Die elliptischen Funktionen von Jacobi: Fünfstellige Tafeln, mit Differenzen, von sn u, cn u dn u mit den natürlichen Zahlen als Argument, nach Werten von m (= k 2) rangiert, nebst Formeln und Kurven

83 Pages·1931·2.034 MB·German

by  L. M. Milne-Thomson (auth.)

Die elliptischen Funktionen
von Jacobi
FiinfstelligeTafeln, mit Differenzen, von snu, cnu, dnu
mit den natiirlichen Zahlen als Argument, nach
Werten von m (= k2) rangiert, nebst
Formeln und Kurven
von
L. M. Milne -Thomson
Assistant Professor of Mathematics in the
Royal Naval College, Greenwich
Berlin
Verlag von Julius Springer
1931
Alle Rechte, insbesondere das der Obersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1931
ISBN-13: 978-3-642-89403-9 e-ISBN-13: 978-3-642-91259-7
DOl: 10.1007/978-3-642-91259-7
Vorwort.
Die Zahl der Probleme, deren Losung durch elliptische Funk
tionen ermoglicht wird, ist sehr groB. Die Anwendungsgebiete er
strecken sich auf Elektrotechnik, Physik, Mechanik, Hydromecha
nik, im Gebiete der reinen Mathematik auf Algebra, Zahlentheorie,
Differentialrechnung, Geometrie, konforme Abbildungen, Kurven
und Flachentheorie. Die Einfiihrung der elliptischen Funktionen
(im Gegensatz zu den elliptischen Integralen) erleichtert das
Rechnen und fiihrt zu Transformationen, die sonst leicht iibersehen
werden konnen.
Die einfachsten elIiptischen Funktionen, mit deren Hilfe nume
rische Rechnungen durchgefiihrt werden konnen, sind die Jacobi
schen. Diese konnen als eine Erweiterung sowohl der Kreis- als
auch der Hyperbelfunktionen angesehen werden. Tafeln dieser
Funktionen sind bisher nicht erschienen; die vorliegende Arbeit
solI diese Liicke ausfiilIen. Es ist fast iiberfliissig zu erwiihnen, daB
Thetafunktionen und elliptische Integrale keine echten elliptischen
Funktionen sind, weil ihnen die grundlegende Charakteristik der
Doppeltperiodizitat fehlt.
Da bei den praktischen Anwendungen des Elektrotechnikers, des
Ingenieurs sowie alIer anderen wissenschaftlichen Arbeiter die natiir
lichen Zahlen und das Quadrat des Moduls (d. h. k2) als Argumente
in Frage kommen, habe ich diese Zahlen als Argumente hervor
gehoben. Ich habe auch die natiirlichen, nicht die logarithmischen
Werte angegeben, weil anzunehmen ist, daB Ausrechnungen inimer
mehr unter Verwendung von Rechenschiebern bzw. Rechenmaschi
nen vorgenommen werden, und ich war bestrebt, vom Standpunkt
III
der praktischen Anwendungsmoglichkeit aus, die Tafeln recht uber
sichtlich und fur ein schnelles Auffinden zweckma13ig zu gestalten.
Die Werte des Arguments u greifen bei jedem Modul auf die zu
gehorige Viertelperiode K uber; die Werte von K werden auf jeder
Seite wiederholt. Ich habe auch Formeln angegeben, mit deren
Hilfe Werte der Jacobischen elliptischen Funktionen sowie der
Weierstra13schen &-J-Funktion fUr jedes reelle oder komplexe Argu
ment sowie fiir jeden Wert des Moduls berechnet werden konnen.
Da die Funktionen niemals den Wert Eins ubersteigen und auf funf
Dezimalstellen berechnet sind, ist der Dezimalpunkt unnotig. Urn
eine eventuelle Interpolation zu erIeichtern, sind die ersten Diffe
renzen, bei festem Modul, angegeben. Drei Abbildungen zeigen den
VerIauf von sn u, cn u, dn U nach steigendem Modul. Mit Ruck
sicht auf gelegentliches mehrstelliges Rechnen habe ich eine acht
stellige Tafel der vollstandigen "eIliptischen Integrale K, K', E, E'
und der Zahl q mit dem Intervall O·OI fUr m hinzugefUgt. Sie sind
meinen zehnstelligen Tafeln dieser Zahlen (erstmalig veroffentlicht
im Journal of the London Mathematical Society I930, I93I) ent
nommen. Ein weiteres Hilfsmittel zum mehrstelligen Rechnen
bietet meine Tafel von Quadratwurzeln1.
