Die Grundlagen der ägyptischen Arithmetik

114 Pages·1970·5.021 MB·German

by  Kurt Vogel

Die Grundlagen
der ägyptischen Arithmetik
in ihrem Zusammenhang
mit der 2: n-Tabelle
des Papyrus Rhind
Dr. KURT VOGEL
Wiesbaden
Dr. Martin Sändig oHG.
Meiner Mutter
1970
Genehmigter Neudruck der Ausgabe 1929 (Diss. München)
ISBN 3 500 22120 3 — Printed in Germ an y
INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung: Seite
Einfluß des Papyrus Rhind auf die Geschichte der Mathematik . i
Theoretische oder praktische Mathematik?..................................... 3
Die 2 : n-Tabelle.............................................................................. 4
L Teil:
Die Grundlagen der ägyptischen Arithmetik................... $
Die Zahlenreihe.............................................................................. 5
Das Ziffemsystera......................................................................... 6
Zahlwortbildungen . 7
Der Zahlbegriff 7
Die Addition................................................................................... 9
Die Subtraktion......................................... 12
Die Multiplikation......................................................................... 13
Die Division................................................................................... 17
Die Bruchrechnung......................................................................... 21
Metrologische Grundlage der Bruchrechnung................................ 22
Stammbruch und Komplementbruch.............................................. 27
Addition und Subtraktion von Brüchen.......................................... 29
Der Teilmaßnenner......................................................................... 33
Multiplikation und Division von Brüchen..................................... 35
I Der Komplementbruch * /3 ............................................................ 37
Auffassung des Ägypters vom Wesen eines Bruches —. Der
n
allgemeine Bruch..................................................................... 39
Vorteile und Nachteile der Stammbruchdarstellung....................... 46
Die beherrschende Idee der Proportionalität................................ 47
Die Abstraktion von Regeln .................................................. . 48
Der Umfang des Kopfrechnens....................................................... 49
Zusammenfassung, die wissenschaftliche Erkenntnis....................... 52
//. Teil:
Die 2:n-Tabelle......................................................................... 53
Einleitung........................................................................................ 53
Theoretische Vorübcrlegung...................... 56
Gliederung der Untersuchung....................................................... 60
1. Kapitel: Theorieder Stammbruchzerlegung des
Bruches 2/n............................................................ 61
Abschnitt A: Theoretische Untersuchung ohne Berücksichti­
i gung des ägyptischen Verfahrens....................... 61
i
?
Abschnitt B: Theoretische Untersuchung mit Berücksichti­
gung des im Papyrus verwendeten Hauptbruches 81
Abschnitt C: Die bisherigen theoretischen Bearbeitungen . . . 94
J. J. Sylvester............................................ 94
G. Loria................................................ 96
O. Neugebauer....................................... 99
a. Kapitel: Die 2 :n-Tabelle im Papyrus selbst. . . . 103 Einleitung.
Abschnitt A: Einteilung der Zerlegungen auf Grund der
sämt-Rechnungen....................................... 103
Wiedergabe der 2 : n-Tabelle mit slmt-Rech- Als das für die Geschichte der Mathematik wichtigste Er-Einfluß des
nungen und Kommentar................................ 113 eignis im vergangenen Jahrhundert darf man die Auffindung ^py™1 2 3 4 5 Rhind
Abschnitt B: Die bisherigen Bearbeiter........................ 132 des Papyrus Rhind bzw. dessen Herausgabe durch Eisen-au.f. ?1C Ge’
A. Eisenlohr...................................................... 132 , , . \ , , , , _ 0 , schichte der
lohr im Jahre 1877 bezeichnen, deren Bedeutung nicht darin Mathematik
A. Favaro..................................................................135
liegt, daß dieser Papyrus das Hauptquellenwerk für die ägyp­
M. Cantor..................................................................135
F. L. Griffith.............................................................137 tische Mathematik überhaupt darstellt, sondern daß vor allem
Fr. Hultsch............................... 138 durch ihn die zeitliche Grenze der Quellenkenntnis antiker
Q. Vetter.................................................................139 Mathematik mit einem Schlag um weit über ein Jahrtausend
E. Peet......................................................................140
zurückgeschoben und das Dunkel erhellt' wurde, das über dem
B. Gunn....................................., , . . . 142
Teil der Mathematik ausgebreitet war, von dem schriftliche
O. Neugebauer........................................................145
V. Bobynin.............................................................152 Überlieferungen durch einen „mißgünstigen Zufall“ *) bis auf
O. Gillain........................... 153 geringe Reste verloren gegangen sind. Ich meine die praktische
3. Kapitel: Die Ausnahmezahlen und die Hilfszah­ Rechenkunst, die Logistik, die den Griechen im Gegensatz
lenmethode . . , ..............................................157
zu der Arithmetik, der Zahlenlehre, keine Wissenschaft war,
4. Kapitel: Die Entstehung der 2: n-Tabelle..................173
obwohl doch gerade sie erst die Grundlage für den Aufbau der
Schluäbetrachtung: Zweck und mathematischer Inhalt der
Tabelle, Auswirkungen auf die grie­ Mathematik als Wissenschaft schuf, genau so wie die reine, von
chische, arabische und mittelalterliche irdischen Problemen losgelöste Geometrie im Sinne Platons
Mathematik............................................................181 erst eine praktische Geometrie, eine „Wahrnehmungsgeometrie“2),
Anhang: 1. Übersicht über die entwickelten Formeln.................. 196
zur Voraussetzung hatte. So sehr war infolge der ständig auf­
2. Verzeichnis der fremdsprachlichen Wörter . . . . 197
tretenden einfachsten Rechnungen des täglichen Lebens die
3. Register der Personen und Schriften.............................198
4. Sachregister.................................................................201 praktische Rechenkunst „allgemeines Bedürfnis“3) geworden,
5. Verzeichnis der aus dem Papyrus Rhind zitierten daß sie erstmalig bei Platon Erwähnung findet4) und viel später
Aufgaben.................................................................206 erst wissenschaftliche Bearbeiter fand5). Daher kommt es auch,
6. Literaturverzeichnis........................................................207
daß unsere bedeutsamste Quelle über griechische Logistik aus
dem 6. Jahrhundert n. Chr. datiert6), während beispielsweise die
1) Cantor (1), S. 51. Genaue Titel siehe Literaturverzeichnis.
