gelten, die
zu der Impulsstreuung des Auf teilchens wesentlich beitragen. Im Fall der
kurzreichweitigen Kräfte läßt sich die Impulsstreuung als Zweikörper
problem behandeln und führt zu dem klassischen Stoßterm der Bolzmann
sehen Fundamentalgleichung.
Als langreichweitig sind dagegen solche Wechselwirkungen anzusehen, de
ren Kräfte nur mit einer geringen Potenz des Abstandes abnehmen, so daß
die Einwirkung auf das Testteilchen stets durch mehrere Feldindividuen
gleichzeitig bestimmt ist. Solche Systeme, bezeichnen wir auch als Ge
samtheiten mit kollektiver Wechselwirkung, da die langreichweitigen
Kräfte Anlaß zu kollektiven Erscheinungen geben, die den Systemen mit
kurzreichweitiger Wechselwirkung absolut fremd sind (s. z.B. ECKER [1J).
Wegen der gleichzeitigen Einwirkung vieler Teilchen ist die Verwendung
des Zweikörperproblems und des Boltzmannschen Stoßterms hier natürlich
im allgemeinen ausgeschlossen (JEANS [2J).
Vielmehr empfiehlt sich in diesem Fall die Anwendung einer verallgemei
nerten Fokker-Planck-Gleichung (CHANDRASEKHAR [3J, COHEN, SPITZER und
ROUTLY [4J),die sich aus dem Liouvilleschen Satz durch Entwicklung nach
der Geschwindigkeitsstreuung ergibt. Damit wird das Problem auf die
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Berechnung der Geschwindigkeits- oder Impulsstreuungsmomente zurückge
führt, die als Koeffizienten den Charakter der verallgemeinerten Fokker
Planck-Gleichung bestimmen.
Wir versuchen in dieser Arbeit, ein Bild über die Größe der genannten
Momente zu gewinnen und dürfen uns dabei auf die Wechsel wirkungen be
schränken, die quadratisch mit dem Abstand abnehmen, da diese ausschließ
lich für die Anwendung (Plasma- und Astrophysik) von Interesse sind.
Bezeichnet ().V= (~, ().V 2' (). v 3) die Geschwindigkei tsänderung in. der Zei t
().t, so suchen wir die auf die Zeiteinheit bezogenen gemischten Momente
zu bestimmen.
Zunächst jedoch ein Rückblick auf die Literatur. Hier finden sich mehrere
Ansätze zur Berechnung der Impulsstreuungsmomente, wobei grundsätzlich
zwei Wege zu unterscheiden sind.
Die eine Gruppe [2,4,5,7,8,9] überlagert stochastisch die Impulsstreu
beiträge aller Feldteilchen unter der Voraussetzung, daß die durch ein
herausgegriffenes Feldteilchen bedingte Impulsänderung des Testteil
chens aus der Lösung des Zweikörperproblems einer vollständigen Passage
von Feld- und Testteilchen entnommen werden kann. Dieses Modell ver-
nachlässigt nicht nur die Korrelation der Feldteilchen untereinander
und mit dem Testteilchen, sondern insbesondere auch die beschränkte
Länge der Feldelektronenbahn, die besonders für entferntere Individuen
starke Abweichungen bedingt. Infolge dieser ungenügenden Modellvorstel
lung ergeben sich bei der Integration über den Stoßparameter bei unend
lich ausgedehntem Ensemble Divergenzschwierigkeiten.
Die andere Gruppe [10,11,12J greift im Gegensatz zur ersten nicht auf
die von den einzelnen Teilchen herrührenden Anteile zurück, sondern
berechnet die Streuung aus dem zeitlichen Ablauf des von allen Teilchen
gleichzeitig erzeugten Mikrofeldes.
CHANDRASKHAR [10, 11J schreibt die Teilimpulse in der Form F·T(F) an,
F
wo das Mikrofeld am Testteilchen und T(F) die mittlere Lebensdauer
von ~ bezeichnet. Bei einer sphärischen Verteilung der Relativgeschwin
...
digkeiten zum Auf teilchen erhält man [10J für die Streuung des Gesamtimpul-
ses P
Sei te 6
-P2 = F-2 ·T(.F.. )·ilt
wo die Mittelung mit der Häufigkeitsverteilung des Mikrofeldes erfolgt.