Da bisher keine systematischen Tafeln der doppeltperiodischen
Jacobischen Funktionen berechnet worden sind, sind die vorIiegen
den Tafeln vollstandig neu und einzigartig, ein kurzer Abri13 der
Herstellung wird deshalb vielleicht nicht ohne Interesse sein. Zu
q
nachst wurden zehnstelligeTafeln von und 2K/n fur m= 0·01-0·99
berechnet und eine zehnstellige Tafel von cos {}, mit Differenzen,
fiir {} = 0·00I-7·000 aufgestellt. Danach wurde eine zehnstellige
Grundtafel von dn u fUr jedes m unter Heranziehung der q-Reihen
gemacht. Aus dieser Tafel wurden sn u, cn u hergeleitet. Die vor
liegenden fUnfstelligen Tafeln wurden mittels Interpolation2 aus der
Grundtafel, mit einem groBtmoglichen Fehler von ± 0·52 Ein
heiten der fiinften Dezimale, errechnet. Aus der Grundtafel lassen
1 L. M. Milne-Thomson: Standard Table of Square Roots. London:
G. Bell & Sons Ltd. AchtsteUige Quadratwurzeln, mit Differenzen, von x
und 10 x fur jedes vierstellige x.
2 1m Nautical Almanac 1931: Interpolation Tables S. 847, vorletzte Linie,
stat t 62 lies 6 I.
IV
sich selbstverstandlich nach Bedarf Tafeln h6herer Stellenzahl
ableiten. Bei dieser Arbeit bin ich von meiner Frau so tatkraftig
unterstutzt worden, daB ich ihr an dieser Stelle meinen besten
Dank sage.
Zum SchluB habe ich die angenehme Pflicht, der Verlagsbuch
handlung Julius Springer, deren Unternehmungsgeiste die mathe
matische Wissenschaft so vie! verdankt, fur das bereitwillige Ein
gehen auf alle meine Wunsche hinsichtlich der Drucklegung meinen
lebhaften Dank auszusprechen.
Greenwich, im Juni 1931.
L. M. Milne-Thomson.
v
Inhaltsverzeichnis.
Seite
EinfUhrung VII
Numerische Beispiele . VIII
Allgemeine F ormeln . X
Additionsformeln . XI
Transformationen . XII
Integrale . . . . XII
Die WeierstraBsche S-J-Funktion XIV
Graphische Darstellung von sn u I
Fiinfstellige Tafel von sn u . . . 2
Graphische Darstellung von en u 23
Fiinfstellige Tafel von en u . . . 24
Graphische Darstellung von dn u 45
Fiinfstellige Tafel von dn u. . . 46
Achtstellige Tafel von K, K', E, E', q, ql 66
VI
Einftihrung.
Es sei
I< p
~:Sin2tp'
u = VI _
o
Die elliptischen Funktionen von Jacobi sind durch die Be
ziehungen
sn (u, k) = singJ, cn (u, k) = cosgJ, dn (u, k) = + YI - k2sin2gJ
erkHirt. Sie sind einwertige doppeltperiodische Funktionen vom
Argument u mit je zwei einfachen Polen in einem Periodenpar
allelogramm. Die lahl kist der Modul, der komplementare
YI -
Modul ist k' = 7i2. Bei Anwendungen ist aber gewohnlich
k2 (nicht k) gegeben und wir sehen deshalb in den vorliegenden
Tafeln die Funktionen als abhangig von k2 an. Von diesem Ge
I I
sichtspunkte aus wird fur die Funktionen sn (u k2), cn (u k2),
I
dn (u k2) geschrieben, wodurch wir jede Verwechslung mit der
Schreibweise sn (u, k), cn (u, k), dn (u, k) vermeiden. Setzt man
m = k2, so ist die lahl m1 = I - m = I - k2 = k'2 komplementar
zu m. Wir schreiben dann sn (u 1m), cn (u 1m), dn (u 1m), wenn
wir die lahl m ins Auge fassen wollen. Bei Quotienten schreiben
wir (nach Glaisher) nur die Anfangsbuchstaben des Nenners und
des lahlers, so daB z. B. scu statt snu geschrieben wird. Bei
cnu
Reziproken werden die Buchstaben vertauscht, z. B.
ndu=-I-.
dnu
Lost man die Gleichung a = sn u auf, so ist u = sn-1 a; cn-1 a,
dn-1 a sind in ahnlicher Weise zu verstehen.
Die Interpolation zwischen den Werten von mist einfach,
wenn u < lK. Wenn u > ~K, konnen die Funktionenwerte auf
Werte fur u - K zuriickgefuhrt werden. Die betreffenden Formeln
sind in der Formelsammlung angegeben.