2) Zeuthen, S. 27.
3) Cantor (2) I*, S. 146.
4) Platon, Gorgias 451 B.
5) Siehe hiezu Cantor (2) I2, S. 146 und Hankel, S. 66ff.
6) Eutokius von Askalon. Siehe hiezu Cantor (2) I2, S. 303—305.
I
3
Lehre von den Proportionen und die Theorie des Irrationalen notwendig bezeichnete") Neuheräusgabe des Papyrus Rhind,
schon tausend Jahre früher entwickelt waren. die durch Peet im Jahre 1923 erfolgte, eine Ausgabe, die be­
Seit den zwanziger und dreißiger Jahren des vorigen Jahr­ sonders deshalb so wertvoll ist, weil sie einen vollständigen
hunderts hatte die Philosophie der Mathematik erst begonnen Überblick über die gesamte ägyptische Mathematik und deren
sich Rechenschaft zu geben über die Grundgesetze der ein­ Stellung zur babylonischen und griechischen Mathematik ent­
fachen Rechenverfahren7), das Interesse an der Kindheitsstufe hält. Diese Ausgabe, von der mit Recht gesagt wurde12), daß
in der Entwicklungsgeschichte der mathematischen Wissenschaft künftige Arbeiten unbedingt auf ihr fußen müssen, löste dann
war jetzt erst erwacht. So wurde gerade zur rechten Zeit durch wieder eine Reihe wichtiger Besprechungen von Neugebauer,
den glücklichen Fund des Papyrus Rhind die klaffende Lücke Sethe, Archibald, Wolff, Gunn und Wieleitner sowie
geschlossen, die bislang den Einblick in die mathematischen größere Arbeiten von Vetter, Neugebauer, Rey, Wie­
Gedankengänge des allmählich zu höheren Stufen wissenschaft­ leitner und Gillain aus, während in allgemeinen Werken über
licher Erkenntnis aufsteigenden Kulturmenschen verwehrt hatte. die Geschichte der antiken Mathematik die neuesten Forschungs­
Während Hankel in seiner Geschichte der Mathematik (1874) ergebnisse, wie sie in dem Peetschen Werk zur Darstellung
die neue Fundgrube ältester logistischer Weisheit noch nicht kommen, bisher noch im allgemeinen unberücksichtigt blieben.
verwerten konnte, sehen wir den bedeutenden Einfluß der neuen Bei der Beurteilung des mathematischen Inhaltes des Pa-Praktische
Quelle auf die mathematische Geschichtschreibung in zahlreichen pyrus Rhind gilt es zwei extreme Fehler zu vermeiden. Einmal oder
an Eisenlohr anknüpfenden Veröffentlichungen zum Ausdruck darf man in ihm kein wissenschaftliches Werk sehen -wie beithcoretiiche
kommen. Favaro, Cantor, Sylvester, Loria, Hultsch und Euklid, Archimedes oder Diophant. Er ist vielmehr einMatI,ematlk
Vetter sind dieNamen,die hiervor allem genannt werden müssen. Rechenbuch13 *), dessen Hauptinhalt in einer Reihe von Auf­
Inzwischen war infolge der unermüdlichen Arbeit der Philologie gaben mit Lösungen aus den verschiedenen Zweigen des prak­
das Verständnis des Textes wesentlich fortgeschritten, große in tischen Lebens besteht. Anderseits ist aber auch eine Unter­
der Eisenlohrschen Übersetzung vorhandene Unrichtigkeiten schätzung des „wissenschaftlichen“ Inhalts nicht am Platze; denn
waren beseitigt und fragliche Stellen geklärt worden8). Weiter­ es finden sich in ihm schon Abschnitte, die in eine Wissen­
hin wurde das New Yorker Fragment9) als zugehörig zu dem schaftslehre gut hereinpassen würden. So weisen Tabellen und
im Britischen Museum befindlichen Hauptteil des Papyrus Rhind Rechnungen mit unbenannten Zahlen auf das Vorhandensein
erkannt; auch trugen andere, neu gefundene Papyri mathema­ eines abstrakten Zahlbegriffes hin. Auch die allerdings ganz
tischen Inhaltes10 *) dazu bei, den Umfang ägyptischer Mathematik vereinzelt explizit, dagegen häufig in den Lösungen implizit
zu klären. Besonders nachdem noch Sethes umfassendes Werk auftretenden Regeln gehören hieher neben anderen Argumenten,
über die ägyptischen Zahlen und Zahlwörter erschienen war, die erst später'4) zur Sprache kommen können. Deshalb darf
war der Boden geebnet für die schon von Simon als dringend der Papyrus Rhind an den Anfang der mathematischen Wissen­
schaft überhaupt gesetzt werden trotz seines im allgemeinen
7) Siehe Klein I, S. 21.