In einer genaueren Rechnung müßte die Verwendung der mittleren Lebens
F
dauer T(F) durch eine Mittelung über alle Lebensdauern des Feldes er
setzt werden, ganz abgesehen davon, daß die Definition einer scharfen
Lebensdauer auf Schwierigkeiten stößt.
In einer kürzlich erschienenen Arbeit von HOFFMAN und THEIMER [12] wird
zur Berechnung von ilv2 ebenfalls auf das Mikrofeld - allerdings in der
einfachen 'nearest neighbour approximation' - zurückgegriffen. Obschon
die Entfernung dieses Teilchens höchstens von der Größenordnung des mitt
leren Teilchenabstandes sein kann, wird ferner für die Wechselwirkung
mit dem Auf teilchen statt des Coulomb-Potentials das abgeschirmte Debye
Potential angesetzt. Nach den Ausführungen von ECKER und MÜLLER [13]
ist dies nicht möglich. Das Versagen dieser einfachen Modellvorstellung
wird besonders durch ein Ergebnis der Arbeit [12] unterstrichen, nach
welchem in bestimmten Dichte- und Temperaturbereichen nur Teilchenpas
sagen mit Stoßparametern unterhalb einem Zehntel des mittleren Teilchen
abstandes zur Geltung kommen sollen.
Die allgemeineren Rechnungen von CHANDRASEKHAR [7J umfassen die Wechsel
wirkung zwischen Teilchen beliebiger Masse und Geschwindigkeit. (Auf
diese Ergebnisse werden wir später zurückkommen). Allerdings werden auch
hier nur Teilchen mit genügend kleinen Stoßparametern exakt erfaßt.
CHANDRASEKHAR benutzt zur Vermeidung der Divergenzschwierigkeiten als
cut-off Parameter den mittleren Teilchenabstand.
Die Arbeiten von COHEN, SPITZER und ROUTLY [4J und von SPITZER und HÄRM
[14] greifen die Ergebnisse von CHANDRASEKHAR auf. Es wird jedoch darüber
hinaus gefordert, daß die für einen nahen Bereich um das Auf teilchen
ilv
abgeleiteten Formeln für 2 auch für beliebig große Stoßparameter Gül
tigkeit behalten sollen, und daß zur Erzielung nicht divergierender Er
gebnisse der Debyesche Radius als cut-off Parameter zu verwenden ist.
Wir bemerken hierzu, daß in einem zweikomponentigen Ensemble der Debye
Radius eine notwendige Beschränkung des cut-off Parameters darstellt.
Jedoch muß der cut-off Parameter nicht mit dem Debye-Radius identisch
sein. Dies folgt schon aus der Tatsache, daß auch bei Einkomponenten
systemen (Sternensemble), in denen die Voraussetzung für eine Abschir
mung nicht gegeben ist, die Integrale konvergieren müssen, wenn die den
Rechnungen unterlegten Modelle den physikalischen Sachverhalt richtig
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erfassen. Dies läßt sich an Hand einer einfachen Abschätzung mit Hilfe
der in [1J definierten Einheitsbereiche zeigen. COHEN, SPITZER und
ROUTLY [4J betonen übrigens, daß es von Bedeutung ist, wo die Integra
tion über den Stoßparameter abgebrochen wird. Trotz der nur logarithmi
schen Divergenz der Integrale ergeben sich für die elektrische Leitfä
%,
higkeit Unterschiede bis zu 40 je nach dem der mittlere Teilchenab
stand oder die Debye-Länge als 'cut-off' Parameter benutzt wird.