VII
Als interessantes Beispiel der Anwendung zeigen wir die L6sung
der Eulersehen Gleiehungen def freien Bewegung eines fest en
K6rpers:
P-
A (B - C) q r = 0,
Bq- (C-A)rp=o,
C; - (A - B) Pq = 0,
wo p, q, r Winkelgesehwindigkeitskomponenten bedeuten und
A> B > C.
Hier setzt man
p = Po en (n (t - to) 1m) , q = h sn (n (t - to) 1m),
r = r dn (n (t - to) 1m) .
0
Setzt man diese Werte in die Gleiehungen ein, so ergibt sich
~ _ A (A - C) _ A - B. A P8 2 _ (A - Cl(B - C) 2
pg - B(B-C)' m- B-C Crg' n - AB ro'
Numerische Beispiele.
Interpolationsformel f (a + x) = f (a) + x [Li' -l (1 - x) Lin] .
Li' ist die erste, Li" die zweite Differenz.
(1) Gesueht sn(0'75 , YO'4)
sn(0'75 , YO'4) = sn(0'75 I 0'4) = 0.66316.
(2) Gesueht en (0'54 , 0'98)
m = k2 = (0'98)2 = 0'9604,
cn(0'54 I0 '9) = 0.86884,
+
120 = Li',
I
en (0'54 1'0) = 0.87004,
cn(0'54 I 0'9604) = 0.86956 = en (0'54 , 0'98).
(3) Gesueht sn(4'71 0'70)
4'7 - 2 K = 4'7 - 4'15073 - 0'54927,
sn(4'710'70) = - sn(0'54927 I 0'70) = - 0'50658.
(4) Gegeben u = 0·60, k = 0'50; gesueht dn(u, k')
m = k2 = 0'25; m = 0'75 = k'2,
1
dn(0·60JO·70) = 0.88986, Li' = - 1550, Lin = + 5,
dn(~t, k') = 0·88210.
VIII
(5) Gesucht sn (2·5410·99)
en (K - u)
sn u = dn (K _ u)' K - u = 1.15564,
sn 2. O. = en (1.155641 (;·99) = 0.57135 = o. 8 8
( 541 99) dn (1.1556410'99) 0.57721 9 9 S·
(6)
o
.
J6 df}
(7) V-;= ===== = sn-1(0·s! 0·5) = 0.53562 .
I - sin2 : sin2 f}
o
(8) Gesucht So (0·5; 16, 0)
e1, e2, e3 sind die Losungen der Gleichung (s. S. XIV)
4X3 - 16x = 0,
e1 = 2 , e2 = 0, e3 = - 2, k2 = m = 42" " = 0·5,
6J(0·S; 16, 0) = _. 2 + 4ns2 (1.0! 0·5) = - 2 + -8(4 - )2 = 4.2034.
, o· ~30
(9) Gesucht So (0·2; - 52 136)
J -
C1, e2, e3 sind die Losungen der Gleichung (s. S. XIV)
4X3 + 52 X + 136 = 4(x + 2) (X2 - 2 X + 17) = 0,
e2 = - 2 , H2 = 2 e22 + .4 ~e2 = 25 ' m = ~2 _ 3H e 2 = 0.8 '
+
_ I 6 __ 2 • I en (0.8944271 0.8)
r(0·2; -52; 3)- +5 l-en(0.894427/o.8)
=- 2 + 5·1-.6-86-4-1 = 24.889.
0·3 1359
IX
Formeln.
k2 = m
o o
=fI d I
E V l - nzx2 dx, E'=flhV- nzlX2dx
1-X2 1-X2
o o
K' I I
q=e-nJ[, KE'+K'E-KK'=!n, loglO-loglO--= 1.8615228349
q ql
j(u) sn U cnu dnu
j (0) 0 I I
nzt
I 1
j(tK) VI VI nzt
+ +mt 1
nz!
f(K) I 0 nzt
1
f(- u) - snu cnu dnu
+
f (U '1 i K') snu - cnu - dnu
f(u +zK) - snu --cnu dnu
j(zK - u) snu - Cntl dnu
j (4 K - u) - snu en u dnu
+
Perioden 4K , z iK' 4K , zK ziK' zK, 4i K'
+ +
Pole iK' , z K iK' iK' , zK iK' i K', 3 i K'
Residuen nz-! , - nz-i - im-i , i nz-! - i, i
Nullstellen 0, zK K, 3K K + i K, K + 3 i K'
20)0
dnu=:n; --+z:n-; --qS- coss-:n;- u
zK K I 1+ q2S K
x