8) Hieher gehören insbesondere die Arbeiten von Borchardt (1) und (2), praktischen Charakters, besonders wenn man bedenkt, daß auch
Revilloul (1), Griffith (1), (3) 11. (6) und Schack-Schackenburg (1) u. (4). die „höhere“ Mathematik letzten Endes auf den einfachsten
9) Siehe Peet (2), S. x. Grundgesetzen des Rechnens beruht, die auch „wissenschaft-
IO) Diese sind zusammengestellt bei Peet (2), S. 6/9. Bruchtafeln enthalten:
Der demotische Papyrus (s. Revillout (2), S. LXIX—LXXII1), der Papyrus 11) Simon (1), S. 527. 12) Neugebauer (1), S. 70.
Akhinim (s. Baillet, S. 24—31), die byzantinischen Bruchtafeln (s. Thomp­ 13) Zu der Frage, ob der Papyrus ein Handbuch oder ein Schülerheft ist,
son), das kopt. Ostrakon Nr. 480 (s. Crum 1, S. 46, II, S. 78), der Michigan siehe: Revillout (1), S. 292, Simon (3), S. 27—29, Wieleitner (2), S. 130,
Papyrus Nr. 621 (s. Karpinski (2) und Robbins). Gillain, S. 297. 14) Siehe S. 52.
I*
I
lieh“ nicht zugänglich sind, sondern nur anschauungsmäßig (im
engen und weiteren Sinn) erfaßt werden können'5).
Die 2:n- Zu diesen abstrakten Teilen ist in erster Linie die an der
Tabelle Spitze des Papyrus stehende „2:n-Tabelle“ zu rechnen, trotz­
dem sie, wie Peet'6) mit Recht sagt, nicht berechnet wurde
um den Wissensdrang der Leser zu befriedigen, sondern um
I. Teil.
vorkommenden Falles jederzeit zur Hand zu sein. Sie enthält
Summen von Stammbrüchen (Brüche mit dem Zähler i) als
2 Die Grundlagen der ägyptischen Arithmetik.
Ersatzdarstellung für die allgemeinen Brüche — und zwar für
n Die ägyptische Arithmetik, wie sie uns im Papyrus Rhind Die 7ahien-
alle ungeraden n von 3 bis 101. Die fundamentale Frage, ob entgegentritt, ist die der 12. Dynastie; um diese Zeit (19. Jhdt.reihe
der Ägypter zu dieser Ausdrucksform gezwungen war, weil er v. Chr.)'7) ist das Original entstanden, auf das sich der Ver­
sich Brüche mit einem Zähler größer als 1 nicht denken konnte, fasser der Abschrift Ahm es (Ahmose) in seinen einleitenden
oder ob er andere Brüche nur nicht schrieb (weil er für sie Worten als Grundlage bezieht.. Wir sehen ein ziemlich ge­
noch keine Darstellungsart gefunden hatte) oder schreiben wollte, schlossenes, wenh auch keineswegs einheitlich aufgebautes Ge­
wird später untersucht werden. Auf jeden Fall zog die merk­ bäude vor uns, zu dessen weiterem Ausbau entsprechend dem
würdige Tabelle und ihr mutmaßliches Zustandekommen seit im ägyptischen Volkscharakter begründeten zähen Festhalten
ihrem Bekanntwerden das Interesse zahlreicher Mathematiker am Althergebrachten kein besonderes Bedürfnis vorlag, mochten
auf sich und erfuhr in den Abhandlungen von Eisenlohr, auch gelegentlich einzelne neue Steine eingefügt worden sein.