11. Objekt und Modellbereiche
In dem vorausgegangenen Abschnitt haben wir unser Interesse an den Mo
menten der Impulsstreuung motiviert und gleichzeitig die bereits vor
liegende Literatur zu diesem Problem kritisch gesichtet. Wir definieren
nun das Objekt unserer Untersuchung: Gegenstand unserer Berechnungen ist
eine unbegrenzte Zahl von Individuen, die über den gesamten geometri
schen Raum mit konstanter mittlerer Dichte verteilt sind und im Geschwin
digkeitsraum der der Temperatur T zugeordneten Maxwell-Verteilung ge
horchen. Die Individuen unseres Ensembles sind alle gleich und können
in ausreichender Weise als Punkte charakterisiert werden, die mit der
Masse m begabt sind. Die innere Wechselwirkung zwischen den Individuen
beschränkt sich ausschließlich auf Zentralkräfte, deren Betrag umgekehrt
mit dem Quadrat des Abstandes variiert (a/r2).
Außer diesen 'Feldteilchen' sei noch ein besonders gekennzeichnetes
Individuum vorhanden, für das wir die Momente berechnen wollen. Wir nen
nen dieses Individuum das Auf- oder Testteilchen. Dieses Auf teilchen
genügt im allgemeinen den Bedingungen für die Feldteilchen, kann jedoch
abweichende Masse (m1) und Kraftkonstante (a1) besitzen.
Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, daß die Feldteil
ehen des Systems nach einer Zeit ~t auf das Auf teilchen einen Gesamt-
impuls -P- übertragen haben; besonders interessieren die Momente -~I' 2p ", PiZ
der Impulskomponenten parallel und senkrecht zur Richtung der Aufpunkts
geschwindigkeit V.
Es ist zu erwarten, daß im Laufe der Untersuchungen der Objektbereich
durch zusätzliche Bedingungen für die Teilchendichte n, die Temperatur
T, für ID, a, ~t weiter beschränkt werden IDUß. Diese Beschränkungen sind
teilweise durch die spätere Anwendung - beispielsweise in der Fokker
Planck-Gleichung - bedingt, teilweise durch die notwendigen mathemati-
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schen Näherungen zur Überwindung der Schwierigkeiten der mathematischen
Auswertung. Besonders wichtig sind hierbei die Beschränkungen für ~t,
auf die wir jedoch erst im Kapitel VII zu sprechen kommen können.
Mathematisch und physikalisch ist es sinnvoll, den Impuls ~P in zwei An-
teile zu zerlegen, deren einer von der individuellen Wechselwirkung mit
benachbarten Teilchen, und deren anderer von der kollektiven Wechselwir
kung mit entfernteren Teilchen herrührt (s. z.B. BOHM und PINES [15],
ECKER [1]. Diese Bereiche kollektiver und individueller Wechselwirkung
sind nicht scharf voneinander abzugrenzen. Es existiert vielmehr eine
Übergangszone endlicher Ausdehnung. Angaben über die Ausdehnung bei der
Modellzonen werden sich aus den folgenden Berechnungen ergeben. Zur
Beschreibung des Beitrages der individuellen Zone führen wir ein 'inneres',
für den Beitrag der kollektiven Zone ein 'äußeres' Modell ein.
Innerhalb beider Modellbereiche nehmen wir die Aufenthaltswahrschein
lichkeit eines einzelnen Feldteilchens als ortsunabhängig und insbeson
dere als von den übrigen Feldteilchen stochastisch unabhängig an.
Das äußere Modell behandelt die Geschwindigkeiten des Auf teilchens und
der Träger des äußeren Bereiches als während ~t konstant. Die Teilchen
bewegen sich daher auf exakten Geradenstücken.
Das innere Modell behandelt die Wechselwirkung der Teilchen des inneren
Bereiches als konsekutive Folge vollständiger Passagen unter Verwendung
der Lösung des Zweikörperproblems. Von den Teilchen der Relativgeschwin
digkeit Q treten genau die mit dem Auf teilchen in Wechselwirkung, welche
-u
sich zu Beginn der Zeitspanne ~t in dem vom Auf teilchen längs gerich
teten Zylinder mit der Länge u· ~t und dem Radius n1/3 befinden. Hierbei
ist die Voraussetzung eine geringfügige Impulsänderung der Einzelpas
sagen. Diese letztgenannte Beschränkung schließt notwendig einen drit
ten Modellbereich sehr kleiner Stoßparameter von dem zweiten Modellbe
reich aus. Die Grenze zwischen diesem dritten und zweiten Modellbereich
ist ebenso wie diejenige zwischen dem zweiten und ersten Bereich un
scharf. Der Beitrag der dritten Modellzone wird im Nachgang zu [4J am
besten durch einen zusätzlichen Boltzmannschen Stoßterm in der Fokker
Planck-Gleichung erfaßt. Man kann zeigen, daß die zentralen Stöße mit
starker Impulsänderung, die den dritten Modellbereich kennzeichnen,
wegen ihrer Seltenheit zu der Berechnung der Momente nur geringfügig
beitragen.