Cantor, Sylvester, Loria, Hultsch, Bobynin und später Für eine Weiterentwicklung waren auch die Vorbedingungen
in denen von Peet, Gunn, Neugebauer, Gillain und Vetter nicht gegeben, da alle bei den damaligen Lebensverhältnissen
verschiedenartige Bearbeitungen. Sie soll auch den wesent­ — die einer Änderung ebenfalls nicht unterworfen waren —
lichen Inhalt dieser Arbeit bilden. auftretenden Rechenprobleme des täglichen Lebens mit den
Daneben möchte ich den im II. Teil durchgeführten Unter­ vorhandenen Mitteln gelöst werden konnten. In der Zeit vorher
suchungen über die Tabelle selbst in einem I. Teil einen kurzen
aber, über die (wenigstens was die Mathematik anlangt) ein
Überblick über den Stand der ägyptischen Mathematik — unter
nur selten durch einzelne Strahlen erhelltes Dunkel ausgebreitet
Weglassung von algebraischen und geometrischen Problemen — liegt'8), hatte der Ägypter und seine Vorfahren wie jedes andere
voranschicken.
Volk auch in einem langsamen, schrittweisen Vorwärtsdringen
auf unbekannten Pfaden sein auf der Zahlenreihe beruhendes
15) Hiezu Klein I, S. 26 ff. j6) Peet (2), S. 10.
Zahlwort- und Ziffernsystem geschaffen, zu dem ein langer, im
einzelnen nicht mehr feststellbarer Weg durchlaufen werden
mußte. Dieser nahm seinen Anfang bei den ersten Denkvor­
gängen mit der Bildung eines von der Art des Gegenstandes
unabhängigen Zahlbegriffes und führte dann seit Auftreten der
Sprache zur Bildung von Zahlwörtern, für die dann wieder,
wohl lange vor der Erfindung der Wortschrift, ein sichtbares
17) Siehe Peet (2), S. 3. 18) Siehe hiezu Peet (2k S. 9.
Bild geschaffen wurde entweder vorübergehender Art dadurch,
viele „Untereinheiten“ eingeteilt werden, was dann zu dem Be­
daß man durch verschiedenartige Fingerstellungen oder auch griff des Bruches führte.
durch kleine Gegenstände (Stcinchen u. a.) die Zahlen aufwies,
Auch die Zahlwortbildungen folgen im allgemeinen24) diesem Zahlwort­
oder dauernder Art dadurch, daß man sic durch schriftliche
dezimalen Aufbau, wobei bemerkenswert ist, daß die Zehner bildungen
Zahlzeichen (vielleicht mit Einkerbungen beginnend) sichtbar
von 50 bis 90 als Pluralbildungen der entsprechenden Einer
niedcrlegte. Eine solche Ziffernschrift konnte — in ihren An­
erscheinen25); man sah also z. B. in 60 eine Mehrzahl (und zwar
fängen — auch schon vor dem Auftreten der Sprache zur Dar­
die iofache Einzahl) von 6 oder eine andere „pluralische“, also
stellung von „Zahlgedanken“ verwendet worden sein.
größere 6. Die dekadisch fortschreitenden Stufen waren auch
Ziffernsystem Das Ziffernsystem *9) der Ägypter ist ein dekadisches. Man bei den Zahlwörtern notwendig, da man ja nicht für jede Zahl
sieht bei der hieroglyphischcn Schreibung20) deutlich, wie seine
ein von den anderen unabhängiges eigenes Wort bilden konnte.
Entwicklung parallel läuft mit der Durchführung eines bis zu
Trotzdem die ägyptische Ziffernschreibung im Gegensatz zu
hohen Zahlen fortschreitenden' Abzählens. Die Einer, die als
einem Positionssystem recht umständlich war, wenn man be­
einzelne Striche geschrieben werden (l), entsprechen den Fingern
denkt, daß z. B. die Zahl 999 aus 27 einzelnen Ziffern bestand,
oder den Steinchen beim gegenständlichen Aufzählen. Wenn
so hatte sie doch, wenigstens solange die Ziffern hieroglyphisch
weiterhin zur schriftlichen Darstellung der Zehn ein neues
geschrieben wurden, den Vorteil großer Übersichtlichkeit und
Zeichen (fl) verwendet wird, so entspricht das ebenfalls wieder
gestattete ein bequemes, augenfälliges Addieren und Subtrahieren
dem Abzählen, wo man wegen der beschränkten Fingerzahl
innerhalb der gleichen Stufe; desgleichen war ein Multiplizieren
beim Erreichen der Zehn haltmachen mußte und beim Weiter­
und Dividieren mit den Potenzen von 10 direkt ausführbar.
zählen die Anzahl der Zehner nur mittels „anderer Finger“,
Angesichts dieser schon in frühester Zeit vollkommen ent- zahibegriff
z. B. der eines Begleitmannes, festhalten konnte, der seinerseits
wickelten Zahlenreihe ist die Frage am Platze, ob die Ägypter
wieder bis io zählte. Zeuthen21) führt ein afrikanisches Volk
der damaligen Zeit schon einen abstrakten Zahlbegriff ge­
an, bei dem unter Verwendung von drei Personen große Herden
habt haben. Offenbar ist an und für sich mit jeder Zahl ein
(bis 1000 bzw. bis iiio) abgezählt werden können. In ähn­ abstrakter Denkvorgang verbunden, da das, was man die An­
licher Weise fortschreitend war ein dezimales Ziffernsystem
zahl einer Gruppe von Gegenständen nennt, eine Eigenschaft
schon bis zur i. Dynastie22) unter Verwendung der Ruhepunkte
darstellt, die man nicht wie deren Größe oder Farbe unmittelbar
io, iöo, 1000, ioooo, iooooo und 1000000 aufgebaut worden. mit den fünf Sinnen wahrnehmen kann. Im allgemeinen wurde
Die Stufenzahlen sind nichts anderes als größere Einheiten,
aber der Zahlbegriff ursprünglich sicher nur für konkrete Gegen­
„Übereinheiten“23), in deren Bereich dann genau so wie mit
stände derselben Art verwendet, während ein rein abstrakter
den ursprünglichen Einheiten gerechnet wird. Umgekehrt konnte
Zahlbegriff nur dann vorliegt, wenn Gegenstände verschiedener
auch, wie wir später sehen werden, jede Einheit in beliebig
Art, z. B. 1 Mann, 2 Kirchtürme und 5 Steine, als „8“ (Stück)
19) Siehe hiezu Löffler, S. 14—21 sowie besonders Sethe (1), S. I — IO. empfunden werden26). Ein.solcher scheint mir nun in der Auf­
20) Über die Erklärung der hieratischen Zahlzeichen hat F. Lindemann gabe Nr. 7 9 27) des Papyrus Rhind vorzuliegen, in der in „bi­
sich ausführlich in einer Akademieabhandlung verbreitet, auf die er mich freund- zarrer“28), anscheinend sinnloser Weise Häuser, Katzen, Mäuse
lichst aufmerksam machte.
21) Zeuthen, S. 2. Am umfassendsten behandelt Fettweis (2) das Rechnen 24) Über Spuren anderer Zahlsysteme siehe Sethe (1), S. 24 fr.
der Naturvölker. 25) Siche Gardiner, S. 192. 26) Siehe Wieleitner (1), S. 3/4.
22) Siehe Peet (2), S. 9.
27) Die Nr. Nr. beziehen sich auf die Aufgaben des Papyrus Rhind nach
23) Vergleiche hiezu die von Simon (2), S. 21 mitgeteilte Reihe der Stufen­
der Numerierung Eisenlohrs. S. Anhang 5.
zahlen bei den Suaheli: Kaurimuschel, Baumwollzcug, Messingdraht. 28) Rey (2), S. 34.
9
usw. addiert werden. Auch sonst ist deutlich zu sehen, daß der (l/s -f- Vis) gezählt wird. Auch das später zu behandelnde Schema
Ägypter nicht, wie Peet meint29), unter 8 immer 8 Schafe oder der Multiplikation zeigt schon die Existenz eines abstrakten
8 andere sichtbare Objekte hat verstehen müssen. Auf die Zahlbegriffs, da die Multiplikatoren nie benannte Zahlen sein
Buchrolle (—»«-.), das Abstrakt-Determinativ z. B. hinter „Miw“ können34). Das Bestreben allerdings sich die abstrakten Zahlen
(Haufen, „Unbekannte“), macht in diesem Zusammenhang Gun n3°) konkret vorzustcllen oder gegenständlich darzustellen ist leicht
aufmerksam. Wenn man ferner bei diesen „ITau“-Rechnungen3‘) verständlich; wir verwenden ja auch bei der abstrakten Punkt­
beachtet, daß die zu suchende Unbekannte einmal als „Vier- reihe zum Zwecke leichterer Vorstellbarkeit dieser Gedanken­
heit“ (Nr. 26), ein anderes Mal als „Fünfheit“ (Nr. 27) oder als bilder das graphische Verfahren. Bei der Division sowie bei
„Siebenheit“ (Nr. 24) in die Rechnung eingeführt wird — mag der Bruchrechnung werden sich weitere Argumente zugunsten
man dies als „Versuchszahl“ für einen „falschen Ansatz“ oder des Vorhandenseins eines abstrakten Zahlbegriffs ergeben.