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III. Stochastische Methoden
Im Interesse der Klarheit stellen wir einige der erforderlichen mathe
matischen Sätze unseren Überlegungen voraus.
Wir heginnen mit dem Markoffschen Theorem über die Verteilung einer Sum
[6]).
me von stochastisch unabhängigen Einzelvektoren (s.z.B.CHANDRASEKHAR
Die lJ Vektoren
seien Funktionen der s Koordinaten q1' Q2' ... Qs:
-
seien die Wahrscheinlichkeiten dafür daß die Koordinaten von r. zwischen
J
Qjs + dqjs fallen.
Dann gilt der Wahrscheinlichkeitsdichte
r-
t, J
[i 1:
wo A (y) = exp (y . rj ) ] j (qj) dqj .
1:
CHAV1DRASEKHAR [6J untersucht u.a. den Fall .c~n~1: (q), N-.oo und gelangt
J
zu folgendem Ergebnis.
Die Summe einer sehr groBen Anzahl von Vektoren, welche einzeln einer
gemeinsamen aber beliebigen Verteilungsfunktion gehorchen, ist gauss
verteilt. Die Komponenten der Vektorsumme sind beziiglich eines bestimmten
Koord i nat..ensys tems, das im all·gemeins ten Fall durch Hauptachsentrans
fermation zu ermitteln ist, stochastisch unabh~ngig. Bezogen auf dieses
Koordinatensystem erhält man f~r jede Komponente als Durchschnitt die
Summe der Einzeldurchschnitte, als Streuung die Summe der Einzelstreuun-
gen.
In der oben zitierten Untersuchung ist nur von einer 'sehr großen Anzahl'
von verteilten Einzelvektoren die Rede, ohne das zu erkennen wäre, wie
groß diese Anzahl mindestens sein muß, damit die wirkliche Verteilung
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von der Gauss-Funktion in einem gewissen Grade angenähert wird. Wir wen
den uns daher einer detaillierten Ableitung des genannten Satzes zu, wo
bei wir unseren späteren Bedürfnissen entsprechend die Voraussetzungen
über die Verteilungsfunktionen der einzelnen Vektoren gegenüber denen
von CHANDRASEKHAR etwas abändern werden.
Die N Vektoren
( j = 1,2, ... N)
mögen den Verteilungen ~.(r.) gehorchen, wobei folgende Bedingungen er
J J
füllt seien.
(j=1,2,···N)
b) Die Tensoren
-2-
X j1 X f1 X j 2 . . . X j 1 X j n
(j=1,2,'" N)
lassen sich alle mit einer gemeinsamen orthogonalen Transforma
tion auf Diagonalform bringen.
c) Es existieren die gemischten Momente der Komponenten bis ein
schließlich zum vierten Grad
(XjpXjqXjrXjs i p..., q,r/s = 1/2/ .... .n.. )
N r.
Zur Herleitung der Verteilung WeR) des Vektors R = I: denken wir
j =1 J
uns alle vorkommenden Vektoren von vornherein auf jenes Koordinaten-
system bezugen, bezüglich dessen die unter b) erwähnten Tensoren Diago
nalform haben.
Wegen der Voraussetzung a) verschwindet der Imaginärteil von A(Y) in (1):
r·
r, l-J r, J
A {1- 14
lY) = cos(yr; h j (rMrj = ~ (Pi)2 + cYr;)4 . -} 1: j drj
~ )4}~exp{~ , ~-~(yr/, d40ly)-(yr;)~}
= HCYi';)2'd40j Cy)-(yrj log (2)
t
=e x p {- 12 ("y ij ) 2 + t g j CY)} (0 < e j (Y) < 1 ).
J=1 J=1
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