direkt als Wertung der Einheit als */*, */* oder 7/i auffassen —, Die wichtigste Rechenoperation, die den Ausgangspunkt für Die Additior
so wird man hier dem Ägypter einen über dem rein konkreten alle weiteren bildet, ist die auf dem Zählen aufgebaute Ad­
stehenden Zahlbegriff einräumen müssen. Offenbar hatte er dition, die ohne viel Gedächtnisübung durchgeführt werden
erkannt, daß Einheit und Vielheit relative Begriffe sind, daß konnte; man mußte nur die einzelnen Zahlwörter (und deren
man beliebig viele Einheiten zu einer neuen „Übereinheit“ (wie Reihenfolge) kennen, dann war jede Addition ausführbar durch
schon bei den Stufenzahlen) zusammenfassen könne und daß langsames Daraufzählen von immer wieder 1 auf den ersten
man umgekehrt auch wieder eine Einheit als einen Komplex Summanden, so wie es im Anfangsunterricht an der „russischen
von „Untereinheiten“ ansehen dürfe. Ais weiteres Zeichen für Rechenmaschine“ geschieht. Bei dem ägyptischen Ziffernsystem
das Vorhandensein eines hochstehenden Zahlbegriffs erscheint ergab sich das Resultat, wenn die Summe der beiden Sum­
mir das nicht nur grammatikalisch interessante Wort für die ab­ manden innerhalb einer Stufe blieb, unmittelbar aus der An­
strakte Einheit „\vt“ (in den Aufgaben Nr. 69 und 70), auf das schauung (z. B. 4 + 3 — 7, dargestcllt als lill lll3S * * * * *) m 11 ll). Mußte
Peet selbst aufmerksam gemacht hat* 32). An diese Einheit denkt
beim Addieren eine Stufenzahl überschritten werden (z. B. 7 -j- 6
der Ägypter wohl auch, wenn er die Wendung „ i-f“, d. h. „seine
= 13 oder jj{ m fllll), so wurden die ausgezählten ersten
1“ gebraucht33). In Aufgabe Nr. 43 heißt es z. B. „jr-hr-k !fa-f
10 Einheiten zu einer Übereinheit 10 zusammengefaßt und der
hr i-f“, addiere */a zu seiner Eins. Es wird hier nicht vielleicht
Rest in den ursprünglichen Einheiten dazu geschrieben. Auch
‘/a zu*der Zahl 1 addiert, sondern hier ist 8 die Einheit, das
hier brauchte man noch nicht viel zu merken. Erst als die
Ganze, zu dem sein Drittel (also 8/3) addiert werden soll. In
hieratische Schrift an die Stelle der Hieroglyphen trat — auch
Nr. 21 ist (*/3-p */») die Zahl, zu deren „Eins* (hr i-f) die Summe
der Papyrus Rhind ist hieratisch geschrieben —, wobei die
übersichtliche Anordnung infolge von Ligaturen und eigenen
29) Peet (2), S. 10. 30) Gunn (2), S. 124.
Zeichen in Wegfall kam, konnte man eine gedächtnismäßige
31) Veraltete Transkription für *h*w. 32) Peet (2), S. 115.
Wiedergabe des Eins-und-Eins nicht mehr entbehren. Wie
33) Ich nehme dabei an, daß der Strich hinter hr I * — ) ein Bildzeichen
wir in späteren Schuljahren ohne die Rechenmaschine aus-
für die Einheit ist, auf die sich dann das Suffix bezieht, und das vielleicht als w*t
gelesen wurde (worauf mich Herr Spicgelberg aufmerksam machte, dem ich auch
wegen sonstiger fachlicher Beratung zu großem Dank verpflichtet bin). Ich möchte 34) Über den benannten Multiplikator „min“ siehe Fußnote 89.
zum Beweis anführen, daß in gleichzeitigen Texten hr mit Suffix ohne den Strich 35) Der Agyptei kennt kein Pluszeichen, sondern nur eine Juxtaposition. Statt
steht und daß gerade in all den Fällen des Pap. Rh., in denen der Strich nicht eines Gleichheitszeichens heißt es a -j- b ni c, d. h. „a-}-b ist soviel wie c“ (mit
als Bildzeichen für die Einheit in Frage kommt (Pap. Rh. Nr. 51, 52, 62, 64) das einem m der „Äquivalenz“;; manchmal wird auch vor dem Ergebnis ein Punkt der
hr in anderer Schreibung (ohne o als Q |) erscheint. „Hervorhebung“ gesetzt. Siehe hiezu S. 110 und Fußnote 316.
indem er durch verschiedenartige Gegenstände die Einer, Zehner
kommen, so muß sich auch der Ägypter das Eins-und-Eins an­
usw. zur Darstellung brachte und geordnet hinlegte. Wie das
geeignet haben. Ein Beweis für die Richtigkeit einer auf diesem
Kopfrechnen selbst ausgeführt wurde, läßt sich allerdings nicht
gedächtnismäßigen Wege durchgeführten Addition ist allerdings
mehr rekonstruieren, wenn nicht die Sprache Anhaltspunkte
nie anders als wieder durch das primitive Auszählen möglich.
hiefür gibt.
Der frühzeitige Einblick in die Methoden der einzelnen
Unter den Fachausdrücken für die Addition ist es
Rechenoperationen, den wir im Papyrus Rhind im Gegensatz
neben der Präposition „hr“ (auf, hinzu) und den Verben „dmd“
zu den Überlieferungen griechischer Logistik bekommen, wird
(vereinigen), „dj“ (geben) und „irj“ (machen) vor allem ein Ter­
dadurch erreicht, daß hier nicht nur die Lösungen der einzelnen
minus, der zum Ausdruck der Addition verwendet wird, näm­
Aufgaben stehen, sondern daß meist auch eine Ausrechnung
lich das Zeitwort „wth“, das ursprünglich „legen“ bedeutet.
(ssmt)j6) beigefügt ist, die gleichzeitig einen Beweis für die
Ein Hinzulegen von Steinchen oder Einerstrichen zu den schon
Richtigkeit der Lösung liefert37).
daliegenden oder geschriebenen entspricht gerade dem auf einem
Angesichts der großen Ausführlichkeit, oft sogar Schwer­
Daraufzählen beruhenden Addieren, so daß die Verwendung
fälligkeit, mit der der Ägypter bei den ssmt-Rechnungen ver­
des Wortes besonders in Verbindung mit der Präposition hr
fuhr, möchte man annehmen, daß Eins-und-Einstabellen und
klar ist. • ’
andere Hilfsmittel nicht notwendig waren, daß also alle nicht
Das gleiche Wort wird außerdem in der Zusammensetzung
schriftlich niedergelegten Rechnungen lediglich im Kopfrechnen
„wih tp“ (tp Kopf, Spitze, Fall, Beispiel) nicht nur für ver­
(vielleicht mit Unterstützung durch Fingerrechnen) durchgeführt
schiedene Rechenoperationen mit entsprechenden später zu be­
wurden. Ich nehme hievon einige wenige Fälle — meist gegen
handelnden Zusätzen verwendet sondern für rechnen überhaupt.
Schluß des Papyrus — aus, in denen der Abschreiber offen­
So steht in Nr. 26 ,w*h tp m 4“ (= rechne mit 4), d. h. nimm
sichtlich die Nebenrechnungen vergaß. Ausgeschlossen ist es
die Versuchszahl des falschen Ansatzes als 4 an oder auch: be­
natürlich nicht, daß auch dann und wann solche Nebenrech­
trachte die unbekannte Größe ('h'w) als In Nr. 43 heißt
nungen auf gesonderten Scherben38), den ägyptischen „Zetteln“39),
es: „w?h tp m 8“, d. h. rechne mit 8 als Ausgangszahl für die
wie es unsere Schüler so gern machen, durchgeführt wurden
weitere Rechnung!
oder daß dem Ägypter der 12. Dynastie das „Rechenbrett“
Die Wendung wjh tp hat nun im alten und mittleren Reiche
vertraut war, wie es Herodot40) für die spätere Zeit angibt.
die Bedeutung von „den Kopf neigen“. Dies würde darauf
Notwendig war dieses allerdings nicht, da der verschiedene
hinweisen, daß jede Art von Rechnung (insbesondere die Multi­
„Stellenwert“, der beim Rechenbrett durch Einsetzen der Stern­
plikation und Division) von einem Kopfneigen begleitet war.
chen in die einzelnen Kolumnen dargestellt wurde, hier beim
Auch der hauptsächlich41 42) bei der Addition vorkommende Aus­
ägyptischen Ziffernsystem durch die verschiedene Form des
druck w?h allein ist als verkürzte Form von w>h tp angesehen
Zahlzeichens an sich schon deutlich war. Im übrigen konnte
worden43), so daß dann das „Kopfneigen“ eine allgemeine Wen­
der des Schreibens Unkundige, der doch auch mit einfachen
dung für jede Art von Zählen und Rechnen ist44), wodurch
Rechnungen zu tun hatte, sich ein primitives Rechenbrett unter
direkter Nachbildung der Ziffernschreibung selbst verschaffen, 41) Wenn die Übersetzung für wjh tp im Berliner Wörterbuch Cllca („in
Bruchteile zerlegen*) sich auf diese Stellen bezieht, so kann sic für Nr. 26 gerade
noch gehen, für Nr. 43 stimmt sie nicht mehr.
36) Als „Seschmet* aussprechbar gemacht.
42) wjh allein wird auch für die Multiplikation gebraucht in Nr. 26, Nr. 44.
37) Zu der Frage, ob ssmt als Beweis oder als tatsächliche Ausrechnung auf­
43) Peet (2), S. 12, Fußnote 2.
zufassen ist, siehe S. 103.
44) Ähnlich wie ägidfieZv,, siehe hiezu die bei Friedlein S. 74 zitierte Stelle
38) Glanville, S. 234. 39) Wieleitner (2), S. 130, Fußnote 8.
aus Lukian (ßtoov jigäaig 4).
40) Herodot II 36. Zur Frage des Rechenbrettes siehe Neugebauer (2), S. 42.
13
die Einheitlichkeit aller Rechenoperationen zum Ausdruck ge­ drücken zu deren i3/i-fachem oder doppeltem Wert. Gunn40)
'2 . bracht wäre45). In der Tat könnte man in dem Kopfneigen hat gezeigt, wie man diese Aufgaben zu den verschiedensten
nicht nur eine das Rechnen begleitende orientalische Geste Ergänzungsrechnungen verwenden kann. Als weiterer Aus­
sehen, sondern sich verstellen, daß z. B. beim Abzählen der Ab­ druck für die Subtraktion findet sich „hbj“ (abbrechen). So
zählende das Erreichen einer Stufenzahl jeweils mit einem Kopf­ wird in Nr. 41 1/'a einer Zahl von ihr „abgebrochen“ oder in
nicken begleitete, wodurch der oben genannte Begleitmann auf­ Nr. 43 wird 1 von 9 „abgebrochen“50). Im • allgemeinen wird
merksam achten mußte. Auch bei der Multiplikation und Di­ aber eine in den Aufgaben notwendige Subtraktion stillschwei­
vision läßt sich das Kopfnicken beim Zusammenarbeiten zweier gend vollzogen, ohne daß man durch einen besonderen Aus­
Rechner gut erklären. So ist es wohl denkbar, daß das Kopf­ druck darauf aufmerksam gemacht wird; so kommen in jeder
neigen die Bedeutung „rechnen“ überhaupt und „addieren“ im Aufgabe der 2 : n-Tabelle solche Subtraktionen vor, auf die nur
besonderen bekommen konnte, so daß die Bedeutungsreihe, aus­ ab und zu der Ausdruck „dtt“ (Rest) hinweist. Deutliche Bei­
gehend von „legen“, über „den Kopf legen, Kopfneigen, rechnen, spiele dazu sehen wir in Nr. 39, wo 4^6 als Unterschied (tvvnw)3')
addieren (hinzulegen von Einerstrichen)“ wieder an ihrem Aus­ der beiden Anteile 12 l/a und 8'/a dasteht, oder in Nr. 42, wo
gangspunkt an gelangt ist46). eine Subtraktion im Kopfrechnen unter Verwendung der 2 :11-
In einem Beispiel47) wird die Addition mit den vorwärts Tabelle gelöst wird. Es wird hier U/g von 10 abgezogen, das
Subtraktion
schreitenden Beinen bezeichnet (*k = js, hereingehen), wobei Ergebnis 88/» im Kopf behalten und als Lösung (vielleicht unter
das Gegenteil, die rückwärts schreitenden Beine (/v), als Aus­ Zerlegung von 8/g in */9 und s/9 und mit Verwendung der 2 : n-
druck für die Subtraktion den engen Zusammenhang der Tabelle) direkt 8 + äJ3 + 1js */is angegeben. Neugebauer51),
beiden inversen Rechnungsarten dokumentiert. Direkt auf eine der die Subtraktion nicht als selbständige Operation betrachtet,
Addition wird die Subtraktion zurückgeführt in der Ergän­ ist der Ansicht, daß eine solche unbedingt auf o und negative
zungsrechnung (Sekem-Rechnung von „skm“), in der eine Zahlen hätte führen müssen. Dies ist nicht notwendig; man
Subtraktion ähnlich der „österreichischen“ Methode des Darauf­ hielt eben eine Subtraktion a — b, wenn a kleiner als b war, für
zählens formuliert wird. „Ergänze 3 zu 7“ ist unser 3 -f- x = 7; sinnlos und bei a = b war das Ergebnis „Nichts“ (äg}-ptisch:
in den Aufgaben Nr. 21—23 stehen derartige Ergänzungs­ nn, entsprechend dem griechischen ovdb), was auch noch
rechnungen, die durch Darauflegen von Steinchen (oder Stri­ keine Null war, wohl aber deren Begriff vorbereitete53).
chen) auf die schon daliegenden Steinchen (oder Striche) bis Die Multiplikation führt der Ägypter in einer von der Multiplikation
zum Erreichen der verlangten Summe lösbar waren. Man darf unsern verschiedenen Art durch. Während für uns die Kenntnis
wohl „skm“ als einen Fachausdruck für die Subtraktion be­ des kleinen Einmaleins Grundbedingung ist, kommt der
zeichnen; denn auch in den Sekem-Aufgaben Nr. 7—20 handelt Ägypter ohne dieses aus. Für ihn ist 17.5 nicht wie (jetzt!)
es sich um allerdings mehrgliederige48 *) Ergänzungen von Aus- bei uns 7.5 10.5, sondern 17 + 17 + 17 + 17 + 17 ; nur daß
45) Vergl. hiezu Neugebauer (2), S. 8.
46) Andere Erklärungen für wih tp (von Sethe und Gunn) werden gelegent­ 49) Gunn (2), S. 130.
lich der Besprechung der Multiplikation behandelt werden. Über ein „Kopfnicken“ 50) Nach Gunn (2), S. 124 besteht ein Unterschied zwischen der ägyptischen
beim Auf/.ählen einer Kardinalzahl (bei den Papuas) siehe Dctzncr S. 283. und unserer Auffassung der Subtraktion derart, daß wir von dem Minuenden ab­
47) Nr. 28. wärts zählen, bis die verlangte Anzahl abgezogen ist, während der Ägypter aus der
48) Pect (2), S. 13 faßt skm bei den Aufgaben 7—20 nicht als Fachaus­ Anzahl der den Minuenden bildenden Einheiten irgendwelche (also nicht gerade die
druck der Subtraktion; aber es wird doch auch hier ergänzt, also subtrahiert, wenn letzten) herausgreift. 51) Pcet (2), S. 77.
auch mit mehreren Gliedern. In Nr. 21 z. B. ist die Differenz ebenfalls 2gliedrig; 52) Neugebauer (2), S. 7; vgl. hiezu Wieleitner (6), S. 235.
die zu erreichende Summe ist allerdings nicht angegeben. 53) Simon (3), S. 31 scheint „nn“ als wirkliche Null aufzufassen.